Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (Có đáp án)

1. Bài 6. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Hệ thức Vi-ột và ứng dụng 2 ▪ Xột phương trỡnh bậc hai ax bx c 0(a 0) . Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh thỡ b S x x 1 2 a ▪ . c P x x 1 2 a 2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ột ▪ Nhẩm nghiệm phương trỡnh bậc hai. Xột phương trỡnh bậc hai ax2 bx c 0,(a 0) . c ✓ Nếu a b c 0 thỡ phương trỡnh cú một nghiệm là x 1, nghiệm kia là x . 1 2 a c ✓ Nếu a b c 0 thỡ phương trỡnh cú một nghiệm là x 1, nghiệm kia là x . 1 2 a ▪ Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chỳng. Nếu hai số cú tổng bằng S và tớch bằng P thỡ hai số đú là nghiệm của phương trỡnh X 2 Sx P 0 . B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Khụng giải phương trỡnh, tớnh giỏ trị của biểu thức đối xứng giữa cỏc nghiệm ỡ ù a ạ 0 ▪ Bước 1: Tỡm điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm ớ . Từ đú ỏp dụng hệ thức Vi-ột ù D ³ 0 ợù - b c S = x + x = và P = x x = . 1 2 a 1 2 a ▪ Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa cỏc nghiệm của đề bài theo tổng x1 + x2 và x1x2 rồi ỏp dụng bước 1. Vớ dụ 1. Đối với mỗi phương trỡnh sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trỡnh (nếu cú) Khụng giải phương trỡnh hóy điền vào chỗ trống 2 a) x 4x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 b) 4x 4x 1 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 c) 3x x 3 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 d) x 7x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . Vớ dụ 2. Đối với mỗi phương trỡnh sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trỡnh (nếu cú) Khụng giải phương trỡnh hóy điền vào chỗ trống 2 a) x 3x 4 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 b) x 6x 9 0 , , x1 x2 , x1x2 .
2. 2 c) 2x x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 d) x 5x 1 0, , x1 x2 , x1x2 . Vớ dụ 3. Khụng giải phương trỡnh sau, tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm phương trỡnh sau a) x2 3x 5 0 . ĐS: S 3, P 5 . 7 12 b) 5x2 7x 12 0 . ĐS: S , P . 5 5 7 1 c) 4x2 7x 2 0. ĐS: S , P . 4 2 d) 3x2 21x 12 0 . ĐS: S 7 3, P 4 3 . Vớ dụ 4. Khụng giải phương trỡnh sau, tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm phương trỡnh sau a) x2 2x 5 0 . ĐS: S 2, P 5 . 3 7 b) 5x2 3x 7 0. ĐS: S , P . 5 5 7 3 c) 5x2 7x 3 0 . ĐS: S , P . 5 5 d) 2x2 10x 2 0 . ĐS: S 5 2, P 2 . 2 Vớ dụ 5. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x 2x 1 0 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau 2 2 a) A x1 x2 . ĐS: 6 . 2 2 b) B x1 x2 x1xx . ĐS: 2 . 1 1 c) C . ĐS: 2 . x1 x2 x x d) D 2 1 . ĐS: 6 . x1 x2 2 Vớ dụ 6. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x x 3 0 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau 2 2 a) A x1 x2 . ĐS: 7 . 2 2 b) B x1 x2 x1xx . ĐS: 3 . 1 1 1 c) C . ĐS: . x1 x2 3
