›
›
›

Sáng kiến kinh nghiệm: "Giúp học sinh tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng vào giải một số dạng toán chứng minh Hình Học 8"

docx 30 trang nhatle22 18053
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm: "Giúp học sinh tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng vào giải một số dạng toán chứng minh Hình Học 8"", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxsang_kien_kinh_nghiem_giup_hoc_sinh_thao_go_kho_khan_khi_van.docx

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm: "Giúp học sinh tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng vào giải một số dạng toán chứng minh Hình Học 8"

  1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỊ XÃ HOÀI NHƠN TRƯỜNG THCS HOÀI THANH TÂY Đề tài: GIÚP HỌC SINH THÁO GỠ KHÓ KHĂN KHI VẬN DỤNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 8 Người thực hiện: NGUYỄN HỮU LƠ Đơn vị: TRƯỜNG THCS HOÀI THANH TÂY Năm học: 2020 - 2021
  2. Đề tài: GIÚP HỌC SINH THÁO GỠ KHÓ KHĂN KHI VẬN DỤNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 8 1. Đặt vấn đề 1.1. Lý do chọn đề tài . Dạy học sinh học Toán không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, giải các bài tập ở SGK hay sách tham khảo mà giáo viên cần dạy cho các em phương pháp học tập bộ môn, các phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập, sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo giải toán. Ở chương III Hình học lớp 8, tam giác đồng dạng là một nền tảng kiến thức cơ bản quan trọng, có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học nhưng đa số học sinh chưa có kỹ năng giải bài tập có vận dụng kiến thức này, ngay cả học sinh khá giỏi cũng lúng túng: Chưa biết vẽ hình hoặc vẽ hình sai theo giả thiết bài toán, không biết vận dụng kiến thức nào để chứng minh, còn sai sót khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, việc trình bày chứng minh một bài toán hình không biết bắt đầu từ đâu, thiếu phương pháp để chứng minh dạng toán có vận dụng nội dung kiến thức này. Điều đó thể hiện qua các bài kiểm tra, bài thi của học sinh có nội dung vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng chưa đạt yêu cầu còn nhiều. Vì vậy, tôi viết Sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học nội dung chương III, Hình học 8 sao cho có hiệu quả nhằm giúp HS tháo gỡ khó khăn, học chắc, biết vận dụng linh hoạt kiến thức về tam giác đồng dạng trong giải toán là rất cần thiết trong quá trình học toán hình, là cơ sở để học sinh học tập tốt phân môn hình học ở các lớp tiếp theo. 1.2. Mục đích nghiên cứu. Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến này với mục đích sau: - Giúp giáo viên dạy Toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích cực, biết dạy cho học sinh phương pháp học tập. - Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số biện pháp giúp học sinh tháo gỡ khó khăn trong việc vận dụng tam giác đồng dạng vào giải toán chứng minh hình học. Cũng qua sáng kiến này giúp giáo viên dạy Toán 8 nói chung và bản thân nói riêng sẽ: + Nâng cao chất lượng khi giảng dạy nội dung này. + Hiểu rõ được làm thế nào để bồi dưỡng học sinh năng lực vận dụng tam giác đồng dạng trong giải toán. Biết sử dụng phương pháp phù hợp để giúp học sinh trang 2
  3. phát huy tính tích cực, sáng tạo trong quá trình tìm tòi lời giải một bài toán hình có vận dụng tam giác đồng dạng. + Tìm hiểu được một số nguyên nhân, các sai lầm, khó khăn của học sinh khi giải bài tập có vận dụng tam giác đồng dạng. + Đề ra biện pháp khắc phục, lập kế hoạch bồi dưỡng năng lực vận dụng tam giác đồng dạng vào giải toán. + Có phương pháp dạy học sinh tìm lời giải bài toán hình học đạt hiệu quả. - Đối với học sinh: Sau khi thực hiện sáng kiến này sẽ giúp các em: + Nắm chắc các phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng, cách viết ký hiệu hai tam giác đồng dạng đảm bảo các đỉnh tương ứng, từ đó thiết lập tỉ lệ thức giữa các cạnh tương ứng. + Nắm vững, sử dụng tốt phương pháp đồng dạng trong giải một số dạng toán thường gặp chủ yếu (chứng minh hai tam giác đồng dạng, hai góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức hình học, hai đoạn thẳng bằng nhau) ở chương III, Hình học 8. + Rèn kỹ năng tìm tòi lời giải bài toán hình học. 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Sáng kiến này tôi nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thể như sau: - Giáo viên giảng dạy Toán 8 THCS. - Học sinh lớp 8 THCS. Tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng vào giải một số dạng toán chứng minh hình học 8. 1.4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm. Sáng kiến được nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm là 33 học sinh lớp 8A4 năm học 2019 – 2020 và sẽ tiếp tục vận dụng trong năm học này. 1.5. Phương pháp nghiên cứu. Thực hiện Sáng kiến này tôi sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Phương pháp khảo sát thực tiễn. - Phương pháp phân tích. - Phương pháp tổng hợp. - Phương pháp quan sát. - Phương pháp kiểm tra. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 1.6. Phạm vi và thời gian nghiên cứu. - Sáng kiến này được sử dụng trong việc dạy các tiết luyện tập, ôn tập chương III, ôn tập học kỳ, phụ đạo và bồi dưỡng HSG Toán 8 với các đối tượng là học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi bộ môn Toán. - Sáng kiến này thực hiện từ học kỳ II năm học 2019 – 2020 và đến năm học này sẽ tiếp tục vận dụng. trang 3
  4. trang 4
