Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải môn Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung (Có đáp án)

1. Chương 3 GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Bài 1. GĨC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. GĨC Ở TÂM ▪ Gĩc cĩ đỉnh trùng với tâm đường trịn được gọi là gĩc ở tâm. ▪ Cung nằm bên trong gĩc gọi là cung bị chắn. ▪ A· OB là gĩc ở tâm, A¼mB là cung bị chắn bởi A· OB . 2. SỐ ĐO CUNG ▪ Số đo cung nhỏ bằng số đo gĩc ở tâm chắn cung đĩ. sđA¼mB = sđA· OB . ▪ Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai mút với cung lớn). sđA¼nB = 360° - sđA¼mB ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng 180° . 3. SỐ ĐO CUNG ¼ · ▪ Số đo cung nhỏ bằng số đo gĩc ở tâm chắn cung đĩ: sđAmB = sđAOB ▪ Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai mút với cung lớn). ▪ sđA¼nB = 360° - sđA¼mB ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng 180° . 4. SO SÁNH HAI CUNG Ta chỉ so sánh hai cung trong mơt đường trịn hay trong hai đường trong bằng nhau. Khi đĩ: ▪ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng cĩ số đo bằng nhau. sđA»B = sđC»D Þ A»B = C»D ▪ Trong hai cung, cung cĩ số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. sđA»B > sđC»D Þ A»B > C»D 5. KHI NÀO THÌ sđA»B + sđA¼C = sđC»B » ¼ » ▪ Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđAB = sđAC + sđCB B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm số đo gĩc ở tâm – Số đo cung bị chắn Để tính số đĩ của gĩc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau: ▪ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của gĩc ở tâm chắn cung đĩ.
2. ▪ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai đầu mút với cung lớn). ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng. Cung cả đường trịn cĩ số đo. ▪ Sử dụng tỉ số lượng giác của gĩc nhọn để tính gĩc. ▪ Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung. Ví dụ 1. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một gĩc ở tâm cĩ số đo là bao nhiêu độ vào những thời điểm sau a) 3 giờ. b) 5 giờ. c) 6 giờ. d) 22 giờ. Lời giải Ta sẽ xem mặt đồng hồ như hình trịn nên cung cả đường trịn cĩ số đo là 360° . a) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 3 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 3 = 90° . b) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 5 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 5 = 150° . c) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 6 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 6 = 180° . d) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 22 giờ hay 10 giờ đêm thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 10 = 300° . Ví dụ 2. Một đồng hồ chạy chậm 20 phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một gĩc ở tâm là bao nhiều độ? ĐS: 10° . Lời giải 1 Đổi: 20 phút = giờ. 3 1 Để chỉnh lại cho đúng giờ ta cần quay một gĩc ở tâm bằng 30° ´ = 10° . 3 Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC . Gọi O là tâm đường trịn đi qua ba đỉnh A,B,C . Tính số đo gĩc ở tâm A· OB . ĐS: 120° . Lời giải Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực trong DABC đều. Ta cĩ: O· AB = O· AC = B· AC ¸ 2 = 30° và O· BA = O· BC = C· BA ¸ 2 = 30° . Xét DABC cân tại O , ta thấy A· OB = 180° - (O· AB + O· BA) = 180° - (30° + 30° ) = 120° . Vậy số đo gĩc ở tâm A· OB là 120° .
3. Ví dụ 4. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường trịn (O;R) cắt nhau tại điểm M . Cho biết OM = 2R . Tính số đo a) Gĩc ở tâm A· OB ; ĐS: A· OB = 120° . b) Mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ). ĐS: sđA»B là 120°;240° . Lời giải. OA R 1 a) Ta cĩ: cosA· OM = = = Þ A· OM = 60° . OM 2R 2 Vậy A· OB = A· OM ×2 = 120° . b) Vì A· OB = 120° nên sđA»B nhỏ là 120° và sđA»B lớn là 360° - 120° = 240° . Ví dụ 5. Trên đường trịn tâm O lần lượt lấy ba điểm A,B,C sao cho A· OB = 130° , sđ A¼C = 60° . Tính số đo mỗi cung BC (cung lớn và cung nhỏ) trong các trường hợp a) C nằm trên cung nhỏ AB ; ĐS: 290° . b) C nằm trên cung lớn AB . ĐS: 170°,190° . Lời giải. a) Vì sđA¼C = A· OC nên A· OC = 60° . Mà A· OB = A· OC + B· OC (vì C nằm trên cung nhỏ AB ) do đĩ B· OC = A· OB - A· OC . Þ B· OC = 130° - 60° = 70° . Vậy cung nhỏ BC là 70° và cung lớn BC là 360° - 70° = 290° . b) Vì sđA¼C = A· OC nên A· OC = 60° . Mà B· OC = A· OC + B· OA (vì C nằm trên cung lớn AB ) do đĩ B· OC = 60° + 130° = 190° . Vậy cung nhỏ BC là 360° - 190° = 170° , cung lớn BC là 190° . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B sao cho A· OB = 90° . Tính số đo mỗi cung AB . ĐS: 270° .