3. x x 7 d) D 2 1 . ĐS: . x1 x2 3 Dạng 2: Giải phương trỡnh bằng cỏch nhẩm nghiệm ▪ Sử dụng hệ thức Vi-ột. Vớ dụ 7. Xột tổng a b c hoặc a b c rồi tớnh nhẩm cỏc nghiệm của phương trỡnh sau a) x2 3x 2 0 . ĐS: 1;2. 2 10 b) 3x 7x 10 0 . ĐS: 1;  . 3  2 1 c) 3x 4x 1 0 . ĐS: 1;  . 3 2 3 3  d) 3x x 1 3 0. ĐS: 1; . 3  Vớ dụ 8. Xột tổng a b c hoặc a b c rồi tớnh nhẩm cỏc nghiệm của phương trỡnh sau a) x2 3x 4 0 . ĐS: 1; 4 . 2 5 b) 2x 7x 5 0 . ĐS: 1; . 2 2 1 c) 6x 5x 1 0. ĐS: 1; . 6 d) x2 2x 1 2 0 . ĐS: 1; 1 2 . Vớ dụ 9. Sử dụng định lý Vi-ột tớnh nhẩm nghiệm của phương trỡnh a) x2 7x 10 0 . ĐS: 2;5. b) x2 7x 10 0 . ĐS: 2; 5. Vớ dụ 10. Sử dụng định lý Vi-ột tớnh nhẩm nghiệm của phương trỡnh a) x2 5x 6 0 . ĐS: 2; 3. b) x2 5x 6 0 . ĐS: 2;3 . Vớ dụ 11. Cho phương trỡnh x2 mx m 1 0 . Chứng minh phương trỡnh đó cho luụn một nghiệm khụng phụ thuộc vào m . Tỡm nghiệm cũn lại. ĐS: 1;m 1. Vớ dụ 12. Cho phương trỡnh x2 mx m 1 0 . Chứng minh phương trỡnh đó cho luụn một nghiệm khụng phụ thuộc vào m . Tỡm nghiệm cũn lại. ĐS: 1; m 1.
4. Dạng 3: Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chỳng ▪ Để tỡm hai số x,y khi biết tổng S = x + y và tớch P = xy , ta làm như sau 2 ▪ Bước 1: Giải phương trỡnh X - Sx + P = 0 để tỡm cỏc nghiệm X 1,X 2 . ▪ Bước 2: Suy ra cỏc số x,y cần tỡm là (x,y) = (X 1,X 2 ) hoặc (x,y) = (X 2,X 1). Vớ dụ 13. Tỡm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau a) u v 5 và uv 14 . ĐS: 2 và 7 . b) u v 5 và uv 24 . ĐS: 3 và 8 . Vớ dụ 14. Tỡm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau a) u v 6 và uv 16 . ĐS: 2 và 8 . 1 1 b) u v 1 và uv . ĐS: . 4 2 Vớ dụ 15. Lập phuơng trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là 2 1 và 2 1. ĐS: x2 2 2x 1 0 . Vớ dụ 16. Lập phuơng trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là 5 và 7 . ĐS: x2 2x 35 0 . 2 Vớ dụ 17. Cho phương trỡnh x 3x 1 0 cú hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trỡnh bậc hai cú 1 1 2 2 2 hai nghiệm là và x1 x2 . ĐS: x 10x 21 0 . x1 x2 2 Vớ dụ 18. Cho phương trỡnh x 4x 2 0 cú hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trỡnh bậc hai cú 1 1 hai nghiệm là và . ĐS: 2x2 4x 1 0 . x1 x2 Dạng 4: Phõn tớch tam giỏc bậc hai thành nhõn tử ▪ Xột tam thức bậc hai ax 2 + bx + c,(a ạ 0) . Nếu phương trỡnh bậc hai ax 2 + bx + c = 0 cú hai nghiệm x1,x2 thỡ tam thức được phõn tớch thành 2 ax + bx + c = a(x - x1)(x - x2 ). Vớ dụ 19. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a) x2 2x 3 . ĐS: (x 1)(x 3) . 2 1 b) 3x 2x 1. ĐS: 3(x 1) x . 3 c) x2 ( 2 1)x 2 . ĐS: (x 1) x 2 . d) x2 mx m 1. ĐS: (x 1)(x m 1) . Vớ dụ 20. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a) x2 3x 4 . ĐS: (x 1)(x 4) .
