Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. CHƯƠNGCHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG I TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN §3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. §4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài tập cuối chương 2
2. CHƯƠNGCHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG I TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. TOÁN ĐẠI SỐ ➉ 4 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2 BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 3 ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
3. x 1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN • Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự • HĐ1: Gọi và lần lượt là số máy điều hòa định kinh doanh hai loại máy điều hòa: loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo và . đồng. Giải: a) Gọi và lần lượt là số máy điều hòa Điều hòa hai chiều Điều hòa một chiều x loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy nhập. Khi đó ta có ≥ 0, ≥ 0. Lợi nhuận dự 3,5 triệu đồng/1 máy 2 triệu đồng/1 máy kiến Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên và cần thỏa đk + ≤ 100. • Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên và phải đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy thỏa mãn điều kiện 20 + 10 ≤ 1200. để lợi nhuận thu được là lớn nhất? c) Số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo và là 3,5 + 2 .
4. • Ví dụ 1. Cho hệ bất phương trình •Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là ≥ 0 một hệ gồm hai hay nhiều bất phương ≥ 0 + ≤ 150. trình bậc nhất hai ẩn. a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? •Cặp số 0; 0 là nghiệm của một hệ bất b) Kiểm tra xem cặp số ; = 0; 0 có phải phương trình bậc nhất hai ẩn khi 0; 0 đồng thời là nghiệm của tất cả các bất là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không. phương trình trong hệ đó. Giải: a) Hệ bất phương trình đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và . b) Cặp số ; = 0; 0 thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
5. • Luyện tập 1. Trong tình huống mở đầu, • Giải gọi và lần lượt là số máy điều hòa loại Hệ bất phương trình hai ẩn , ở HĐ1 là hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần ≥ 0 nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình ≥ 0 hai ẩn , và chỉ ra một nghiệm của hệ + ≤ 100 này. 20 + 10 ≤ 1200. Cặp số ; = 5; 20 thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ trên nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình này.
6. x 2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ • HĐ2: Cho đường thẳng : + = 150 c) Lấy một điểm trong tam giác (chẳng trên mặt phẳng tọa độ ​ . Đường thẳng hạn điểm 1; 2 ) hoặc một điểm trên cạnh nào này cắt hai trục tọa độ ​ và tại hai đó của tam giác (chẳng hạn điểm điểm và . 1; 149 ) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình a) Xác định các miền nghiệm , , của x 1 2 3 ≥ 0 các bất phương trình tương ứng ≥ 0; ≥ 0 và + ≤ 150. sau hay không: ≥ 0 + ≤ 150. b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao của các miền nghiệm 1, 2, 3 hay không?
7. • Giải Điểm 1; 149 trên cạnh của tam giác thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ a) Miền nghiệm 1 của bất phương trình ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình ≥ 0 1; 0 . ≥ 0 . Miền nghiệm 2 của bất phương trình ≥ 0 + ≤ 150. là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm 0; 1 . Miền nghiệm 3 của bất phương trình + ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ . b) Miền tam giác (H.2.5) là giao của các miền nghiệm 1, 2 và 3. c) Điểm 1; 2 trong tam giác thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình này.
8. • Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất •Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: 7 + 4 ≤ 2400 điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất + ≤ 100 phương trình bậc nhất hai ẩn là miền ≥ 0. nghiệm của hệ bất phương trình đó. •Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
9. • Giải (H.2.6) Bước 3. Tương tự, miền nghiệm 3 của bất phương trình ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Bước 1. Xác định miền nghiệm 1 của bất phương trình 7 + 4 ≤ 2400 và gạch bỏ chứa điểm 1; 0 . miền còn lại. Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các Vẽ đường thẳng : 7 + 4 = 2400. miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị Vì 7 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 = 0 < 2400 nên tọa độ gạch trong Hình 2.6. điểm 0; 0 thỏa mãn bất phương trình 7 + 4 ≤ 2400. Do đó, miền nghiệm 1 của bất phương trình 7 + 4 ≤ 2400 là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ . Bước 2. Tương tự, miền nghiệm 2 của bất phương trình + ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ ′ chứa gốc tọa độ .
10. • Chú ý. Nếu trong HĐ2, hệ được thay bởi Cách xác định miền nghiệm của một hệ ≥ 0 bất phương trình bậc nhất hai ẩn: ≥ 0 thì miền nghiệm sẽ là miền + < 150 •Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác tam giác bỏ đi cạnh . định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại. •Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
11. • Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của và gạch bỏ miền còn lại. hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau ≥ 0 • Vẽ đường thẳng 3: + = 100. > 0 • Vì 0 + 0 = 0 0 là nửa mặt phẳng bờ chứa bờ 4 chứa gốc tọa độ không kể đường 2 + = 120 điểm 0; 1 không kể đường thẳng = 0. thẳng . Bước 3. Xác định miền nghiệm 3 của bất phương trình + ≤ 100
12. Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong hình dưới.
