Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

1. CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ §7. Các khái niệm mở đầu §8. Tổng và hiệu của hai vectơ §9. Tích của một vectơ với một số §10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ §11. Tích vô hướng của hai vectơ Bài tập cuối chương 4
2. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN ĐẠI SỐ 11 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ➉ 1 GÓC GIỮA HAI VECTƠ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
3. 1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ • HĐ1. Trong hình 4.39 , số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa vectơ và 푪 . Hãy tìm số đo các góc giữa 푪 và 푫, 푫 và 푫 . Cho hai vectơ 풖 và 풗 khác vec tơ . Từ một 푫 điểm A tuỳ ý , vẽ các vec tơ = 풖 và 푪 Hình 4.39 푪 = 풗 (H 4.40). Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ 풖 và 풗 hay đơn giản là góc giữa hai vectơ 풖, 풗, kí hiệu là 풖, 풗 . 푪 풖 Hình 4.40
4. Chú ý •Quy ước rằng góc giữa hai vectơ 풖 và có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ ∘đến ∘. •Nếu vectơ 풖, 풗 = ∘thì ta nói rằng 풖 và 풗 vuông góc với nhau, kí hiệu là 풖 ⊥ 풗 hoặc 풗 ⊥ 풖. • Đặc biệt vectơ được coi là vuông góc với mọi véctơ. ? Khi nào thì góc giữa hai vec tơ bằng ∘, bằng ∘? Giải: • Góc giữa hai vec tơ bằng ∘khi hai vec tơ cùng hướng. • Góc giữa hai vec tơ bằng ∘khi hai vec tơ ngược hướng.
5. • Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A và ෡ = ∘. Tính , 푪 , 푪 , 푪 , , 푪 . 푪 Giải ( H 4. 41) Ta có: , 푪 = 푪෣ = °, 푪 , 푪 = 푪 ෣ = °, , 푪 = 푫, 푪 = 푫 푪෣ = °. 푫 Luyện tập 1. Cho tam giác đều Hình 4.41 ABC, tính , 푪 . • Giải: Vẽ vectơ = ′. Ta có , 푪 = ′, 푪 = ෣′ 푪 = °.
6. 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ • Trong Vật lí, nếu lực 푭không đổi tác dụng vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ M tới N, thì công A của lực 푭được tính theo công thức: = 푭 . 푴푵 . 풐풔 푭, 푴푵 • Trong đó 푭 là độ lớn của lực 푭 (theo đơn vị Newton); • 푴푵 là độ dài của vectơ MN (theo đơn vị mét); • 푭, 푴푵 góc giữa hai vec tơ 푭và 푴푵. • Toán học gọi giá trị A (không kể đơn vị đo) trong biểu thức nói trên là tích vô hướng của hai vec tơ 푭và 푴푵.
7. • Tích vô hướng của hai vectơ 풖 và 풗 là một số , kí hiệu là 풖. 풗, được xác định bởi công thức sau: 풖. 풗 = 풖 . 풗 . 풐풔 풖, 풗 . ? Khi nào tích vô hướng của hai vectơ 풖, 풗 là một số dương? Là một số âm? Giải: • Tích vô hướng của hai vectơ 풖, 풗 là một số dương khi góc giữa hai vectơ đó là góc nhọn ( hoặc bằng ∘). • Tích vô hướng của hai vectơ 풖, 풗 là một số âm khi góc giữa hai vectơ đó là góc tù ( hoặc bằng ∘).
8. Chú ý • 풖 ⊥ 풗 ⇔ 풖. 풗 = . • 풖. 풖 còn được viết là 풖 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ 풖 . Ta có 풖 = 풖 . 풖 . 풐풔 ∘ = 풖 . ? Khi nào thì 풖. 풗 = 풖 . 풗 ? 풖, 풗 = ∘ • Giải: 풖. 풗 = 풖 . 풗 ⇔ 풖, 풗 = ∘
9. • Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng.Tính các tích vô hướng sau: . 푫, . 푪, . 푫. • Giải: Vì . 푫 = ∘ nên . 푫 = . Hình vuông có cạnh bằng nên có đường chéo là . Mặt khác, , 푪 = ퟒ ∘, , 푫 = ∘, do đó 푫 푪 Hình 4.43 . 푪 = . 푪. 풐풔 ퟒ ∘ = . . Chú ý = ; Hình vuông có cạnh bằng a nên . 푫 = . 푫. 풐풔 ∘ đường chéo là = . . − = − .
