Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

1. CHƯƠNG III. HỆ THỨCCHƯƠNG LƯỢNG I TRONG TAM GIÁC TOÁN HÌNH 5 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA ➉ MỘT GÓC TỪ 00 ĐẾN 1800 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 2 MỐI QUAN HỆ GIỮA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU 3 BÀI TẬP
2. THUẬT NGỮ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Giá trị lượng giác của • Nhận biết giác trị lượng giác của một góc từ ∘ đến ∘. một góc. • Hai góc bù nhau. • Giải thích hệ thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau. • Sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác của một góc. • Vận dụng giải một số bài toán có nội dung thực tiễn.
3. 풔풊풏 휶 = 퐜퐨퐬휶 = Bạn đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Đối với 풕 풏 휶 = 퐜퐨퐭휶 = góc tù thì sao? B α Nhắc lại định nghĩa a tỉ số lượng giác c của góc nhọn? A b C Hình 3.1
4. 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính 푹 = nằm phía trên trục hoành (H.3.2) được gọi là nửa đường tròn đơn vị. ∘ ∘ • Cho trước một góc 휶, ≤ 휶 ≤ . Khi đó, có duy nhất điểm 푴(풙 ; 풚 ) trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để 풙푶푴෣ = 휶. y y HĐ1: 1 C 1 C M M y a) Nêu nhận xét về vị trí y0 0 của điểm M trên nửa đường α tròn đơn vị trong mỗi B α A B A x0 O x trường hợp sau: -1 O x0 1 x -1 1 ∘ ∘ ∘ 휶 = ; 휶 . o α 90 b) Khi ∘ < 휶 < ∘, nêu mối quan hệ giữa 풐풔 휶, 풔풊풏 휶 với hoành độ và tung độ của điểm 퐌.
5. 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC y y 1 C 1 C M M a) Khi 휶 = ∘, điểm 푴 y0 y0 trùng với điểm 푪. ∘ (Vì 풙푶푪෣ = 푶푪෣ = ); B α A B α A -1 O x0 1 x -1 x0 O 1 x α 90o • Khi 휶 ∘, điểm 푴 thuộc vào cung 푪 (bên trái trục tung). 풙 풚 b) 퐜퐨퐬휶 = = 풙 = 풙 ; 풔풊풏 휶 = = 풚 = 풚 . 푶푴 푶푴 Vì 푶푴 = 푹 = , 풙 thuộc tia 푶풙 nên 풙풐 > ; 풚 thuộc tia 푶풚 nên 풚 > Vậy 퐜퐨퐬휶 là hoành độ của 풙 của điểm 푴, 풔풊풏 휶 là tung độ 풚 của điểm 푴.
6. • => Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho một góc bất kì từ ∘ đến ∘, ta có định nghĩa sau: y 1 C Với mỗi góc 휶( ∘ ≤ 휶 ≤ ∘), gọi 푴(풙 ; 풚 ) là M điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho y0 풙푶푴෣ = 휶. Khi đó: B α A •sin của góc 휶 là tung độ 풚 của điểm 푴, -1 x0 O 1 x được kí hiệu là 풔풊풏 휶; α > 90o Côsin của góc 휶 là hoành độ 풙 của điểm 푴, được kí hiệu là 풐풔 휶; ∘ 풚 •Khi 휶 ≠ (hay là 풙 ≠ ), tang của 휶 là , được kí hiệu là 풕 풏 휶; 풙 ∘ ∘ 풙 •Khi 휶 ≠ và 휶 ≠ (hay là 풚 ≠ ), côtang của 휶 là , được kí hiệu 풚 là 풐풕 휶.
7. Từ định nghĩa trên, ta có: y 1 C M y0 풔풊풏 휶 풕 풏 휶 = 휶 ≠ ∘ ; 풐풔 휶 B α A 풐풔 휶 x 풐풕 휶 = (휶 ≠ ∘và 휶 ≠ ∘); -1 0 O 1 x 풔풊풏 휶 α > 90o 풕 풏 휶 = 휶 ∉ ∘; ∘; ∘ 풐풕 휶
8. Sau đây là bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ. 훼 Trong bảng, kí hiệu chỉ 0∘ 30∘ 45∘ 60∘ 90∘ 180∘ GTLG giá trị lượng giác tương 1 ứng không xác định. 푠푖푛 훼 0 2 3 1 0 2 2 2 1 cos훼 1 3 2 0 −1 2 2 2 푡 푛 훼 0 3 1 3 || 0 3 표푡 훼 || 3 1 3 0 || 3 Bảng 3.1
9. Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc ∘. Bài giải y Gọi 푴 là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho 1 풙푶푴෣ = ∘. Gọi 푵, 푷 tương ứng là hình chiếu vuông M P góc của 푴 lên các trục 푶풙, 푶풚. Vì ෣ ∘ nên ෣ ∘, ෣ ∘. Vậy các tam 45o 풙푶푴 = 푴푶푵 = ퟒ 푴푶푷 = ퟒ 135o giác 푴푶푵, 푴푶푷 là vuông cân với cạnh huyền 푶푴 = . -1 N O 1 x Từ đó, ta có 푶푵 = 푶푷 = . Mặt khác, điểm 푴 nằm bên Hình 3.3 trái trục tung nên có tọa độ là − ; . Theo định nghĩa, ta có: 풔풊풏 ∘ = ; 퐜퐨퐬 ∘ = − ; 풕 풏 ∘ = − ; 풐풕 ∘ = − .
