Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn (Có đáp án)

1. Bài 5. CễNG THỨC NGHIỆM THU GỌN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM ▪ Xột phương trỡnh bậc hai ẩn x : ax2 bx c 0,(a 0). Khi b 2b , gọi biệt thức b 2 ac , ta cú a) Trường hợp 1: Nếu 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm. b b) Trường hợp 2 : Nếu 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp x x . 1 2 a b c) Trường hợp 3 : Nếu 0 thỡ phuơng trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x . 1,2 a Chỳ ý: Ta thường sử dụng biệt thức khi phương trỡnh bậc hai đó cho với hệ số b chẵn và cú dạng b 2b , khi đú cỏc phộp tớnh toỏn trong bài toỏn đơn giản hơn. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng cụng thức nghiệm thu gọn, giải phương trỡnh bậc hai ▪ Bước 1: Xỏc định cỏc hệ số a,b',c . ▪ Bước 2: Sử dụng cụng thức nghiệm thu gọn để giải phương trỡnh. Vớ dụ 1. Xỏc định cỏc hệ số a , b , c , tớnh biệt thức , từ đú ỏp dụng cụng thức nghiệm thu gọn để giải cỏc phương trỡnh sau 2 1 a) 3x 4x 1 0 . ĐS: 1;  . 3 2 1 2 1 2  b) 4x 4x 1 0 . ĐS: ;  . 2 2  c) 3x2 2 2x 4 0 . ĐS: Vụ nghiệm. d) x2 8x 2 0 . ĐS: 2. Vớ dụ 2. Xỏc định cỏc hệ số a , b , c , tớnh biệt thức , từ đú ỏp dụng cụng thức nghiệm thu gọn để giải cỏc phương trỡnh sau a) x2 6x 5 0 . ĐS: 1;5 . 2 4 10 4 10  b) 3x 4x 2 0 . ĐS: ;  . 3 3  c) x2 2 3x 4 0 . ĐS: 3 7; 3 7 . d) x2 20x 5 0 . ĐS: 5 .
2. Vớ dụ 3. Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đú giải cỏc phương trỡnh sau bằng cụng thức nghiệm thu gọn a) x2 2 4x . ĐS: 2 6;2 6. . b) 3 x2 2 3x 2x2 . ĐS: 3. . 2 3 3 3 3  c) 2(x 2) 2x 5 . ĐS: ; . 2 2  d) 8(x 8) (x 2)2 . ĐS: Vụ nghiệm. Vớ dụ 4. Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đú giải cỏc phương trỡnh sau bằng cụng thức nghiệm thu gọn a) 4x x2 5. ĐS: 1;5 . b) x2 8x 3 . ĐS: Vụ nghiệm c) x2 2 3x 2x2 1. ĐS: 3 2; 3 2. d) ( 5 x)2 2 5x 15 . ĐS: 2 5 . Dạng 2: Sử dụng cụng thức nghiệm thu gọn, xỏc định số nghiệm của phương trỡnh bậc hai ▪ Xột phương trỡnh dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0. ỡ ù a ạ 0 ▪ Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi ớù . ù D Â > 0 ợù ỡ ù a ạ 0 ▪ Phương trỡnh cú nghiệm kộp khi và chỉ khi ớù . ù D Â = 0 ợù ỡ ù a = 0 ▪ Phương trỡnh cú đỳng một nghiệm khi và chỉ khi ớ . ù b ạ 0 ợù ộa = 0,b = 0,c ạ 0 ▪ Phương trỡnh vụ nghiệm khi và chỉ khi ờ . ờa ạ 0,D < 0 ởờ Vớ dụ 5. Cho phương trỡnh mx2 6x 1 0 , ( m là tham số) Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. ĐS: 9 m 0 . b) Cú nghiệm kộp. ĐS: m 9 . c) Vụ nghiệm. ĐS: m 9 . d) Cú đỳng một nghiệm. ĐS: m 0 .