4. Lời giải Vì A· OB = 90° nên số đo cung nhỏ AB là 90° và số đo cung lớn AB là 360° - 90° = 270° . Bài 2. Cho đường trịn (O;R) cĩ dây AB = R . Tính số đo a) Gĩc ở tâm A· OB ; ĐS: 60° . b) Cung lớn AB . ĐS: 300° . Lời giải a) Vì AB = R nên DOAB đều hay A· OB = O· AB = A· BO = 60° . b) Do A· OB = 60° nên số đo cung lớn AB là 360° - 60° = 300° . Bài 3. Cho đường trịn (O;R) cĩ đường kính AB . Gọi C là điểm chính giữa cung AB . Vẽ dây CD cĩ độ dài bằng R . Tính số đo của gĩc ở tâm BOD trong các trường hợp a) D nằm trên cung CB ; ĐS: 30° . b) D nằm trên cung CA . ĐS: 150° . Lời giải. a) Vì AB là đường kính của (O;R) và C nằm chính giữa cung AB nên A· OC = B· OC = A· OB ¸ 2 = 90° . Mặt khác, vì OC = OD = CR = R nên DOCD là tam giác đều hay C· OD = 60° .
5. Ta cĩ B· OC = C· OD + B· OD Þ B· OD = B· OC - C· OD = 30° . b) Trường hợp D¢ nằm trên cung CA ta thực hiện tương tự như câu a) . Ta cĩ B· OD¢= B· OC + C·OD¢= 150° . Bài 4. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B phân biệt. Kẻ các đường kính AOC và BOD . Chứng minh A· D = B· C . Lời giải Vì AC,BD cắt nhau tại O nên A· OD = B· OC ( hai gĩc đối đỉnh). Mà sđA¼D = A· OD và sđB¼C = B· OC do đĩ sđA¼D = sđB¼C . Vậy A¼D = B¼C (đpcm). Bài 5. Trên một đường trịn, cĩ cung AB bằng 150° , cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo mỗi cung CD . ĐS: 90°,270° . Lời giải Vì sđA»B = 150° nên A· OB = 150° . Mà B,A lần lượt là điểm chính giữa trên cung AD và CB nên B· OD = C· OA = A· OB = 150° . Số đo cung lớn AB là 360° - 150° = 210° . Ta cĩ A· OB = A· OD + B· OD Þ A· OD = A· OB - B· OD = 60° . Và A· OC = A· OD + D· OC Þ D· OC = A· OC - A· OD = 90° . Vậy số đo cung nhỏ AB là 90° và số đo cung lớn AB là 360° - 90° = 270° . D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 6. a) Từ 2 giờ đến 5 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng nhiêu độ? ĐS: 900° . b) Cũng hỏi như thế từ 7 giờ đến 9 giờ? ĐS: 60° . Lời giải
6. a) Khi kim đồng hồ đến mốc 2 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 60° , nếu đến mốc 5 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 150° . Do đĩ, từ 2 giờ đến 5 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng 150° - 60° = 90° . b) Khi kim đồng hồ đến mốc 7 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 210° , nếu đến mốc 9 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 270° . Do đĩ, từ 7 giờ đến 9 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng 270° - 210° = 60° . Bài 7. Chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là 2 giờ. Hỏi để chỉnh một đồng hồ ở Việt Nam theo đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một gĩc ở tâm là bao nhiêu độ? ĐS: 60° . Lời giải Vì chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là 2 giờ nên để chỉnh một đồng hồ ở Việt Nam theo đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một gĩc ở tâm bằng 60° ´ 2 = 120° . Bài 8. Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O , trong các gĩc tạo thành cĩ gĩc 80° . Vẽ một đường trịn tâm O . Tính số đo của các gĩc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O . ĐS: 80°;100° . Lời giải Theo đề bài ta cĩ, x·Oz = 80° . Vì x·Oz,z·Oy là hai gĩc kề bù nên x·Oz + z·Oy = x·Oy . Ta được 80° + z·Oy = 180° Þ z·Oy = 180° - 80° Þ z·Oy = 100° Bài 9. Hai tiếp tuyến của đường trịn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A . Cho biết B· AC = 60° . Tính số đo a) Gĩc ở tâm B· OC ; ĐS: B· OC = 120° . b) Mỗi cung BC (cung lớn và cung nhỏ). ĐS: sđA»B là 120°;240° . Lời giải a) Ta cĩ: B· AC + A· CO + A· BO + B· OC = 360° (Tổng các gĩc trong một tứ giác) Do đĩ B· OC = 360° - (B· AC + A· CO + A· BO) = 360° - (B· AC + A· CO + A· BO) (Vì A· CO = A· BO = 90° ) = 360° - (60° + 90° ×2) = 120° . Vì B· OC = 120° nên sđB¼C nhỏ là 120° và sđB¼C lớn là 360° - 120° = 240° .
7. Bài 10. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B sao cho A· OB = 120° . Gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ AB . Tính số đo cung nhỏ BC và cung lớn BC . ĐS: 300° . Lời giải Vì C là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđ A»B = sđ A¼C +sđC»B = 2×sđC»B . Ta cĩ A· OB = A· OC + C· OB= 2×C· OB Þ C· OB = A· OB ¸ 2 = 120° ¸ 2 = 60° . Vậy số đo cung nhỏ BC là 60° và số đo cung lớn BC là 360° - 60° = 300° . HẾT