  5. 2. Nội dung 2.1. Những nội dung lý luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu. 2.1.1. Vị trí của chủ điểm “Tam giác đồng dạng” trong chương trình Toán 8 Chủ điểm tam giác đồng dạng được dạy từ §4 đến §8 trong chương III sách giáo khoa (SGK) Toán 8, tập hai hiện hành sau khi học sinh đã được học các kiến thức: + Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác (Toán 7) + Các loại hình tứ giác đặc biệt (hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) + Đoạn thẳng tỉ lệ. + Định lí Talet trong tam giác. + Tính chất đường phân giác trong tam giác. + Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác (tam giác thường và tam giác vuông). Vậy học sinh đã được trang bị đầy đủ những kiến thức nền tảng để tôi thực hiện sáng kiến này. 2.1.2 Vai trò của tam giác đồng dạng trong chương trình Toán THCS Vận dụng hai tam giác đồng dạng để chứng minh nhiều dạng toán nhưng trong quá trình giải toán học sinh gặp không ít khó khăn trong phạm vi của sáng kiến tôi xin trình bày một số biện pháp giúp học sinh tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các dạng toán thường gặp: - Hai góc bằng nhau; - Chứng minh một hệ thức hình học; - Tính độ dài đoạn thẳng; - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; Quá trình vận dụng tam giác đồng dạng vào giải một số dạng toán hình học chương III, Hình học 8 là một quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào giải toán. Thông qua việc giải bài tập củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinh, là nền tảng để các em học tập các nội dung kiến thức Toán 9 sau này. 2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu. Trong các môn học ở trường phổ thông học sinh rất ngán học môn toán và “sợ” học môn hình học. Vì đây là một môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng tư duy lập luận chặt chẽ, đa phần học sinh chưa có năng lực cốt lõi để tự mình giải một bài tập hình lập luận chặt chẽ và đúng. Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh giải bài tập Hình học 8 ở chương III còn gặp các khó khăn sau: - Học sinh chưa đọc kỹ đề bài, vẽ hình không được hoặc vẽ hình thiếu chính xác. Chưa biết dùng kí hiệu trên hình để biểu thị các yếu tố mà bài toán đã cho. - Học sinh chưa biết phân tích đề bài kết hợp với hình vẽ để xác định ngắn gọn giả thiết và kết luận bài toán. - Nhiều em chưa nắm vững kiến thức căn bản của phân môn Hình học. Một số em do tâm lí “sợ” phân môn Hình học nên làm cho bài toán từ dễ trở nên khó. trang 5
  6. - Học sinh chưa nắm vững cách dùng kiến thức căn bản về hai tam giác đồng dạng nên trong quá trình thực hiện giải toán vận dụng còn sai lầm: + Xác định không đúng các đỉnh tương ứng, các cạnh tương ứng, các góc tương ứng. + Ghi kí hiệu hai tam giác đồng dạng chưa đúng theo thứ tự các đỉnh tương ứng dẫn đến việc xác định sai các cặp góc bằng nhau, lập hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh sai. + Lẫn lộn giữa sự tương ứng tỉ lệ giữa các cạnh với sự bằng nhau giữa các cạnh. - Kỹ năng phân tích tìm tòi lời giải một bài toán hình học còn hạn chế, bế tắc hay đi vào ngõ cụt. - Nhiều giáo viên trong quá trình giảng dạy chưa chú trọng khắc sâu phương pháp từng dạng toán phổ biến trong chương III, Hình học 8, chưa chú trọng thường xuyên bồi dưỡng học sinh sử dụng sơ đồ phân tích đi lên để tìm, xây dựng lời giải cho một bài toán. Trước tình hình thực tế tôi nghiên cứu và áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy chắc lý thuyết, vận dụng linh hoạt tam giác đồng dạng trong giải một số dạng bài tập thường gặp ở chương III Hình học 8. 2.3. Mô tả, phân tích các giải pháp. 2.3.1. Các giải pháp tiến hành. 2.3.1.1. Dạy học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về tam giác đồng dạng và vận dụng tránh sai lầm như: - Các cách để chứng minh hai tam giác đồng dạng; - Biết dùng kí hiệu hai tam giác đồng dạng một cách chính xác (đảm bảo viết theo thứ tự các đỉnh tương ứng); - Biết thiết lập các tỉ số bằng nhau từ các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng để chứng minh một hệ thức hình học, tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; - Biết sử dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau áp dụng để chứng minh hai góc bằng nhau; - Biết xâu chuỗi các kiến thức, phân tích đề bài, tìm tòi lời giải bài toán bằng sơ đồ phân tích đi lên. 2.3.1.2. Sử dụng bài tập trong SGK đạt hiệu quả mục tiêu tiết dạy: - Chọn những bài tập trong SGK phù hợp với từng loại hình tiết dạy: Tiết dạy kiến thức mới, tiết luyện tập, tiết ôn tập chương, ôn tập học kỳ, các tiết phụ đạo và bồi dưỡng học sinh giỏi. - Chọn bài tập căn cứ vào mục đích sử dụng bài tập trong từng tiết luyện tập, sau khi học sinh học xong một nội dung kiến thức mới. - Chú trọng sử dụng bài tập gồm nhiều câu làm, bài tập xâu chuỗi được nhiều kiến thức căn bản cần củng cố lại cho học sinh qua vận dụng. 2.3.1.3.Phát huy vai trò và tác dụng của từng loại bài tập trong giảng dạy: Cụ thể: - Bài tập căn bản nhằm kiểm tra củng cố, khắc sâu lại kiến thức cho học sinh; trang 6
  7. - Bài tập tính toán về độ dài đoạn thẳng; - Bài tập chứng minh một nội dung hình học: Hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hệ thức hình học; - Bài tập bồi dưỡng, phát huy trí lực học sinh “khá giỏi”, phù hợp với trình độ học sinh; Ứng với mỗi loại bài tập giáo viên cần chú ý: * Hướng dẫn học sinh vẽ hình theo giả thiết bài toán: Hình vẽ thoáng, rộng, đường nét không sát nhau, tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt. Nên kí hiệu vào hình vẽ các góc bằng nhau, các góc vuông để sử dụng chúng cho tiện khi tìm cách chứng minh. * Giúp học sinh khai thác triệt để giả thiết để phát hiện những quan hệ mới - Giả thiết đề cập đến hình nào thì chúng ta cần khai thác các tính chất của hình đó, đặc biệt là những tính chất có liên quan đến các dữ kiện trong bài. - Càng phát hiện được nhiều quan hệ mới từ giả thiết chúng ta càng có nhiều vật liệu để giải bài toán. - Muốn vậy người giải toán ngoài việc cần trang bị cho mình một hệ thống kiến thức cơ bản, cần phải luôn đặt ra cho mình một câu hỏi thường trực khi đứng trước giả thiết của mỗi bài toán, đó là: Bài toán cho điều này ta có thể suy ra điều gì? Nó có liên quan gì với kết luận không? Từ đó tìm cách để nối với kết luận. *Hướng dẫn học sinh phân tích kết luận để định hướng chứng minh Phân tích kết luận để định hướng chứng minh giúp ta chọn được những phương án có nhiều khả năng đi đến đích nhất. Muốn vậy người giải toán phải luôn đặt ra cho mình câu hỏi trước mỗi kết luận của bài toán đó là: Để chứng minh điều này ta phải chứng minh điều gì? Câu hỏi này đặt ra liên tục cho đến khi ta nối được với giả thiết đã được khai thác ở trên. 2.3.2. Thuyết minh tính mới 2.3.2.1. Dạy học sinh khắc phục khó khăn khi học tập kiến thức về tam giác đồng dạng. * Xác định chính xác các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng và viết chính xác hệ thức khi hai tam giác đồng dạng: - Nếu biết kí hiệu hai tam giác đồng dạng thì ta dựa vào thứ tự các chữ cái trên kí hiệu để xác định đỉnh tương ứng, cạnh tương ứng, góc tương ứng. Ví dụ: Từ kí hiệu A'B'C'∽ ABC Các đỉnh tương ứng Từ các đỉnh tương ứng, ta xác định các góc tương ứng, hai đỉnh tương ứng ghép thành một cạnh ta sẽ được hai cạnh tương ứng (A’B’ tương ứng AB). - Nếu biết góc của hai tam giác này bằng góc của tam giác kia thì hai đỉnh của hai góc đó là hai đỉnh tương ứng; - Nếu biết hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia thì hai đỉnh đối diện với hai cạnh tỉ lệ đó là hai đỉnh tương ứng; Ví dụ: ABC và MNP nếu có trang 7