3. Vớ dụ 6. Cho phương trỡnh mx2 4x 1 0 , ( m là tham số) Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. ĐS: 4 m 0 . b) Cú nghiệm kộp. ĐS: m 4 . c) Vụ nghiệm. ĐS: m 9 . d) Cú đỳng một nghiệm. ĐS: m 0 . Dạng 3: Giải và biện luận phương trỡnh dạng bậc hai ▪ Xột phương trỡnh dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 với biệt thức D Â = bÂ2 - ac . ▪ Nếu a = 0 , ta đưa về biện luận phương trỡnh bậc nhất. ▪ Nếu a ạ 0 , ta biện luận phương trỡnh bậc hai theo D ' . Vớ dụ 7. Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau ( m là tham số) a) mx2 2x 4 0. b) x2 4(m 1)x 4m2 0 . Vớ dụ 8. Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau ( m là tham số) a) mx2 6x 2 0 . b) x2 2(m 2)x m2 0 . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Sử dụng cụng thức nghiệm thu gọn để giải cỏc phương trỡnh sau a) x2 10x 16 0 . ĐS: 2;8 . b) 3x2 4x 2 0 . ĐS: 2;8 . 2 10 2 10 c) x2 6 2x 2 0 . ĐS: ; . 3 3 d) x2 40x 10 0 . ĐS: 10 . Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau a) x2 8x 3. ĐS: 4 19;4 19. b) x2 3x 7x 1. ĐS: 5 6; 5 6. c) (x 2)2 2(1 x) . ĐS: vụ nghiệm. d) x2 6( 2x 3) . ĐS: 3 2 . Bài 3. Cho phuơng trỡnh x2 2(m 1)x m2 1 0 , ( m là tham số) Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. ĐS: m 0 . b) Cú nghiệm kộp. ĐS: m 0 .
4. c) Vụ nghiệm. ĐS: m 0 . d) Cú đỳng một nghiệm. ĐS: khụng tồn tại. Bài 4. Giải và biện luận phương trỡnh mx2 2(m 1)x m 1 0 , ( m là tham số)
5. HƯỚNG DẪN GIẢI Vớ dụ 1. [9D4B5] Xỏc định cỏc hệ số a , b , c , tớnh biệt thức , từ đú ỏp dụng cụng thức nghiệm thu gọn để giải cỏc phương trỡnh sau 2 1 a) 3x 4x 1 0 . Đỏp số 1;  3 2 1 2 1 2  b) 4x 4x 1 0 . Đỏp số ;  2 2  c) 3x2 2 2x 4 0 . Đỏp sốVụ nghiệm d) x2 8x 2 0 . Đỏp số 2r Lời giải. a) 3x2 4x 1 0 . a 3,b 2 , c 1. ( 2)2 31 1. ( 2) 1 ( 2) 1 1 1 x1 1.x2 .Vậy S 1; . 3 3 3 3 b) 4x2 4x 1 0 . a 4 ,b 2 , c 1. (2)2 ( 4)1 8 . 2 8 1 2 2 8 1 2 1 2 1 2  x1 .x2 .Vậy S ; . 4 2 4 2 2 2  c) 3x2 2 2x 4 0 . a 3,b 2 , c 4 . ( 2)2 34 10 0 .Vậy phương trỡnh vụ nghiệm. d) x2 8x 2 0 x2 2 2 2 0 . a 1,b 2 , c 2 . ( 2)2 12 0. 2 x x 2. Vậy S 2 .r 1 2 1  Vớ dụ 2. [9D4B5] Xỏc định cỏc hệ số a , b , c , tớnh biệt thức , từ đú ỏp dụng cụng thức nghiệm thu gọn để giải cỏc phương trỡnh sau a) x2 6x 5 0 . Đỏp số 1;5 2 4 10 4 10  b) 3x 4x 2 0 .Đỏp số ;  3 3  c) x2 2 3x 4 0 .Đỏp số 3 7; 3 7 d) x2 20x 5 0 . Đỏp số 5
