19 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

Nội dung text: 19 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

1. Câu 1(ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Một người tham gia đặt cược đua ngựa với cách cược như sau: Lần đầu người đó đặt cược 20.000 đồng, mỗi lần sau đặt cược gấp đôi lần đặt trước, nếu thua cược người đó mất số tiền đã đặt, nếu thắng cược sẽ được thêm số tiền đã đặt. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi người cá cược trên được hay thua bao nhiêu tiền? A. Hòa vốn.B.Thua 20.000 đồng.C.Thắng 20.000đ.D. Thua 40.000 đồng. Chọn C Tự luận: Đặt số tiền đặt mỗi lần là 0 1 2 9 u1 2 x20.000;u2 2 x20.000;u3 2 x20.000; ,u10 2 x20.000. Lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u1 20.000;q 2 1 p10 1 210 Tổng số tiền đã tham gia cược là S u 20.000 10 1 1 q 1 2 Số tiền người đó có được sau ván thứ 10 thắng cược là 10 10 T 2u10 S10 2 .20000 20000 2 1 20000 Vậy sau 10 ván cược như trên, người đó thắng cược được 20000đ Câu 2 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t 3 + 3t 2 - 9t + 27 , trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m) . Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là bao nhiêu? A. 0m/s2 . .B. C.6m/s2 . 24m/s2 . D.12m/s2 . Chọn D Tự luận: / Vận tốc của chuyển động lúc t là: v(t)= S' = (t3 + 3t2 - 9t + 27) = 3t2 + 6t - 9. / Gia tốc của chất điểm lúc t là: a(t)= v' = (3t2 + 6t - 9) = 6t + 6. Vận tốc triệt tiêu khi v(t)= 0 Û 3t2 + 6t - 9 = 0 , suy ra t = 1. Do đó a(1)= 6.1+ 6 = 12m/s2.
2. Câu 3(ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400 km . Vận tốc dòng nước là 10 km/h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E v cv3t, trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 12(km / h). B. 15(km / h) . C. 18(km / h). D. 20(km / h) Chọn B. Tự luận: Với vận tốc tự thân là v km/h , vận tốc dòng nước là 10 km/h . thì Vận tốc di chuyển ngược dòng của con cá hồi là : v 10 (km/h) 400 Thời gian để con cá hồi vượt 400 km ngược dòng nước là : t (km) v 10 v 10 v3 Như thế lượng năng lượng tiêu hao của con cá hồi là: E v cv3t 400c  (jun) v 10 2 v3 2v v 15 Xét hàm số f v với v 10 ta có f v . 2 v 10 v 10 Bảng biến thiên của f v trên khoảng 10; . v 10 15 f v – 0 + f v f 15 E v nhỏ nhất f v nhỏ nhất v 15.
3. Vậy nếu vận tốc tự thân của cá hồi là 15 (km/h) thì năng lượng tiêu hao của nó thấp nhất. Câu 4(ĐỀ THI THỬ 2018)Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh 1 sôi phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì 5 lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi 12 A. 12 log5 (giờ)B. (giờ) C. (giờ)1D.2 log 2 (giờ) 12 ln 5 5 Đáp án A 1 1012 1012 Gọi t là thời gian bèo phủ kín mặt ao, khi đó 10t t log 12 log5 5 5 5 Câu 5(ĐỀ THI THỬ 2018): Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc v0 15m / s thì tăng vận tốc với gia tốc a t t2 4t m / s2 . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 68,25m B. 70,25mC. 69,75mD. 67,25m Đáp án C t3 Ta có v t a t dt t2 4t dt 2t C m / s 3 t3 Do khi bắt đầu tăng tốc v 15 nên v 15 C 15 v t 2t2 15 0 t 0 3 3 3 3 4 3 t 2 t 2 3 Khi đó quãng đường đi được S v t dt 15 2t dt 15 t 69,75m 0 0 3 12 3 0 Câu 6(ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018) Một người công nhân làm việc cho một công ty được lãnh lương khởi điểm là 1,2 triệu đồng/tháng. Cứ sau 3 năm người này được tăng lương thêm 0,4 triệu. Hỏi sau 15 năm làm việc người công nhân được lãnh tổng tất cả bao nhiêu tiền? A. 2160 triệu đồng B. 5triệu04 đồng C. 360 triệu đồng D. 100 triệu đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Tự luận: Số tiền người đó lãnh được sau 3 năm đầu là: T1 36.1,2 36.u1 Số tiền người đó lãnh được sau 3 năm tiếp theo là: T2 36. 1,2 0,4 36. u1 d 36u2
4. Số tiền người đó lãnh được sau 3 năm cuối cùng là: T5 36. u1 4d 36u5 Ta thấy u1 ;u2 ; ;u5 là một cấp số cộng với công sai d 0,4;u1 1,2 Số tiền người đó lãnh được sau 15 năm là: 5 T T T T 36.S 36. 2.1,2 4.0,4 360 (triệu). 1 2 5 5 2 Câu 7(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68.5(cm). Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích 49.83 xm2 . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên? A. 40 (miếng da)B. (miếng20 da)C. (miếng 35 da)D. (miếng da)30 Đáp án D Vì thiết diện qua tâm là đường tròn có chu vi là 68.5(cm), nên giả sử bán kính mặt cầu là R ta 68.5 có: 2 R 68.5 R 2 2 2 68.5 2 Diện tích mặt cầu Sxq 4 R 4 1493.59 cm 2 Vì mỗi miếng da có diện tích 49.83 cm2 nên để phủ kín được mặt của quả bóng thì số 1493.59 miếng da cần là 29.97 . Vậy phải cần 30 (miếng da). 49.83 Câu 8: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miến tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?
