Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (Có đáp án)

1. Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM B ▪ Trong một đường tròn: C ✓ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. H ✓ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. K ▪ Trong hai dây của một đường tròn O A ✓ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. ✓ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. D B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau ▪ Áp dụng liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Ví dụ 1. Cho đường tròn (O,10 cm) , dây AB 16 cm. a) Tính khoảng cách từ O đến dây AB ; b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI 2 cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB . Chứng minh CD AB . Lời giải. a) Kẻ OH  AB (H AB) HA HB 8 cm. Theo định lý Py-ta-go, ta có OH 2 OB2 HB2 36 OH 6 cm. b) Kẻ OK  CD (K CD) . Tứ giác OHIK có Hˆ Iˆ Kˆ 90 nên là hình chữ nhật. Mặt khác, HI OH 6 cm nên OHIK là hình vuông OH OK AB CD . Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD .Chứng minh a) MH MK ; b) MA MC . Lời giải. a) OH  AB và OK  CD (vì H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD ). Vì hai dây AB và CD bằng nhau nên OH OK . Từ đó dễ thấy VMOH VMOK (cạnh huyền-cạnh góc vuông) MH MK (đpcm). AB CD b) Ta có AH CK . Từ kết quả câu a) suy ra 2 2 MH HA MK KC nên MA MC . Dạng 2: So sánh độ dài các đoạn thẳng
2. ▪ Dựa vào kiến thức trọng tâm. Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây AB vuông góc với OM tại M . Vẽ dây HK bất kì qua M và không vuông góc với OM . Hãy so sánh độ dài dây AB và HK . Lời giải. Kẻ OI  HK(I HK) . Vì OI , OM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ O đến HK OI OM HK AB . Ví dụ 4. Cho AB và CD là hai dây của đường tròn (O; R) sao cho AB và CD cắt nhau tại điểm I nằm trong đường tròn. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Biết AB CD , chứng minh IH IK . Lời giải. Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung OH  AB,OK  CD . Vì AB CD OH OK . Theo định lý Py-ta-go, ta có IH 2 OI 2 OH 2 IK 2 OI 2 OK 2 Mà OH OK nên IH IK . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho đường tròn (O;25 cm) . Hai dây AB , CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48 cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy. Lời giải. Trường hợp 1. O nằm ngoài dải song song của hai dây cung AB và CD . CD AB Ta có DI 24 cm và HB 20 cm. 2 2 Tam giác OID vuông tại I nên OI OD2 DI 2 252 242 7 cm.
3. Tam giác OHB vuông tại H nên OH OB2 HB2 252 202 15 cm. Do đó IH OH OI 15 7 8 cm. Trường hợp 2. O nằm trong dãy song song của hai dây cung AB và CD . Ta có IH OI OH 7 15 22 cm. Bài 2. Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A , B bất kì nằm trên (O; R) . Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M , N sao cho AM BN và AM , BN cắt nhau tại điểm C nằm trong đường tròn. Chứng minh: a) OC là phân giác của ·AOB ; b) OC  AB . Lời giải. a) Kẻ OI  AM (I AM ) ; OH  BN(H BN) . Vì AM BN OH OI . Do đó VOIC VOHC (cạnh huyền-cạnh góc vuông). CI CH (cặp cạnh tương ứng). AM BN Do IA HB nên 2 2 CI IA CH HB CA CB. Do đó VOAC VOBC (c-c-c). Suy ra ·AOC B· OC OC là tia phân giác của ·AOB . b) Do OA OB ; CA CB OC là đường trung trực của AB OC  AB . Bài 3. Cho đường tròn (O;10 cm) , điểm M cách O là 8 cm. a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M ; b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M . Lời giải. a) Dây CD đi qua M và vuông góc với OM là dây ngắn nhất. VOCM vuông tại M CM CO2 OM 2 6 cm. Vậy CD 2CM 12 cm. b) Dây dài nhất đi qua M là đường kính AB 20 cm.
4. Bài 4. Cho đường tròn (O) , các dây AB 24 cm, AC 20 cm ( B· AC 90 và điểm O nằm trong B· AC ). Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm. a) Chứng minh VABC cân tại C ; b) Tính bán kính của đường tròn. Lời giải. a) Kẻ MK  AB MK 8 cm. Tam giác AMK vuông tại K nên AK AM 2 MK 2 102 82 6 cm. Kẻ CH  AB CH 2MK 16 cm. Hơn nữa, AB AH 2AK 12 cm . 2 CH là đường cao và là đường trung tuyến của VABC . VABC cân tại C . OC MC AC  MC b) VOMC ∽ VAHC(g g) OC 12,5 cm . AC HC HC D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 5. Cho đường tròn (O,10 cm) , dây AB 16 cm. Vẽ dây CD song song với AB . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . a) Chứng minh ba điểm O , H , K thẳng hàng; b) Biết O nằm giữa H , K và khoảng cách giữa hai dây AB , CD bằng 14 cm. Tính độ dài dây CD . Lời giải. a) Vì H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD nên OH  AB và OK  CD . Mà AB PCD nên ba điểm O , H , K thẳng hàng. b) Theo định lý Py-ta-go, ta được OH OA2 AH 2 6 cm. OK 8 cm. Theo định lý Py-ta-go, ta có CK OC 2 OK 2 6 cm. CD 2CK 12 cm. Bài 6. Cho đường tròn (O) , các dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Chứng minh: a) MO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây cung AB và CD ; b) MA MC và MB MD .
5. Lời giải. a) Kẻ OH  AB(H AB) , OK  CD(K CD) OH OK (dây AB và CD bằng nhau). Do đó VMOH VMOK (ch-cgv) H· MO K· MO . Vậy MO là tia phân giác của góc B· MD . AB CD b) Ta có BH DK . Mà MH MK (chứng minh trên) 2 2 nên MB MD . Vì AB CD nên ta cũng suy ra MA MC . Vậy điểm M chia các đoạn thẳng AB , CD thành các đoạn thẳng đôi một bằng nhau. Bài 7. Cho hai đường tròn (O;r) và (O; R) với R r . Hai dây AB , CD thuộc đường tròn (O;r) sao cho AB CD . Đường thẳng AB cắt (O; R) tại M và N , đường thẳng CD cắt (O; R) tại H và K . Kẻ OI  AB(I AB) , OJ  CD(J CD) . So sánh các độ dài: a) OI và OJ ; b) MN và HK . Lời giải. a) Vì AB CD OI OJ . b) Vì OI OJ MN HK . Bài 8. Cho VMNP có Mˆ Nˆ Pˆ nội tiếp đường tròn (O) . Gọi OH , OI , OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến MN , NP , MP . So sánh các độ dài OH , OI và OK . Lời giải. Vì Mˆ Nˆ Pˆ NP MP MN OI OK OH . HẾT