10. • Luyện tập 2. Cho tam giác ABC có 푪 = , 푪 = , = . Hãy tính . 푪 theo , , . • Giải: Từ định lí Cô sin trong tam giác ABC , suy ra + − 풐풔 = Ta có: . 푪 = 푪 풐풔 = . . 풐풔 + − + − = . . = .
11. 3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG • HĐ2: Cho hai vectơ cùng phương 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풌 풙 ; 풌 풚). Hãy kiểm tra công thức 풖. 풗 = 풌(풙 + 풚 ) theo từng trường hợp sau: a) 풖 = ; b) 풖 ≠ và 풌 ≥ ; c) 풖 ≠ và 풌 ; 풌 풙 + 풚 < .
12. • HĐ3: Trong mặt phẳng toạ độ 퐎퐱풚, cho hai vectơ không cùng phương 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풙′; 풚′) a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho 푶 = 풖, 푶 = 풗. b) Tính , 푶 , 푶 theo toạ độ của A và B. c) Tính 푶 . 푶 theo toạ độ của A, B. Giải: a) Ta có 풙; 풚 , 풙′; 풚′ . b) Ta có = = = . = 풙′ − 풙 + 풚′ − 풚 . 푶 = 푶 = 푶 = 풖 = 풙 + 풚 . 푶 = 푶 = 푶 = 풗 = 풙′ + 풚′ .
13. • HĐ3: Trong mặt phẳng toạ độ 퐎퐱풚, cho hai vectơ không cùng phương 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풙′; 풚′) a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho 푶 = 풖, 푶 = 풗. b) Tính , 푶 , 푶 theo toạ độ của A và B. c) Tính 푶 . 푶 theo toạ độ của A, B. Giải: c) Ta có 푶 . 푶 = 풙. 풙′ + 풚. 풚′. • Tích vô hướng của hai vectơ 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풙′; 풚′) được tính theo công thức: 풖. 풗 = 풙. 풙′ + 풚. 풚′. • Nhận xét: •Hai vectơ 풖 và 풗 vuông góc với nhau khi và chỉ khi 풙풙′ + 풚풚′ = . •Bình phương vô hướng của vectơ 풖(풙; 풚) là 풖 = 풙 + 풚 . 풖.풗 풙풙′+풚풚′ •Nếu 풖 ≠ và 풗 ≠ thì 퐜퐨퐬 풖, 풗 = = . 풖 . 풗 풙 +풚 . 풙′ +풚′
14. • Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: a) 풖 = ; − và 풗 = ; ; b) Hai vec tơ đơn vị 풊Ԧ và 풋Ԧ tương ứng của các trục Ox, Oy. • Giải a) Ta có: 풖. 풗 = . + (− ). = − = . b) Vì 풊Ԧ = ( ; ) và 풋Ԧ = ( ; ) nên 풊Ԧ. 풋Ԧ = . + . = . • Luyện tập 3. Tính tích vô hướng và góc giữa hai vec tơ 풖 = ( ; − ), 풗 = ; • Giải: Ta có: − * 풖. 풗 = . + − . = = − = − . + (− ) . ( ) + 풖.풗 − * 퐜퐨퐬 풖, 풗 = = = − ⇒ 풖, 풗 = ∘. 풖 . 풗
15. • HĐ4: Cho ba vectơ 풖 = (풙 ; 풚 ), 풗 = 풙 ; 풚 , 풘 = 풙 ; 풚 . a) Tính 풖. (풗 + 풘), 풖. 풗 + 풖. 풘 theo toạ độ của các vectơ 풖, 풗, 풘. b) So sánh 풖. (풗 + 풘) và 풖. 풗 + 풖. 풘. c) So sánh 풖. 풗 và 풗. 풖. • Giải: a) Ta có 풗 + 풘 = 풙 + 풙 ; 풚 + 풚 . Suy ra: 풖. (풗 + 풘) = 풙 . 풙 + 풙 + 풚 풚 + 풚 . b) Ta có 풖. 풗 + 풖. 풘 = 풙 풙 + 풚 풚 + 풙 풙 + 풚 풚 = 풙 풙 + 풙 + 풚 풚 + 풚 . Suy ra: 풖. (풗 + 풘) = 풖. 풗 + 풖. 풘. c)Ta có 풖. 풗 = 풙 풙 + 풚 풚 và 풗. 풖 = 풙 풙 + 풚 풚 . Suy ra: 풖. 풗 = 풗. 풖.
16. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN HÌNH HỌC 11 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ➉ 1 GÓC GIỮA HAI VECTƠ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
17. 3. Tính chất của tích vô hướng • Với ba vectơ 풖, 풗, 풘 bất kì và mọi số thực k, • Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể ta có: chứng minh được: • 풖. 풗 = 풗. 풖 (tính chất giao hoán); • 풖. 풗 − 풘 = 풖. 풗 − 풖. 풘 (tính chất phân • 풖. 풗 + 풘 = 풖. 풗 + 풖. 풘 (tính chất phân phối đối với phép trừ); phối đối với phép cộng); • 풖 + 풗 = 풖 + 풖. 풗 + 풗 ; • 풌풖 . 풗 = 풌 풖. 풗 = 풖. 풌풗 . • 풖 − 풗 = 풖 − 풖. 풗 + 풗 ; • 풖 + 풗 . 풖 − 풗 = 풖 − 풗 .
18. Ví dụ 4. ( Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học) Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm Do đó 풙 + 풙 + 풙푪 = và 풚 + 풚 + 풚푪 = . O ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. Vì 푶푴 = 푶 = 푹 nên Chứng minh rằng 푴 + 푴 + 푴푪 không đổi. 풙 + 풚 = 풙 + 풚 = 푹 . Lời giải Vậy 푴 = (풙 − 풙 ) + (풚 − 풚 ) Cách 1: (Dùng tọa độ). = (풙 + 풚 ) + (풙 + 풚 ) − 풙풙 − 풚풚 Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với = 퐑 − 풙풙 − 풚풚 . tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam Tương tự 푴 = 푹 − 풙풙 − 풚풚 và giác ABC. Gọi tọa độ của các điểm 푴푪 = 푹 − 풙풙푪 − 풚풚푪. là (풙 ; 풚 ) , ( 풙 ; 풚 ) , 푪( 풙푪; 풚푪) , 푴( 풙; 풚) . Do đó 푴 + 푴 + 푴푪 = Vì tam giác ABC đều nên tâm đường = 푹 − 풙 풙 + 풙 + 풙푪 − 풚 풚 + 풚 + 풚푪 tròn ngoại tiếp 푶( ; ) đồng thời là = 푹 (không đổi). trọng tâm của tam giác.
19. Ví dụ 4. ( Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học) Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm A O ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. M Chứng minh rằng 푴 + 푴 + 푴푪 không đổi. Hình 4.44 Lời giải R O Cách 2: (Dùng tích vô hướng). (H.4.44) B C Vì tam giác ABC đều nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng = 푴푶 + 푴푶. 푶 + 푴푶. 푶 + 푴푶. 푶푪 tâm của tam giác. Vậy 푶 + 푶 + 푶푪 = . + + + 푪 Giả sử (O) có bán kính R. Ta có: = 푴푶 + 푴푶. 푶 + 푶 + 푶푪 + 푹 푴 + 푴 + 푴푪 = 푴 + 푴 + 푴푪 = 푹 + 푴푶. + 푹 = 푹 = 푴푶 + 푶 + 푴푶 + 푶 + 푴푶 + 푶푪 Vậy 푴 + 푴 + 푴푪 không đổi khi M thay đổi trên (O).