5. 16000 2 16 2 16000 2 160 2 A. V lítB. V lítC. V lítD. V lít 3 3 3 3 Đáp án Đổi 60cm 6dm . Đường sinh của hình nón tạo thành là l 6dm . 2 .6 Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành bằng 2 .r 4 dm 3 4 Suy ra bán kính đáy của hình nón tạo thành bằng r 2dm 2 Đường cao của khối nón tạo thành là h l2 r2 62 22 4 2 1 1 16 2 16 2 Thể tích của mỗi cái phễu là V r2h .22.4 2 dm3 lít 3 3 3 3 Câu 9(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288cm3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m2 . Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu? A. . 108 triệu đồng.B. 54 triệu đồng.C. 168 triệu đồngD. 90 triệu đồng Đáp án A Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất. Gọi ba kích thước của bể là a, 2a, c. Ta có diện tích cách mặt cần xây là S 2a 2 4ac 2ac 2a 2 6ac 144 Thể tích bể V a.2a.c 2a 2c 288 c a 2 144 864 432 432 432 432 Vậy S 2a 2 6a. 2a 2 2a 2 3.3 2a 2. . 216 a 2 a a a a a 2 2 Vậy Smin 216cm 2,16m Chi phí thấp nhất là 2,16 500000 108 triệu đồng Câu 10: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) Một hình vuông ABCD có cạnh AB a, diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1,B1,C1,D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai là A1B1C1D1 có diện tích S2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba
6. A2B2C2D2 có diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 ,S5 , . Tính S S1 S2 S3 S100 100 2 100 2 99 2100 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 A. S B. S C. D. S S 299 a 2 299 299 299 Đáp án C a 2 a 2 a 2 Dễ thấy S a 2 ; S ; S ; ;S 1 2 2 3 4 100 299 1 Như vậy S ,S ,S , ,S là cấp số nhân với công bội q 1 2 3 100 2 a 2 2100 1 2 1 1 1 S S1 S2 S100 a 1 2 99 99 2 2 2 2 Câu 11: (Toán Học Tuổi Trẻ) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hàng tháng. Lãi suất tiết kiệm gửi góp cố định 0,55%/tháng. Lần đầu tiên người đó gửi 2.000.000 đồng. Cứ sau mỗi tháng người đó gửi nhiều hơn số tiền đã gửi tháng trước đó là 200.000 đồng. Hỏi sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? A. 618051620 đồngB. 484692514 đồng C. 597618514 đồngD. 539447312 đồng Đáp án D. U1 2.000.000 Đặt d 200.000 . Gọi Mi là số tiền người đó có được sau i tháng gửi tiền i 1,2,3, 60. q 1 0,55% Ta có: M1 U1.q 2 M 2 U1q U1 d q U1q U1q dq 2 M 3 U1q U1q dq U1 2d q 3 2 2 U1q U1q U1q dq 2dq 3 2 2 M 4 U1q U1q U1q dq 2dq U1 3d q 4 3 2 3 2 U1q U1q U1q U1q dq 2dq 3dq
7. 59 2 59 48 M 60 U1.q q q q 1 d q 2q 59q 1 q60 58 59 x U1.q. d x 1 q 539447312. 1 q x 0 Câu 12(Toán Học Tuổi Trẻ): Cho phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in ) được cho bởi: C(x) 0,0001x2 0,2x 10000, C(x) được tính theo T (x) đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đông. Tỉ số M (x) với x T (x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M (x) thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó. A. 20.000đB. 15.000đC. 10.000đD. 22.000đ Đáp án D Tổng chi phí: T (x) C(x) 0,4x 0,0001x2 0,2x 10000 (vạn đồng) Suy ra chi phí trung bình: T (x) 10000 M (x) 0,0001x 0,2 x x Theo định lí cossi cho hai số dương ta có: M (x) 0,2 2 10000.0,0001 2,2 10000 Dấu “=” xảy ra khi 0,0001x x 10000 x Vậy chi phí cho mỗi cuốn tạp chí thấp nhất là 22000đ Câu 13: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 600 . Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm3 . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?