5. 2 1 b) 4x 3x 1. ĐS: 4(x 1) x . 4 c) x2 ( 3 1)x 3 . ĐS: (x 1) x 3 . d) x2 mx m 1. ĐS: (x 1)(x m 1) . Dạng 5: Xột dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh bậc hai Xột phương trỡnh bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c = 0,(a ạ 0) . Khi đú ▪ Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu khi và chỉ khi P 0 ▪ Phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu khi và chỉ khi ớ . ù P > 0 ợù ỡ ù D > 0 ù ▪ Phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt khi và chỉ khi ớ S > 0 . ù ù P > 0 ợù ỡ ù D > 0 ù ▪ Phương trỡnh cú hai nghiệm õm phõn biệt khi và chỉ khi ớ S 0 ợù Vớ dụ 21. Cho phương trỡnh x2 2(m 2)x m 1 0. Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm trỏi dấu. ĐS: m 1. b) Cú hai nghiệm phõn biệt. ĐS: mọi m . c) Cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu. ĐS: m 1. d) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. ĐS: m 1. e) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. ĐS: khụng tồn tại m . Vớ dụ 22. Cho phương trỡnh x2 2mx m 1 0 . Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm trỏi dấu. ĐS: m 1. b) Cú hai nghiệm phõn biệt. ĐS: mọi m . c) Cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu. ĐS: m 1. d) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. ĐS: khụng tồn tại. e) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. ĐS: m 1. Dạng 6: Xỏc định điều kiện của tham số để phương trỡnh bậc hai cú nghiệm thỏa món hệ thức cho trước ▪ Bước 1: Điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm D ³ 0 . ▪ Bước 2: Từ hệ thức cho trước và hệ thức Vi-ột, ta tỡm được điều kiện của tham số.
6. Vớ dụ 23. Cho phương trỡnh x2 4x m 0 . Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh cú hai 2 2 nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món x1 x2 10 . ĐS: m 3 . Vớ dụ 24. Cho phương trỡnh x2 2x m 1 0. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh cú 3 hai nghiệm phõn biệt x , x thỏa món x2 x x x2 1. ĐS: m . 1 2 1 2 1 2 2 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Khụng giải cỏc phương trỡnh, tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm phương trỡnh sau a) x2 5x 7 0 . ĐS: S 5, P 7 . b) x2 3x 12 0 . ĐS: S 3, P 12 . c) 2x2 4x 8 0 . ĐS: S 2 2, P 4 2 . 5 1 d) 6x2 5x 2 . ĐS: S , P . 6 3 2 Bài 2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x 3x 5 0 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức a) A 3(x1 x2 ) x1x2 . ĐS: 4 . 2 2 b) B x1 x2 . ĐS: 19. 2 c) C (x1 x2 ) . ĐS: 29 . x x 19 d) D 2 1 . ĐS: . x1 x2 5 Bài 3. Tớnh nhẩm cỏc nghiệm của phương trỡnh sau a) x2 5x 6 0. ĐS: 1; 6 . b) 2x2 7x 5 0 . ĐS: 1;5 . c) x2 ( 5 1)x 2 5 0 . ĐS: 1;2 5. d) x2 2x 15 0 . ĐS: vụ nghiệm. Bài 4. Tỡm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau a) u v 5 và uv 14 . ĐS: 2 và 7 . b) u v 4 và uv 21. ĐS: 3 và 7 . Bài 5. Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là 3 1 và 3 1. ĐS: x2 2 3x 2 0 .