  8. + A· CB P· MN thì đỉnh C tương ứng với đỉnh M AB AC + thì đỉnh C đối diện với cạnh AB tương ứng với đỉnh N đối diện với MP NP cạnh MP; đỉnh B đối diện với cạnh AC tương ứng với đỉnh M đối diện với cạnh NP. Mục đích của việc xác định các đỉnh tương ứng là để viết đúng kí hiệu hai tam giác đồng dạng và thiết lập đúng hệ thức giữa các cạnh tương ứng, suy ra các góc tương ứng bằng nhau. *Giúp học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về tam giác đồng dạng qua từng tiết dạy: + Định nghĩa hai tam giác đồng dạng. Aµ' Aµ,Bµ' Bµ,Cµ' Cµ A'B'C'∽ ABC A'B' B'C' C'A' k AB BC CA k: gọi là tỉ số đồng dạng của A’B’C’ và ABC + Định lí về hai tam giác đồng dạng “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc phần kéo dài hai cạnh) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì tạo ra một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.” - Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác “Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng”. Tôi củng cố bằng bài tập sau: Nếu hai tam giác ABC và DEF có AB= 4cm, BC=5cm, AC= 6cm và DE = 8cm, EF = 10cm, DF = 12cm thì hai tam giác đó có đồng dạng không? Tôi mời một học sinh trung bình khá lên bảng làm qua quan sát thấy học sinh gặp khó khăn là không xác định được sự tương ứng giữa các cạnh để thiết lập đúng dãy tỉ số bằng nhau giữa ba cặp cạnh đã cho. Vậy làm thế nào để giúp học sinh tháo gỡ khó khăn? Ngay sau dạy xong định lí giáo viên lưu ý học sinh thiết lập đúng dãy tỉ số bằng nhau từ độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác đã cho trên cơ sở xét các tỉ số giữa : + Cạnh dài nhất của tam giác này với cạnh dài nhất của tam giác kia. + Cạnh ngắn nhất của tam giác này với cạnh ngắn nhất của tam giác kia. + Hai cạnh còn lại. Sau khi được giúp đỡ học sinh yếu dễ dàng trình bày được: AB BC CA 4 5 6 Ta có (Vì ) DE EF FD 8 10 12 Vậy ABC ∽ DEF Qua bài tập đó dạy học sinh chuyển đổi từ dãy tỉ số bằng nhau thu được sang dãy tỉ số tương ứng của các cạnh chính xác và viết đúng kí hiệu hai tam giác đồng dạng. trang 8
  9. - Sau khi khẳng định sự đúng đắn của định lí về trường hợp đồng dạng thứ hai giáo viên đưa bài tập sau nhằm củng cố, khắc sâu định lí về góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ: Xét bài toán: Cho hình vẽ. Hỏi ABC và MNP có đồng dạng không? Vì sao? A M 6 4 6 9 N P B C Học sinh có thể giải như sau: AB AC 6 9 3 Ta có (do ) vàAµ Nµ MN MP 4 6 2 Vậy ABC ∽ MNP (c.g.c) Học sinh mắc sai lầm ở chỗ Aµ Nµ không phải là cặp góc xen giữa của hai cặp AB AC cạnh tỉ lệ  MN MP Qua đó giáo viên khắc sâu cho học sinh định lí về trường hợp đồng dạng thứ hai: cặp góc bằng nhau phải là góc tạo bỡi hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. - Trường hợp đồng dạng thứ ba “Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng”. - Khi dạy định lí về mỗi trường hợp đồng dạng của hai tam giác giáo viên cho học sinh so sánh với định lí về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. Nội dung So sánh Hai tam giác bằng nhau Hai tam giác đồng dạng Trường Giống - Đều xét ba cặp cạnh hợp thứ nhau nhất Khác Ba cạnh tam giác này bằng Ba cạnh tam giác này tỉ lệ ba (c.c.c) nhau ba cạnh tam giác kia cạnh tam giác kia Trường Giống - Đều xét hai cặp cạnh và góc xen giữa hợp thứ nhau - Hai góc xen giữa bằng nhau hai (c.g.c) Khác Hai cạnh tam giác này Hai cạnh tam giác này tỉ lệ nhau bằng hai cạnh tam giác kia hai cạnh tam giác kia Trường Giống Đều xét hai góc tam giác này bằng hai góc của tam giác kia hợp thứ nhau ba Khác Cần thêm điều kiện cạnh kề Không cần thêm điều kiện nhau với hai góc đó bằng nhau cạnh (g.g) (g.c.g) Mục đích tác dụng của việc so sánh: trang 9
  10. + Củng cố lại các kiến thức về hai tam giác bằng nhau đã học ở lớp 7; + Phân biệt điểm khác biệt căn bản giữa hai tam giác đồng dạng và hai tam giác bằng nhau; + Nắm chắc các trường hợp đồng dạng của hai tam giác. Hiệu quả đem lại: + Học sinh dễ ghi nhớ định nghĩa, các định lí về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác thông qua kiến thức đã được học từ trước về hai tam giác bằng nhau; + Học sinh nắm chắc được các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng chỉ tương ứng tỉ lệ chứ không bằng nhau. - Học sinh có các cách để chứng minh hai tam giác đồng dạng. - Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông. Trong các trường hợp đồng dạng của hai tam giác thì trường hợp đồng dạng thứ ba (g-g) được sử dụng phổ biến nhất trong quá trình giải toán. 2.3.2.2.Sử dụng bài tập khi giảng dạy tam giác đồng dạng. Các bài tập có trong SGK và bài tập được tôi sử dụng khi giảng dạy tam giác đồng dạng là các bài tập được lựa chọn theo các tiêu chí sau: * Là bài tập nhằm khắc sâu kiến thức qua luyện tập cho học sinh lớp dạy; - Giúp học sinh nắm chắc hơn định nghĩa, định lí về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác. - Thông hiểu các cách thức chứng minh,nhận biết hai tam giác đồng dạng. * Là bài tập diện căn bản; luyện tập trang bị kỹ năng nền tảngcho học sinh. - Rèn kỹ năng chứng minh hai tam giác đồng dạng từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ. - Trình bày được các dạng toán cơ bản sau: + Chứng minh hai góc bằng nhau; + Tính độ dài đoạn thẳng; + Chứng minh các hệ thức hình học (ở mức độ căn bản); + Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. * Khi hướng dẫn học sinh giải từng loại bài tập nên tuân thủ theo các bước sau Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán - Cho học sinh đọc kỹ đề bài, vẽ hình theo giả thiết bài toán, tóm tắt bài toán dưới dạng giả thiết, kết luận; - Học sinh xác định bài toán thuộc dạng toán nào? Kiến thức cơ bản cần dùng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải bằng cách dùng hệ thống câu hỏi hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo sơ đồ phân tích đi lên. Bước 3:Thực hiện chương trình giải. Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu sâu lời giải. Dạng 1: Bài tập về chứng minh hai tam giác đồng dạng suy ra hai góc bằng nhau: * Mục đích sử dụng: Học sinh cần đạt qua hai bài tập này: trang 10
