Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài: Ôn tập chương I (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài: Ôn tập chương I (Có đáp án)

1. ÔN TẬP CHƯƠNG I A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Xem lại phần kiến thức trọng tâm của các bài đã học ▪ Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác. ▪ Tỉ số lượng giác của góc nhọn. ▪ Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: So sánh các tỉ số lượng giác Ví dụ 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần cos72 , sin 65 , sin10 , cot 25 , sin 40 . Lời giải Ta có sin 65 cos 25; sin10 cos80; sin 40 cos50 . Vì cos80 cos72 cos50 cos 25 cot 25 nên sin10 cos72 sin 40 sin 75 cot 25 . Ví dụ 2. So sánh a) sin 55 ; cos55 ; tan 55 . b) cot 20 ; sin 20 ; cos 20 . Lời giải So sánh tương tự Ví dụ 1. a) cos55 sin 55 tan 55; b) sin 20 cos 20 cot 20 . Ví dụ 3. Cho 0 45 . Chứng minh rằng a) sin cos . b) tan cot . Lời giải a) Do 0 45 nên 90 45 suy ra 90 . Do đó sin sin 90 cos . b) Tương tự câu a) 90 nên tan tan 90 cot . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bˆ Cˆ . Hãy sắp xếp theo thứ tự tăng dần sin B , cos B , tan B , sin C , cosC , cot C . Lời giải Ta có Bˆ Cˆ 90 nên sin C cos B ; cosC sin B ; tan B cot C Lại có Bµ Cµ nên cos B cosC . sin B Mà tan B sin B . cos B
2. Vậy sin C cos B cosC sin B tan B cot C . Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức lượng giác Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức a) sin2 cot2 cos2 1. b) tan cot 2 tan cot 2 . c) sin4 cos4 cos2 3sin2 . Lời giải cos2 a) sin2 cot2 cos2 1 sin2  cos2 1 cos2 cos2 1 1. sin2 b) (tan cot )2 (tan cot )2 tan2 2 tan cot cot2 tan2 2 tan cot cot2 4 tan cot 4 . c) sin4 cos4 cos2 3sin2 sin2 cos2  sin2 cos2 cos2 3sin2 1 sin2 cos2 cos2 3sin2 2 sin2 cos2 2. Ví dụ 6. Tính giá trị của biểu thức a) sin 30 cos60 tan 45 4cos2 30 . b) cos2 30 cot2 60 tan2 30 1. cot2 45 cos2 45 c) . 2sin2 60 Lời giải 2    2  1 1 3 a) sin 30 cos60 tan 45 4cos 30 1 4 3. 2 2 2 2 2 2 2  2  2  3 3 3 3 1 b) cos 30 cot 60 tan 30 1 1 1 . 2 3 3 4 4 2 2 1 2  2  cot 45 cos 45 2 1 c) 2  2 . 2sin 60 3 3 2 2 Ví dụ 7. Tính giá trị của biểu thức a) cos2 33 cos2 41 cos2 49 cos2 57 . b) sin2 35 sin2 39 sin2 43 sin2 47 sin2 51 sin2 55 . Lời giải
3. a) cos2 33 cos2 41 cos2 49 cos2 57 cos2 33 cos2 57 cos2 41 cos2 49 cos2 33 sin2 33 cos2 41 sin2 41 1 1 2 . b) sin2 35 sin2 39 sin2 43 sin2 47 sin2 51 sin2 55 sin2 35 sin2 55 sin2 39 sin2 51 sin2 43 sin2 47 sin2 35 cos2 35 sin2 39 cos2 39 sin2 43 cos2 43 1 1 1 3 Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc Ví dụ 8. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH . Biết Aˆ 44 ; AH 9cm . Tính chu vi tam giác ABC . Lời giải Do tam giác ABC cân đỉnh A , AH là đường cao nên AH cũng là đường phân giác, đường trung tuyến. BC Do đó B· AH C· AH 22 và HB HC . 2 AH 9 Xét VAHC vuông tại H , ta có AC 9,7 cm cos H· AC cos 22 và HC AH cot H· AC 9cot 22 3,6 cm . Do đó chu vi tam giác ABC là 2 9,7 3,6 26,6 cm . Ví dụ 9. Cho hình thang ABCD ( AB PCD ), Cˆ 36 ; Dˆ 50 . Biết AB 4cm , AD 6cm . Tính chu vi hình thang. Lời giải Vẽ AH  CD và BK  CD , dễ thấy AHKB là hình chữ nhật. Do đó AH BK và AB HK . Xét VADH vuông tại H , ta có DH AD cos ·ADH 6cos50 4,6 cm .