13. x 3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN • HĐ3: Xét biểu thức 퐹 ; = 2 + 3 với • Giải ; thuộc miền tam giác ở HĐ2. a) 퐹 0; 0 = 0 , 퐹 150; 0 = 300 , Tọa độ ba đỉnh là 0; 0 , 150; 0 và 퐹 0; 150 = 450. 0; 150 (H.2.5). b) Điểm ; nằm trong miền tam giác a) Tính giá trị của biểu thức 퐹 ; tại mỗi thì ≥ 0, ≥ 0. Do đó giá trị nhỏ nhất x đỉnh , và . của 퐹 ; trên miền tam giác là b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ và 퐹 0; 0 = 0. tung độ của điểm ; nằm trong miền c) Điểm ; nằm trong miền tam giác tam giác thì + ≤ 150. Do đó giá trị lớn nhất của c) Nêu nhận xét về tổng + của điểm 퐹 ; trên miền tam giác là ; nằm trong miền tam giác . Từ đó 퐹 0; 150 = 450. suy ra giá trị lớn nhất của 퐹 ; trên miền tam giác .
14. • Nhận xét. Tổng quát, người ta chứng Số tiền để nhập hai loại máy điều hòa với số minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ lượng như trên là: 20 + 10 (triệu đồng). nhất) của biểu thức 퐹 ; = + , Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là với ; là tọa độ các điểm thuộc miền 1,2 tỉ đồng, nên ta có 20 + 10 ≤ 1200 hay đa giác 1 2. . . 푛, tức là các điểm nằm 2 + ≤ 120. bên trong hay nằm trên các cạnh của đa Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc giác, đạt được tại một trong các đỉnh của ≥ 0 đa giác đó. ≥ 0 nhất hai ẩn sau: • Ví dụ 3. Giải bài toán ở tình huống mở + ≤ 100 đầu. 2 + ≤ 120. Giải • Lợi nhuận thu được khi bán được máy điều Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hòa hai chiều và máy điều hòa một chiều là hòa hai chiều là và số máy điều hòa một 퐹 ; = 3,5 + 2 . chiều là . Khi đó ta có ≥ 0, ≥ 0. • Ta cần tìm giá trị lớn nhất của 퐹 ; khi Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 ; thỏa mãn hệ bất phương trình trên. máy nên + ≤ 100.
15. Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác với tọa độ các đỉnh 0; 0 , 0; 100 , 20; 80 và 60; 0 (H.2.7). Bước 2. Tính giá trị của biểu thức 퐹 tại các đỉnh của tứ giác này: 퐹 0; 0 = 0, 퐹 0; 100 = 200, 퐹 20; 80 = 230, 퐹 60; 0 = 210. Bước 3. So sánh các giá trị thu được của 퐹 ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là 퐹 20; 80 = 230. Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hòa hai chiều và 80 máy điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
16. • Vận dụng. Một cửa hàng có kế hoạch • Giải nhập về hai loại máy tính và , giá mỗi a) Giả sử cửa hàng cần nhập số máy tính loại chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu là và số máy tính loại là . Khi đó ta có ≥ đồng với số vốn ban đầu không quá 4 tỉ 0, ≥ 0. đồng. Loại máy mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại Số tiền để nhập hai loại máy tính với số máy mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng lượng như trên là: 10 + 20 (triệu đồng). cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước Số vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng, nên ta tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ có 10 + 20 ≤ 4000 hay + 2 ≤ 400. không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính Vì tổng nhu cầu hàng tháng không vượt quá + ≤ 250 loại 250 máy nên . Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc ≥ 0 ≥ 0 nhất hai ẩn sau: + 2 ≤ 400 + ≤ 250.
