Ôn tập Toán học 9 - Dạng toán phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức vi-ét

Nội dung text: Ôn tập Toán học 9 - Dạng toán phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức vi-ét

1. DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT Câu 1: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình trên khi m = 6. b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1 x2 3 . Đáp án: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0 ∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2. b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m 25 Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0 m (*) 4 Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2). Mặt khác theo bài ra thì x1 x2 3 (3). Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4) Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn. Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho khi m = 3. b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 2 2 thỏa mãn: ( x1 + 1 ) + ( x2 + 1 ) = 2. Đáp án: a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0. Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3 5; x2 3 5 . b) Ta có: ∆/ = m2 – 4 / m 2 Phương trình (1) có nghiệm 0 (*). m -2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4. 2 2 Suy ra: ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = 2 2 2 2 x1 + 2x1 + x2 + 2x2 = 0 (x1 + x2) – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 – 8 + 4m = 0 m1 1 m2 + m – 2 = 0 . m2 2
2. Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm. Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 2 2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7. Đáp án: a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. 2 2 2 Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7 (x1 + x2) – 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7 m2 = 1 m = ± 1. Câu 4: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ). Đáp án: a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm. b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m. - 3 Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 - 3 – 4m 0 4m 3 m 4 (1). Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4 m = ± 2. Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn. Câu 5: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x 1- x2 = 4 Đáp án: a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0 b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9
3. x1 + x2 = 6 (1) Theo hệ thứcViét ta có x1 . x2 = m (2) Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4 (3) Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1 Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn) Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Câu 6: Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1) a) Giải phương trình với m = 5 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2. Đáp án: a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0. ∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - 6 - 11 ; x2 = - 6 + 11 b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: - 1 ∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > (*) 2 Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0 2 m = 0 m - 4m = 0 (thoả mãn điều kiện (*)) m = 4 Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm. Câu 7: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0. a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0. b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình. Đáp án: a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0 m 1. b) Phương trình có 2 nghiệm khi: ∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0 m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng  m. m + 1 Ta có x1.x2 = 5 = 5 m + 1 = 5m - 5 m - 1 3 4m = 6 m = . 2 3 1 5 Với m = ta có phương trình: x2 - 3x + = 0 x2 - 6x + 5 = 0 2 2 2
4. - b Khi đó x1 + x2 = = 6 a Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -3 2 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thứcx 1 + x2 = 10. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. Đáp án: a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0 x = 0 x = - 8 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi: ∆’ 0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 1 15 m2 - m + 4 > 0 (m )2 0 đúng m 2 4 Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m x1 + x2 = 2(m - 1) (1) Theo hệ thức Vi ét ta có: x1 - x2 = - m - 3 (2) 2 2 2 Ta có x1 + x2 = 10 (x1 + x2) - 2x1x2 = 10 4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10 m = 0 4m2 - 6m + 10 = 10 2m (2m - 3) = 0 3 m = 2 c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có: x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m. Câu 9: Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. 2 2 Tìm m để x1 + x2 - x1x2 = 7 Đáp án: a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a. c = 1 . (-1) = -1 < 0 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
5. b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b x + x = - 2m 1 2 a c x . x = = - 1 1 2 a 2 2 2 Do đó: x1 + x2 - x1x2 = 7 x1 + x2 - 3x1x2 = 7 (2m)2 - 3 . ( -1) = 7 4m2 = 4 m2 = 1 m = 1. Câu 10: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0 a) Giải phương trình với m = -2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6. Đáp án: a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình - 3 33 có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = 2 b) Ta có ∆ = - (2m +12 - 4 (m2 + 5m) = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 20m = 1 - 16m. 1 Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 1 - 16m ≥ 0 m 16 Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m. Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m2 + 5m = 6 m2 + 5m - 6 = 0 Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6. 1 Đối chiếu với điều kiện m ≤ thì m = - 6 là giá trị cần tìm. 16 Câu 11: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2. b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1, x2 2 2 thỏa mãn đẳng thức x1 + x2 = 5 (x1 + x2) Đáp án: a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + 3 = 0 Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0
6. Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3 b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , b'2 - ac 0 22 (m 1) 0 3 - m 0 m 3 (1) x1 x2 4 Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : x1x2 m 1 2 2 2 x1 + x2 = 5 (x1+ x2) (x 1 + x 2 ) - 2x1x2 = 5 (x1 + x2) 42 - 2 (m +1) = 5.4 2 (m + 1) = - 4 m = - 3 Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3 Câu 12: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x 1, x2 2 2 thoả mãn x1 x2 + x1x2 = 24 Đáp án: x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0 a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0 x1 = 1; x2 = 5 b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi: (-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0 m = - 20 c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + 1 Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*) Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có: S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: 2 2 x1 x2 x1x2 24 x1x2 (x1 x2 ) 24 ( m 6)(m 5) 24 m2 m 6 0 m 3; m 2. Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Câu 13: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt: x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1).
