›
›
›

Ôn tập Đại số Lớp 9: Phương trình bậc 2 một ẩn - Hệ thức Vi-et - Trương Ngọc Vỹ

doc 60 trang Kiều Nga 03/07/2023 2040
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập Đại số Lớp 9: Phương trình bậc 2 một ẩn - Hệ thức Vi-et - Trương Ngọc Vỹ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docon_tap_dai_so_lop_9_phuong_trinh_bac_2_mot_an_he_thuc_vi_et.doc

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 9: Phương trình bậc 2 một ẩn - Hệ thức Vi-et - Trương Ngọc Vỹ

  1. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI - ET 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0 , trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và biệt thức b2 4ac : b b  Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 2a 2 2a b  Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 2a  Nếu 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.  Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: x1 x 2 u v + Nếu nhẩm được: thì phương trình có nghiệm x1 u, x 2 v . x1x 2 u.v c + Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a c + Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và b 2b , b 2 ac : b b  Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 a 2 a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 a  Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. 4. Hệ thức Viet 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b x1 x 2 a c x x 1 2 a Trang 1
  2. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (a 0) (1)  (1) có nghiệm 0 .  (1) có hai nghiệm phân biệt 0 .  (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0  (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị m ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:  Nếu: x1 m x2 x1 m x2 m 0 . x1 x2 2m  Nếu m x1 x2 x1 m x2 m 0 x1 x2 2m  Nếu x1 x2 m x1 m x2 m 0 Trang 2
  3. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021) Giải phương trình sau: x2 3x 2 0 Lời giải Cách 1: Dùng công thức nghiệm bậc 2 x2 3x 2 0 Ta có: a 1; b 3 ; c 2 và a b c 1 3 2 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 1 và x2 2 . Vậy phương trình có tập ngiệm là S 1;2 . Cách 2: đưa về phương trình tích x2 3x 2 0 x2 x 2x 2 0 x x 1 2 x 1 0 x 1 x 2 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Vậy phương trình có tập ngiệm là S 1;2 . Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021) Giải phương trình sau: x2 3x 4 0 Lời giải Cách 1: x2 3x 4 0 32 4.1.( 4) 25 0 Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 3 25 3 25 x 1; x 4 1 2.1 2 2.1 Vậy phương trình có tập ngiệm là S 4;1. Cách 2: x2 3x 4 0 Vì a b c 1 3 ( 4) 0 c 4 Nên phương trình đã cho có hai nghiệm x 1; x 4 1 2 a 1 Trang 3
  4. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Vậy phương trình có tập ngiệm là S 4;1. Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Phú Yên năm 2021) Giải các phương trình sau: x2 10x 11 0 Lời giải Giải phương trình: x2 10x 11 0 ( a 1; b 10 ; c 11) c Ta có: a b c 1 10 11 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 và x 11 a Vậy phương trình có tập nghiệm S 1; 11 Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021) Giải các phương trình sau: a) x2 8x 15 0 b) 2x2 5x 0 Lời giải: a) Ta có: x2 8x 15 0 x2 3x 5x 15 0 x 3 x 5 x 3 0 x 3 x 5 0 x 3 0 x 3 x 5 0 x 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 3;5. x 0 2 x 0 b) Ta có: 2x 5x 0 x 2x 5 0 5 2x 5 x 2 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 0; . 2  Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021) Giải phương trình: 4x2 7x 2 0 . Lời giải Giải phương trình: 4x2 7x 2 0 . Xét phương trình: 4x2 7x 2 0 72 4.4. 2 81 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt 7 81 1 7 81 x ; x 2 . 1 2.4 4 2 2.4 1  Vậy phương trình có tập ngiệm là S ; 2 . 4  Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021) Giải phương trình 3x2 5x 2 0 . Lời giải 3x2 5x 2 0 . Trang 4
