20 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

Nội dung text: 20 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

1. Câu 1(Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Ông A gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi suất kéo. Lãi suất ngân hàng là 8% trên năm và không thay đổi qua các năm ông gửi tiền. Sau 5 năm ông cần tiền để sửa nhà, ông đã rút toàn bộ số tiền và sử dụng một nửa số tiền đó vào công việc, số còn lại ông tiếp tục gửi ngân hàng với hình thức như trên. Hỏi sau 10 năm ông A đã thu được số tiền lãi là bao nhiêu ? (đơn vị tính là triệu đồng). A. B. 7C.9, 4D.12 80,412 81,412 100,412 Đáp án C 5 Số tiền ông A gửi sau 5 năm là T1 100. 1 8% 146,933 triệu đồng T 5 146,933 5 Số tiền ông A có được sau 5 năm tiếp là T 1 1 8% 1 8% 107,946 2 2 2 triệu đồng T1 Vậy số tiền lãi sau 10 năm ông A thu được là L T1 T1 100 81,412 triệu đồng. 2 Câu 2: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018) Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, ông hoàn nợ cho ngân hàng số tiền cố định 5,6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả thì hỏi sau bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay? A. 64B. 60C. 36D. 63 : Đáp án D A.r. 1 r n Áp dụng công thức trả góp: a 1 r n 1 Gọi n là số tháng phải trả, khi đó ta có 300.0,5% 1 0,5% n 5,6 n 62,51 1 0,5% n 1 Suy ra cần 63 tháng để trả hết nợ Câu 3: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018) Cho hình vuôngA1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi Ak 1; Bk 1; Ck 1; Dk 1 thứ tự là trung điểm các cạnh Ak Bk ; BkCk ; Ck Dk ; Dk Ak (với k 1,2 ). Chu vi của hình vuông A2018B2018C2018D2018 là: 2 2 2 2 A. B. C. D. 21007 21006 22018 22017 Đáp án A Chu vi hình vuông A1B1C1D1 kí hiệu là u1 4
2. u 1 Chu vu hình vuông A B C D u A B k A B .A B 2 (Độ dài đường k k k k k k k 4 k 1 k 1 2 k k chéo chia đôi) u 2 u 2 u k . Do đó chu vi hình vuông A B C D u 4A B k k 8 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 2 2 u1 4. 2 2 Do đó u2018 2017 1009 1007 2 2 2 Câu 4: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Sau Tết Đinh Dậu, bé An được tổng tiền lì xì là 12 triệu động. Bố An gửi toàn bộ số tiền trên của con vào ngân hàng với lãi suất ban đầu là 5%/năm, tiền lãi hàng năm được nhập vào gốc và sau một năm thì lãi suất tăng đề 0,2% so với năm trước đó. Hỏi sau 5 năm tổng tiền của bé An trong ngân hàng A. 13,5 triệu đồngB. 15,6 triệu đồngC. 16,7 triệu đồngD. 14,5 triệu đồng Đáp án B Sau 5 năm tổng tiền của bá An trong ngân hàng là: 12 1 5% 1 5,2% 1 5,4% 1 5,6% 1 5,8% 15,6 triệu đồng Câu 5: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Ông Kiệt có 50 phòng trọ đùng để thuê, biết rằng nếu với giá cho thuê mỗi phòng là 1 triệu đồng/ tháng thì tất cả các phòng đều được thuê và mỗi lần thuê phòng tăng thêm 50 ngàn đồng/phòng/tháng thì số phòng còn trống sẽ tăng thêm một phòng sau mỗi lần tăng giá. Hỏi để có doanh thu cao nhất thì ông Kiệt nên cho thuê mỗi phòng/tháng với giá bao nhiêu A. 1,20 triệu đồngB. 1,75 triệu đồngC. 2,25 triệu đồngD. 1,50 triệu đồng Đáp án B Gọi x là số lần tăng tiền Số tiền thuê một phòng là 1000000 50000x Số phòng thuê được là 50 x. Khi đó, số tiền thu được là T 1000000 50000x 50 x Tmax x 15. Vậy giá tiền thuê mỗi phòng là t 1000000 15.50000 1,75 triệu đồng Câu 6: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Đầu mỗi tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất kép là 0, 6% mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu biết lãi suất không đổi trong quá trình gửi A. 31 thángB. 40 thángC. 35 thángD. 30 tháng Đáp án A n Tiền (gốc lẫn lãi) sinh ra bởi số tiền gửi đầu tháng 1 là: T1 3 1 r
