Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (Có đáp án)

1. Bài 5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM ▪ Dấu hiệu 1: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường trịn và vuơng gĩc với bán kính đi qua điểm đĩ thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường trịn. ▪ Dấu hiệu 2: Nếu khoảng cách từ tâm của một đường trịn đến đường thẳng bằng bán kính của đường trịn thì đường thẳng đĩ là tiếp tuyến của đường trịn. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường trịn ▪ Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường trịn O; R tại tiếp điểm C, ta cĩ thể làm theo một trong hai cách ▪ Cách 1: Chứng minh C nằm trên (O) và OC  a tại C. ▪ Cách 2: Kẻ OH  a tại H và chứng minh OH OC R . Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn, kẻ đường cao AH , vẽ đường trịn (A; AH ) . Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trịn (A) . Lời giải Do H (A) và AH  BC tại H nên BC là tiếp tuyến của đường trịn (A) . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cĩ BC 5 cm, CA 4 cm, AB 3 cm. Vẽ đường trịn (C;CA) . Chứng minh BA là tiếp tuyến của đường trịn (C) . Lời giải Do BC 2 CA2 AB2 nên VABC vuơng tại A (theo định lí Pi-ta-go đảo). Suy ra BA  CD mà A (C) nên BA là tiếp tuyến của đường trịn (C) . Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , các đường phân giác trong Bˆ , Cˆ cắt nhau tại I . Gọi H là hình chiếu của I trên BC , vẽ đường trịn tâm I , bán kính IH . Chứng minh AB , AC tiếp xúc với (I) . Lời giải Kẻ ID  AC tại D , IE  AB tại E thì IE ID IH . Suy ra E , D (I) mà ID , IE lần lượt vuơng gĩc với AC , AB nên AC , AB là tiếp tuyến của (I) . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ các đường cao AH và BK cắt nhau tại I . Chứng minh
2. a) Đường trịn tâm O đường kính AI đi qua K ; b) HK là tiếp tuyến của đường trịn (O) . Lời giải a) Do BK là đường cao của VABC nên VAKI vuơng tại K . Mà O là trung điểm của AI nên AO IO KO kéo theo K (O) . b) VKBC vuơng tại K cĩ H là trung điểm BC HK HB HC . Suy ra VHKC cân tại H . Do đĩ O· KA H· KC O· AK H· CK 90 . Dẫn tới H· KO 90 HK  OK . Suy ra HK là tiếp tuyến của đường trịn (O) . Dạng 2: Bài tốn liên quan đến tính độ dài ▪ Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và sử dụng các cơng thức về hệ thức lượng trong tam giác vuơng để tính độ dài. Ví dụ 5. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB . Vẽ dây AC sao cho C· AB 30 . Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM R . Chứng minh a) MC là tiếp tuyến của (O) ; b) MC R 3 . Lời giải AB a) Do C O; nên VABC vuơng tại C 2 Suy ra C· BA 90 C· AB 90 60 30 . Xét VABC cĩ AB BC R ·  CAB 60 VABC đều tại A . Suy ra BC OB R . Xét VOMC cĩ BC BO BM VOMC vuơng tại C MC  OC tại C . Suy ra MC là tiếp tuyến của (O) . b) Do B OM nên OM BM OB 2R . Xét VMCO vuơng tại O cĩ MC 2 CO2 OM 2 .
3. Suy ra MC 2 OM 2 CO2 MC 2 (2R)2 R2 3R2 MC R 3 . Ví dụ 6. Cho đường trịn tâm O cĩ bán kính OA R , dây BC vuơng gĩc với OA tại trung điểm M của OA . a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường trịn tại B , cắt đường thẳng OA tại E . Tính độ dài BE theo R . Lời giải a) Do OB OC nên VOBC cân tại O . Mà OA là đường cao (do OC  AB ), suy ra OA là đường trung trực của BC . Tứ giác OCAB cĩ ▪ OA là đường trung trực của BC; ▪ M là trung điểm của OA. Suy ra OCAB là hình thoi. OA R b) Ta cĩ M là trung điểm của OA suy ra OM . 2 2 Mà BE là tiếp tuyến của (O) tại B O· BE 90 . Do VOBE vuơng tại B cĩ BM là đường cao nên OB2 R2 OE OM OB2 OE 2R . OM R 2 Mà BE 2 BO2 EO2 , suy ra BE 2 EO2 BO2 (2R)2 R2 3R2 . Kéo theo BE R 3 . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho hình vuơng ABCD . Vẽ đường trịn tâm A , bán kính AB . Chứng minh a) CB là tiếp tuyến của đường trịn (A) ; b) CD là tiếp tuyến của đường trịn (A) . Lời giải
4. a) Do BA là bán kính của (A) và C· BA 90 nên CB là tiếp tuyến của đường trịn (A) . b) Ta cĩ AD BA R D (A) mà C· DA 90 . Suy ra CD là tiếp tuyến của đường trịn (A) . Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên AB . Vẽ đường trịn (M ;MH ) . Chứng minh AC tiếp xúc với (M ) . Lời giải Kẻ MK  AC tại K . Do VMKC vuơng tại K và VMHB vuơng tại H nên MC MB · · KCM HBM. VMKC VMHB (ch gn) MK MH mà MK  AC tại K . Kéo theo AC tiếp xúc với (M ;MH ) tại K . Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A . Vẽ đường trịn (B; BA) và đường trịn (C;CA) , chúng cắt nhau tại điểm D ( D khác A ). Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường trịn (B) . Lời giải Ta cĩ VABC VDBC (c c c) suy ra B· AC B· DC 90 . Kéo theo D (B) CD là tiếp tuyến của (B) . Bài 4. Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi (O) . Kẻ tiếp tuyến AB với (O) ( B là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với OA , cắt (O) tại C . Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn (O) . Lời giải Do VOBC cân tại O và OA  BC nên AO là đường trung trực của BC AB AC . Suy ra VOAB VOAC (c c c). ·ACO ·ABO 90 ( ·ABO 90 do AB là tiếp tuyến của (O) ). Kéo theo AC là tiếp tuyến của (O) .