  5. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 Ta có 5 4.3 2 49 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 1 x 2; x 1 2 3 1  Vậy phương trình có tập ngiệm là S ;2 . 3  Bài 7. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021) Giải phương trình x2 3x 10 0 Lời giải Giải phương trình x2 3x 10 0 =b2 4ac 32 4.1. 10 49 49 7 phương trình có hai nghiệm phân biệt b 3 7 b 3 7 x 2 ; x 5 1 2a 2 2 2a 2 Vậy phương trình có tập ngiệm là S 5;2. Bài 8. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021) Giải phương trình 5x2 6x 11 0 Lời giải 5x2 6x 11 0 c 11 Ta có a b c 5 6 11 0 nên phương trình có nghiệm phân biệt x 1; x 1 2 a 5 11  Vậy phương trình có tập ngiệm là S ;1 . 5  Bài 9. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021) Giải phương trình: x2 6x 5 0 Lời giải x2 6x 5 0 Ta có : a b c 1 6 5 0 x1 1; x2 5 Vậy phương trình có tập ngiệm là S 5; 1 . Bài 10. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TUYÊN QUANG năm 2021) Giải phương trình x2 1 2 x 2 0 Lời giải x2 1 2 x 2 0 x2 2x 3 0 Ta có: a b c 1 2 3 0 Trang 5
  6. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Suy ra phương trinh có 2 nghiệm phân biệt: x1 1; x2 3 Vậy phương trình có nghiệm là: x1 1; x2 3 . Bài 11. Giải phương trình x2 2 3 x 2 3 0 Lời giải Ta có: 2 2 2 3 4.2 3 2 3 2 3 . 2 3 2 3 2 3 2 3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x 2; x 3 , 1 2 2 2 Vậy phương trình có tập ngiệm là S 2; 3. Bài 12. Giải phương trình x2 2m 1 x m2 m 0 Lời giải 2m 1 2 4 m2 m 1. 2m 1 1 2m 1 1 Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x m 1; x m 1 2 2 2 Vậy phương trình có tập ngiệm là S m;m 1 . Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 13.Giải các phương trình sau: a) 3x2 5x 8 0 b) 5x2 3x 15 0 c) x2 4x 1 0 10 5 d) 3x2 7x 2 0 e) 5x2 x 0 f) 5 2 x2 10x 5 2 0 7 49 Bài 14.Giải các phương trình sau: a) (x 1)2 4(x2 2x 1) 0 b) x2 7x 3 x(x 1) 1 c) 2x2 5x 3 (x 1)(x 1) 3 d) 5x2 x 3 2x(x 1) 1 x2 Bài 15.Giải các hệ phương trình sau: 2x y 5 0 3x 4y 1 0 2x 3y 2 a) 2 b) c) y x 4x xy 3(x y) 9 xy x y 6 0 Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Trang 6
  7. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 2 TÌM GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN VI-ET 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b x1 x 2 a c x x 1 2 a  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ).  Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: 2 2 Nếu phương trình ax bx c 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ax bx c a x x1 . x x2 .  Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp: 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 ; 3 3 3 x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 ; 4 4 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1 x2 ; 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 Bài 1. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm của các phương trình sau: a) x2 13x 20 0 b) 3x2 5x 2 0 c) 5x2 7x 1 0 Lời giải a) x2 13x 20 0 c P x .x 20 0 1 2 a Ta có: b S x x 13 0 1 2 a Vì P 0 nên hai nghiệm x1, x2 cùng dấu và S 0 nên hai nghiệm cùng dấu dương. b) 3x2 5x 2 0 c 2 Ta có: P x .x 0 nên hai nghiệm x , x trái dấu. 1 1 a 3 1 2 c) 5x2 7x 1 0 Trang 7
  8. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 c 1 P x x 0 1 2 a 5 Ta có: b 7 S x x 0 1 2 a 5 Vì P 0 nên hai nghiệm x1, x2 cùng dấu và S 0 nên hai nghiệm cùng dấu âm. Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x 3x2 5x 2 b) g x x4 5x2 4 c) P x; y 6x2 11xy 3y2 d) Q x; y 2x2 2y2 3xy x 2y . Lời giải a) f x 3x2 5x 2 2 Phương trình 3x2 5x 2 0 có hai nghiệm x 1 hoặc x 3 2 2 Suy ra f x 3x 5x 2 3 x 1 x 3x 2 x 1 . 3 b) g x x4 5x2 4 2 Phương trình x4 5x2 4 0 x2 5x2 4 0 x2 1 hoặc x2 4 . Suy ra g x x4 5x2 4 x2 1 x2 4 x 1 x 1 x 2 x 2 . c) P x; y 6x2 11xy 3y2 Ta coi phương trình 6x2 11xy 3y2 0 là phương trình bậc hai ẩn x . 2 2 2 Ta có x 11y 4.18y 49y 0 . 11y 7y y 3y Suy ra phương trình có nghiệm là x x hoặc x . 12 3 2 2 2 y 3y Do đó P x; y 6x 11xy 3y 6 x x 3x y 2x 3y 3 2 d) Q x; y 2x2 2y2 3xy x 2y . Ta có 2x2 2y2 3xy x 2y 0 2x2 1 3y x 2y2 2y 0 Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn x và có: 2 2 2 2 x 1 3y 8 2y 2y 25y 10y 1 5y 1 0 3y 1 5y 1 y 1 Suy ra phương trình có nghiệm là x x 2y hoặc x . 4 2 2 2 y 1 Do đó Q x; y 2x 2y 3xy x 2y 2 x 2y x x 2y 2x y 1 2 Bài 3. Phân tích đa thức f x x4 2mx2 x m2 m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x . Lời giải Trang 8