7. 2 Bài 6. Cho phương trỡnh x 5x 2 0 cú hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trỡnh bậc hai cú hai 1 1 nghiệm là và . ĐS: 2x2 5x 1 0 . x1 x2 Bài 7. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử a) x2 3x 4 . ĐS: (x 1)(x 4) . 2 1 b) 4x 5x 1. ĐS: 4(x 1) x . 4 c) x2 ( 2 1)x 2 . ĐS: (x 1) x 2 . d) x2 (m 1)x m . ĐS: (x 1)(x m) . Bài 8. Cho phương trỡnh x2 2(m 2)x m 1 0. Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. ĐS: mọi m . b) Cú hai nghiệm phõn biệt trỏi dấu. ĐS: m 1. c) Cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu. ĐS: m 1. d) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. ĐS: m 1. e) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. ĐS: khụng tồn tại m . Bài 9. Cho phương trỡnh x2 2(m 1)x m 2 0. Tỡm m để phương trỡnh a) Cú nghiệm. ĐS: mọi m . b) Cú một nghiệm bằng 2 . Tỡm nghiệm cũn lại. ĐS: m 2 , x2 0 . 5 c) Cú hai nghiệm phõn biệt x , x thỏa món x2 x2 8. ĐS: m 0 hoặc m . 1 2 1 2 2
8. HƯỚNG DẪN GIẢI Vớ dụ 1.Đối với mỗi phương trỡnh sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trỡnh (nếu cú) Khụng giải phương trỡnh hóy điền vào chỗ trống 2 a) x 4x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 b) 4x 4x 1 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 c) 3x x 3 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 d) x 7x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . Lời giải. 2 2 a) x 4x 5 0, (2) ( 5) 9 , x1 x2 4 , x1x2 5. 1 b) 4x2 4x 1 0, 0 , x x 1, x x . 1 2 1 2 4 1 c) 3x2 x 3 0, 37 , x x , x x 1. 1 2 3 1 2 2 d) x 7x 5 0, 29 , x1 x2 7 , x1x2 5. Vớ dụ 2.Đối với mỗi phương trỡnh sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trỡnh (nếu cú) Khụng giải phương trỡnh hóy điền vào chỗ trống 2 a) x 3x 4 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 b) x 6x 9 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 c) 2x x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 2 d) x 5x 1 0, , x1 x2 , x1x2 . Lời giải. 2 a) x 3x 4 0, 25, x1 x2 3 , x1x2 4 . 2 b) x 6x 9 0, 0 , x1 x2 6 , x1x2 9 . 1 5 c) 2x2 x 5 0, 11, x x , x x . 1 2 2 1 2 2 2 d) x 5x 1 0, 29, x1 x2 5 , x1x2 1. Vớ dụ 3. Khụng giải phương trỡnh sau, tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm phương trỡnh sau a) x2 3x 5 0 . b) 5x2 7x 12 0 .
9. c) 4x2 7x 2 0. d) 3x2 21x 12 0 . Lời giải. Tất cả cỏc phương trỡnh trỡnh đó cho đều cú tớch ac 0 nờn luụn cú nghiệm. 2 a) x 3x 5 0 . x1 x2 3 , x1x2 5. 7 12 b) 5x2 7x 12 0 . x x , x x . 1 2 5 1 2 5 7 1 c) 4x2 7x 2 0. x x , x x . 1 2 4 1 2 2 2 d) 3x 21x 12 0 . x1 x2 7 3 , x1x2 4 3 . Vớ dụ 4. Khụng giải phương trỡnh sau, tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm phương trỡnh sau a) x2 2x 5 0 . b) 5x2 3x 7 0. c) 5x2 7x 3 0 . d) 2x2 10x 2 0 . 2 Vớ dụ 5. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x 2x 1 0 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau 2 2 2 2 a) A x1 x2 . b) B x1 x2 x1xx . 1 1 x x c) C . d) D 2 1 . x1 x2 x1 x2 Lời giải. Phương trỡnh cú tớch ac 1( 1) 1 0 nờn cú nghiệm phõn biệt x1 , x2 và x1 , x2 0 .Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 x2 2 và x1x2 1. 2 2 2 2 a) A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2 2( 1) 6 . 2 2 b) B x1 x2 x1xx x1x2 (x1 x2 ) ( 1)2 2 . 1 1 x x 2 c) C 1 2 2 . x1 x2 x1x2 1 x x x2 x 22 6 d) D 2 1 1 6 . x1 x2 x1x2 1 2 Vớ dụ 6. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x x 3 0 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau 2 2 2 2 a) A x1 x2 . b) B x1 x2 x1xx .
