Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Toán học Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y=ax² (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn (Có đáp án)

1. Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM ▪ Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax2 bx c 0 (a 0) trong đó a,b,c là những số thực cho trước được gọi là hệ số, x là ẩn số. ▪ Chú ý: Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Nhận dạng và tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn ▪ Đưa phương trình đã cho về dạng ax 2 + bx + c = 0, từ đó đưa ra kết luận về dạng phương trình và các hệ số. ▪ Lưu ý: Phương trình bậc hai có hệ số a khác 0. Ví dụ 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a,b,c . a) 3 x2 0 . ĐS: x2 3 0 , với a 1,b 0,c 3 . . b) x2 x 3x 1. ĐS: x2 4x 1 0 , với a 1,b 4,c 1. c) 3x2 4x 2x 2 . ĐS: 3x2 4 2 x 2 0 , với a 3,b 4 2,c 2 . d) (x 1)2 3(x 1) . ĐS: x2 5x 2 0 , với a 1,b 5,c 2 . Ví dụ 2. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a,b,c . a) 3x x2 0 . ĐS: x2 3x 0 , với a 1,b 3,c 0 . b) x2 3x 2x 3. ĐS: x2 5x 3 0 , với a 1,b 5,c 3. c) 3x2 4x 2x2 2 . ĐS: 3 2 x2 4x 2 0 , với a 3 2,b 4,c 2. d) (x 1)2 2(x 1) . ĐS: x2 3 0 , với a 1,b 0,c 3 . Ví dụ 3. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2 ? Xác định hệ số a của phương trình đó ( m là hằng số) a) 1 mx x2 . ĐS: x2 mx 1 0;a 1. b) 1 mx m2 . ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2 . c) m2 x2 4mx 2x2 1. ĐS: m2 2 x2 4mx 1 0,a m2 2 . d) m(x 1)2 mx2 1. ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2 . Ví dụ 4. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2 ? Xác định hệ số a của phương trình đó ( m là hằng số)
2. a) x x2 m . ĐS: x2 x m 0,a 1. b) m m2 mx . ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2 . c) (m2 1)x2 mx 3x2 . ĐS: (m2 2)x2 mx 0,a m2 2 . d) m(x 1)2 x(1 mx) . ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2 . Dạng 2: Sử dụng các phép biến đổi, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước ▪ Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích. ▪ Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái của phương trình đó là bình phương, còn vế phải là một hằng số. Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: a) x2 2x 0 . ĐS: x 0; x 2 . 2 b) 3x2 2x . ĐS: x 0; x . 3 c) 3x2 12 0 . ĐS: x 2; x 2 . d) x2 3x 2 0 . ĐS: x 1; x 2 . Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: a) x2 3x 0 . ĐS: x 0; x 3. b) x2 2x . ĐS: x 0; x 2 . c) x2 2 0 . ĐS: x 2; x 2 . d) x2 x 2 0 . ĐS: x 1; x 2 . Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a) (x 1)2 4 . ĐS: x 1; x 3. b) x2 2x 3. ĐS: x 1; x 3. 3 3 c) 2x2 4x 7 0 . ĐS: x 1; x 1. 2 2 1 5 d) 4x2 8x 5 0 . ĐS: x ; x . 2 2 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: a) (x 2)2 9. ĐS: x 1; x 5. b) x2 4x 5. ĐS: x 1; x 5.
3. 3 3 c) 2x2 8x 5 0 . ĐS: x 2; x 2 . 2 2 1 9 d) 4x2 16x 9 0 . ĐS: x ; x . 2 2 Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: 1 1 a) x2 x 0 . ĐS: x . 4 2 b) x2 x 2 . ĐS: x 1; x 2 . 11 1 11 1 c) 2x2 2x 5 0 . ĐS: x ; x . 2 2 d) x2 x 1 0 . ĐS: PT vô nghiệm. Ví dụ 10. Giải các phương trình sau 9 1 a) x2 3x 0 . ĐS: x . 4 2 b) x2 3x 4 0. ĐS: x 1; x 2 . 11 1 11 1 c) 2x2 6x 3 0 . ĐS: x ; x . 2 2 d) x2 3x 3 0 . ĐS: PT vô nghiệm. Ví dụ 11. Giải các phương trình sau 9 3 a) x2 3x 0 . ĐS: x . 4 2 b) x2 3x 4 0. ĐS: x 1; x 4 . 3 3 3 3 c) 2x2 6x 3 0 . ĐS: x ; x . 2 2 d) x2 3x 3 0 . ĐS: PT vô nghiệm. Ví dụ 12. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm bằng 1 a) x2 m2 4x . ĐS: m 3 . b) x2 (m 3)x m2 0 . ĐS: m 2,m 1. Ví dụ 13. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm bằng 1 a) x2 m2 4 0 . ĐS: m 5 .