3. n 1 Tiền (gốc lẫn lãi) sinh ra bởi số tiền gửi đầu tháng 2 là: T2 3 1 r n 2 n 1 1 r n Do đó T 3 1 r 1 r 1 r 3. 1 r . 503 1 r 1 1 1 r Theo giả thiết ta có: 503 1 0,006 n 1 100 n 30,31 Câu 7: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Hai thành phố A và B ngăn cách nhau bởi một còn sông. Người ta cần xây cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông 2 km, thành phố B cách bờ sông 5 km, khoảng cách giữa đường thẳng đi qua A và đường thẳng đi qua B cùng vuông góc với bờ sông là 12 km. Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau. Nhằm tiết kiệm chi phí đi từ thành phố A đến thành phố B, người ta xây cây cầu ở vị trí MN để quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (hình vẽ). Khi đó, độ dài đoạn AM là 2 193 3 193 193 A. AM km B. C.A D.M km AM 193km AM km 7 7 7 Đáp án A Với hình vẽ trên giả sử ME x, NF y khi đó x y 12 Khi đó AC x2 4,BC 10 x 2 9 Ta có: Quảng đường AB là AM MN NB ngắn nhất khi AM BN nhỏ nhất Ta có AM BN x2 4 y2 25 Đặt u a;b ;v c;d thì ta có u v u v
4. 2 2 a b Do đó a 2 b2 c2 d2 a c b d dấu “=” xảy ra u kv c d Áp dụng ta có: AM BN x2 4 y2 25 x y 2 2 5 2 122 72 x 2 27 2 193 Dấu “=” xảy ra khi x AM x2 4 km y 5 4 7 Câu 8(Sở Giáo Dục &ĐT Nam Định 2018): Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 16, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng: A. 64 B. C. D. 4 16 8 Đáp án C Gọi a,b là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Ta có: 2 a b 16 a b 8 Lại có: 8 a b 2 ab 2 S S 16. Câu 9(Sở GD Bắc Ninh 2018): Ông An gửi 320 triệu đồng vào hai ngân hàng ACB và VietinBank theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng ACB với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng.Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng VietinBank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Biết tổng số tiền lãi ông An nhận được ở hai ngân hàng là 26670725,95đồng. Hỏi số tiền ông An lần lượt gửi ở hai ngân hàng ACB và VietinBank là bao nhiêu (số tiền được làm tròn tới hàng đơn vị)? A. 180triệu đồng và 140triệu đồngB. triệu đồng120 và triệu đồng200 C. 200 triệu đồng và 120triệu đồngD. triệu đồng140 và triệu đồng180 Đáp án B Gọi x là số tiền ông An gửi vào ACB 320 x là số tiền ông An gửi vào Vietinbank. 5  Số tiền ông An thu được sau 15 tháng ( 5 quý ) gửi vào ACB là T1 x. 1 2,1% . Số tiền lãi ông An nhận được khi gửi vào ACB là l T x x. 1 2,1% 5 1triệu 1 1 đồng. 9  Số tiền ông An thu được sau 9 tháng gửi vào Vietinbank là T2 320 x . 1 0,73% . Số tiền lãi ông An nhận được khi gửi vào Vietinbank là l T 320 x 320 x . 1 0,73% 9 1 triệu đồng. 2 2 Vậy tổng số tiền lãi ông An nhận được là L l1 l2 x. 1 2,1 5 1 320 x . 1 0,73% 9 1 26670725,95 x 120 triệu đồng.