10. 1 1 x x c) C . d) D 2 1 . x1 x2 x1 x2 Lời giải. Phương trỡnh cú tớch ac 1( 1) 1 0 nờn cú nghiệm phõn biệt x1 , x2 và x1 , x2 0 .Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 x2 1 và x1x2 3. 2 2 2 2 a) A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 1 2( 3) 7 . 2 2 b) B x1 x2 x1xx x1x2 (x1 x2 ) 31 3 . 1 1 x x 1 1 c) C 1 2 . x1 x2 x1x2 3 3 x x x2 x2 7 7 d) D 2 1 1 2 . x1 x2 x1x2 3 3 Vớ dụ 7. Xột tổng a b c hoặc a b c rồi tớnh nhẩm cỏc nghiệm của phương trỡnh sau a) x2 3x 2 0 . b) 3x2 7x 10 0 . c) 3x2 4x 1 0 . d) 3x2 x 1 3 0. Lời giải. c a) x2 3x 2 0 . a b c 1 ( 3) 2 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x 1, x 2 . 1 2 a 10 b) 3x2 7x 10 0 . a b c 3 7 ( 10) 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x 1, x . 1 2 3 1 c) 3x2 4x 1 0 . a b c 3 4 1 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x 1, x . 1 2 3 2 d) 3x x 1 3 0. a b c 3 ( 1) 1 3 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 1, 3 3 x . 2 3 Vớ dụ 8. Xột tổng a b c hoặc a b c rồi tớnh nhẩm cỏc nghiệm của phương trỡnh sau a) x2 3x 4 0 . b) 2x2 7x 5 0 . c) 6x2 5x 1 0. d) x2 2x 1 2 0 . Lời giải. 2 a) x 3x 4 0 . a b c 1 3 ( 4) 0 nờn phương trỡnh cú nghiờm x1 1, x2 4 . 5 b) 2x2 7x 5 0 . a b c 1 7 5 0 nờn phương trỡnh cú nghiờm x 1, x . 1 2 2
11. 1 c) 6x2 5x 1 0. a b c 6 ( 5) ( 1) 0 nờn phương trỡnh cú nghiờm x 1, x . 1 2 6 2 d) x 2x 1 2 0 . a b c 1 2 ( 1 2) 0 nờn phương trỡnh cú nghiờm x1 1, x2 1 2 . Vớ dụ 9. Sử dụng định lý Vi-ột tớnh nhẩm nghiệm của phương trỡnh a) x2 7x 10 0 . b) x2 7x 10 0 . Lời giải. 2 x1 x2 7 a) x 7x 10 0 .Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 2, x2 5. x1x2 10 2 x1 x2 7 b) x 7x 10 0 .Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 2, x2 5.r x1x2 10 Vớ dụ 10. Sử dụng định lý Vi-ột tớnh nhẩm nghiệm của phương trỡnh2 a) x2 5x 6 0 . b) x2 5x 6 0 . Lời giải. 2 x1 x2 5 a) x 5x 6 0 .Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 2, x2 3. x1x2 6 2 x1 x2 5 b) x 5x 6 0 .Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 2, x2 3.r x1x2 10 Vớ dụ 11. Cho phương trỡnh x2 mx m 1 0 . Chứng minh phương trỡnh đó cho luụn một nghiệm khụng phụ thuộc vào m . Tỡm nghiệm cũn lại. Lời giải. Ta cú a b c 1 ( m) m 1 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 1, x2 m 1. Vớ dụ 12. Cho phương trỡnh x2 mx m 1 0 . Chứng minh phương trỡnh đó cho luụn một nghiệm khụng phụ thuộc vào m . Tỡm nghiệm cũn lại. Lời giải. Ta cú a b c 1 m m 1 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 1, x2 m 1. Vớ dụ 13. Tỡm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau a) u v 5 và uv 14 . b) u v 5 và uv 24 . Lời giải.