4. b) m2 4mx 5 0 0 . ĐS: m 1,m 5 . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 bx c 0 và tính tổng T a b c a) 25 4x2 0 . ĐS: T 21. b) x2 4x 5x 2 . ĐS: T 0 . c) (x 1)2 3x 4 0 . ĐS: T 1. d) x(x 3) 2x2 2x . ĐS: T 2 . Bài 2. Giải các phương trình sau 3 a) 4x2 9 0 . ĐS: x . 2 b) x2 2 2x 0 . ĐS: x 0; x 2 2 . c) x2 2 2x 2 . ĐS: x 2 . d) x2 8x 5 0 . ĐS: PT vô nghiệm. Bài 3. Giải các phương trình sau a) x2 2x 0 . ĐS: x 0, x 2 . b) x2 5 0 . ĐS: x 5 . c) x2 2x 8 0 . ĐS: x 2, x 4 . 7 d) 2x2 4x 5 0 . ĐS: x 1. 2 Bài 4. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm là 1 2 a) 4x2 25m2 0. ĐS: m . 5 b) x2 3mx 3m2 0 . ĐS: Không tìm được m .
5. HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a,b,c . a) 3 x2 0 . b) x2 x 3x 1. c) 3x2 4x 2x 2 . d) (x 1)2 3(x 1) . Lời giải. a) Biến đổi PT 3 x2 0 thành x2 3 0 , với a 1,b 0,c 3 . b) Biến đổi PT x2 x 3x 1 thành x2 4x 1 0 , với a 1,b 4,c 1. c) Biến đổi PT 3x2 4x 2x 2 thành 3x2 4 2 x 2 0 , với a 3,b 4 2,c 2 . d) Biến đổi PT (x 1)2 3(x 1) thành x2 5x 2 0 , với a 1,b 5,c 2 . Ví dụ 2. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a,b,c . a) 3x x2 0 . b) x2 3x 2x 3. c) 3x2 4x 2x2 2 . d) (x 1)2 2(x 1) . Lời giải. a) Biến đổi PT 3x x2 0 thành x2 3x 0 , với a 1,b 3,c 0 . b) Biến đổi PT x2 3x 2x 3 thành x2 5x 3 0 , với a 1,b 5,c 3. c) Biến đổi PT 3x2 4x 2x2 2 thành 3 2 x2 4x 2 0 , với a 3 2,b 4,c 2. d) Biến đổi PT (x 1)2 2(x 1) thành x2 3 0 , với a 1,b 0,c 3 . Ví dụ 3. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2 ? Xác định hệ số a của phươ ng trình đó ( m là hằng số) a) 1 mx x2 . b) 1 mx m2 . c) m2 x2 4mx 2x2 1. d) m(x 1)2 mx2 1. Lời giải. a) Biến đổi 1 mx x2 thành x2 mx 1 0;a 1. b) 1 mx m2 không đưa được về phương trình bậc 2 . c) Biến đổi m2 x2 4mx 2x2 1 thành m2 2 x2 4mx 1 0,a m2 2 . d) m(x 1)2 mx2 1 không đưa được về phương trình bậc 2 .