  11. - Biết phát hiện và chứng minh cặp tam giác đồng dạng phù hợp từ đó suy ra hai góc tương ứng bằng nhau; - Dùng đúng kí hiệu hai tam giác đồng dạng. Tiết 45: §6 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI - Ví dụ 1: Bài 38/tr 92SBT Toán 8, tập hai A Cho ABC có AB = 10cm, AC = 20cm. Trên 5 20 cạnh AC, đặt đoạn thẳng D AD = 5cm. Chứng minh A· BD A· CB (hình vẽ) 10 B C Học sinh nêu GT, KL bài toán GT ABC có AB = 10cm, AC = 20cm, AD = 5cm KL Chứng minh A· BD A· CB Khó khăn và sai lầm học sinh gặp phải trong bài toán này: - Không định hướng phương pháp để chứng minh hai góc bằng nhau. - Không phát hiện cặp tam giác đồng dạng phù hợp. - Thiết lập tỉ số hai cạnh không tương ứng nên không chứng minh được hai tam giác ADC, ABC đồng dạng. - Viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng không theo thứ tự các đỉnh tương ứng. Hướng khắc phục: - Cung cấp cho học sinh phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau. Đối với bài toán này ta nên chứng minh nó là hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng. - Định hướng học sinh tìm cặp tam giác đồng dạng và chứng minh. Giáo viên cần giúp học sinh phân tích từ kết luận để tìm ra cặp tam giác có thể chứng minh đồng dạng mà nó chứa hai góc tương ứng đó. Sơ đồ phân tích: Bài giải: A· BD A· CD Xét ABDvà ACB  Ta có: · · ABD ∽ ACB BAD CAB (góc chung)  AB AD 1 · · BAD CAB (góc chung) AC AB 2 AB AD 1 Vậy ABD ∽ ACB AC AB 2 Do đó A· BD A· CD trang 11
  12. Nhận xét: Để chứng minh hai góc bằng nhau ngoài việc vận dụng các phương pháp đã học ta cũng có thể ghép vào chứng minh hai tam giác có chứa hai góc tương ứng đó đồng dạng. Dạng 2: Bài tập về chứng minh hai tam giác đồng dạng suy ra hệ thức, tỉ lệ thức và tính độ dài đoạn thẳng: Dạng toán này thường gặp nhiều trong các bài tập chứng minh hai tam giác đồng dạng. * Mục đích sử dụng: Qua dạng bài tập này giáo viên rèn cho học sinh: - Biết thiết lập được các hệ thức hình học từ hai tam giác đồng dạng; - Từ một hệ thức cần chứng minh biết phân tích, lựa chọn hai tam giác đồng dạng thích hợp; - Rèn kỹ năng vận dụng linh hoạt các cách để chứng minh hai tam giác đồng dạng; - Đường hướng tìm tòi lời giải cho một nội dung chứng minh hình học: Biết đi từ điều phải chứng minh, tìm tòi suy luận từng bước, xác định kiến thức cần vận dụng, rèn năng lực suy luận theo sơ đồ phân tích đi lên; - Rèn luyện cho học sinh các thao tác trí tuệ qua hoạt động giải toán: quan sát, dự đoán, vẽ hình, sử dụng dụng cụ, tìm tòi phân tích, suy luận có căn cứ, suy luận chứng minh và biết trình bày bài giải. Dạy chắc luyện chắc cấu trúc chứng minh căn bản trong bài ví dụ 2 đến ví dụ 7. Hướng dẫn học sinh chứng minh mẫu mực, nền tảng, viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng, thiết lập hệ thức tỉ số giữa các cạnh tương ứng mẫu mực để tính độ dài đoạn thẳng, suy ra hệ thức cần chứng minh. Tiết 47: LUYỆN TẬP §7 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA Ví dụ 2:(Bài 41 trang 94SBT Toán 8, tập hai) Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD= 5cm và D· AB D· BC a) Chứng minh ADB ∽ BCD b) Tính độ dài các cạnh BC, CD. * Học sinh cần đạt qua bài tập - Vẽ hình bài toán chính xác theo giả thiết đề bài. - Chứng minh được và viết đúng kí hiệu ADB ∽ BCD (g.g) - Biết cách thiết lập tỉ lệ thức giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng để tính độ dài cạnh. * Khó khăn học sinh gặp phải: - Học sinh vẽ hình sai theo giải thiết bài toán. - Học sinh yếu không biết phân tích đề bài để tìm phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng. - Thiết lập sai tính tương ứng tỉ lệ giữa các cạnh. * Hướng khắc phục: trang 12
  13. - Hướng dẫn học sinh sử dụng thước và compa vẽ hình theo yêu cầu bài toán theo các bước: + Vẽ ABC theo độ dài cho trước của mỗi cạnh. + Vẽ D· Bx D· AB . + Qua điểm D kẽ đường thẳng song song với AB cắt tia Bx tại C. - Phân tích giả thiết bài toán để lựa chọn phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng hợp lí (thể hiện ở sơ đồ phân tích) Hình vẽ: Bài giải: A 2,5 B a) Chứng minh ADB ∽ BCD 3,5 Xét ADB và BCD có: 5 D· AB D· BC (gt) · · D C ABD BDC(so le trong,vì AB//CD) Sơ đồ phân tích Vậy ADB ∽ BCD a) ADB ∽ BCD b) Tính độ dài các cạnh BC, CD  Vì ADB ∽ BCD D· AB D· BC (gt) vàA· BD B· DC (vì AB AD 2,5 3,5 Nên hay AB//CD) BD BC 5 BC b) BC = ?; CD = ? 5.3,5 Suy ra BC = 7 (cm)  2,5 AB AD AB DB AB DB 2,5 5 ; hay BD BC BD CD BD CD 5 CD  5.5 Suy ra CD = 10 (cm) ADB ∽ BCD 2,5 Nhận xét: Phương pháp giải: - Để tính độ dài a của đoạn thẳng ta tìm cách liên hệ a với các đoạn biết độ dài a c a c khác thường chẳng hạn hoặc trong đó độ dài b, c, d đã biết. Để b d b a được các tỉ lệ thức đó ta thường nghĩ đến chứng minh hai tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác trong tam giác, định lí Ta-lét, hệ quả định lí Ta-lét. Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Chứng minh OA.OD = OB.OC. * Học sinh cần đạt qua bài tập - Vẽ hình bài toán chính xác theo giả thiết đề bài. - Chứng minh được AOB∽ COD (g.g) - Từ một hệ thức OA.OD = OB.OC biết phân tích, quy về chứng minh hai tam giác đồng dạng thích hợp. * Khó khăn học sinh gặp phải: - Không biết bắt đầu từ đâu để chứng minh được OA.OD = OB.OC; trang 13