12. 2 x 7 a) u v 5 và uv 14 .u và v là nghiệm của phương trỡnh x 5x 14 0 x 2. u 7 u 2 Vậy hoặc v 2 v 7. 2 x 8 b) u v 5 và uv 24 .u và v là nghiệm của phương trỡnh x 5x 24 0 x 33. u 8 u 3 Vậy hoặc r v 3 v 8. Vớ dụ 14. Tỡm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau 1 a) u v 6 và uv 16 . b) u v 1 và uv . 4 Lời giải. 2 x 2 a) u v 6 và uv 16 .u và v là nghiệm của phương trỡnh x 6x 16 0 x 8. u 2 u 8 Vậy hoặc v 8 v 2. 1 1 1 b) u v 1 và uv .u và v là nghiệm của phương trỡnh x2 x 0 x . 4 4 2 1 Vậy u v . r 2 Vớ dụ 15. Lập phuơng trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là 2 1 và 2 1. Lời giải. Ta cú 2 1 2 1 2 2 và ( 2 1)( 2 1) 1 nờn hai số đó cho là nghiệm của phương trỡnh x2 2 2x 1 0. Vớ dụ 16. Lập phuơng trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là 5 và 7 . Lời giải. Ta cú 5 ( 7) 2 và 5( 7) 35 nờn hai số đó cho là nghiệm của phương trỡnh x2 2x 35 0. 2 Vớ dụ 17. Cho phương trỡnh x 3x 1 0 cú hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trỡnh bậc hai cú 1 1 2 2 hai nghiệm là và x1 x2 . x1 x2
13. Lời giải. Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 x2 3 và x1x2 1. 1 1 x1 x2 2 2 2 2 3.x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 3 21 7 . x1 x2 x1x2 Vậy phương trỡnh thỏa đề bài là x2 10x 21 0. 2 Vớ dụ 18. Cho phương trỡnh x 4x 2 0 cú hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trỡnh bậc hai 1 1 cú hai nghiệm là và . x1 x2 Lời giải. 1 1 x1 x2 4 1 1 1 1 Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 x2 4 và x1x2 2 . 2 và  . x1 x2 x1x2 2 x1 x2 x1x2 2 1 Vậy phương trỡnh thỏa đề bài là x2 2x 0 2x2 4x 1 0. 2 Vớ dụ 19. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a) x2 2x 3 . b) 3x2 2x 1. c) x2 ( 2 1)x 2 . d) x2 mx m 1. Lời giải. 2 2 x 1 2 a) x 2x 3 . x 2x 3 0 Vậy x 2x 3 (x 1)(x 3). x 3. x 1 2 2 2 1 b) 3x 2x 1.3x 2x 1 0 1 Vậy 3x 2x 1 3(x 1) x . x . 3 3 x 1 2 c) x2 ( 2 1)x 2 . x ( 2 1)x 2 0 Vậy x 2. x2 ( 2 1)x 2 (x 1) x 2 . 2 2 x 1 2 d) x mx m 1. x mx m 1 0 Vậy x mx m 1 (x 1)(x m 1). r x m 1. Vớ dụ 20. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a) x2 3x 4 . b) 4x2 3x 1. c) x2 ( 3 1)x 3 . d) x2 mx m 1. Lời giải.
14. 2 2 x 1 a) x 3x 4 . x 3x 4 0 x 4. Vậy x2 3x 4 (x 1)(x 4). x 1 2 2 b) 4x 3x 1. 4x 3x 1 0 1 x . 4 2 1 Vậy 4x 3x 1 4 x 1 x . 4 x 1 2 c) x2 ( 3 1)x 3 . x ( 3 1)x 3 0 x 3. Vậy x2 ( 3 1)x 3 (x 1) x 3 . 2 2 x 1 d) x mx m 1. x mx m 1 0 x m 1. Vậy x2 mx m 1 (x 1)(x m 1).r Vớ dụ 21. Cho phương trỡnh x2 2(m 2)x m 1 0. Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm trỏi dấu. b) Cú hai nghiệm phõn biệt. c) Cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu. d) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. e) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. Lời giải. 2 2 b c 2 m 2 4(m 1) 4m2 12m 20 2m 3 11.S 2(m 2). P m 1. a a a) Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu P 0 m 1 0 m 1. 2 b) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 0 2m 3 11 0, đỳng với mọi m . 0 2 2m 3 11 0 c) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu a m 1. P 0 m 1 0 c 0 2 (2m 3) 11 0 b d) Phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt S 0 2(m 2) 0 m 1. a m 1 0 c P 0 a