17. • Miền nghiệm của hệ bất phương trình b) Gọi 퐹 (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng trên là miền tứ giác với tọa độ các thu được trong tháng đó khi bán máy tính đỉnh 0; 0 , 0; 200 , 100; 150 và loại và máy tính loại . Khi đó 퐹 ; = 250; 0 . 2,5 + 4 . c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của 퐹 ; khi ; thỏa mãn hệ bất phương trình trên. Tính giá trị của biểu thức 퐹 tại các đỉnh của tứ giác : 퐹 0; 0 = 0, 퐹 0; 200 = 800, 퐹 100; 150 = 850, 퐹 250; 0 = 625. So sánh các giá trị thu được của 퐹, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là 퐹 100; 150 = 850. • Vậy cửa hàng mỗi tháng cần nhập 100 máy tính loại và 150 máy tính loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
18. Bài tập 2.4 Đáp án: 풙 풙 + 풚 + 풛 < − 풙 + 풚 < c) d) 풚 < ퟒ 풙 + 풚 < .
19. Bài tập 2.5 Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: 풚 − 풙 b) 풚 ≥ c) 풙 + 풚 > 풚 < 풙 + 풚 ≤ ퟒ 풙 − 풚 < .
20. 풚 − 풙 풚 −1 nên tọa độ điểm 0; 0 không thỏa mãn bất phương trình − + 0 nên tọa độ điểm 1; 0 thỏa bất phương trình > 0 Do đó miền nghiệm của bất phương trình > 0là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm 1; 0 không kể bờ . Bước 3: Vẽ đường thẳng ( 3 ):y=0 Vì -1<0 nên tọa độ điểm (0,-1)thỏa bất phương trình y<0 Do đó miền nghiệm của bất phương trình y<0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm 0; −1 không kể bờ Ox. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch
21. 풙 ≥ b) 풚 ≥ 풙 + 풚 ≤ ퟒ Bước 1: Vẽ đường thẳng ( 1 ):x=0 Vì 1>0 nên tọa độ điểm (1;0) thỏa bất phương trình x≥0 Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0). Bước 2: Vẽ đường thẳng ( 2 ):y=0 Vì 1>0 nên tọa độ điểm (0,1) thỏa bất phương trình y≥0 Do đó miền nghiệm của bất phương trình y≥0 là nửa mặt phẳng bờ Ox và đường thẳng y=0 chứa điểm (0;1). Bước 3: Vẽ đường thẳng ( 3 ):2x+y=4 Vì 2.0+0=0<4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x+y≤4 Do đó miền nghiệm của của bất phương trình 2x+y≤4 là nửa mặt phẳng bờ 3 và đường thẳng 2x+y=4 chứa gốc tọa độ O. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.
22. 풙 ≥ c) 풙 + 풚 > 풙 − 풚 0 nên tọa độ điểm (1;0)thỏa bất phương trình x≥0 Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0). Bước 2: Vẽ đường thẳng ( 2 ):x+y=5 Vì 0+0=0<5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x+y<5 Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x+y<5 là nửa mặt phẳng bờ 2 không chứa gốc tọa độ O không kể đường thẳng 2. Bước 3: Vẽ đường thẳng ( 3 ):x-y=0 Vì -1-0=-1<0 nên tọa độ điểm (-1;0) thỏa mãn bất phương trình x-y<0 Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x-y<0 là nửa mặt phẳng bờ 3 chứa điểm (-1;0) không kể đường thẳng 3. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.
23. Bài tập 2.6 Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị a) Viết các bất phương trình biểu thị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa các điều kiện của bài toán thành một 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. hệ bất phương trình rồi xác định Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị miền nghiệm của hệ đó. protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y. bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt đình cần mua để chi phí là ít nhất. lợn.
24. Đáp án: a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giả sử gia đình này mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện: 0≤x≤1,6 và 0≤y≤1,1. Gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 800x+600y≥900 và 200x+400y≥400 Hay 8x+6y≥9 và x+2y≥2 Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán, 0 ≤ ≤ 1,6 0 ≤ ≤ 1,1 ta có hệ bất phương trình sau: 8 + 6 ≥ 9 + 2 ≥ 2 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: 1 : = 1,6 2 : = 1,1, 3 : 8 + 6 = 9, 4 : + 2 = 2 (Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD (kể cả biên).
25. b) 퐹 = 250 + 160 (nghìn đồng) c) 퐹 ; đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. ∈ 2 ∩ 3 ⇒ 0,3; 1,1 , ta có 퐹 0,3; 1,1 = 250.0,3 + 160.0,1 = 91(nghìn đồng) ∈ 1 ∩ 2 ⇒ 1,6; 1,1 , ta có 퐹 1,6; 1,1 = 250.1,6 + 160.1,1 = 576(nghìn đồng) ∈ 1 ∩ 4 ⇒ 1,6; 0,2 , ta có 퐹 1,6; 0,2 = 250.1,6 + 160.0,2 = 432(nghìn đồng) ∈ 3 ∩ 4 ⇒ 0,6; 0,7 , ta có 퐹 0,6; 0,7 = 250.0,6 + 160.0,7 = 262(nghìn đồng) • Vậy gia đình đó cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.