6. Lời giải. ( 3) 4 a) x2 6x 5 0 . a 1,b 3, c 5 . ( 3)2 15 4 . x 1. 1 1 ( 3) 4 x 5 .Vậy S 1;5. 2 1 ( 4) 10 4 10 b) 3x2 4x 2 0 . a 3,b 2 , c 2 . ( 2)2 ( 3)2 10. x . 1 3 3 ( 4) 10 4 10 4 10 4 10  x2 .Vậy S ; . 3 3 3 3  c) x2 2 3x 4 0 . a 1,b 3 , c 4 . ( 3)2 1( 4) 7 . ( 3) 7 ( 3) 7 x 3 7 . x 3 75.Vậy S 3 7; 3 7 . 1 1 2 1  d) x2 20x 5 0 x2 2 5x 5 0 . a 1,b 5 , c 5 . ( 5)2 15 0 . ( 5) x x 5 .Vậy S 5 .r 1 2 1  Vớ dụ 3. [9D4B5] Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đú giải cỏc phương trỡnh sau bằng cụng thức nghiệm thu gọn a) x2 2 4x . Đỏp số 2 6;2 6. b) 3 x2 2 3x 2x2 . Đỏp số 3. 2 3 3 3 3  c) 2(x 2) 2x 5 . Đỏp số ;  2 2  d) 8(x 8) (x 2)2 . Đỏp sốVụ nghiệmr Lời giải. a) x2 2 4x x2 22x 2 0. a 1,b 2 , c 2 . ( 2)2 1( 2) 6 . ( 2) 6 ( 2) 6 x 2 6 . x 2 6 .Vậy S 2 6;2 6 . 1 1 2 1  b) 3 x2 2 3x 2x2 x2 2 3x 3 0 . a 1,b 3 , c 3. ( 3)2 13 0 . ( 3) x x 3 .Vậy S 3 . 1 2 1 
7. c) 2(x 2)2 2x 5 2x2 23x 3 0. a 2 ,b 3, c 3. ( 3)2 23 3. ( 3) 3 3 3 ( 3) 3 3 3 3 3 3 3  x1 . x2 .Vậy S ; . 2 2 2 2 2 2  d) 8(x 8) (x 2)2 x2 22 2 10 0 . a 1,b 2 2 , c 10 . ( 2 2)2 110 2 0 .Vậy phương trỡnh vụ nghiệm.r Vớ dụ 4. [9D4B5] Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đú giải cỏc phương trỡnh sau bằng cụng thức nghiệm thu gọn a) 4x x2 5. Đỏp số 1;5 b) x2 8x 3 . Đỏp sốVụ nghiệm. c) x2 2 3x 2x2 1. Đỏp số 3 2; 3 2 d) ( 5 x)2 2 5x 15 . Đỏp số 2 5 r Lời giải. a) 4x x2 5 x2 22x 5 0 . a 1,b 2 , c 5 . ( 2)2 1( 5) 9 . ( 2) 9 ( 2) 9 x 1. x 5 .Vậy S 1;5. 1 1 2 1 b) x2 8x 3 x2 2 2x 3 0 . a 1,b 2 , c 3. ( 2)2 13 1 0 .Vậy phương trỡnh vụ nghiệm. c) x2 2 3x 2x2 1 x2 2 3x 1 0 . a 1,b 3 , c 1. ( 3)2 1( 1) 4 . ( 3) 4 ( 3) 4 x 3 2 . x 3 2 .Vậy S 3 2; 3 2 . 1 1 2 1  d) ( 5 x)2 2 5x 15 x2 22 5x 20 0 . a 1,b 2 5 , c 20 . (2 5) ( 2 5)2 120 0 . x x 2 5 .Vậy S 2 5 .r 1 2 1  Vớ dụ 5. [9D4K5] Cho phương trỡnh mx2 6x 1 0 , ( m là tham số) Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. Đỏp số 9 m 0 b) Cú nghiệm kộp. Đỏp số m 9 c) Vụ nghiệm. Đỏp số m 9 d) Cú đỳng một nghiệm. Đỏp số m 0
8. Lời giải. a) ( 3)2 m( 1) 9 m .Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt a 0 m 0 m 0 0 9 m 0 m 9. a 0 m 0 m 0 b) Phương trỡnh cú nghiệm kộp m 9. 0 9 m 0 m 9 a 0 m 0 m 0 c) Phương trỡnh vụ nghiệm m 9. 0 9 m 0 m 9 a 0 d) Phương trỡnh cú đỳng một nghiệm m 0 . b 0 Vớ dụ 6. [9D4K5] Cho phương trỡnh mx2 4x 1 0 , ( m là tham số) Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. Đỏp số 4 m 0 b) Cú nghiệm kộp. Đỏp số m 4 c) Vụ nghiệm. Đỏp số m 9 d) Cú đỳng một nghiệm. Đỏp số m 0 Lời giải. a 0 m 0 m 0 a) Ph ng trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt ươ 2 ( 2) m( 1) 0 4 m 0 m 4. a 0 m 0 b) Phương trỡnh cú nghiệm kộp m 4 . 0 m 4 a 0 m 0 c) Phương trỡnh vụ nghiệm m 9 . 0 m 9 0 a 0 d) Phương trỡnh cú đỳng một nghiệm m 0 . b 0 Vớ dụ 7. [9D4G5] Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau ( m là tham số) a) mx2 2x 4 0. b) x2 4(m 1)x 4m2 0 .r Lời giải.