15. 0 2 (2m 3) 11 0 b m 2 e) Phương trỡnh cú hai nghiệm õm phõn biệt S 0 2(m 2) 0 a m 1 m 1 0 c P 0 a (Vụ lý). Vậy khụng tồn tại m . Vớ dụ 22. Cho phương trỡnh x2 2mx m 1 0 . Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm trỏi dấu. b) Cú hai nghiệm phõn biệt. c) Cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu. d) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. e) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. Lời giải. b c ( 2m)2 4( m 1) 4m2 4m 4 (2m 1)2 3.S 2m. P m 1. a a a) Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu P 0 m 1 0 m 1. b) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt (2m 1)2 3 0 , đỳng với mọi m . 0 (2m 1)2 3 0 c) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu m 1. P 0 m 1 0 0 (2m 1)2 3 0 m 0 d) Phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt S 0 2m 0 (Vụ m 1 P 0 m 1 0 lý). Vậy khụng tồn tại m . 0 (2m 1)2 3 0 m 0 e) Phương trỡnh cú hai nghiệm õm phõn biệt S 0 2m 0 m 1. m 1 P 0 m 1 0 Vớ dụ 23. Cho phương trỡnh x2 4x m 0 . Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh cú hai 2 2 nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món x1 x2 10 . Lời giải. ( 4)2 4m 16 4m . Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 0 16 4m 0 m 4. Theo định lý Vi-et ta cú x1 x2 4 và x1x2 m . Ta cú
16. 2 2 2 2 x1 x2 10 (x1 x2 ) 2x1x2 10 4 2m 10 m 3 . Vậy m 3. Vớ dụ 24. Cho phương trỡnh x2 2x m 1 0. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh cú 2 2 hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món x1 x2 x1x2 1. Lời giải. ( 2)2 4(m 1) 4 4m 4 8 4m. Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 0 8 4m 0 m 2. Theo ịnh lý Vi-et ta cú x x 2 và x x m 1. Ta cú đ 1 2 1 2 3 x2 x x x2 1 x x (x x ) 1 (m 1)2 1 m (thỏa món). 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 Vậy m . 2 Bài 1. Khụng giải cỏc phương trỡnh, tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm phương trỡnh sau a) x2 5x 7 0 . b) x2 3x 12 0 . c) 2x2 4x 8 0 . d) 6x2 5x 2 . Lời giải. Tất cả cỏc phương trỡnh đó cho đều cú tớch ac 0 nờn luụn cú nghiệm.2 2 a) x 5x 7 0 . x1 x2 5 , x1x2 7. 2 b) x 3x 12 0 . x1 x2 3 , x1x2 12. 2 c) 2x 4x 8 0 . x1 x2 2 2 , x1x2 4 2 . 5 1 d) 6x2 5x 2 6x2 5x 2 0. x x , x x . r 1 2 6 1 2 3 2 Bài 2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x 3x 5 0 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức 2 2 a) A 3(x1 x2 ) x1x2 . b) B x1 x2 . 2 x2 x1 c) C (x1 x2 ) . d) D . x1 x2 Lời giải. Theo định lý Vi-ột, ta cú x1 x2 3 và x1x2 5.
17. a) A 3(x1 x2 ) x1x2 33 ( 5) 4 . 2 2 2 2 b) B x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 3 2( 5) 19 . 2 2 2 c) C (x1 x2 ) x1 x2 2x1x2 19 2( 5) 29 . x x x2 x2 19 19 d) D 2 1 1 2 . x1 x2 x1x2 5 5 Bài 3. Tớnh nhẩm cỏc nghiệm của phương trỡnh sau2 a) x2 5x 6 0. b) 2x2 7x 5 0 . c) x2 ( 5 1)x 2 5 0 . d) x2 2x 15 0 . Lời giải. 2 a) x 5x 6 0.Ta cú a b c 1 ( 5) ( 6) 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 1, x2 6. 2 b) 2x 7x 5 0 .Ta cú a b c 2 7 5 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 1, x2 5. c) x2 ( 5 1)x 2 5 0 .Ta cú a b c 1 ( 5 1) 2 5 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 1, x2 2 5. d) x2 2x 15 0 .Ta cú ( 2)2 415 56 0 nờn phương trỡnh vụ nghiệm. Bài 4. Tỡm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau a) u v 5 và uv 14 . b) u v 4 và uv 21. Lời giải. 2 x 2 a) u v 5 và uv 14 . Hai số u và v là nghiệm của phương trỡnh x 5x 14 0 x 7. u 2 u 7 Vậy hoặc v 7 v 2. b) u v 4 và uv 21. Hai số u và v là nghiệm của phương trỡnh 2 x 7 u 7 u 3 x 4x 21 0 Vậy hoặc x 3. v 3 v 7. Bài 5. Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là 3 1 và 3 1. Lời giải. Ta cú ( 3 1) ( 3 1) 2 3 và ( 3 1)( 3 1) 2 nờn hai số đó cho là nghiệm của phương trỡnh x2 2 3x 2 0.