  9. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Ta có x4 2mx2 x m2 m 0 m2 2x2 1 m x4 x 0 Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có: 2 2 4 2 2 m 2x 1 4 x x 4x 4x 1 2x 1 0 2x2 1 2x 1 2x2 1 2x 1 Suy ra f x 0 m x2 x 1 hoặc m x2 x . 2 2 Do đó f x x4 2mx2 x m2 m m x2 x 1 m x2 x . Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021) 2 Biết rằng phương trình x x 3 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 C x1 x2 . Lời giải 2 Phương trình x x 3 0 có ac 3 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1 ,x2 . x x 1 Khi đó áp dụng định li Vi-ét ta có: 1 2 . x1x2 3 2 2 2 2 Ta có: C x1 x2 x1 x2 2x1x2 1 2 ( 3) 7 . Vậy C 7 . Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021) 2 Cho phương trình x 5x 4 0 . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, 2 2 hãy tính giá trị biểu thức Q x1 x2 6x1x2 . Lời giải Vì a 1,c 4 nên a và c trái dấu suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt. b x x 5 1 2 a Theo hệ thức Vi-ét có c x x 4 1 2 a 2 2 2 2 Q x1 x2 6x1x2 x1 x2 4x1x2 5 4. 4 9 Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021) 2 Cho phương trình x 12x 4 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1 ,x2 . Không giải phương trình, x2 x2 hãy tính giá trị của biểu thức T 1 2 x1 x2 Lời giải x2 12x 4 0 2 2 Xét b ac ( 6) 1.4 32 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 Trang 9
  10. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 x x 12 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 x1x2 4 x1 0,x2 0 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x1 x2 2x1x2 12 2.4 2 x x 1 2 T 1 2 1156 2 x1 x2 x1 x2 2 x1x2 12 2 4 x1 x2 2 2 Nhận xét x1 x2 0 và x1 x2 0 với mọi x1 ,x2 0 suy ra T 0 T T 2 1156 34 Vây T 34 . BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 7. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x2 10x 16 0 b) x2 15x 50 0 c) x2 6x 5 0 d) x2 7x 10 0 e) x2 3x 4 0 f) x2 x 20 0 Bài 8. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm của các phương trình sau: a) x2 x 6 0 b) 2x2 5x 2 0 c) 7x2 6x 1 0 Bài 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x 3x2 5x 2 b) g x x4 5x2 4 c) P x; y 2x2 y 4xy2 6xy d) Q x; y 4x2 12xy 9y2 25 . Bài 10.Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau: 1 a) 10 và 8 b) 10 và –8 c) 3 và 4 2 Bài 11.Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 2x - 3x - 7 = 0 . Không giải phương trình, hãy tính: 2 2 3 3 4 4 a) M = x1 + x2 b) N = x1 + x2 c) P = x1 + x2 d) Q = x1 - x2 e) E = (2023x1 + x2 )(2023x2 + x1) 2 Bài 12.Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 3x + 10x + 3 = 0 . Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1 1 1 1 a) A = + b) B = + c) C = + x x 2 2 3 3 1 2 x1 x2 x1 x2 1 1 1 1 d) D = + e) E = + 4 4 2022x + x 2022x + x x1 x2 1 2 2 1 2 Bài 13. Cho phương trình x 3x 2 0 . Gọi các nghiệm của phương trình là x1, x2 . Không tính giá trị của x1, x2 , hãy tính các giá trị của biểu thức sau: Trang 10
  11. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 2 3 3 1 1 A x1 x2 B x1 x2 C x1 1 x2 1 2 Bài 14.Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x 6x m 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau theo m. 1 1 x 2 x 2 a) A x2 x2 b) B c) C 1 2 1 2 x x 2 2 1 2 x 2 x1 2 Bài 15.Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x (m 3)x 2m 1 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau theo m. x 2 x 2 x x 5 a) A x 3 x 3 b) B 1 2 c) C x 2 x 2 x x d) D 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 x x 2 x 2 x1 2 1 Trang 11
  12. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 3 TÌM THAM SỐ THEO SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Hệ thức Viet 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b x1 x 2 a c x x 1 2 a  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 2. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (a 0) (1)  (1) có nghiệm 0 .  (1) có hai nghiệm phân biệt 0 .  (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0  (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị m ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:  Nếu: x1 m x2 x1 m x2 m 0 . x1 x2 2m  Nếu m x1 x2 x1 m x2 m 0 x1 x2 2m  Nếu x1 x2 m x1 m x2 m 0 Trang 12