7. Đáp án: (1) x3 - 2mx2 + m2x + x - m = 0 x (x2 - 2mx + m2) + x - m = 0 x (x - m)2 + (x - m) = 0 x = m 2 (x - m) (x - mx + 1) = 0 2 x - mx + 1 = 0 (2) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác m. Dễ thấy x = m không là nghiệm của (2). Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 m > 2 ∆ = m - 4 > 0 . m 2 Vậy các giá trị m cần tìm là: m < - 2 Câu 14: Cho phương trình 2x 2 2m 1 x m 1 0 với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2 . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2 2 4x1 2x1x2 4x2 1. Đáp án: a) Với m 2 , ta có phương trình: 2x 2 3x 1 0 . Các hệ số của phương trình thoả mãn a b c 2 3 1 0 nên phương trình có các 1 nghiệm: x 1, x . 1 2 2 b) Phương trình có biệt thức 2m 1 2 4.2. m 1 2m 3 2 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m . 2m 1 x x 1 2 2 Theo định lý Viet, ta có: . m 1 x .x 1 2 2 2 2 2 Điều kiện đề bài 4x1 2x1 x2 4x2 1 4 x1 x2 6x1 x2 1. Từ đó ta có: 1 2m 2 3 m 1 1 4m 2 7m 3 0 . Phương trình này có tổng các hệ số a b c 4 ( 7) 3 0 nên 3 phương trình này có các nghiệm m 1, m . 1 2 4
8. 3 Vậy các giá trị cần tìm của m là m 1, m . 4 Câu 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0 biết p + q = 198. Đáp án: 2 Phương trình có nghiệm khi 0 p + 4q 0; gọi x1, x2 là 2 nghiệm. - Khi đó theo hệ thức Viét có x1+ x2 = - p và x1x2 = q mà p + q = 198 => x1x2 - (x1+ x2) = 198  (x1 - 1)(x2 - 1) = 199 = 1 . 199 = (- 1)(-199) ( Vì x1, x2 Z ) Nên ta có : x1 - 1 1 -1 199 -199 x2 - 1 199 -199 1 -1 x1 2 0 200 -198 x2 200 -198 2 0 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên: (2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0) Câu 16: Cho phương trình x 2 2x m 3 0 với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 3 . b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân 2 biệt x1 , x2 thoả mãn điều kiện: x1 2x2 x1 x2 12 . Đáp: a) Khi m 3 phương trình trở thành x 2 2x 0 x x 2 0 x 0; x 2 . b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' 1 m 3 0 m 4 . Khi đó theo định lí Vi-et ta có: x1 x2 2 (1) và x1 x2 m 3 (2). 2 Điều kiện bài toán x1 2x2 x1 x2 12 x1 x1 x2 2x2 12 2x1 2x2 12 (do (1)) x1 x2 6 (3). Từ (1) và (3) ta có: x1 2, x2 4 . Thay vào (3) ta được: 2 .4 m 3 m 5 , thoả mãn điều kiện. Vậy m 5 . Câu 17: Cho phương trình x2 ax b 1 0 với a,b là tham số. a) Giải phương trình khi a 3 và b 5 .
9. b) Tìm giá trị của a,b để phương trình trên có hai nghiệm phân x1 x2 3 biệt x1 , x2 thoả mãn điều kiện: 3 3 . x1 x2 9 Đáp án: a) Khi a 3 và b 5 ta có phương trình: x 2 3x 4 0 . Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x1 1, x2 4 . b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 a2 4(b 1) 0 (*) x1 x2 a Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1). x1x2 b 1 x x 3 x1 x2 3 1 2 Bài toán yêu cầu 3 x 3 x 3 9 1 2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 9 x1 x2 3 (2). x1 x2 2 2 2 2 Từ hệ (2) ta có: x1 x2 x1 x2 4x1x2 3 4( 2) 1, kết hợp a2 1 a 1,b 3 với (1) được . b 1 2 a 1,b 3 Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm. Câu 18: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, 2 x2 thỏa mãn: (x1x2 – 1) = 9( x1 + x2 ). Đáp án: a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm. b) Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 1 1 – 4m 0 m (1). 4 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m 2 Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 ) = 9( x1 + x2 ), ta được: 2 2 m = - 2 (m – 1) = 9 m – 2m – 8 = 0 m = 4 Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
10. Câu 19: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 2 2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7. Đáp án: a) Ta có = m2 + 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7 2 2 2 (x1 + x2) – 3x1.x2 = 7 4m + 3 = 7 m = 1 m = 1. Câu 20: Cho phương trình 2x 2 m 3 x m 0 (1) với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2 . b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x1 x2 . Đáp án: a) Với m 2 phương trình trở thành 2x 2 5x 2 0 . 1 52 4.2.2 9 nên phương trình có hai nghiệm x 2 , x . 1 2 2 b) Phương trình có biệt thức m 3 2 4.2.m m 2 2m 9 m 1 2 8 0 với mọi m . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó theo định lý m 3 x x 1 2 2 Viet thì . m x x 1 2 2 2 2 Biểu thức A = x1 x2 = x1 x2 = x1 x2 4x1 x2 = 2 m 3 m 1 1 2 4 = m 2 2m 9 m 1 8 . 2 2 2 2 Do m 1 2 0 nên m 1 2 8 8 2 2 , suy ra A 2 . Dấu bằng xảy ra m 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 , đạt được khi m 1.