18. 2 Bài 6. Cho phương trỡnh x 5x 2 0 cú hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trỡnh bậc hai 1 1 cú hai nghiệm là và . x1 x2 Lời giải. Phương trỡnh cú tớch ac 2 0 nờn cú nghiệm. 1 1 x1 x2 5 5 Theo định lý Vi-et ta cú x1 x2 5 và x1x2 2.Ta cú và x1 x2 x1x2 2 2 1 1 1 1 1 5 1  nờn phương trỡnh cần tỡm là x2 x 0 2x2 5x 1 0. x1 x2 x1x2 2 2 2 2 Bài 7. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử a) x2 3x 4 . b) 4x2 5x 1. c) x2 ( 2 1)x 2 . d) x2 (m 1)x m . Lời giải. 2 x 1 2 a) x 3x 4 0 Vậy x 3x 4 (x 1)(x 4). x 4. x 1 2 2 1 b) 4x 5x 1 0 1 Vậy 4x 5x 1 4(x 1) x . x . 4 4 x 1 2 2 c) x ( 2 1)x 2 0 Vậy x ( 2 1)x 2 (x 1) x 2 . x 2. 2 x 1 2 d) x (m 1)x m 0 Vậy x (m 1)x m (x 1)(x m). r x m. Bài 8. Cho phương trỡnh x2 2(m 2)x m 1 0. Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. b) Cú hai nghiệm phõn biệt trỏi dấu. c) Cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu. d) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. e) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. Lời giải. [ 2(m 2)]2 4(m 1) 4m2 12m 20 (2m 3)2 11.S 2(m 2) , P m 1. a) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 0 (2m 3)2 11 0 , đỳng với mọi m . b) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt trỏi dấu P 0 m 1 0 m 1.
19. 0 (2m 3)2 11 0 c) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu m 1. P 0 m 1 0 0 (2m 3)2 11 0 d) Phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt S 0 2(m 2) 0 m 1. P 0 m 1 0 0 (2m 3)2 11 0 m 2 e) Phương trỡnh cú hai nghiệm õm phõn biệt S 0 2(m 2) 0 (Vụ m 1 P 0 m 1 0 lý.)Vậy khụng tồn tại m . Bài 9. Cho phương trỡnh x2 2(m 1)x m 2 0. Tỡm m để phương trỡnh a) Cú nghiệm. b) Cú một nghiệm bằng 2 . Tỡm nghiệm cũn lại. 2 2 c) Cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món x1 x2 8. Lời giải. 2 2 2 3 3 a) [ (m 1)] (m 2) m 3m 3 m 0 nờn phương trỡnh luụn cú nghiệm 2 4 với mọi m . b) Theo ịnh lý Vi-ột, ta cú x x 2(m 1) và x x m 2. Ph ng trỡnh cú nghiệm x 2 ta đ 1 1 1 2 ươ 1 2 x2 2(m 1) x2 2m 4 x2 0 cú 2x2 m 2 2x2 m 2 m 2. Vậy m 2 và nghiệm cũn lại là 0 . m 0 2 2 2 2 c) x1 x2 8 (x1 x2 ) 2x1x2 8 4(m 1) 2(m 2) 8 5 m . 2 5 Vậy m 0 hoặc m . 2 HẾT