  13. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021) Cho phương trình: x2 m 3 x 2m2 3m 0 (m là tham số). Hãy tìm giá trị của m để x 3 là nghiệm của phương trình và xác định nghiệm còn lại của phương trình (nếu có). Lời giải Khi m 0 phương trình trở thành 3x2 3x 0 3x x 3 0 x 0 hoặc x 3. Vậy nghiệm còn lại là x 0 Vì x 3 là một nghiệm của phương trình nên: 32 3 m 3 2m2 3m 0 9 3m 9 2m2 3m 0 2m2 0 m 0 Bài 2. Cho phương trình x2 2m 1 x m2 m 8 0 có nghiệm x 2 . Tìm các giá trị của m và tìm nghiệm còn lại của phương trình. Lời giải Vì x 2 là nghiệm của phương trình nên ta có: 4 2 2m 1 m2 m 8 0 m2 5m 6 0 m 1 hoặc m 6 . Với m 1 ta có phương trình: x2 x 6 0 . Phương trình đã cho có 1 nghiệm x 2 , nghiệm còn lại là x 3(vì tích hai nghiệm bằng 6 ) Với m 6 , ta có phương trình x2 13x 22 0 , phương trình đã cho có một nghiệm x 2 , nghiệm còn lại là x 11 (vì tích hai nghiệm bằng 22) Bài 3. Cho phương trình x2 2 2m 1 x 4m2 4m 3 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Lời giải Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 0 2m 1 2 4m2 4m 3 4 0,m . Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 . x1 x2 2 2m 1 1 Theo hệ thức Viet ta có: . 2 x1.x2 4m 4m 3 2 Có thể giả sử x1 2x2 (3). Trang 13
  14. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 2m 1 x2 3 Khi đó từ (1) và (3) có . 4 2m 1 x 1 3 2m 1 2 Thay vào (2) ta có phương trình 8. 4m2 4m 3 4m2 4m 35 0 9 5 7 Giải phương trình ta được m hoặc m (thỏa mãn điều kiện). 2 2 Cách 2: Từ yêu cầu đề bài suy ra x1 2x2 hoặc x2 2x1 , 2 tức là: x1 2x2 x2 2x1 0 9x1x2 2 x1 x2 0 áp dụng hệ thức Viet ta được phương trình 4m2 4m 35 0 . Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021) Cho phương trình x2 ( 2m 1) m2 4m 7 0 (m là tham số) a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt. Lời giải a) x2 ( 2m 1) m2 4m 7 0 (1) (2m 1)2 4(m2 4m 7) 4m2 4m 1 4m2 16m 28 12m 27 27 9 Phương trình (1) có nghiệm 0 12m 27 0 12m 27 m 12 4 9 Vậy với m thì phương trình đã cho có nghiệm. 4 b) Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt 9 9 m 0 m 4 12m 27 0 4 b 1 9 0 (2m 1) 0 2m 1 0 m m a 2 4 2 2 c m 4m 7 0 (m 2) 3 0 m 0 a 9 Vậy với m > thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm. 4 Bài 5. Cho phương trình x2 2mx 5m 4 0 , với m là tham số. Xác định các giá trị của m để phương trình có: a) Nghiệm bằng 0 . b) Hai nghiệm phân biệt trái dấu. c) Hai nghiệm phân biệt cùng dương. Trang 14
  15. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Lời giải 4 a) Phương trình có nghiệm x 0 5m 4 0 m . 5 4 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu 1. 5m 4 0 m 5 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ' 0 m2 5m 4 0 m 1 m 4 0 m 4 hoặc m 1. x1 x2 2m Theo hệ thức Viet ta có: x1.x2 5m 4 2m 0 4 Hai nghiệm của phương trình cùng dương m 5m 4 0 5 4 Kết hợp với điều kiện ta có m 1 hoặc m 4 . 5 Bài 6. Cho phương trình x2 x 3m 0, với m là tham số. Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 1 x2 . Lời giải Cách 1. Đặt x 1 t , ta có x1 1 x2 x1 1 0 x2 1 t1 0 t2 Phương trình ẩn x là x2 x 3m 0 được đưa về phương trình ẩn t : t 1 2 t 1 3m 0 t 2 t 3m 0 . Phương trình ẩn t phải có hai nghiệm trái dấu 3m 0 m 0 Vậy m 0 1 Cách 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x 0 1 12m 0 m . 1 2 12 x1 x2 1 Khi đó theo hệ thức Viet ta có: (1). x1.x2 3m Hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 1 x2 x1 1 0 x2 1 x1 1 và x2 1 trái dấu x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 (2). Thay (1) vào (2) ta có: 3m 1 1 0 m 0 . Kết hợp với điều kiện ta có m 0 là các giá trị cần tìm. Chú ý: Nếu hai nghiệm x1, x2 1 thì phương trình ẩn t có hai nghiệm đều là số âm. Nếu hai nghiệm x1, x2 1 thì phương trình ẩn t có hai nghiệm đều là số dương. Bài 7. Cho phương trình x2 4x 2 x 2 m 5 , với m là tham số. Xác định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Trang 15