  14. - Từ yêu cầu chứng minh OA.OD = OB.OC thiết lập tỉ lệ thức cần chứng minh sai; - Lựa chọn hai tam giác đồng dạng không hợp lí. * Hướng khắc phục: Giáo viên cho học sinh vẽ hình xác đinh GT, KL bài toán. - Hướng dẫn học sinh phân tích kết luận để tìm ra cách chứng minh. - Hướng dẫn HS tìm cặp tam giác cần chứng minh đồng dạng từ OA OB OC OD Cặp 1: Tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh phía trên của tỉ số và tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh phía dưới của tỉ số ( AOB và COD ); Cặp 2: Tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh của mộ tỉ số này và tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh của tỉ số kia ( AOD và BOC ); Trong hai cặp đó có một cặp chứng minh đồng dạng dễ dàng hơn. - Phân tích giả thiết bài toán để lựa chọn phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng hợp lí (thể hiện ở sơ đồ phân tích) Hình vẽ GT Hình thang ABCD (AB//CD) AC cắt BD tại O A B KL Chứng minh OA.OD =OB.OC O D C Bài giải: Xét AOB và COD có: Sơ đồ phân tích O· AB O· CD (so le trong, do AB//CD) OA.OD = OB.OC A· OB C· OD (đối đỉnh)  Do đó AOB∽ COD OA OB OA OB Suy ra OC OD OC OD Vậy OA.OD = OB.OC  AOB∽ COD  O· AB O· CD (so le trong, do AB//CD) A· OB C· OD (đối đỉnh) Nhận xét: - Để chứng minh một đẳng thức tích ta phải biến đổi chúng thành một đẳng thức của hai tỉ số. Nó gợi ý cho ta nhớ đến chứng minh hai tam giác đồng dạng. - Đối với bài tập trên ngoài cách vận dụng hai tam giác đồng dạng để chứng minh ta cũng có thể dùng hệ quả của định lí Ta-lét. Tiết 48: LUYỆN TẬP Ví dụ 4: trang 14
  15. Cho ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD. Chứng minh a) ABM ∽ ACN AM DM b) AN DN * Học sinh cần đạt qua bài tập - Vẽ hình bài toán chính xác theo giả thiết đề bài. - Chứng minh được ABM ∽ ACN (g.g) AM DM - Học sinh biết phân tích, dự đoán, tìm cách để chứng minh AN DN AM BM DM BM thì cần chứng minh ; . Nó gợi ý cho ta nghĩ đến AN CN DN CN chứng minh các cặp tam giác đồng dạng. * Khó khăn học sinh gặp phải: - Học sinh yếu, trung bình vẽ hình sai theo giả thiết bài toán: Vẽ tia phân giác sai, không nhớ khái niệm hình chiếu, thiếu kí hiệu hai góc bằng nhau, góc vuông. Do vậy học sinh sẽ khó nhận ra cách chứng minh ABM ∽ ACN ; AM DM - Không biết bắt đầu từ đâu để chứng minh được ; AN DN * Hướng khắc phục: - Giáo viên hướng dẫn cho học sinh vẽ hình xác đinh GT, KL bài toán, chú trọng sử dụng thước thẳng, compa vẽ chính xác tia phân giác, êke vẽ hình chiếu. Nếu học sinh quên khái niệm tia phân giác, hình chiếu một điểm trên một đường thẳng thì yêu cầu học sinh phải ôn tập bổ sung ngay; - Hướng dẫn học sinh phân tích kết luận để tìm ra cách chứng minh. AM DM - Hướng dẫn học sinh tìm tỉ số trung gian để chứng minh AN DN Hình vẽ: ABC có AB < AC A GT B· AD C· AD ; BM  AD,CN  AD KL a) ABM ∽ ACN AM DM b) M AN DN B D C N Học sinh vẽ hình tóm tắt GT, KL bài trang 15
  16. toán Sơ đồ phân tích: a) Xét ABM và CAN, có: a) ABM ∽ ACN B· AM C· AN (AD là tia phân giác  của góc A) · · 0 BAM CAN (AD là tia phân giác B· MA C· NA 90 của góc A) Vậy ABM ∽ ACN B· MA C· NA 900 Học sinh yếu lên bảng trình bày câu a Để chứng minh câu b học sinh sẽ gặp khó khăn không thể chứng minh trực tiếp hai tỉ số bằng nhau được. Do vậy Giáo viên cần giúp học sinh phân AM DM b) suy ra (1) tích chứng minh cùng bằng một tỉ số AN DN trung gian Xét BMD và CND, ta có : AM DM 0 b) B· MD C· ND 90 AN DN B· DM C· DN (đối đỉnh)  Do đó BMD ∽ CND AM BM DM BM DM BM và Suy ra (2) AN CN DN CN DN CN   AM DM ABM ∽ ACN ; BMD ∽ CND Từ (1) và (2) suy ra AN DN  B· MD C· ND 900 B· DM C· DN (đối đỉnh) Giáo viên gọi học sinh trung bình lên bảng trình bày câu b Giáo viên thay giả thiết gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD bằng giả thiết trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Cx sao cho B· Cx B· AD . Gọi I là giao điểm của Cx và AD ta được một nội dung bài toán mới như ví dụ 5. Ví dụ 5: Cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Cx sao cho B· Cx B· AD . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng: a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI. AD AB b) AC AI Mở rộng cho học sinh khá giỏi ở câu c c) AD2 = AB.AC – BD.DC * Học sinh cần đạt qua bài tập trang 16
  17. - Vẽ hình bài toán chính xác theo giả thiết đề bài. - Chứng minh được ADB∽ CDI (g.g) - Biết phân tích, lựa chọn chứng minh hai tam giác đồng dạng phù hợp suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ để chứng minh một hệ thức hình học. * Khó khăn học sinh gặp phải: - Học sinh yếu, trung bình vẽ hình sai theo giả thiết bài toán: Vẽ tia phân giác sai, không chọn nửa mặt phẳng phù hợp, thiếu kí hiệu hai góc bằng nhau - Không vận dụng được trường hợp đồng dạng hợp lí để chứng minh ∆ADB đồng dạng ∆CDI - Lựa chọn hai tam giác đồng dạng không hợp lí nên không chứng minh AD AB được. AC AI - Học sinh lúng túng trong việc chứng minh hệ thức hình học phức tạp như: AD2 = AB.AC – BD.DC * Hướng khắc phục: - Giáo viên cho học sinh vẽ hình xác đinh GT, KL bài toán chú ý rèn học sinh sử dụng dụng cụ vẽ tia phân giác, hai góc bằng nhau, chọn nửa mặt phẳng phù hợp; - Hướng dẫn học sinh tìm ra cách chứng minh hai tam giác đồng dạng hợp lí. - Hướng dẫn học sinh tìm cặp tam giác cần chứng minh đồng dạng từ AD AB AC AI Cặp 1: Tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh phía trên của tỉ số và tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh phía dưới của tỉ số ( ADB và AIC ); Cặp 2: Tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh của mộ tỉ số này và tam giác có ba đỉnh từ hai cạnh của tỉ số kia ( ADC và ABI ); Trong hai cặp đó có một cặp chứng minh đồng dạng dễ dàng hơn. - Phân tích giả thiết bài toán để lựa chọn phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng hợp lí (thể hiện ở sơ đồ phân tích) Học sinh vẽ hình và ghi GT, KL bài ABC có AB < AC toán: GT B· AD C· AD ; B· Cx B· AD A a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI. KL AD AB b) AC AI c) AD2 = AB.AC – BD.DC B D C I x a) Xét ∆ADB và ∆CDI có: trang 17