10. Luyện tập 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc ∘. Bài giải Gọi 푴 là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho y 1 풙푶푴෣ = ∘. Gọi 푵, 푷 tương ứng là hình chiếu vuông M góc của 푴 lên các trục 푶풙, 푶풚. P ∘ ∘ ∘ Vì 풙푶푴෣ = nên 푴푶푵෣ = , 푵෣푴푶 = . Vậy 푴푵 là o Q 120 đường cao của tam giác đều 푶푸푴 có cạnh bằng 1. -1 N O 1 x Từ đó, ta có 푴푵 = ; 푶푵 = . Mặt khác, điểm 푴 nằm bên Hình 3.4 trái trục tung nên có tọa độ là − ; . Theo định nghĩa, ta có: 풔풊풏 ∘ = ; 퐜퐨퐬 ∘ = − ; 풕 풏 ∘ = − ; 풐풕 ∘ = − .
11. Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính (đúng hoặc gần đúng) các giá trị lượng giác của một góc và tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó. Chẳng hạn, với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta cần bấm phím (SETUP) rồi bấm phím để chọn đơn vị đo góc là “độ”. Sau đó tính giá trị lượng giác của góc hoặc tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.
12. Tính giá trị lượng giác của một số góc Tính Bấm phím Kết quả 풔풊풏 ퟒ ∘ ′ퟒ " 풔풊풏 ퟒ ∘ ′ퟒ " ≈ , ∘ 풐풔 ∘ ′ퟒ " 풐풔 ′ퟒ " ≈ − , ퟒ 풕 풏 ∘ 풕 풏 ∘ = −
13. •Tìm góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó: Tìm 풙, biết Bấm phím Kết quả ∘ 풔풊풏 풙 = , ퟒ 풙 ≈ ′ " Chú ý •Khi tìm 풙 biết 풔풊풏 풙, máy tính chỉ đưa ra giá trị 풙 ≤ ∘. Muốn tìm 풙 khi biết 풐풔 풙, 풕 풏 풙, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím tương ứng bởi phím ,
14. 2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU • Đối với một góc 휶 tùy ý 풐 ≤ 휶 ≤ 풐 , gọi 푴, 푴′ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau 휶 và 풐 − 휶 풙푶푴෣ = 휶, 풙푶෣푴′ = 풐 − 휶 • Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm 푴, 푴′ đối với trục 푶풚. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa 풔풊풏 휶 và 풔풊풏 풐 − 휶 , giữa 퐜퐨퐬휶 và 퐜퐨퐬 풐 − 휶 . • Hai điểm 푴, 푴′ đối xứng nhau trục 푶풚. Do đó 풔풊풏 풐 − 휶 = 풔풊풏 휶, Hai góc bằng nhau có sin bằng nhau; 퐜퐨퐬 풐 − 휶 = −퐜퐨퐬휶. côsin, tang, côtang đối nhau 퐭퐚퐧 풐 − 휶 = − 풕 풏 휶 휶 ≠ ; 퐜퐨퐭 풐 − 휶 = −퐜퐨퐭휶 < 휶 < .
15. 2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU • Đối với một góc 휶 tùy ý 풐 ≤ 휶 ≤ 풐 , gọi 푴, 푴′ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau 휶 và 풐 − 휶 풙푶푴෣ = 휶, 풙푶෣푴′ = 풐 − 휶 • Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm 푴, 푴′ đối với trục 푶풚. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa 풔풊풏 휶 và 풔풊풏 풐 − 휶 , giữa 퐜퐨퐬휶 và 퐜퐨퐬 풐 − 휶 . • Hai điểm 푴, 푴′ đối xứng nhau trục 푶풚. Do đó 풐 풔풊풏 − 휶 = 풔풊풏 휶, Hai góc bằng nhau có sin bằng nhau; 퐜퐨퐬 풐 − 휶 = −퐜퐨퐬휶. côsin, tang, côtang đối nhau 퐭퐚퐧 풐 − 휶 = − 풕 풏 휶 휶 ≠ ; 퐜퐨퐭 풐 − 휶 = −퐜퐨퐭휶 < 휶 < .