  16. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Ta có x2 4x 2 x 2 m 5 x2 4x 4 2 x 2 m 1 x 2 2 2 x 2 m 1 (1) Đặt t x 2 0 . Khi đó (1) thành: t 2 2t 1 m 0 (2) Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có: 0 4m 0 P 0 1 m 0 1 m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. S 0 2 0 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 1 Bài 8. Tìm m để phương trình: 15x 2 mx 1 0 có một trong các nghiệm bằng x . Tìm nghiệm 0 3 còn lại. Bài 9. Tìm m để phương trình: x 2 2(3m 1)x 2m 2 2m 5 0 có một trong các nghiệm bằng x 0 1. Tìm nghiệm còn lại. 2 2 Bài 10.Tìm m để phương trình: x 2(m 1)x m 5m 2 0 có một trong các nghiệm bằng x 0 1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 11.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm a) 3x2 4x 2m 0 b) (2m 1)x2 2(m 4)x 5m 2 0. Bài 12.Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt a) 9x2 6mx m(m 2) 0 b) (m 1)x2 2mx m 1 0. Bài 13.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép a) 2x2 10x m 1 0 b) mx2 (m 4)x 2m 0. Bài 14.Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm a) 5x2 12x m 3 0 b) (m 2)x2 2(m 1)x m 0 Bài 15.Cho phương trình: x2 2(3m 2)x 2m2 3m 5 0 . a) Giải phương trình với m 2. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –1. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. Bài 16.Cho phương trình: x2 2(m 2)x m2 3m 5 0. a) Giải phương trình với m 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –4. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. Bài 17.Cho phương trình: x2 2(m 3)x m2 3 0 . Trang 16
  17. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 a) Giải phương trình với m 1 và m 3. b) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng 4. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 18.Cho phương trình: m 1 x2 2 m 1 x m 3 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m 2 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài 19.Xác định m để mỗi cặp phương trình sau có nghiệm chung: a) x2 mx 2 0 và x2 2x m 0 b) x2 (m 4)x m 5 0 và x2 (m 2)x m 1 0 Bài 20.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm trái dấu. a) 2x2 (2m 1)x m 1 0 b) (m 4)x2 2(m 2)x m 1 0 Bài 21.Tìm m để phương trình: có hai nghiệm cùng dấu. a) x2 2(m 1)x m 1 0 b) m 1 x2 2mx m 1 0 Bài 22.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. a) x2 2(m 1)x m2 3m 0 b) m 4 x2 2mx m 2 0 Bài 23.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm dương. a) x2 (m 2)x m 5 0. b) m2 1 x2 2 m 1 x 2m 1 0 Bài 24.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm âm. a) x2 (m 3)x 3m 0. b) (m 1)x2 2(m 1)x m 0. Bài 25.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. a) x2 (m 2)x 2m 0. b) (4m 3)x2 3(m 1)x 2m 2 0. Bài 26.Tìm m để các phương trình có đúng một nghiệm dương. a) x2 2(m 2)x 4m 5 0. b) (m 3)x2 2(m 1)x m 5 0. Bài 27.Tìm m để các phương trình có đúng một nghiệm âm. a) x2 2(m 1)x 4m 3 0. b) (m 2)x2 (2m 1)x m 3 0. Trang 17
  18. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 4 TÌM THAM SỐ LIÊN QUAN GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 1. Hệ thức Viet 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b x1 x 2 a c x x 1 2 a  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 2. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (a 0) (1)  (1) có nghiệm 0 .  (1) có hai nghiệm phân biệt 0 .  (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0  (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị m ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:  Nếu: x1 m x2 x1 m x2 m 0 . x1 x2 2m  Nếu m x1 x2 x1 m x2 m 0 x1 x2 2m  Nếu x1 x2 m x1 m x2 m 0 Trang 18
  19. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021) Cho phương trình 2x2 4x m 0 ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho 2 2 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 10 Lời giải Ta có: 2x2 4x m 0 (*) ' 22 2.m ' 4 2m ' Phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 khi 0 4 2m 0 m 2 Với m 2 thì phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 4 x x 2 1 2 2 Theo hệ thức Vi ét: m x .x 1 2 2 x2 x2 10 Theo đề bài: 1 2 2 x1 x2 2x1x2 10 2 m 2 2. 10 2 4 m 10 m 6 (nhận) Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021) Cho phương trình: x2 2x m 1 0 ( x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x thỏa mãn x2 x2 x x x2 x2 14 0 1 2 1 2 1 2 1 2 Lời giải: Ta có: ' 1 2 m 1 2 m Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ' 0 2 m 0 m 2 x1 x2 2 Theo Vi-et ta có: x1x2 m 1 2 Mà: x2 x2 x x x2 x2 14 0 x x 3x x x2 x2 14 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 m 1 m 1 2 14 0 4 3m 3 m2 2m 1 14 0 m 1 TM m2 5m 6 0 m 1 m 6 0 m 6 KTM Trang 19