6. Ví dụ 4. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2 ? Xác định hệ số a của phươ ng trình đó ( m là hằng số) a) x x2 m . b) m m2 mx . c) (m2 1)x2 mx 3x2 . d) m(x 1)2 x(1 mx) . Lời giải. a) x x2 m x2 x m 0,a 1. b) m m2 mx không đưa được về phương trình bậc 2 . c) (m2 1)x2 mx 3x2 (m2 2)x2 mx 0,a m2 2 . d) m(x 1)2 x(1 mx) không đưa được về phương trình bậc 2 . Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: a) x2 2x 0 . b) 3x2 2x . c) 3x2 12 0 . d) x2 3x 2 0 . Lời giải. a) Biến đổi x2 2x 0 thành x(x 2) 0 x 0 hoặc x 2 0 , từ đó tìm được x 0; x 2 . b) Biến đổi 3x2 2x thành x( 3x 2) 0 x o hoặc 3x 2 0 , từ đó tìm được 2 x 0; x . 3 c) Biến đổi 3x2 12 0 . thành 3(x 2)(x 2) 0 hoặc đưa về x2 4, từ đó tìm được x 2; x 2 . d) Biến đổi x2 3x 2 0 thành (x 1)(x 2) 0 x 1 0 hoặc x 2 0 , từ đó tìm được 1; x 2 . Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: a) x2 3x 0 . b) x2 2x . c) x2 2 0 . d) x2 x 2 0 . Lời giải. a) Biến đổi x2 3x 0 thành x(x 3) 0 , từ đó tìm được x 0; x 3. b) Biến đổi x2 2x thành x(x 2) 0 , từ đó tìm được x 0; x 2 . c) Biến đổi x2 2 0 thành (x 2)(x 2) 0 , từ đó tìm được x 2; x 2 .
7. d) Biến đổi x2 x 2 0 thành (x 1)(x 2) 0 , từ đó tìm được x 1; x 2 . Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a) (x 1)2 4 . b) x2 2x 3. c) 2x2 4x 7 0 . d) 4x2 8x 5 0 . Lời giải. 2 x 1 a) Ta có PT (x 1) 4 x 1 2 x 3. 2 2 x 1 b) Biến đổi x 2x 3 ta được (x 1) 4 x 3. Cách khác: đưa PT về dạng tích (x 1)(x 3) 0 . 9 c) Biến đổi 2x2 4x 7 0 ta được 2x2 4x 7 0 (x 1)2 , từ đó tìm được 2 3 3 x 1; x 1. 2 2 5 9 1 5 d) Biến đổi PT 4x2 8x 5 0 thành x2 2x (x 1)2 , từ đó tìm được x ; x . 4 4 2 2 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: a) (x 2)2 9. b) x2 4x 5. c) 2x2 8x 5 0 . d) 4x2 16x 9 0 . Lời giải. 2 x 1 a) Ta có PT (x 2) 9 x 2 3 x 5. 2 2 x 1 b) Biến đổi x 4x 5 ta được (x 2) 9 x 5. Cách khác: đưa PT về dạng tích (x 1)(x 5) 0 . 3 c) Biến đổi 2x2 8x 5 0 ta được 2x2 8x 5 0 (x 2)2 , từ đó tìm được 2 3 3 x 2; x 2 . 2 2 9 25 1 9 d) Biến đổi PT 4x2 16x 9 0 thành x2 4x (x 2)2 , từ đó tìm được x ; x . 4 4 2 2 Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
8. 1 a) x2 x 0 . b) x2 x 2 . 4 c) 2x2 2x 5 0 . d) x2 x 1 0 . Lời giải. 2 2 1 2 1 1 1 1 a) Ta có PT x x 0 x 2 x 0 x 0 , từ đó tìm được x . 4 2 4 2 2 2 2 2 1 9 1 9 b) Biến đổi x x 2 thành x x x , từ đó tìm được x 1; x 2 . 4 4 2 4 Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x 1)(x 2) 0 . 2 2 2 5 1 11 c) Biến đổi PT đã cho 2x 2x 5 0 thành x x x , từ đó tìm được 2 2 4 11 1 11 1 x ; x . 2 2 2 2 1 3 d) Biến đổi PT đã cho x x 1 0 thành x PT vô nghiệm. 2 4 Ví dụ 10. Giải các phương trình sau 9 a) x2 3x 0 . b) x2 3x 4 0. 4 c) 2x2 6x 3 0 . d) x2 3x 3 0 . Lời giải. 2 2 9 2 1 1 1 1 a) Ta có PT x 3x 0 x 2 x 0 x 0 , từ đó tìm được x . 