9. a) mx2 2x 4 0.TH1. a 0 m 0 , phương trỡnh trở thành 2x 4 0 x 2 .TH2. a 0 m 0 . (1)2 m4 1 4m . 1 b) 1 4m 0 m , phương trỡnh vụ nghiệm. 4 1 1 c) 1 4m 0 m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x 4. 4 0 m 1 d) 1 4m 0 m , phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]2 4 1 1 4m e) x 1 m 1 1 4m f) x r 2 m Kết luận 1 g) m , phương trỡnh vụ nghiệm. 4 h) m 0 , phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x 2 . 1 i) m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x 4 . 4 0 1 j) m và m 0 , phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]2 4 1 1 4m k) x 1 m 1 1 4m l) x r 2 m m) x2 4(m 1)x 4m2 0 . ( 2(m 1))2 4m2 8m 4 . 1 n) 8m 4 0 m , phương trỡnh vụ nghiệm. 2 1 ( 2(m 1)) o) 8m 4 0 m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x 2m 2 1. 2 0 1 1 p) 8m 4 0 m , phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]1 2 ( 2(m 1)) 8m 4 q) x 2(m 1) 8m 4 1 1
10. ( 2(m 1)) 8m 4 r) x 2(m 1) 8m 4. r 2 1 Kết luận 1 s) m , phương trỡnh vụ nghiệm. 2 1 t) m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x 1. 2 0 1 u) m , phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 2 . x1 2(m 1) 8m 4 . x2 2(m 1) 8m 4. r Vớ dụ 8. [9D4G5] Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau ( m là tham số) a) mx2 6x 2 0 . b) x2 2(m 2)x m2 0 .r Lời giải. 1 a) mx2 6x 2 0 .TH1. a 0 m 0 , phương trỡnh trở thành 6x 2 0 x .TH2. 3 a 0 m 0 . ( 3)2 m2 9 2m . 9 b) 9 2m 0 m , phương trỡnh vụ nghiệm. 2 9 3 2 c) 9 2m 0 m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x . 2 0 m 3 9 d) 9 2m 0 m , phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]2 2 3 2m 9 e) x 1 m 3 2m 9 f) x .r 2 m Kết luận 9 g) m , phương trỡnh vụ nghiệm. 2
11. 1 h) m 0 , phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x . 3 9 2 i) m , phương trỡnh cú nghiệm kộp x . 2 0 3 9 j) m và m 0 , phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]2 2 3 2m 9 k) x 1 m 3 2m 9 l) x .r 2 m m) x2 2(m 2)x m2 0 . ( (m 2))2 m2 4m 4 . n) 4m 4 0 m 1, phương trỡnh vụ nghiệm. ( (m 2)) o) 4m 4 0 m 1, phương trỡnh cú nghiệm kộp x m 2 1. 0 1 p) 4m 4 0 m 1, phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]1 ( (m 2)) 4m 4 q) x (m 2) 2 m 1 1 1 ( (m 2)) 4m 4 r) x (m 2) 2 m 1 .r 2 1 Kết luận s) m 1, phương trỡnh vụ nghiệm. t) m 1, phương trỡnh cú nghiệm kộp x0 1. u) m 1, phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]2 v) x1 (m 2) 2 m 1 w) x2 (m 2) 2 m 1 .r Bài 1. [9D4B5] Sử dụng cụng thức nghiệm thu gọn để giải cỏc phương trỡnh sau a) x2 10x 16 0 . Đỏp số 2;8 b) 3x2 4x 2 0 .Đỏp số 2;8