  20. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021) 2 Cho phương trình x 4x m 1 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 2 2 x1 x2 14 . Lời giải Ta có: ' 22 m 1 5 m Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì ' 0 m 5 x1 x2 4 Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1x2 m 1 2 2 Theo bài ta ta có: x1 x2 14 2 x1 x2 2x1x2 14 42 2 m 1 14 m 2 t/m 2 2 2 Vậy với m 2 thì phương trình x 4x m 1 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 14 . Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021) 2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: x mx m 2 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thóa mãn: x1 x2 2 5 . Lời giải Phương trình x2 mx m 2 0 có 2 nghiệm khi và chỉ khi 0 . ( m)2 4(m 2) 0 m2 4m 8 0 (m 2)2 4 0 (luôn đúng). Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 . x x m Theo hệ thức Vi -ét ta có: 2 2 . x1x2 m 2 Theo bài ra ta có: x1 x2 2 5 2 x1 x2 20 2 2 x1 x2 2x2x2 20 2 2 x1 x2 2x1x2 4x1x2 20 Trang 20
  21. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 x1 x2 4x1x2 20 m2 4(m 2) 20 m2 4m 12 0(1) 2 16 m1 6 2 1 Ta có m 2 1.( 12) 16 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt . 2 16 m 2 2 1 Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021) Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 2m 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (với x1 x2 ) thỏa mãn: x1 3 x2 . Lời giải. Phương trình: x2 2 m 1 x m2 2m 0 (1) Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x có: 2 2 2 2 ' m 1 m 2m m 2m 1 m 2m 1>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m , mà x1 x2 nên: x1 m 1 1 m x2 m 1 1 m 2 x1; x2 thỏa mãn: x1 3 x2 m 3 m 2 m 3 tm x1 < x2 m 3 m 2 3m 6 m 3 m 3 m 2 m 3m 6 m tm x < x 2 1 2 3 Vây tất cả các giá trị của m thỏa mãn đề bài là: m 3 và m . 2 Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021) 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2mx 4m 4 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa 2 2 mãn x1 x2 8 0 . Lời giải Xét phương trình x2 2mx 4m 4 0 Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 ' 0 m2 4m 4 0 m 2 2 0 m 2 0 Trang 21
  22. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 m 2 Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 . b x x 2m 1 2 a Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: c x .x 4m 4 1 2 a 2 2 Theo đề bài ta có: x1 x2 8 0 2 x1 x2 2x1x2 8 0 2m 2 2. 4m 4 8 0 4m2 8m 8 8 0 4m2 8m 0 4m m 2 0 4m 0 m 0 (tm) m 2 0 m 2 (ktm) Vậy m 0 . Bài 7. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021) 2 2 Tìm m dể phương trình x 2(m 1)x m 3m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn 2 2 x1 x2 3x1x2 0 Lời giải Xét phương trình x2 2(m 1)x m2 3m 2 0(*) Phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 0 (m 1)2 m2 3m 2 0 m2 2m 1 m2 3m 2 0 m 1 0 m 1 Với m 1 thì phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 . x x 2(m 1) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1 2 . 2 x1x2 m 3m 2 2 2 Theo đề bài ta có: x1 x2 3x1x2 0 2 x1 x2 2x1x2 3x1x2 0 2 x1 x2 5x1x2 0 Trang 22
  23. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 4(m 1)2 5 m2 3m 2 0 4m2 8m 4 5m2 15m 10 0 m2 7m 6 0 m2 7m 6 0 (m 1)(m 6) 0 m 1 0 m 1(ktm) m 6 0 m 6(tm) Vậy m 6 thóa mãn bài toán. Bài 8. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021) Cho phương trình x2 2x m 1 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m đề phương trình có hai 4 3 4 3 nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn hệ thức x1 x1 x2 x2 . Lời giải Phương trình x2 2x m 1 0 có 1 m 1 2 m . Phương trình đã cho có nghiệm 0 2 m 0 m 2 . x x 2 Khi đó theo định li Vi-ét ta có: 1 2 x1x2 m 1 x2 2x m 1 Do x ,x là nghiệm của phương trình x2 2x m 1 0 nên ta có: 1 1 1 2 2 x2 2x2 m 1 Theo bài ra ta có: 4 3 4 3 x1 x1 x2 x2 4 4 3 3 x1 x2 x1 x2 0 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x1x2 x2 0 2 x1 x2 2m 2 2x1 m 1 2x2 m 1 x1 x2 2 x1 x2 2m 2 m 1 [2.2 2m 2].2 x1 x2 x1 x2 [2.2 m 1] x1 x2 [2(6 2m) 5 m] 0 x x 1 2 x1 x2 (3m 7) 0 7 m (ktm) 3 2x 2 x 1 Thay x x vào (1) ta được: 1 1 1 2 2 x1 m 1 m 2(tm) Vậy m 2 . Trang 23