  18. a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI B· AD D· CI(B· AD D· Cx)  B· DA C· DI B· AD D· CI(B· AD D· Cx) (Đối đỉnh) Vậy ADB∽ CDI B· DA C· DI AD AB Xét ∆ADB và ∆ACI có: b) Để chứng minh ta phải b) AC AI B· AD C· AD(gt) tìm ra hai tam giác đồng dạng. · · lấy hai cạnh trên tử và hai cạnh dưới ABD AIC (Vì ) ADB∽ CDI mẫu lập thành hai tam giác và kiểm tra Vậy ADB∽ ACI xem chúng có đó đồng dạng không? AD AB Nên Hoặc ghép hai cạnh của một tỉ số xem AC AI chúng có đồng dạng không? Từ đó học sinh lập sơ đồ phân tích AD AB AC AI  AD AB c) Vì nên AB.AC = AD.AI ADB∽ ACI hoặc AC AI ADC ∽ ABI Ta lại có ABD ∽ CID Nhưng rõ ràng ta sử dụng chứng minh Nên ADB : ACI dễ dàng hơn AD DB DB.DC AD.DI  DC DI · · BAD CAD (gt) Do đó · · ABD AIC (Vì ABD ∽ CID ) AB.AC – DB.DC = AD.AI – AD.DI = AD.(AI – DI) = AD2 c) Ta có AB.AC = ? 2 DB.DC = ? Vậy AD = AB.AC – BD.DC Tiết 50: LUYỆN TẬP (các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông) Ví dụ 6: Cho ∆ABC vuông tại A và AH là đường cao (H BC). Chứng minh: a) BAH ∽ BCA b) AB2 = BH.BC c) AH2 = BH.CH * Học sinh cần đạt qua bài tập - Vẽ hình bài toán chính xác theo giả thiết đề bài. - Chứng minh được BAH ∽ BCA (g.g) - Biết phân tích, lựa chọn chứng minh hai tam giác đồng dạng phù hợp suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ để chứng minh một hệ thức hình học có dạng a2 = b.c. Học sinh đọc đề vẽ hình và tóm tắt GT, ∆ABC vuông tại A và AH là KL bài toán GT đường cao (H BC) a) BAH ∽ BCA KL b) AB2 = BH.BC trang 18
  19. 2 A c) AH = BH.CH Bài giải: a) Xét BAH và BCA Ta có B C · · H ABH CBA (là góc B) Sơ đồ phân tích: A· HB C· AB 900 Vậy BAH ∽ BCA a) BAH ∽ BCA AB BH  b) Suy ra · · BC AB ABH CBA (là góc B) AB2 BH.BC A· HB C· AB 900 b) AB2 = BH.BC  AB BH BC AB c) Xét HAC và HBA  BAH ∽ BCA Ta có : · · 0 c) AH2 = BH.CH AHC BHA 90 · µ ·  CAH B (cùng phụ BAH ) AH CH Vậy HAC ∽ HBA BH AH AH CH Suy ra  BH AH HAC : HBA Do đó AH2 = BH.CH  A· HC B· HA 900 · µ · CAH B (cùng phụ BAH ) * Nhận xét: Ngoài các hệ thức trên ta còn có thể chứng minh được các hệ thức khác AC2 = BC.CH hoặc AB.AC = BC.BH. Đây là các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông sẽ được học ở lớp 9 ta cần ghi nhớ để vận dụng. Ví dụ 7: (Bài 53 trang 97SBT Toán 8, tập hai) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A xuống BD. a) Chứng minh AHB∽ BCD b) Chứng minh AD2 = DH.DB c) Tính độ dài đoạn thẳng AH * Học sinh cần đạt qua bài tập trang 19
  20. - Vẽ hình bài toán chính xác theo giả thiết đề bài. - Vận dụng phù hợp các trường hợp đồng dạng của hai tam giác để chứng minh hai tam giác đồng dạng. - Biết phân tích, lựa chọn chứng minh hai tam giác đồng dạng phù hợp suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ để chứng minh một hệ thức hình học có dạng a2 = b.c, tính độ dài đoạn thẳng. Hình vẽ Hình chữ nhật ABCD có A 12 B GT AB = 12cm, BC = 9cm, AH  BD AHB∽ BCD 9 a) KL 2 H b) AD = DH.DB c) Tính AH = ? D C Bài giải: Sơ đồ phân tích: a) AHB∽ BCD a) Ta có:  A· HB B· CD 900 A· HB B· CD 900 A· BH B· DC(so le trong do AB//CD) A· BH B· DC(so le trong do AB//CD) Vậy AHB∽ BCD HDA và ADB b) AD2 = DH.DB b) Xét  A· HD D· AB 900 AD DH · · ADH ADB(là góc chung) DB AD Do đó HDA ∽ ADB  AD DH HDA : ADB DB AD  Suy ra AD2 = DH.DB A· HD D· AB 900 A· DH A· DB(là góc ADB) c) Áp dụng định lí Pytago trong Giáo viên hướng dẫn học sinh từ hai BCD vuông tại C ta có tam giác đồng dạng ở câu a lập tỉ lệ BD BC2 CD2 thức giữa các cạnh đã biết độ dài và cạnh cần tính 92 122 15cm a) AH = ? BD = ? AH AB Do AHB∽ BCD nên BC BD BC.AB 9.12 AH 7,2cm BD 15 * Phương pháp giải: a c Để chứng minh đẳng thức dạng ;ad bc;a2 bc ta thường nghĩ đến b d chứng minh hai tam giác đồng dạng. Việc lựa chọn hai tam giác đồng dạng trang 20
  21. được xác định thường chọn ba đỉnh từ hai cạnh nằm phía trên tử và ba đỉnh từ hai cạnh nằm phía dưới mẫu của tỉ lệ thức lập thành hai tam giác và kiểm tra xem chúng có đồng dạng hay không? Hoặc chọn ba đỉnh từ hai cạnh của một tỉ số xem chúng có đồng dạng không? * Giáo viên hệ thống lại từ các bài tập từ ví dụ 1 đến ví dụ 7: - Khắc sâu về các cách thức chứng minh, nhận biết hai tam giác đồng dạng đặc biệt là trường hợp đồng dạng thứ ba được dùng nhiều. - Dùng định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. - Để chứng minh hai góc bằng nhau ta tìm cặp tam giác có chứa hai góc đó chứng minh đồng dạng. - Để chứng minh đẳng thức hình học hay tính độ dài đoạn thẳng ta thiết lập tỉ lệ thức từ đẳng thức đó ta phải tìm ra các cặp tam giác đồng dạng. Dạng 3: Bài tập vận dụng tam giác đồng dạng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (Bài tập phát triển trí lực học sinh ở mức độ vừa) Giáo viên cho học sinh học tập một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau từ việc vận dụng tam giác đồng dạng. Dạng bài tập này thường dùng ở câu cuối trong mỗi bài hình hoặc trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8. a b c c Phương pháp: Để chứng minh a = b ta chứng minh hoặc hoặc c c a b a b a và x = y hoặc 1 x y b Ví dụ 8 : Cho hình thang ABCD(AB//CD) có AC cắt BD tại O. Đường thẳng qua O song song với hai đáy hình thang cắt AD, BC theo thứ tự tại E, F. Chứng minh : OE = OF * Tác dụng của bài toán : -Về kiến thức:+Củng cố lại các kiến thức : Hệ quả định lí Ta-lét, tính chất của tỉlệ thức. +Tập dượt cho học sinh cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau bằng cách áp dụng kiến thức để chứng minh a = b ta chứng minh a b c c hoặc c c a b -Về kỹ năng:Vẽ hai đoạn thẳng song song, vẽ hình thang, chứng minh tỉ lệ thức, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. - Về thái độ: Học sinh biết quan sát, dự đoán, trình bày chứng minh một bài toán chứng minh hình. Hình vẽ: GT hình thang ABCD(AB//CD) có A B AC cắt BD tại O. AB//EF//CD KL OE = OF F E OA OB O Vì AB//CD nên (hệ quả OC OD D C định lí Ta-lét) trang 21
  22. Sơ đồ phân tích tìm lời giải OA OB OE = OF OA OC OB OD  OA OB OE OF hay (1) AC BD CD CD  OE OA Vì OE//CD (EF//CD) nên (2) OE OA OF OB OA OB CD AC ; ; CD AC CD BD AC BD OF OB Vì OF//CD(EF//CD) nên (3)    CD BD OA OB OE OF OE//CD OF//CD Từ (1), (2) và (3) suy ra OC OD CD CD OE = OF  AB//CD Nhận xét: ngoài ra ta cũng có thể chứng minh OE OD OF OC OD OC ; ; AB BD AB AC BD AC từ đó suy ra OE OF AB AB Nhận xét: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau bằng cách áp dụng kiến a b c c thức để chứng minh a = b ta chứng minh hoặc c c a b Ví dụ 9: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P tuỳ ý và gọi Q là giao điểm của PM và AC, E là giao điểm của QN và đường thẳng CD. Chứng minh: PC = CE * Tác dụng của bài toán: + Về kiến thức: Học sinh - Củng cố lại các kiến thức: hình chữ nhật, tia đối, đường trung bình, hệ quả định lí Ta-lét. - Tập dượt cho học sinh cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau bằng cách áp dụng kiến thức để chứng minh a = b a b ta chứng minh và x = y x y + Về kỹ năng: - Vẽ hình chữ nhật; vẽ trung điểm của một đoạn thẳng ; - Trình bày chứng minh được: Đoạn thẳng bằng nhau bằng cách áp dụng a b kiến thức để chứng minh a = b ta chứng minh và x = y. x y - Phát triển được trí lực qua các thao tác: Vẽ hình bài toán, dự đoán, tìm tòi phân tích và trình bày chứng minh. trang 22