5. Câu 10: (Sở GD Bắc Ninh 2018) Cho hình vuông C1 có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuôngC2 (hình vẽ). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C1,C2 ,C3 , ,Cn .Gọi Si là diện tích 32 của hình vuông C i {l; 2; 3; } .Đặt T S S S S biết rằng T , tính i 1 2 3 n 3 a? 5 A. 2 B. C. D. 2 2 2 2 Đáp án A 2 Diện tích của hình vuông C1 , cạnh x1 a là S1 a . 2 2 1 3 x1 10 a 10 5 2 Độ dài cạnh của hình vuông C2 là x2 x1 x1 S2 a 4 4 4 4 8 2 2 2 1 3 x2 10 5a 5 2 Độ dài cạnh của hình vuông C2 là x3 x2 x2 S3 a 4 4 4 8 8 i 1 n 1 5 2 5 2 Tương tự, diện tích của hình vuông Ci là Si a . Và Sn a . 8 8 2 n 1 2 n 1 5 5 5 32 5 5 5 Do đó T 1 a 2 mà T 1 là tổng của 0 8 8 8 3 8 8 8 5 1 8 8 32 cấp số nhân lùi vô hạn với u 1,q T .Suy ra T a 2 a 2 . 1 0 5 8 1 3 3 3 8 Câu 11: ( Sở Giáo Dục Ninh Bình-2018) Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t 0 .Tại thời điểm t, vị trí của chất điểm A được cho bởi 1 x f t 6 2t t2 và vị trí của chất điểm B được cho bởi x g t 4sin t .Gọi t là 2 1 thời điểm đầu tiên và t2 là thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc bằng nhau. Tính theo t1 và t2 độ dài quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển từ thời điểm t1đến thời điểm t2
6. 1 2 2 1 2 2 A. 4 2 t1 t2 t1 t2 B. 4 2 t1 t2 t1 t2 2 2 1 2 2 1 2 2 C. D.2 t2 t1 t2 t1 2 t1 t2 t1 t2 2 2 Đáp án A Khi hai vật cuyển động với tốc độ bằng nhau t A f ' t g ' t 2 t 4cos t A B t B B 1 Do đó, quảng đường mà chất điểm đã di chuyển là S 2 x dx 4 2 t t t2 t2 1 2 1 2 A 2 Câu 12: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018)Người ta cần sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và thành cốc làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều 1,5cm và thành xung quanh cốc dày đều 0,2cm (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là 15cm và khi ta đổ 180ml nước vào cốc thì đầy cốc. Nếu giá thủy tinh thành phẩm được tính là 500đ /1cm3 thì giá tiền thủy tinh để sản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây? A. 25 nghìn đồngB. nghìn31 đồngC. nghìn đồng40D. nghìn đồng 20 Đáp án B Gọi x và h lần lượt là bán kính và chiều cao của cốc, ta có x 0,2 và 2 2 180 x 0,2 h 1,5 180 x 0,2 với h 15cm h 1,5 40 Suy ra x 0,2 3 Thể tích thủy tinh cần là: V x2h 180 60,717cm3 T 30.000 đồng. Câu 13: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018) Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 8,4%/năm theo hình thức lãi kép. Ông gửi được đúng 3 kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất, ông gửi tiếp 12 tháng nữa với kỳ hạn như cũ và lãi suất trong thời gian này là 12%/năm thì ông rút tiền về. Số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi tính từ lúc gửi tiền ban đầu là (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). A. 63.545.193đồngB. 100.214.3đồng56 C. 83.73đồng7.37D.1 59đồng.895.767 Đáp án D
7. 3 4 6 8,4 12 Số tiền mà ông An nhận được là T 50.10 . 1 % . 1 % 59.895.767 đồng. 4 24 Câu 14(Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Với mức tiêu thụ thức ăn của trang trại A không đổi như dự định thì lượng thức ăn dự trữ sẽ dùng cho 100 ngày. Nhưng thực tế, mức tiêu thụ thức ăn tăng thêm 4% mỗi ngày (ngày sau tăng 4% so vưới ngày trước). Hỏi thực tế lượng thức ăn dự trữ đó chỉ đủ dùng cho bao nhiêu ngày? A. 40B. 42C. 41D. 43 Đáp án C Gọi a, n lần lượt là lượng thức ăn 1 ngày dự kiến vá ố ngày hết thức ăn theo thực tế. Theo dự kiến thì lượng thức ăn là 100a. Tuy nhiên, lượng thức ăn theo thực tế là n 2 n 1 1,04 a a 1 4% a 1 4% a 1 4% a 1 1,04 1,042 1,04n a 1 1,04 1 1,04n Yêu cầu bài toán 100a a n 41 1 1,04 Câu 15: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi xuất 1,2%/tháng để mua xe ô tô. Nếu mỗi tháng người đó trả ngân hàng 10 triệu và thời điểm bắt đầu trả cách thời điểm vay là đúng một tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng? Biết rằng lãi suất không thay đổi. A. 70 thángB. thángC. 