  24. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 9. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021) Cho phương trình x2 2mx 2m 2 0 , với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 3x2 6 . Lời giải x2 2mx 2m 2 0 , với m là tham số. ' m 2 2m 2 m2 2m 2 m 1 2 10,m R . Suy ra pt có hai nghiệm phân biệt với mọi m. x1 x2 2m Theo vi-et ta có : x1x2 2m 2 Theo đề, ta có : x1 3x2 6 x1 x2 2m Giải hệ pt x1 3x2 6 x2 3 m x1 3m 3 x2 3 m Thay vào x1x2 2m 2, ta được: x1 3m 3 3m 3 3 m 2m 2 3m2 10m 7 0 Phương trình có dạng a b c 3 10 7 0 . 7 Suy ra m 1 hoặc m . 3 7 Vây giá trị cần tìm là m 1 hoặc m . 3 Bài 10. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021) Cho phương trình x2 2mx 1 0 (1) vói m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2 (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn x1 x2 x1x2 7 Lời giải 2 Phương trình (1) có m 1 0,m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 . x x 2m Khi đó áp dụng định li Vi-ét ta có 1 2 . x1x2 1 Theo bài ra ta có: Trang 24
  25. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 2 x1 x2 x1x2 7 2 x1 x2 2x1x2 x1x2 7 2 x1 x2 3x1x2 7 4m2 3 7 4m2 4 m 1 Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 11. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021) Cho phương trình: x2 3x m 0 1 ( x là ẩn số). a) Giải phương trình 1 khi m 2 . b) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 có nghiệm. c) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: 3 3 2 2 x1 x2 x1x2 2x1 x2 5. Lời giải a) Giải phương trình 1 khi m 2 . +) Khi m 2 , phương trình đã cho trở thành: x2 3x 2 0 . +) Ta có: a b c 1 3 2 0 nên phương trình có hai nghiệm là x 1 và x 2 . Vậy khi m 2 thì phương trình 1 có hai nghiệm là x 1 và x 2 . b) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 có nghiệm. +) Ta có: 3 2 4.1.m 9 4m . 9 +) Để phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi: 0 9 4m 0 4m 9 m . 4 9 Vậy khi m thì phương trình 1 có nghiệm. 4 c) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: 3 3 2 2 x1 x2 x1x2 2x1 x2 5. 9 +) Theo câu b) phương trình 1 có nghiệm x , x m * . 1 2 4 b x x 3 1 2 a Khi đó theo định lý Viét, ta có: . c x .x m 1 2 a Trang 25
  26. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 3 3 2 2 +) Ta có: x1 x2 x1x2 2x1 x2 5 2 2 2 x1x2 x1 x2 2 x1x2 5 x x x x 2 2x x 2 x x 2 5 1 2 1 2 1 2 1 2 m 32 2m 2m2 5 9m 2m2 2m2 5 4m2 9m 5 0 4m2 4m 5m 5 0 4m m 1 5 m 1 0 m 1 4m 5 0 5 m 1 hoặc m . 4 5 Đối chiếu với điều kiện * ta được các giá trị cần tìm của m là m 1 và m . 4 Bài 12. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021) Cho phương trình: x2 m 2 x m 1 0 (1) a) Giải pt (1) với m=-3. b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m. c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông 2 có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là h . 5 Lời giải a) Giải pt (1) với m=-3. 2 Khi m=-3 pt (1) trở thành : x x 2 0 . Vì 1+1+(-2)=0 nên pt có hai nghiệm x1 1; x2 2 b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m. 2 2 2 Ta có: m 2 4 m 1 m 4m 4 4m 4 m 0 với mọi m Vậy pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m. c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông 2 có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là h . 5 Theo câu b ta có: m2 Trang 26
  27. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Pt (1) có có hai nghiệm phân biệt x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông 0 m2 0 m 0 x1 x2 0 m 2 0 m 1 m 1 0 x1.x2 0 2 1 1 1 Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền h nên áp dụng hệ thức 5 b2 c2 h2 2 2 1 1 1 x x 5 2 2 ta có: 1 2 4 x x 2x x 5 x x 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x1 x2 2 x1 x2 4 5 2 2 2 m 1 4 m 2 2 m 1 5 m 1 m 2m 3 0 . Đối chiếu điều kiện ta được m=1 m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy m=1 là giá trị cần tìm. Bài 13. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021) Cho phương trình x2 2(m 1)x m2 0 ( m là tham số) a) Giải phương trình với m 1. 2 2 b) Tim giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn: x1 x2 6 4x1x2 Lời giải Cho phương trình x2 2(m 1)x m2 0 (m là tham số) a) Giải phương trình với m 1. Với m 1, phương trình đã cho trở thành x2 4x 1 0 . b x1 2 3 Ta có 22 1 3 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt a . b x 2 3 2 a Vậy khi m 1 tập nghiệm của phương trình là S {2 3} . 2 2 b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 ,x2 thóa mãn: x1 x2 6 4x1x2 Ta có: (m 1)2 m2 2m 1. 1 Để phương trình đã cho có 2 nghiệm x ,x thì 0 2m 1 0 m . 1 2 2 x1 x2 2(m 1) Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: 2 . x1x2 m Theo bài ra ta có: 2 2 x1 x2 6 4x1x2 Trang 27