  23. Hình vẽ Hình chữ nhật ABCD có A B Q MA=MD; BN = NC GT PN cắt AC tại Q, QN cắt DC M N I tại E. KL PC = CE P D C E Bài giải Gọi I là giao điểm của AM và AC. Ta có AM//CN và AM = CN nên tứ giác Sơ đồ phân tích: AMCN là hình bình hành. PC = CE Gọi I là giao điểm của MN và AC.  Suy ra MI = IN; AI = IC Ta có MI//PC (MI//CD) và IN//CE MI IN MI = IN; Nên theo hệ quả của định lí Thales, ta có PC CE MI QI IN QI ;  PC QC CE QC MI QI IN QI ; MI IN PC QC CE QC Suy ra PC CE   Mà MI = IN nên PC = CE MI//PC; IN//CE  MN//CD Nhận xét: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau bằng cách áp dụng kiến x y thức để chứng minh a = b ta chứng minh và x = y. a b Ví dụ 10: Cho ABC có trung tuyến AM, phân giác trong AD (M,D BC). Trên tia BA,CA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho B· ME B· AD , C· DF C· AM . a) Chứng minh BD.BM = BA.BE. b) Chứng minh BE = CF. * Tác dụng của bài toán: + Về kiến thức: Học sinh - Củng cố lại các kiến thức: Đường trung tuyến, tính chất đường phân giác của tam giác, trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác. - Tập dượt cho học sinh cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau bằng a cách áp dụng kiến thức để chứng minh a = b ta chứng minh 1 b + Về kỹ năng: - Vẽ trung tuyến, đường phân giác của tam giác, vẽ hai góc bằng nhau. - Trình bày chứng minh được: Hai tam giác đồng dạng, đẳng thức hình học, hai đoạn thẳng bằng nhau bằng cách áp dụng kiến thức để chứng a minh a = b ta chứng minh 1 b trang 23
  24. - Phát triển được trí lực qua các thao tác: Vẽ hình bài toán, dự đoán, tìm tòi phân tích và trình bày chứng minh. Giáo viên cho học sinh vẽ hình, ghi GT, KL bài toán ABC có trung tuyến AM, GT phân giác trong AD (M,D BC) A B· ME B· AD, C· DF C· AM KL a) BD.BM = BA.BE. E F b) BE = CF. a) Chứng minh BD.BM = BA.BE. Xét BEM và BDA có: B D M C E· BM A· BD(góc chung) Học sinh dễ dàng phân tích chứng B· ME B· AD (gt) minh câu a như đã hướng dẫn ở dạng 2 Vậy BEM : BAD chứng minh một hệ thức hình học. BE BM Suy ra BD BA Do vậy BD.BM = BA.BE (1) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng b) Chứng minh BE = CF minh câu b Xét CDF và CAM có: F· CD A· CM (góc chung) C· DF C· AM (gt) Vậy CDF∽ CAM Học sinh dễ dàng phân tích chứng CD CF minh CD.CM = CA.CF Suy ra CA CM Do vậy CD.CM = CA.CF (2) Chia (1) cho (2) vế theo vế ta được BD BA.BE BE (Vì BM = CM) (*) Thiết lập tỉ số CD CA.CF CF · BD Vì AD là đường phân giác của BAC Ta có ? BD BA CD nên ( ) CD CA BE Từ (*) và ( ) ta suy ra = 1 CF Vậy BE = CF (đpcm) Nhận xét: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhaubằng cách áp dụng kiến a thức để chứng minh a = b ta chứng minh 1 b 2.4. Kết quả thực hiện. Việc áp dụng sáng kiến “Giúp học sinh tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng vào giải một số dạng toán chứng minh Hình học 8” đã góp phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán 8. trang 24
  25. Cụ thể, sau khi học sinh học xong chương III, trong đề kiểm tra viết, phần tự luận tôi dùng bài toán sau cho học sinh hai lớp với lực học tương đối bằng nhau 8A3 (Không áp dụng sáng kiến ) và lớp 8A4 (áp dụng sáng kiến ) như sau: Bài toán: Cho ABC vuông tại A, có AH là đường cao ((H BC). Biết AB = 6cm, AC = 8cm. a) Chứng minh ABC ∽ HBA từ đó suy ra AB2 = BH.BC. b) Tính độ dài AH, BH. c) Tia phân giác BD của góc ABC cắt AH tại I (D AC). Chứng minh AID cân. d) Kẽ trung tuyến BM (M AC). Trên tia BA, BC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho A· BD A· ME;C· DF C· BM . Chứng minh AE = CF. * Mục tiêu kiểm tra đánh giá HS qua câu bài của bài toán là: - Học sinh vẽ hình bài toán chính xác theo giả thiết đề bài; sử dụng thành thạo dụng cụ êke, thước đo góc, compa trong vẽ hình bài toán. B - Đánh giá mức độ học tập của HS qua các cấp độ ở câu bài; cụ thể: H + Học sinh yếu: làm được câu a. + Học sinh trung bình: làm tốt câu a, b và có I khả năng làm được câu c. + Học sinh khá: làm tốt các câu a, b, c và có khả năng làm được câu d. A D C + Học sinh giỏi: làm tốt tất cả các câu. * Học sinh cần đạt được các yêu cầu là: - Hình vẽ bảo đảm chính xác giả thiết đề bài đã cho đến câu a,b đối với học sinh từ trung bình trở xuống. - Câu a) Trình bày có căn cứ và chứng minh được ABC ∽ HBA từ đó suy ra AB2 = BH.CB. - Câu b)Dùng định lí Pytago để tính cạnh BC =10cm rồi dựa vào kết quả câu a có AB2= BH.BC tính được BH = 3,6 cm. Học sinh tính AH có thể dùng định lí Pytago hoặc từ ABC ∽ HBA suy ra AC BC AC.AB 8.6 AH 4,8cm AH AB BC 10 - Câu c) Học sinh biết trình bày, chứng minh được BHI ∽ BAD (g-g) để suy ra B· IH B· DA · · · · Mà BIH AID (đối đỉnh) nên suy ra AID ADItừ đó B AIDcân tại I. - Câu d) Học sinh biết vẽ hình theo giả thiết và vận H dụng trường hợp đồng dạng thứ ba trình bày có căn cứ E I các tam giác đồng dạng F ABD ∽ AME (g g) AD.AM AB.AE(*) A D M C trang 25
  26. CDF∽ CBM (g g) CD.CM CF.BC( ) AD AB.AE Từ (*), ( ) kết hợp với CM = AM suy ra CD BC.CF BD BA Vì AD là đường phân giác của B· AC nên CD CA BE Do đó = 1. Vậy BE = CF (đpcm) CF * Qua chấm bài, thống kê kết quả; đối chiếu bài làm thì so sánh được kết quả học sinh đạt được trong trường hợp không áp dụng sáng kiến và sau khi áp dụng sáng kiến của hai lớp theo các tiêu chí trong bảng sau: Không áp dụng Sáng Sau khi áp dụng Sáng kiến kiến Năm học 2019 - 2020 Năm học 2019 - 2020 Các tiêu chí minh Lớp 8A3- sĩ số 33 Lớp 8A4 - sĩ số 33 chứng Đạt yêu Chưa đạt Đạt yêu Chưa đạt cầu SL/Tỉ SL/Tỉ lệ cầu SL/Tỉ SL/Tỉ lệ lệ lệ 1. Kỹ năng vẽ hình 20 13 27 6 chính xác theo giả thiết 60,6% 39,4% 81,8% 18,2% bài toán 2. Kỹ năng nắm hiểu giả thiết đề bài, thông hiểu yêu cầu cần làm 14 19 25 8 của mỗi câu bài (phù 42,4% 57,6% 75,8% 24,2% hợp với sức học của cá nhân HS) 3. Kỹ năng trình bày bài giải (đạt điểm tối đa của câu bài đó) Câu a 16 17 27 6 (Mức độ HS yếu) 48,5% 51,5% 81,8% 18,2% Câu b 10 23 24 9 (Mức độ HS trung 30,3% 69,7% 72,7% 27,3% bình) Câu c 6 27 18 15 (Mức độ HS T.bình, 18,2% 81,8% 54,5% 45,5% khá) Câu d 1 32 11 22 (Mức độ HS khá, giỏi) 3,0% 97,0% 33,3% 66,7% trang 26