80 thángD. tháng 85 77 Đáp án D Sau tháng 1: A1 500 1 1,2% 10 2 Cuối tháng 2: A2 A1. 1 1,2% 10 500 1 1,2% 10 1 1,2% 10 Cuối tháng n: n n n 1 n 1 1,2% 1 A 500 1 1,2% 10. 1 1,2% 10 500 1 1,2% 10. 0 n 1 1,2% 1 n 25 n 10 n 25 5 1 1,2% . 1 1,2% 1 0 1 1,2% n 77 3 3 3 Câu 16( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu  cây cầu biết:
8. - Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại O - Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đoạn thẳng OA - Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m - Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m. A.  17,7m B. C. D.  25,7m  27,7m  15,7m Đáp án A Gắn hệ trục Oxy, với O 0;0 ,B 2;0 ,A 0;4 tọa độ tâm I 4;3 Phương trình parabol có đỉnh là điểm A và đi qua B là P : y 4 x2 2 Điểm M P M m;4 m2 IM m 4 2 1 m2 . Độ dày cây cầu min IM min 2 Xét hàm số f m m2 1 m 4 2 trên 0;2, suy ra min f m f 1,392 7,68 Vậy IM min 7,68  Độ dài cầu cần tính là 10 7,68 10 17,7m Câu 17( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại một khối trụ có đường kính 45cm. Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? A. 373mB. 187mC. 384mD. 192m Đáp án A 50 45 Bề dày của tấm đề can là a 0,01 cm 2.250
9. Gọi d là chiều dài đã trải và h là chiều rộng của tấm đề can 2 2 2 2 50 45 50 45 Khi đó ta có d.h.a h h d 37306 cm 373 m 2 2 4a Câu 18 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 t 2t m / s . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 12 m / s2 .Tính quãng đường s(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn A. s 168m B. C.s 166m D. s 144m s 152m Đáp án A 12 Quảng đường xe đi được trong 12s đầu là s 2tdt 144m 1 0 Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc v 24m / s, sau đó vận tốc của vật có phương trình v 24 12t Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh 12 Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là s 24 2t dt 24m 2 0 Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là s s1 s2 144 24 168m Câu 19( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Sự phân rã của các chất phóng xạ được ln 2 biểu diễn theo công thức hàm số mũ m t m e m . , trong đó m là khối lượng ban 0 T 0 đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy 6 6 rằng khối lượng cacbon phóng xạ 14 C trong mẫu gỗ đó đã mất 45% so với lượng 14 C ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết biết chu 6 kỳ bán rã của 14 C là khoảng 5730 năm A. 5157 nămB. 3561 nămC. 6601 nămD. 4942 năm Đáp án D t t T T Ta có m t m0e m m0 m t m0 1 2
10. t m 45 Suy ra 1 2 T t T.log 0,55 4942 năm m 100 2 Câu 20(Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 8,4%/ naêm . Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 năm, người đó lĩnh được số tiền (cả vốn và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong thời gian đó người này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? A. 166846000 đồng.B. 16424600 0đồng.C. 1602460 đồng.00 D. 16224 6đồng.000 Đáp án C