16. • Ví dụ 2: Tính các giá trị lượng giác của các LỜI GIẢI 풐 풐 풐 góc , , . Do các góc 풐, 풐, 풐 tương ứng 풐 풐 풐 GỢI Ý TÌM LỜI GIẢI bù với các góc , , nên từ bảng 3.1 ta cũng có bảng giá trị lượng giác sau: Các góc góc 풐, 풐, 풐 bù với các góc nào trong bảng 3.1? Từ đó tính các giá trị lượng giác của góc 풐, 풐, 풐.
17. Luyện tập 2: Trong hình 3.6, hai điểm 푴, 푵 ứng với hai góc phụ nhau 휶 và − 휶 풙푶푴෣ = 휶, 풙푶푵෣ = 풐 − 휶 . Chứng minh rằng 휟푴푶푷 = 휟푵푶푸. Từ đó nêu mối quan hệ giữa 퐜퐨퐬휶 và 풔풊풏 풐 − 휶 . LỜI GIẢI Ta có 풙푶푵෣ = 풐 − 휶 ⇒ 푵푶푸෣ = 휶. Xét hai tam giác vuông 휟푴푶푷; 휟푵푶푸 ta có 푶푴 = 푶푵 ⇒ 휟푴푶푷 = 휟푵푶푸. 풙푶푴෣ = 푵푶푸෣ = 휶 Ta có 퐜퐨퐬휶 = 푶푷 = 푶푸 = 풔풊풏 풐 − 휶 . Do đó 풔풊풏 풐 − 휶 = 풐풔 휶, 풐풔 풐 − 휶 = 풔풊풏휶. 퐭 풏 풐 − 휶 = 풐풕휶 휶 ≠ , , ; 풐풕 풐 − 휶 = 풕 풏휶 휶 ≠ , , .
18. Vận dụng GỢI Ý GIẢI Một chiếc đu quay có bán kính , tâm của vòng quay ở độ Gắn hệ trục vào đu quay ta được cao (H 3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu một đường tròn lượng giác như quay là phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất hình vẽ của vòng quay, thì sau phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét? Đu quay sẽ quay theo chiều dương hoặc theo chiều âm. Sửa thành: Đu quay sẽ quay cùng chiều hoặc ngược chiều quay của kim đồng hồ Từ đó ta tính được độ cao của người ngồi trong cabin ở vị trí thấp nhất sau khi quay 20 phút.
19. Vận dụng TH1: ĐU QUAY QUAY CÙNG CHIỀU KIM ĐỒNG HỒ Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là: . 풐 = ퟒ 풐 tức là đến vị trí điểm 푯. Khi đó góc 푯푶푱෣ = 풐 và 푯푱 = 풔풊풏 풐. 푶푯 = , ( ). Vậy sau phút quay, người đó ở độ cao , + = , ( ). TH2: ĐU QUAY QUAY NGƯỢC CHIỀU KIM ĐỒNG HỒ Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là: . 풐 = ퟒ 풐 tức là đến vị trí điểm 푲, 푲 đối xứng với 퐇 qua 푶풚. 퐈 là hình chiếu của 푲 trên trục 퐎퐱. Khi đó góc 푲෣푶푰 = 풐 và 퐊푰 = 풔풊풏 풐. 푶푲 = , ( ). Vậy sau phút quay, người đó ở độ cao , + = , ( ).
20. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 1 Giá trị 퐜풐풔ퟒ + 풔풊풏ퟒ bằng bao nhiêu? A . B 2. C 3. D . Bài giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay 풐풔 ퟒ = dùng MTCT ta được ⇒ 풐풔 ퟒ + 풔풊풏 ퟒ = . 풔풊풏 ퟒ =
21. CÂU 2 Tam giác 푪 vuông ở có góc ෡ = . Khẳng định nào sau đây là sai? 풔풊풏 푪 = . B 풐풔 = . A B C 풐풔 푪 = . D 풔풊풏 = . Bài giải Từ giả thiết suy ra 푪෡ = . Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 풐풔 = 풐풔 = .
22. Câu 3 B 표푠 훼 = − 표푠 훽 . Cho 휶 và 휷 là hai góc khác A 푠푖푛 훼 = 푠푖푛 훽 . nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức C 풕 풏 휶 = − 풕 풏 휷 DD 표푡 훼 = 표푡 훽 nào sai? Bài giải Hai góc bù nhau 휶 và 휷 thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Do đó D sai.
23. Câu 4 Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức 풐풔 휶 + 풔풊풏 휶 = ? 휶 휶 휶 휶 A 풐풔 + 풔풊풏 = . B 풐풔 + 풔풊풏 = . 휶 휶 휶 휶 C 풐풔 + 풔풊풏 = . DD 풐풔 + 풔풊풏 = . ퟒ ퟒ ퟒ 휶 휶 Từ biểu thức 풐풔 휶 + 풔풊풏 휶 = ta suy ra 풐풔 + 풔풊풏 = . 휶 휶 Do đó ta có 풐풔 + 풔풊풏 = .