4 2 4 2 2 2 2 2 1 9 1 9 b) Biến đổi x 3x 4 0 thành x x x , từ đó tìm được x 1; x 2 . 4 4 2 4 Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x 1)(x 2) 0 . 2 2 2 5 1 11 c) Biến đổi PT đã cho 2x 6x 3 0 thành x x x , từ đó tìm được 2 2 4 11 1 11 1 x ; x . 2 2 2 2 1 3 d) Biến đổi PT đã cho x 3x 3 0 thành x PT vô nghiệm. 2 4 Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
9. 9 a) x2 3x 0 . b) x2 3x 4 0. 4 c) 2x2 6x 3 0 . d) x2 3x 3 0 . Lời giải. 2 2 9 2 3 9 3 3 a) Ta có PT x 3x 0 x 2 x 0 x 0 , từ đó tìm được x . 4 2 4 2 2 2 2 2 9 25 3 25 b) Biến đổi x 3x 4 0 thành x 3x x , từ đó tìm được x 1; x 4 . 4 4 2 4 Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x 1)(x 4) 0 . 2 2 2 3 3 3 c) Biến đổi PT đã cho 2x 6x 3 0 thành x 3x x , từ đó tìm được 2 2 4 3 3 3 3 x ; x . 2 2 2 2 3 3 d) Biến đổi PT đã cho x 3x 3 0 thành x PT vô nghiệm. 2 4 Ví dụ 12. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm bằng 1 a) x2 m2 4x . b) x2 (m 3)x m2 0 . Lời giải. a) PT có nghiệm là 1 1 m2 4 , từ đó tìm được m 3 . b) PT có nghiệm là 1 1 (m 3) m2 0 , biến đổi thành (m 2)(m 1) 0 suyra m 2,m 1. Ví dụ 13. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm bằng 1 a) x2 m2 4 0 . b) m2 4mx 5 0 0 . Lời giải. a) PT có nghiệm là 1 1 m2 4 0 , từ đó tìm được m 5 . b) PT có nghiệm là 1 m2 4m 5 0 0 , biến đổi thành (m 1)(m 5) 0 suyra m 1,m 5 . Bài 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 bx c 0 và tính tổng T a b c a) 25 4x2 0 . b) x2 4x 5x 2 . c) (x 1)2 3x 4 0 . d) x(x 3) 2x2 2x . Lời giải.
10. a) Phương trình 25 4x2 0 trở thành 4x2 25 0 a 4;b 0;c 25. Từ đó tìm được T 21. b) Phương trình x2 4x 5x 2 trở thành x2 x 2 0 T 0 c) Phương trình (x 1)2 3x 4 0 trở thành x2 5x 5 0 T 1. d) Phương trình x(x 3) 2x2 2x trở thành 1 2 x2 x 0 T 2 . Bài 2. Giải các phương trình sau a) 4x2 9 0 . b) x2 2 2x 0 . c) x2 2 2x 2 . d) x2 8x 5 0 . Lời giải. 9 3 a) Biến đổi 4x2 9 0 thành x2 x . 4 2 b) Biến đổi x2 2 2x 0 thành x(x 2 2) 0 x 0; x 2 2 . 2 c) Biến đổi x2 2 2x 2 thành x 2 0 x 2 . 2 d) Biến đổi x2 8x 5 0 thành x 2 2x 2 3 x 2 3 PT vô nghiệm. Bài 3. Giải các phương trình sau a) x2 2x 0 . b) x2 5 0 . c) x2 2x 8 0 . d) 2x2 4x 5 0 . Lời giải. a) Biến đổi x2 2x 0 thành x(x 2) 0 x 0, x 2 . b) Biến đổi x2 5 0 thành x2 5 x 5 . c) Biến đổi x2 2x 8 0 thành (x 2)(x 4) 0 x 2, x 4 . Cách khác: Biến đổi thành (x 1)2 9 kết quả. 7 d) Biến đổi 2x2 4x 5 0 thành 2(x2 2x) 5 (x 1)2 . Từ đó tìm được 2 7 7 x 1, x 1. 2 2 Bài 4. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm là 1 a) 4x2 25m2 0. b) x2 3mx 3m2 0 .
11. Lời giải. 2 a) Điều kiện 4 25m2 0 m . 5 b) Điều kiện 1 3m 3m2 0 . 2 1 1 Biến đổi thành m PT vô nghiệm. Không tìm được m . 2 12 HẾT