20. Luyện tập 4. Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), A K C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng 푯. 푯 = và Hình 4.45 푯. 푪 = . B C b) Tìm tọa độ điểm H. H b) Giả sử 푯 풙; 풚 ta có c) Giải tam giác ABC Lời giải 푯 = 풙 + ; 풚 − , 푪 = ; , a) Vì 푯 là trực tâm tam giác 푪 nên 푯 = 풙 − ; 풚 + , 푪 = − ; − Vì 푯 là trực tâm tam giác 푪 nên 푯 ⊥ 푪 và 푯 ⊥ 푪 푯 ⋅ 푪 = ⇔ do đó 푯 ⊥ 푪 퐯à 푯 ⊥ 푪 suy ra 푯 ⋅ 푪 = 푯 ⋅ 푪 = 퐯à 푯 ⋅ 푪 = 풙 + . + 풚 − . = − 풙 − − 풚 + = 풙 = 푯
21. Luyện tập 4. Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), A K C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng 푯. 푯 = và Hình 4.45 푯. 푪 = . B C b) Tìm tọa độ điểm H. H c) Giải tam giác ABC Lời giải 푪 = + + − = = c) = + + − − 푪 = − + + = = =
22. Vận dụng Một lực 푭 không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực 푭 được phân tích thành hai lực thành phần là 푭 và 푭 (푭 = 푭 + 푭 ). Lời giải a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, a)Ta có: hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực 푭 (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của 푭 + 푭 = 푭 + . 푭 . 푭 + 푭 các công sinh bởi các lực 푭 và 푭 . = 푭 + . 푭 . 푭 . 풐풔 푭 , 푭 + 푭 = 푭 + . 푭 . 푭 . 풐풔 ° + 푭 b) Giả sử các lực thành phần 푭 , 푭 tương ứng cùng phương, vuông góc với phương = 푭 + 푭 = 푭 = 푭 ⇒ 푭 + 푭 = 푭. chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan b) Gọi 휶 là góc tạo bởi 푭 và 푭 hệ giữa các công sinh bởi lực 푭 và lực 푭 . ⇒ 푭 = 푭. 풐풔 휶.
23. BÀI TẬP 4.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, − . + . a) 풐풔 , = = hãy tính góc giữa hai vectơ và − + . + trong mỗi trường hợp sau: ⇒ , = 풐 a) = (− ; ), = ( ; ); . + .ퟒ b) = ( ; ), = ( ; ퟒ); b) 풐풔 , = = = + . +ퟒ c) = (− ; ), = ( ; − ). ⇒ , = ퟒ 풐 Lời giải − . − . c) 풐풔 , = Vận dụng công thức tính góc giữa hai − + . + − . véc tơ 풐풔 , = − . = = − ⇒ , = 풐
24. BÀI TẬP 4.22. Tìm điều kiện của 풖, 풗 để: 4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a) 풖. 풗 = 풖 . 풗 ; cho hai điểm ( ; ), ( − ퟒ; ). Gọi b) 풖. 풗 = − 풖 . 풗 . 푴( 풕; ) là một điểm thuộc trục hoành. Lời giải a) Tính 푴. 푴 theo t. a) Ta có 풖 ⋅ 풗 = |풖| ⋅ |풗| 풐풔 풖, 풗 do đó b) Tìm t để 푴 ෣ = . để 풖 ⋅ 풗 = |풖| ⋅ |풗| thì 풐풔 풖, 풗 = hay Lời giải 풖 và 풗 cùng hướng. a) Ta có 푴 = 풕 − ; − , b) Ta có 풖 ⋅ 풗 = |풖| ⋅ |풗| 풐풔 풖, 풗 do đó 푴 = 풕 + ퟒ; − để 풖 ⋅ 풗 = −|풖| ⋅ |풗| thì 풐풔 풖, 풗 = − hay 풖và 풗ngược hướng. ⇒ 푴. 푴 = 풕 − 풕 + ퟒ + . = 풕 + 풕 − ퟒ