11. Câu 21: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm. Đáp án: a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 + 3x + 2 = 0 Vì a = 1; b = 3; c = 2 => a - b + c = 0 Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - 2 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi: 2 2 3 0 (2m 1) 4(m 1) 0 m 4m 3 0 4 3 S 0 (2m 1) 0 m 2m 1 0 1 4 P 0 m2 1 0 m 2 . Câu 22: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án: Đặt x = t, được t2 + 2(m - 1)t + m + 1 = 0 (1) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt  (1) có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có nghiệm kép t > 0. +) (1) Có 2 nghiệm khác dấu m + 1 m m - 3m = 0 m 3 Thay vào (1) để xét thì m = 0 thỏa mãn, m = 3 bị loại. Vậy m x 1 0 x 1 Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2 b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
12. - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1 1 0 1 4m 0 m 1 4 m . f (1) 0 1 1 m 0 4 m 0 - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1. 1 0 1 4m 0 m 4 m 0. f (1) 0 m 0 m 0 Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 m = - ; m = 0. 4 Câu 24: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 4. b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án: a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0 2 2 Đặt x = t , với t 0 ta có pt t - 5t + 4 = 0 t1 = 1; t2 = 4 x2 1 x 1 Từ đó, ta được: . 2 x 4 x 2 Vậy phương trình có 4 nghiệm x 1; x 2. b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2) (với y = x2 ; y > 0) Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt phương trình (2): 25 0 m 25 1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 4 m . f (0) 0 4 m 0 2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu m 0. 25 Vậy m = hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân 4 biệt Câu 25: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 3. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
13. 1 1 2 2 = 1. x1 x2 Đáp án: a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - 3 = 0 Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3 b) Phương trình có nghiệm ' > 0 1 - m > 0 m m2 + 2m - 4 = 0 ' = 1 + 4 = 5 => ' = 5 nên m = -1 + 5 (loại); m = - 1 - 5 (T/m vì m < 1). Vậy giá trị m cần tìm là: m 1 5 Câu 26: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Đáp án: a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = 0 ' = 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6. c) Phương trình (1) có nghiệm ' 0 m2 + 6m m 6; m 0 (2) x1 + x2 = 2m Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: (3) x1x2 = - 6m Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi: 2 2 x1 2x2 ; x2 2x1 (x1 2x2 )(x2 2x1) 0 5x1x2 2(x1 x2 ) 0 2 2 5x1x2 2[(x1 x2 ) 2x1x2 ] 0 9x1x2 2(x1 x2 ) 0 (4) 27 Từ (3), (4), ta có: 54m 8m2 0 m 0; m (TMĐK (2)) 4 27 Vậy các giá trị m cần tìm là m 0; m . 4 Câu 27: Cho phương trình: (1 3)x2 2x 1 3 0 (1) a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
14. b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 . Lập một phương 1 1 trình bậc 2 có 2 nghiệm là và . x1 x2 Đáp án : a) Do ac (1 3)(1 3) 1 3 2 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Vì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có: 2 1 3 x x , x x . 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 x x 2 2(1 3) Do đó: S 1 2 (1 3) . x1 x2 x1x2 1 3 2 1 1 1 1 3 (1 3)2 4 2 3 và P = . (2 3) . x1 x2 x1x2 1 3 2 2 Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: X2 (1 3)X (2 3) 0. Câu 28: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân 1 1 3 biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 Đáp án: a) Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0 2 (2x 1) 0 Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2 b) Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì m 1 0 2 ' m 2m 1 (m 1)(m 2) 0 m 1 0 2 2 ' m 2m 1 m m 2 0 m 1 m 3 (*) m 3 0 m 1
15. 2(m 1) m 2 Mà theo ĐL Vi-ét ta có: x x ;x x 1 2 m 1 1 2 m 1 1 1 3 x1 x 2 3 Từ ta có: x1 x 2 2 x1x 2 2 2(m 1) m 2 3 2(m 1) m 1 3 : . m 1 m 1 2 m 1 m 2 2 2(m 1) 3 4m 4 3m 6 m 2 thoả mãn (*) m 2 2 Vậy m phải tìm là -2. Câu 29:Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0 a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Đáp án: a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi: m 0 m 0 m 0 2 9 (2m 3) 4m(m 4) 0 28m 9 0 m 28 9 Vậy với 0 m thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt. 28 2m 3 x x 1 2 m b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: m 4 x x 1 2 m 3 x x 2 1 2 m 4 x x 1 1 2 m 12 4(x x ) 8 1 2 m Cộng 2 vế pt trên ta đợc: 12 3x x 3 1 2 m 4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.