8. 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 27 3 3 64 Đáp án A Ta có: h h' 30(cm) h' 3 h 3 r h'cot 600 ; R hcot 600 3 3 1 1 h'3 h3 V h'r2 h.R2 1000 (cm3) 3 3 3 3 h3 h'3 9000(cm3) h h' 30 h' 30 h 3 3 2 h h' 9000 h 30h 200 0 h' 30 h h' 10 h 20 vì h h' h 20 h 10 V ' r2.h' h'3 1 Ta có V R2.h h3 8 Câu 14: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi N(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận t của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì ta có công thức N(t) 100.(0,5) A (%) với A là hằng số. Biết rằng một mẩu gỗ có tuổi khoảng 3574 năm thì lượng cacbon 14 còn lại là
9. 65%. Phân tích mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 63%. Hãy xác định tuổi của mẫu gỗ được lấy từ công trình đó A. 3874B. 3833C. 3834D. 3846 Đáp án B 3574 Ta có: N(3574) 100.(0,5) A 65% 3574 A log0,5 0,65 t N(t) 100.(0,5) A 63% 3574 t Alog0,5 0,63 log0,5 0,63 3883(năm) log0,5 0,65 Câu 15 (Toán Học Tuổi Trẻ) Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn, đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông (a > x > 0) . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất. a 2a pa 4a A. B.x = C. D. (cm) x = (cm) x = (cm) x = (cm) p + 4 p + 4 p + 4 p + 4 Đáp án C Tổng diện tích 2 2 2 æx ö æa- xö p + 4 2 a a ap S = pç ÷ + ç ÷ = x - x + nhỏ nhất khi x = èç2pø÷ èç 4 ø÷ 16p 8 16 p + 4 Câu 16: (Toán Học Tuổi Trẻ) Áp suất không khí P(mmHg) được tính theo công thức kx P = P0.e (mmHg), trong đó x là độ cao (đo bằng mét), P0 = 760 (mmHg) là áp suất ở mức nước biển (x = 0) , k là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí bằng 672,71mmHg. Tính áp suất của không khí ở độ cao 3000m A. 527,06 mmHgB. 530,23 mmHgC. 530,73 mmHgD. 545,01 mmHg Đáp án A 3000 672,71 ln Ta có P = 760.e1000 760 » 527,06(mmHg)
10. Câu 17: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t3 + 3t 2 + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu A. 12m/sB. 0m/sC. 11m/sD. 6m/s Đáp án A Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là u2 thì số hạng thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u9 = u2 + 7d,u44 = u2 + 42d (d là công sai của cấp số cộng d ¹ 0 vì u2 ,u9 ,u44 phân biệt ) ïì u .u = u 2 Ta có íï 2 44 9 nên ï îï u2 + u9 + u44 = 217 ïì u (u + 42d)= (u + 7d) ïì u = 7 íï 2 2 2 Û íï 2 (d ¹ 0) ï ï îï u2 + u2 + 7d + u2 + 42d = 217 îï d = 4 Do đó u1 = u2 - d = 3 n Và S = (2u + (n- 1)d)= n(2n + 1) n 2 1 Phương trình n(2n + 1)= 820 có một nghiệm nguyên dương là n = 20 Câu 18: (Toán Học Tuổi Trẻ) Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2m. Trong số các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40cm, 6 cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính là 26cm. Chủ nhà thuê công nhân để sơn các cây cột bằng loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380000/1m2 (kể cả vật liệu sơn và phần thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy 3,14519 ). A. B. 1 C.1.8 D.33 .000. 12.521.000. 10.400.000. 15.642.000. Đáp án A Tổng diện tích cần phải sơn là: 2 Sxq 2 2 r1h 6 2 r2h 2 2 0,2 4,2 6 2 0,13 4,2 31,1394m Vậy số tiền chủ nhà phải chi trả đề sơn 8 cây cột nhà là 380000 31,1394 11833000 đồng.
11. Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: dt 3sin t 80 12,t ¢ ,0 t 365 . Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có 182 nhiều ánh sáng nhất? A. 262.B. 353.C. 80.D. 171. Đáp án D Để thành phố X có nhiều giờ có ánh sáng nhất thì sin t 80 1 t 171. 182