25. BÀI TẬP 4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, 4.24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm ( ; ), ( − ퟒ; ). Gọi cho ba điểm không thẳng hàng 푴( 풕; ) là một điểm thuộc trục hoành. (−ퟒ; ), ( ; ퟒ), 푪( ; − ). a) Tính 푴. 푴 theo t. a) Giải tam giác ABC. b) Tìm t để 푴 ෣ = . b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Lời giải Lời giải ° b) Để 푴 ෣ = thì 푴 ⊥ 푴 ⇔ 퐚) 푴. 푴 = ⇔ 풕 + 풕 − ퟒ = ⇔ = + ퟒ + ퟒ − = ퟒ 풕 = 풕 = . Vậy với 풕 = −ퟒ 풕 = −ퟒ 푪 = + ퟒ + − − = ퟒ thì 푴 ෣ = ° 푪 = − + − − ퟒ =
26. BÀI TẬP Lời giải 퐛) 퐆퐢ả 퐬ử 푯 풙; 풚 퐭퐚 퐜ó 푯 = 풙 + ퟒ; 풚 − , 푪 = ; − , + 푪 − 푪 ퟒ + ퟒ + 풐풔 = = 푯 = 풙 − ; 풚 − ퟒ , 푪 = − ; . . 푪 . ퟒ . ퟒ 퐕ì 푯 퐥à 퐭퐫ự퐜 퐭â퐦 퐭퐚퐦 퐠퐢á퐜 푪 = ⇒ ෡ ≈ 푯 ⋅ 푪 = 퐧ê퐧 + 푪 − 푪 ퟒ + − ퟒ 푯 ⋅ 푪 = 풙 + ퟒ . + 풚 − . − = 풐풔 = = ⇔ . . 푪 . ퟒ . − 풙 − + 풚 − ퟒ = = ⇒ ෡ ≈ 풙 = ෡ ⇔ ⇒ 푯 ; 푪 = − ( + ) ≈ 풚 =
27. BÀI TẬP 4.25. Chứng minh rằng với mọi tam 4.26. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. giác ABC, ta có: Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: 푴 + 푴 + 푴푪 = 푴푮 + 푮 + 푺 = . 푪 − . 푪 . 푮 + 푮푪 . 푪 Lời giải Lời giải Ta có 푺 = . 푪. 풔풊풏 푴 + 푴 + 푴푪 = 푴 + 푴 + 푴푪 ⇒ 푺 = . 푪 − 풐풔 ퟒ = 푴푮 + 푮 + 푴푮 + 푮 + 푴푮 + 푮푪 . 푪 = 푴푮 + 푴푮 푮 + 푮 + 푮푪 + 푮 + 푮 Hay 푺 = . 푪 − ퟒ . 푪 + 푮푪 = . 푪 − . 푪 = 푮 + 푮 + 푮 + 푮푪 ퟒ Vậy 푺 = ⋅ 푪 − ⋅ 푪 푪
28. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 1 Trong mặt phẳng tọa độ, độ dài của = ; là A . B . C . D . Bài giải Áp dụng công thức: Độ dài của vectơ = ; được tính theo công thức = + . Ta có: = ; ⇒ = + = .
29. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 2 Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm 푴 ; và 푵 ퟒ; là A . B . C . D . Bài giải Áp dụng công thức: Khoảng cách giữa hai điểm 풙 ; 풚 và 풙 ; 풚 được tính theo công thức = 풙 − 풙 + 풚 − 풚 . Ta có: 푴 ; và 푵 ퟒ; ⇒ 푴푵 = ퟒ − + − = .
30. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 3 Trong mặt phẳng tọa độ, góc giữa hai vectơ = − ; − và = ; − là AA °. B ퟒ °. C °. D °. Bài giải Áp dụng công thức: Nếu = ; và = ; đều khác thì ta có . + 풐풔 ; = = . . + . + . − . + − − − + Ta có: 풐풔 ; = = = = − . . − + − . + − . Vậy: ; = °.
31. Câu 4 퐚 Cho hình vuông 푪푫 có độ dài cạnh A B 2 2 bằng . Tính . 푪 theo . 퐚 CC 퐚 D Bài giải Ta có . 푪 = . 푪. 풐풔 , 푪 = . . = .
32. Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho tam AA 퐇 ; − B 퐇 − ; giác 푪 có ; , − ; , 푪 ; ퟒ . Xác định tọa độ trực tâm 푯 của tam giác 푪. C 퐇 − ; − D 퐇 ; Bài giải A Gọi 푯 풙; 풚 . Ta có 푯 = 풙 − ; 풚 − , 푪 = ; ퟒ , 푯 = 풙 + ; 풚 , 푪 = ; . ퟒ풙 + 풚 = ퟒ H Vì 푯 là trực tâm nên 푯. 푪 = ⇔ 푯. 푪 = 풙 + 풚 = − B C 풙 = ⇔ . Vậy 푯 ; − . 풚 = −
33. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 6 Cho tam giác 푪 vuông tại và . 푪 = ; 푪. 푪 = . Độ dài cạnh 푪 bằng? A . B . CC . D . Bài giải . 푪 = . − 푪 = = Ta có ⇔ ⇔ 푪. 푪 = 푪. 푪 − = 푪 = ⇒ 푪 = + = .
34. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 7 Cho 2 vectơ , biết | | = , | | = và | + | = . Tính góc giữa 2 vectơ + và − . A °. B °. C °. D °. Bài giải Ta có: • + = ⇔ + ퟒ . + ퟒ = ퟒ ⇒ . = − . • + . − = − . − = . • + = + . + = ⇒ | + | = . • − = − ퟒ . + ퟒ = ⇒ | − | = . + . − Mà: 풐풔 + , − = = = . Nên góc giữa 2 vectơ + và − bằng | + |.| − | . °.
35. Câu 8 Cho hình thang cân 푪푫 biết đáy lớn AA 퐚 B 퐚 푪푫 = , = và 푪 = . Gọi 푯 là hình chiếu vuông góc của lên cạnh 푪푫. − 퐚 Tính 푯. 푪 + 푫 . C −퐚 D Bài giải 푪푫− 푫 Có 푫푯 = = ⇒ 푯푫 là hình bình hành và 푯 = Có: 푯. 푪 + 푫 = 푯. 푪 + 푯. 푫 = 푯 − . 푯 + 푯푪 + 푫 = 푯 − . 푯푪 + 푫 = − . . 풐풔 + = 푫 푯 푪
36. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 9 Cho ba điểm ( ; ퟒ), ( ; ) và 푪(− ; − ). Tìm điểm 푴 trên đường thẳng 푪 để góc 푴 ෣ = ퟒ . AA 퐌 ; ퟒ . B 퐌 ; . C 퐌 − ; ퟒ . D 퐌 ; − . Bài giải Giả sử 푴 풙; 풚 suy ra 푴 − 풙; ퟒ − 풚 , 푴 − 풙; − 풚 , 푪 − ; − 푴 . 푪 − −풙 − ퟒ−풚 Vì 푴 ෣ = ퟒ suy ra 풐풔 푴 ෣ = 풐풔 푴 ; 푪 ⇔ 풐풔 ퟒ = ⇔ = 푴 . 푪 −풙 + ퟒ−풚 + ⇔ − 풙 + ퟒ − 풚 = 풙 + 풚 − (*) −풙 −풚 Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ 푴 , 푪 cùng phương. Suy ra = ⇔ 풙 = 풚 + thế vào (*) ta − − được − 풚 + ퟒ − 풚 = 풚 − ⇔ 풚 − 풚 + = ⇔ 풚 = hoặc 풚 = ퟒ + Với 풚 = ⇒ 풙 = , ta có 푴 ; , 푴 − ; − ⇒ 풐풔 푴 ෣ = 풐풔 푴 ; 푴 = − Khi đó 푴 ෣ = (không thỏa mãn) + Với 풚 = ퟒ ⇒ 풙 = , 푴 − ; , 푴 − ; − ⇒ 풐풔 푴 ෣ = 풐풔 푴 ; 푴 = . Khi đó 푴 ෣ = ퟒ . Vậy 푴 ; ퟒ là điểm cần tìm.
37. Câu 10 Cho điểm ; . Lấy điểm nằm trên trục hoành có hoành độ không A 퐇 ; − B 퐇 − ; âm và điểm 푪 trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác 푪 vuông tại . C 퐇 − ; − DD 퐇 ; Tìm toạ độ điểm 푪 để tam giác 푪 có diện tích lớn nhất. Bài giải Gọi ; , 푪 ; với ≥ , > . Suy ra − ; − , 푪 − ; − Theo giả thiết ta có tam giác 푪 vuông tại nên . 푪 = ⇔ − − − . − = ⇔ = − + Ta có 푺 = . 푪 = ( − ) + . + ( − ) = ( − ) + = − ퟒ + 휟 푪 Vì > nên − + > ⇒ ≤ < . Xét hàm số 풚 = 풙 − ퟒ풙 + với ≤ 풙 < Bảng biến thiên Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số 풚 = 풙 − ퟒ풙 + với ≤ 풙 < là 풚 = khi 풙 = . Do đó diện tích tam giác 푪 lớn nhất khi và chỉ khi = , suy ra = . Vậy 푪 ; là điểm cần tìm.