Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo) (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo) (Có đáp án)

1. Bài 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (TT) A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm Hệ thức giữa OO ' với Số tiếp tuyến O; R và O ';r R r chung R và r chung Hai đường tròn cắt nhau. 2 R r OO ' R r 2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau 1 ▪ Tiếp xúc ngoài. OO ' R r 1 ▪ Tiếp xúc trong. OO ' R r Hai đường tròn không giao nhau. 0 ▪ Ngoài nhau. OO ' R r 4 ▪ Đựng nhau. OO ' R r 0 ▪ Đồng tâm. OO ' 0 0 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn ▪ Vận dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường tròn ở phần kiến thức trọng tâm. Ví dụ 1. Điền vào ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; R) và (O ;r) có OO d,R r . Vị trí tương đối của hai Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữa Số tiếp tuyến chung đường tròn d, R,r Đựng nhau d R r Tiếp xúc trong Ngoài nhau Cắt nhau Lời giải Vị trí tương đối của hai Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữa Số tiếp tuyến chung đường tròn d, R,r Đựng nhau 0 d R r 0 Tiếp xúc ngoài 1 d R r 3 Tiếp xúc trong 1 d R r 1 Ngoài nhau 0 d R r 4 Cắt nhau 2 R r d R r 2 Ví dụ 2. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống ( ): a) Tâm của đường tròn có bán kính bằng 2 cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;3 cm) nằm trên b) Tâm của đường tròn có bán kính bằng 5 cm tiếp xúc trong với đường tròn (O;8 cm) nằm trên Lời giải
2. a) Tâm của đường tròn có bán kính bằng 2 cm tiếp xúc ngoài với đường tròn ( O;3 cm) nằm trên đường tròn (O;5 cm). b) Tâm của đường tròn có bán kính bằng 5 cm tiếp xúc trong với đường tròn ( O;8 cm) nằm trên đường tròn (O;3 cm). Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau ▪ Vận dụng tính chất đường nối tâm, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; tính chất tiếp tuyến chung của hai đường tròn; hệ thực lượng trong tam giác vuông Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn với M (O) và N (O ) . a) Tính số đo M· AN . b) Tính độ dài MN biết OA 9 cm; O A 4 cm. Lời giải a) Từ A kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt MN tại I . Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau IM IA IN . Từ đó suy ra VMAN vuông tại A M· AN 90 . b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IOlà phân giác ·AIM · IO là phân giác AIN. Mà ·AIM kề bù ·AIN IO  IO IA OAO A 6 cm MN 2IA 12 cm. Ví dụ 4. Cho đường tròn (O;OA) và đường tròn tâm I có đường kính OA. a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở M . Chứng minh AM MD.
3. Lời giải a) OI OA IA nên hai đường tròn tiếp xúc trong. b) Ta có VAMO có AO là đường kính của đường tròn ( I ) nên ·AMO 90 ·AMO 90 OM  AD . Mà VAOD cân tại O nên OM là đường trung tuyến. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho đường tròn ( O;9 cm) và (O ;3 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ hai bán kính OB và O C song song với nhau và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ OO . a) Tính số đo của B· AC. b) Gọi I là giao điểm của BC và OO . Tính độ dài OI . Lời giải a) Ta có OB PO C ·AOB ·AO C 180 . Ta lại có 180 ·AOB 180 ·AO C B· AO C· AO 2 2 360 (·AOB ·AO C) 2 90. B· AC 90 . b) Áp dụng định lí Ta-lét ta có IO O C 1 IO 1 IO 6cm IO IO O O 6 12 18 cm. IO OB 3 IO 12 3 Bài 2. Cho đường tròn ( O; R ) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn (R OM 3R) . Vẽ đường tròn (M ;2R) . a) Hai đường tròn (O) và (M ) có vị trí tướng đối như thế nào với nhau? b) Gọi K là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính KOH của đường tròn (O) . Chứng minh NH NM.
4. Lời giải a) Ta có R OM 3R nên (O ) và ( M ) cắt nhau. b) Vì MK HK 2R VMHK cân tại K . Mà K· NH 90 ( KH là đường kính). KN  MN KN là đường trung tuyến của VMKH NH NM . Bài 3. Cho VABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D là hình chiếu của H trên AB, E là hình chiếu của H trên AC. Gọi ( O ) là tâm đường tròn kính HB , (O ) là tâm đường tròn đường kính HC. Chứng mình: a) Điểm D thuộc đường tròn (O), điểm E thuộc đường tròn (O ) ; b) Hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài; c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; d) AH DE ; e) DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O ) ; f) Diện tích của tứ giác DEOO bằng nửa diện tích của tam giác ABC. Lời giải a) B· DH 90 nên D thuộc đường tròn đường kính BH . b) Tương tự, E thuộc đường tròn đường kính CH . c) OO OH O H nên (O ) và (O ) tiếp xúc ngoài. d) AH  OO nên AH là tiếp tuyến chung của (O ) và (O ). e) ADHE là hình chữ nhật nên AH DE . Ta có OH OD do đó VODH cân tại O . O· DH O· HD . Ta lại có ADHE là hình chữ nhật nên I·DH I·HD . Mà I·HD D· HO 90 I·DH O· DH 90 OD  DE tại D . Từ đó ta có DE là tiếp tuyến của đường tròn (O ). Chứng minh tương tự ta cũng có DE là tiếp tuyến của đường tròn (O ).
5. Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O ) và (O ). 1 1 BH CH 1 1 1 f) SDEO O (OD O E) DE  AH  AH  BC SV ABC . 2 2 2 2 2 2 2 D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB , AO C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D (O) và E (O ) . Gọi M là giao điểm của BD và CE. a) Tính số đo của D· AE. b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Lời giải a) Từ A kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt DE tại I . Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau IE IA ID . Từ đó suy ra VDAE vuông tại A D· AE 90 . b) Ta có ▪ B· DA 90 (AB là đường kính của đường tròn (O)); ▪ C· EA 90 (AC là đường kính của đường tròn (O’)). Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông. c) Ta có tứ giác ADME là hình chữ nhật nên ba điểm M , I , A thẳng hàng, suy ra AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Bài 5. Cho hai đường tròn đồng tâm O . Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D . Chứng minh AC BD . Lời giải Kẻ OM  AB . Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung ta có MA MB   AC BD . MC MD HẾT