4. Tương tự, xét VBKC vuông tại K , ta có KC BK cot B· CK 4,6cot 36 6,3 cm BK 4,6 và BC 7,8 cm . sin K· CB sin 36 Ta có DC DH HK KC 3,9 4 6,3 14,2 cm . Do đó chu vi của hình thang là 4 7,8 14,2 614,2 32 cm . Ví dụ 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ HM  AB ; HN  AC . Biết AB 3cm ; AC 4cm . a) Tính độ dài MN . b) Tính số đo các góc của tam giác AMN . c) Tính diện tích tứ giác BMNC . Lời giải a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC , ta có BC 2 AB2 AC 2 32 42 25 suy ra BC 5 cm . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC , ta có AB  AC AH  BC AB  AC AH BC 34 suy ra AH 2,4 cm . 5 Dễ thấy AMHN là hình chữ nhật nên MN AH nên MN 2,4cm . AH 2 2,42 b) Xét VABH vuông tại H , ta có AH 2 AM  AB AM 1,44 cm . AB 4 AN 1,44 Ta xét VAMN vuông tại A , ta có tan ·AMN tan 3652 . Do đó ·AMN 3652 . AM 1,92 Mà ·ANM 90 ·AMN 90 3652 538 . c) Gọi S là diện tích tứ giác BMNC . 1 1 1 1 2 Ta có S SV ABC SV AMN  AB  AC  AM  AN 34 1,921,44 4,6 cm . 2 2 2 2 Vậy diện tích tứ giác BMNC là 4,6cm2 . Ví dụ 11. Cho tam giác ABC vuông tại A , BC 4cm . Vẽ đường cao AH ; vẽ HI  AB , HK  AC . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK .
5. Lời giải AH 2 Xét VABH vuông tại H , ta có AH 2 AI  AB suy ra AI . AB Tương tự, ta xét VACH vuông tại H , ta có AH 2 AH 2 AK  AC suy ra AK . AC Gọi S là diện tích của tứ giác AIHK . Do tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên AH 2 AH 2 AH 4 S AI  AK  . AB AC AB  AC Mặt khác theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có AB  AC AH  BC . AH 4 AH 3 Khi đó S . AH  BC BC BC Gọi M là trung điểm của BC , ta có AM 2 cm . 2 AH 3 AM 3 23 Mà AH AM nên S 2 cm2 . BC BC 4 Dấu đẳng thức xảy khi AH AM hay tam giác ABC vuông cân tại A . Vậy max S 2cm2 khi VABC là tam giác vuông cân đỉnh A . Dạng 4: Chứng minh hệ thức giữa các tỉ số lượng giác cos2 sin2 sin4 Ví dụ 12. Chứng minh hệ thức cot4 . sin2 cos2 cos4 Lời giải 2 2 2 2 2 cos2 sin2 sin4 cos sin 1 sin cos2 sin2 cos2 cos 1 sin sin2 cos2 cos4 sin2 cos2 1 cos2 sin2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos4  cot4 . sin2 sin2 sin4 Ví dụ 13. Chứng minh các đẳng thức sau a) (1 cos )(1 cos ) sin2 ; b) sin2 1 cos2 2; c) sin4 cos4 2sin2 cos2 1; d) sin sin cos2 sin3 . Lời giải
6. a) (1 cos )(1 cos ) 1 cos2 sin2 ; b) sin2 1 cos2 sin2 cos2 1 1 1 2 ; 2 c) sin4 cos4 2sin2 cos2 sin2 cos2 12 1; d) sin sin cos2 sin 1 cos2 sin sin2 sin3 . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 5 cm, AC 12 cm và BC 13 cm. Giá trị của sin C bằng 5 1 12 5 A. . B. . C. . D. . 12 13 13 13 Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A . Khẳng định nào sau đây đúng? AB AC AB AC A. cos B . B. cos B . C. cos B . D. cos B . BC AB AC BC Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hệ thức nào sau đây đúng? AB AB AB AB A. sin B . B. sin B . C. tan B . D. cos B . BC AC AC AC Câu 4: Khẳng định nào sau đây sai? A. cos35 sin 40 . B. sin 35 cos 40 . C. sin 35 sin 40 . D. cos35 cos 40 . Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Hệ thức nào đây sai? A. AC 2 BC.HC . B. AH 2 AB.AC . 1 1 1 C. . D. AH 2 HB.HC . AH 2 AB2 AC 2 Câu 6: Cho VABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH 3,2cm; BC 5cm thì độ đài AB bằng A. 8 cm. B. 16cm. C. 1,8 cm. D. 4 cm. Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A , ·ACB 30 , cạnh AB 5 cm. Độ dài cạnh AC là 5 5 2 A. 10 cm. B. cm. C. 5 3 cm. D. cm. 3 2 1 Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết sin B , khi đó tan A bằng 3 2 2 1 A. . B. 3 . C. 2 2 . D. . 3 2 2 Câu 9: Cho VABC cân tại A , B· AC 120 , BC 12 cm . Tính độ dài đường cao AH . A. AH 3 cm . B. AH 2 3 cm . C. AH 4 3 cm . D. AH 6 cm .
7. Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (hình bên). Đẳng thức nào sau đây là sai? AH BH A. sin B . B. tan B· AH . AB AH HC AH C. cosC . D. cot H· AC . AC AC Câu 11: Một cái thang dài 4 cm đặt dựa vào tường, biết góc giữa thang và mặt đất là 60 . Khoảng cách d từ chân thang đến tường bằng bao nhiêu? 3 A. d m . B. d 2 3 m . 2 C. d 2 2 m . D. d 2 m . Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB 2 5a , AC 5 3a . Kẻ AK vuông góc với BC , với K nằm trên cạnh BC . Tính AK theo a . 19 57 95 A. AK a . B. AK a . 10 2 10 57 5 57 C. AK a . D. AK a . 19 19 Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AH 2 , HC 4 . Đặt BH x (hình bên). Tính x . 1 A. x . B. x 1. 2 16 C. x . D. x 4 . 3 Câu 14: Cho x· Oy 45 . Trên tia Oy lấy hai điểm A , B sao cho AB 2 cm. Tính độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên Ox . 2 2 1 A. cm. B. cm. C. 1 cm. D. cm. 2 4 2 Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH và đường trung tuyến AM ( H, M BC ). Biết chu vi của tam giác là 72 cm và AM AH 7 cm. Tính diện tích S của tam giác ABC . A. S 48 cm 2 . B. S 108 cm 2 . C. S 148 cm 2 . D. S 144 cm 2 . II. PHẦN TỰ LUẬN 1 Bài 1. Cho biết cos . 4 a) Tính sin . b) Chứng minh rằng tan 4sin . Lời giải 15 a) sin . 4
8. sin sin b) tan 4sin . cos 1 4 Bài 2. Xem hình bên và tính góc tạo bởi hai mái nhà AB và AC , biết rằng mỗi máy nhà dài 2,34m và cao 0,8m. Lời giải AH 0,8 40 cos B· AH B· AH 70 B· AC 2B· AH 2.70 140 . AB 2,34 117 Bài 3. Tam giác ABC có Aˆ 20 , Bˆ 30 , AB 6cm. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P (hình vẽ bên). Hãy tìm a) AP , BP ; b) CP . Lời giải PA PB PA PB 6 a) Ta có CP AP.tan 20 PB.tan 30 . tan 30 tan 20 tan 30 tan 20 tan 30 tan 20 Do đó PA 6.tan 30 2 3 cm ; PB 6.tan 20 2,18 cm . b) CP 2 3.tan 20 1,26 cm . Bài 4. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc nhọn của tam giác ABC vuông tại A trong hình bên Lời giải AH 2 32 ▪ HC 4,5. HB 2 ▪ BC BH HC 2 4,5 6,5 . ▪ BA2 BH.BC 2.6,5 13 BA 13 .
9. 117 3 13 ▪ CA2 CH.CB 4,5.6,5 AC . 4 2 AH 3 ▪ tan B Bµ 5919' . BH 2 ▪ Cµ 90 5919' 3041' . Bài 5. Cho hình thang cân ABCD ( AB PCD ). Biết AD 2,1cm ; CD 6,0cm và Dˆ 48 . a) Tính độ dài AB . b) Tính diện tích hình thang ABCD . Lời giải a) Kẻ các đường cao AH  CD và BK  CD . Dễ thấy ABKH là hình chữ nhật nên AB HK . Xét VAHD và VBKC , do giả thiết suy ra AD BC và ·ADH B· CK nên VAHD VBKC . Do đó DH KC và HK DC 2DH . Xét tam giác vuông AHD ta có DH AB cos ·ADH 2,1cos 48 1,4 cm . Suy ra AB 6,0 21,4 3,2 cm . AB CD  AH b) Gọi S là diện tích hình thang ABCD . Khi đó S . 2 Xét tam giác vuông ADH ta có AH AB sin ·ADH 2,1sin 48 1,56 cm . 3,2 6,0 1,56 Nên S 7,88 cm2 . 2 Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB 6cm, AC 8 cm. a) Tính BC , Bˆ , Cˆ ; b) Phân giác của Aˆ cắt BC tại D . Tính BD , CD . c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB , AC . Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF ? Lời giải a) Theo định lý Py-ta-go, ta có BC 2 AB2 AC 2 62 82 100 BC 100 10 cm .
10. Theo tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông B tại A AC 8 4 tan B Bµ 53 . D AB 6 3 E Do đó Cµ 90 Bµ 90 53 37. b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có C A F DB AB DB DC DB DC BC 10 5 . DC AC AB AC AB AC 6 8 14 7 5 5 5 5 DB AB 6 4,3 cm ; DC AC 8 5,7 cm . 7 7 7 7 c) Tứ giác AEDF có µA Eµ Fµ 90 nên là hình chữ nhật. Mặt khác DE DF (tính chất tia phân giác của một góc) nên AEDF là hình vuông. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong BED vuông tại E, ta có DE DB sin B 4,3sin 53 3,43 cm . Chu vi của hình vuông AEDF : 43,43 13,72 cm . Diện tích hình vuông AEDF : S 3,43 2 11,7649 cm2 . B AC Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tan . 2 AB BC Lời giải Vẽ đường phân giác BD . Xét VABD vuông tại A , ta AD có tan ·ABD . AB AD AB AB Mặt khác suy ra DC DC BC AD CD AD CD . AB BC AB BC AC B AC Do đó tan ·ABD hay tan . AB BC 2 AB BC HẾT