  27. Kết quả này cho thấy việc vận dụng sáng kiến này trong một thời gian ngắn nhưng chất lượng cũng được nâng lên rõ rệt. Học sinh nắm chắc hơn, tự tin hơn vận dụng tam giác đồng dạng vào giải toán một cách linh hoạt, ít sai lầm hơn. Tuy kết quả chưa cao nhưng cũng khởi sắc về học tập, tỉ lệ học sinh yếu, kém được giảm đi. Hơn nữa kiến thức được khắc sâu hơn, học sinh tự tin vận dụng vào giải toán hơn. 3. Kết luận và khuyến nghị. 3.1. Những kết luận đánh giá cơ bản nhất về sáng kiến. * Sáng kiến được tiến hành triển khai từ học kỳ II năm học 2019- 2020 cho đến thời điểm giảng dạy hiện tại. Qua thực tế vận dụng trong giảng dạy tôi thấy có tính khả thi, bởi cơ sở những nhận định sau đây: -Nội dung sáng kiến bám sát với cấu trúc chương trình hình học lớp 8 trong SGK hiện hành. - Sáng kiến bám sát với từng đối tượng học sinh lớp dạy cụ thể: + Bài tập trong sáng kiến phù hợp với từng loại hình tiết dạy trên lớp: Tiết dạy tiết luyện tập, tiết ôn tập chương hay ôn tập học kỳ. + Bài tập trong sáng kiến căn cứ vào mục đích sử dụng bài tập trong từng tiết luyện tập, sau khi học sinh học xong một nội dung kiến thức mới. + Nội dung sáng kiến phù hợp với thực tế giảng dạy và sức học của học sinh lớp 8 diện đại trà có chú trọng tính phân hóa cho học sinh giỏi phát huy trí lực. * Lợi ích và hiệu quả mà sáng kiến của bản thân đạt được là tác động tích cực đến quá trình giáo dục học sinh lớp 8 qua môn toán, cụ thể: - Học sinh yếu và trung bình được rèn luyện một số kỹ năng cơ bản như: kỹ năng vẽ hình, nắm hiểu giả thiết và kết luận, kỹ năng xác định đỉnh tương ứng, cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng trong mỗi trường hợp cụ thể, kỹ năng phân tích, tìm tòi cách giải, biết vận dụng tam giác đồng dạng vào giải quyết được một số dạng toán thường gặp ở các câu, bài ở cấp độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp. - Học sinh khá giỏi bước đầu có cơ hội được trau dồi với một số câu nâng cao thường gặp mà vì nhiều lí do trong chương trình sách giáo khoa ít đề cập, từ đó dần phát huy được năng lực học toán, phát triển tư duy cho học sinh. - Học sinh được phát huy đầy đủ năng lực của mình thông qua những bài tập cơ bản trong SGK đến những bài tập tổng hợp, xâu chuỗi được nhiều hệ thống kiến thức hình học 8 để tập dượt các kỹ năng căn bản cho học sinh, tập dượt “thuần thục” kỹ năng viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng chính xác, trình bày giải các bài tập căn bản về chứng minh hai tam giác đồng dạng, hai góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh một hệ thức hình học, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, bồi dưỡng để nâng dần năng lực giải toán hình học cho học sinh khá giỏi. Từ đó khơi dậy niềm đam mê, sự hứng thú và yêu thích môn học, dần hình thành khả năng tự giác học tốt môn toán, để học tốt các môn khác. -Dần hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học qua việc xây dựng hệ thống bài tập. trang 27
  28. - Tạo nền tảng giúp học sinh học tốt hơn một số chủ điểm kiến thức Hình học lớp 9 sau này bởi tính liên thông xây dựng kiến thức và phối hợp vận dụng giữa các chủ điểm kiến thức trong quá trình học tập hình học bậc THCS. - Chất lượng học sinh học tập môn hình lớp 8 tăng lên đáng kể. 3.2. Các đề xuất khuyến nghị. Để sáng kiến này được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả thì bản thân tôi đã lưu ý một số vấn đề sau: - Trong quá trình giảng dạy, cần nắm bắt trí lực học tập của học sinh lớp dạy để triển khai vận dụng phù hợp. - Với học sinh có trí lực học tốt môn hình thì cần có kế hoạch bồi dưỡng riêng. Nội dung sáng kiến phù hợp với cấu trúc nội dung chương trình SGK hiện hành. Những triển vọng bản thân có thể đạt được nếu vận dụng hiệu quả sáng kiến này vào giảng dạy là: - Làm cho học sinh nắm chắc kiến thức căn bản, cốt lõi về tam giác đồng dạng, nâng cao dần về mặt bằng kiến thức và kỹ năng vận dụng cho học sinh diện đại trà. -Học sinh trung bình, yếu tự tin học tập phân môn Hình học hơn và biết cách tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng vào giải toán, từ đó các em có thể vận dụng cho việc học các chủ điểm kiến thức khác. - Kết hợp mật thiết giữa học, luyện tập và hệ thống lại kiến thức đã vận dụng qua bài tập. - Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. Hằng năm, trong các cuộc thi viết sáng kiến ở các cấp nên tạo điều kiện cho giáo viên tham khảo các sáng kiến đã áp dụng có hiệu quả trong ngành để giáo viên có cơ hội học hỏi nghiệp vụ trong giảng dạy và nghiên cứu học hỏi tích lũy chuyên môn qua sáng kiến . Trên đây là sáng kiến của bản thân tôi trong việc “Giúp học sinh tháo gỡ khó khăn khi vận dụng tam giác đồng dạng vào giải một số dạng toán chứng minh Hình học 8". Nó không chỉ áp dụng có hiệu quả tại Trường THCS Hoài Thanh Tây mà có thể áp dụng có hiệu quả cho tất cả giáo viên giảng dạy Toán 8 tại các Trường THCS trên địa bàn thị xã và tỉnh nhà. Lời cam đoan: Trên đây là sáng kiến bản thân tôi tự nghiên cứu và viết, không sao chép của người khác. Tôi xin cam đoan và chịu trách nghiệm về nội dung của mình. Nếu có điều gì gian dối tôi xin chịu hoàn toàn trước pháp luật, ngành. Hoài Thanh Tây, ngày 02 tháng 01 năm 2021 Người viết Nguyễn Hữu Lơ trang 28
  29. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Toán 8, sách giáo viên môn Toán 8. - Sách bài tập Toán 8(Nhà xuất bản Giáo dục- năm 2004) - Các Tạp chí Giáo dục, Nghiên cứu giáo dục. (Tạp chí lý luận- Khoa học giáo dục - Bộ Giáo dục và Đào tạo) - Tham khảo một số tài liệu trên internet. trang 29
  30. NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH SÁNG KIẾN CÁC CẤP 1.TỔ CHUYÊN MÔN 2. HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG: trang 30