12. 2 10 2 10 c) x2 6 2x 2 0 . Đỏp số ; 3 3 d) x2 40x 10 0 . Đỏp số 10 Lời giải. 5 9 5 9 a) x2 10x 16 0 . ( 5)2 116 9 . x 2x 8Vậy S 2;8. 1 1 1 1 2 10 2 10 2 10 2 10 b) 3x2 4x 2 0 . ( 2)2 ( 3)2 10. x x 1 3 3 2 3 3 2 10 2 10  Vậy S ; . 3 3  3 2 16 3 2 16 c) x2 6 2x 2 0 . ( 3 2)2 12 16 . x 3 2 4x 3 2 4 1 1 1 1 Vậy S 3 2 4;3 2 4. 10 d) x2 40x 10 0 . ( 10)2 10 0x x 10 Vậy S 10 . 1 2 1  Bài 2. [9D4B5] Giải cỏc phương trỡnh sau a) x2 8x 3. Đỏp số 4 19;4 19 b) x2 3x 7x 1. Đỏp số 5 6; 5 6 c) (x 2)2 2(1 x) . Đỏp sốvụ nghiệm d) x2 6( 2x 3) . Đỏp số 3 2 Lời giải. a) x2 8x 3 x2 8x 3 0 . 4 19 4 19 ( 4)2 ( 3) 19x 4 19x 4 19 Vậy S 4 19;4 19 . 1 1 2 1  b) x2 3x 7x 1 x2 10x 1 0 . 5 26 5 26 52 1 26x 5 6x 5 6 Vậy S 5 6; 5 6 . 1 1 2 1  c) (x 2)2 2(1 x) x2 2x 2 0 . ( 1)2 2 1 0 Vậy phương trỡnh vụ nghiệm.
13. ( 3 2) d) x2 6( 2x 3) x2 6 2x 18 0 . ( 3 2)2 18 0x x 3 2 .Vậy 1 2 1 S 3 2 . Bài 3. [9D4K5] Cho phuơng trỡnh x2 2(m 1)x m2 1 0 , ( m là tham số) Tỡm m để phương trỡnh a) Cú hai nghiệm phõn biệt. Đỏp số m 0 b) Cú nghiệm kộp. Đỏp số m 0 c) Vụ nghiệm. Đỏp số m 0 d) Cú đỳng một nghiệm. Đỏp sốkhụng tồn tại Lời giải. a) ( (m 1))2 (m2 1) 2m .Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 0 2m 0 m 0 . b) Phương trỡnh cú nghiệm kộp 0 2m 0 m 0 . c) Phương trỡnh vụ nghiệm 0 2m 0 m 0. a 0 1 0(Vụ lý) d) Cú đỳng một nghiệm .Vậy khụng tồn tại giỏ trị m . b 0 2(m 1) 0 Bài 4. [9D4G5] Giải và biện luận phương trỡnh mx2 2(m 1)x m 1 0 , ( m là tham số) Lời giải. 1 TH1. a 0 m 0 , phương trỡnh trở thành 2x 1 0 x .TH2. a 0 m 0 . 2 ( (m 1))2 m(m 1) m 1. a) m 1 0 m 1, phương trỡnh vụ nghiệm. m 1 b) m 1 0 m 1, phương trỡnh cú nghiệm kộp x 0 . 0 m c) m 1 0 m 1, phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt [+]2 (m 1) m 1 d) x 1 m (m 1) m 1 e) x .r 2 m
14. Kết luận f) m 1, phương trỡnh vụ nghiệm. 1 g) m 0 , phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x . 2 h) m 1, phương trỡnh cú nghiệm kộp x0 0 . i) m 1 và m 0 , phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt (m 1) m 1 j) x 1 m (m 1) m 1 k) x . 2 m HẾT