5. Bài 5. Cho đường trịn tâm (O) , đường kính AB 2R và d là tiếp tuyến tại B của (O) . Trên (O) lấy điểm C sao cho BC R , tia AC cắt d tại E . a) Tính số đo các gĩc của tam giác ABC ; b) Tính độ dài BE theo R ; c) Gọi M là trung điểm của BE . Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O) . Lời giải a) Do OC OB BC R nên VOBC đều. Từ đĩ, ta tính được ·ABC 60 , ·ACB 90 , B· AC 60 . 2R 3 b) Xét VABE vuơng tại B cĩ BE BA tan 30 . 3 c) Ta cĩ VCBE vuơng tại C cĩ M là trung điểm BE . Suy ra CM BM BE . Kéo theo VOCM VOBM (c c c) O· CM 90 . Dẫn tới MC là tiếp tuyến của (O) . Bài 6. Cho đường trịn (O, R) và điểm A nằm ngồi (O) . Kẻ các tiếp tuyến AB , AC ( B , C là các tiếp điểm) và đường kính BOD của (O) . Đường thẳng qua O và vuơng gĩc với OA cắt AC tại E . Chứng minh a) VABO VACO ; b) OE là tia phân giác của C· OD ; c) ED là tiếp tuyến của (O) . Lời giải a) Ta cĩ VCAO VBAO (ch cgv). b) VCAO VBAO B· OA C· OA nên OA là tia phân giác của B· OC , mà OE  OA Suy ra OE là tia phân giác của C· OD . c) Từ phần b) ta chứng minh được VOCE VODE (c g c). O· DE 90 , suy ra ED là tiếp tuyến của (O) . D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 7. Cho tam giác ABC vuơng tại A , vẽ đường trịn (B; BA) . Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn (B) .
6. Lời giải Do A (B) và AC  BA tại A nên CA là tiếp tuyến của đường trịn (B) . Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD , vẽ đường trịn tâm O , đường kính AB . Chứng minh DA , BC là các tiếp tuyến của đường trịn (O) . Lời giải AB Do A O; và AD  OA tại A nên AD là tiếp tuyến của đường 2 trịn (O) . AB Tương tự, do B O; và BC  OB tại B nên BC là tiếp tuyến của 2 đường trịn (O) . Bài 9. Cho tam giác ABC vơng tại B , tia phân giác gĩc A cắt BC tại D . Vẽ đường trịn tâm D , bán kính DB . Chứng minh AC tiếp xúc với đường trịn (D) . Lời giải Kẻ DE  AC tại E , khi đĩ DE DB . Suy ra E (D) mà DE vuơng gĩc với AC nên AC là tiếp tuyến của (D) . Bài 10. Cho tam giác ABC vuơng tại A , kẻ đường cao AD . Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh a) Đường trịn tâm O đường kính AC đi qua D ; b) MD là tiếp tuyến của đường trịn (O) . Lời giải a) Xét VADC vuơng tại D cĩ O là trung điểm AC OD OA OC D (O) . b) Xét VADB vuơng tại D cĩ M là trung điểm AB MD MA MB . Xét VOAM và VODM cĩ OA OD AM DM OM là cạnh chung.
7. Suy ra VOAM VODM (c c c) Kéo theo O· AM O· DM 90 dẫn tới MD là tiếp tuyến của (O) . Bài 11. Cho đường trịn (O, R) cĩ dây AB khơng là đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB , cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C . a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O) ; b) Cho bán kính của (O) bằng 15cm và dây AB 24 cm. Tính độ dài đoạn thẳng OC . Lời giải a) Do OA OB nên VOAB cân tại O . Mà OC là đường cao (do OC  AB ) OC là đường trung trực của AB . Suy ra CA CB . Xét VAOC và VBOC cĩ OA OB CA CB OC là cạnh chung. Suy ra VAOC VBOC (c c c) C· BO C· AO 90 CB  OB tại B Kéo theo CB là tiếp tuyến của O . b) Gọi H là giao điểm của OC và AB . Khi đĩ, do OC là đường trung trực của AB nên H là trung điểm của AB . AB 24 Suy ra AH 12 cm. 2 2 Mà VOAH vuơng tại H nên AH 2 HO2 OA2 , suy ra HO OA2 AH 2 9 cm. VOAC vuơng tại A cĩ AH là đường cao nên OC OH AO2 . AO2 152 Do đĩ OC 25 cm. CH 9 Bài 12. Cho đường trịn tâm O cĩ bán kính OA R , vẽ dây AB sao cho AB R . Gọi K là điểm đối xứng với O qua A . a) Chứng minh KB là tiếp tuyến của (O) ;
8. b) Tính độ dài đoạn thẳng KB theo R . Lời giải a) Do KA BA OA R nên VKBO vuơng tại B . Suy ra KB  BO tại B hay KB là tiếp tuyến của (O) . b) Áp dụng Định lí Pi-ta-go cho VKBO vuơng tại B , ta cĩ KB2 KO2 OB2 (2R)2 R2 3R2 KB R 3 . HẾT