  28. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 x1 x2 2x1x2 6 4x1x2 2 x1 x2 6x1x2 6 0 4(m 1)2 6m2 6 0 2m2 8m 10 0(1) m 1(ktm) 1 Ta có a b c 2 8 10 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c 10 . m 5(tm) 2 a 2 Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là m 5 . Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Bài 14. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021) Cho phương trình x2 2(m 1)x m2 2 0 (1) ( x là tham số, m là tham số). a) Giải phuơng trình (1) khi m 1 b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn điều kiện: 2 x1 2(m 1)x2 12m 2 Lời giải a) Thay m 1 vào phương trình (1) ta có: x2 2(1 1)x 12 2 0 x2 4x 3 0 Phương trình có: a b c 1 4 3 0 c Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 3. 1 2 a Vậy với m 1 thì phương trình có tập nghiệm là: S {1;3}. b) Xét phương trình x2 2(m 1)x m2 2 0 (1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0 (m 1)2 m2 2 0 m2 2m 1 m2 2 0 2m 1 0 1 m 2 1 Với m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x . 2 1 2 Trang 28
  29. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 x x 2(m 1) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: 1 2 . 2 x1x2 m 2 2 Theo đề bài ta có: x1 2(m 1)x2 12m 2 2 x1 x1 x2 x2 12m 2 2 2 x1 x1x2 x2 12m 2 2 x1 x2 2x1x2 x1x2 12m 2 2 x1 x2 x1x2 12m 2 4(m 1)2 m2 2 12m 2 4m2 8m 4 m2 2 12m 2 3m2 4m 0 m(3m 4) 0 m 0(ktm) m 0 4 3m 4 0 m (tm) 3 4 Vậy m là thỏa mãn bài toán. 3 Bài 15. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021) Cho phương trình x2 6x m 4 0 (1) ( m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m 1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2020 x1 x2 2021x1x2 2014 . Lời giải Xét phương trình x2 6x m 4 0 (1) ( m là tham số). a) Khi m 1, ta có (1) x2 6x 1 4 0 x2 6x 5 0 c Vì a b c 1 6 5 0 phương trình có hai nghiệm x 1; x 5. 1 2 a Vậy m 1 thì phương trình có tập nghiệm là S 1;5 . b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2020 x1 x2 2021x1x2 2014 . Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì 0 3 2 1 m 4 0 9 m 4 0 m 5 m 5 . Trang 29
  30. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 x1 x2 6 Khi đó theo hệ thức Vi-et, ta có . x1x2 m 4 Theo bài ra 2020 x1 x2 2021x1x2 2014 2020.6 2021. m 4 2014 2022 12120 2021m 8084 2014 2021m 2022 m (thỏa mãn). 2021 2022 Vậy m là giá trị cần tìm. 2021 Bài 16. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021) Cho phương trình (ẩn x ): x2 2(m 2)x m2 7 0 . a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 b) Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x1 x2 x1x2 12 . Lời giải a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình x2 2(m 2)x m2 7 0 có: (m 2)2 m2 7 4m 3 . 3 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 0 4m 3 0 m . 4 3 Vậy với m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 4 2 2 b) Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x1 x2 x1x2 12 . 3 x x 2m 4 Với , theo định li Vi-et ta có: 1 2 m 2 4 x1x2 m 7 Theo bài ra ta có: 2 2 x1 x2 x1x2 12 2 x1 x2 2x1x2 x1x2 12 2 x1 x2 3x1x2 12 0 (2m 4)2 3 m2 7 12 0 4m2 16m 16 3m2 21 12 0 m2 16m 17 0 m 1(tm) Ta có a b c 1 16 17 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c . m 17(ktm) a Trang 30
  31. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Vậy m 1. Bài 17. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố Đà Nẵng năm 2021) Cho phương trình x2 4 m 1 x 12 0 * , với m là tham số. a) Giải phương trình * khi m 2. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 4 x1 2 . 4 mx2 x1 x2 x1x2 8 . Lời giải a) Với m 2 thì phương trình * trở thành: x2 4x 12 0 x2 6x 2x 12 0 x x 6 2 x 6 0 x 6 x 2 0 x 6 0 x 6 x 2 0 x 2 Vậy với m 2 thì phương trình * có tập nghiệm là S 6;2. b) Phương trình * có a.c 1. 12 12 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. x1 x2 4m 4 Theo định lí Vi-et ta có: 1 x1.x2 12 2 Vì x2 là nghiệm của phương trình * nên ta có: x2 4 m 1 x2 12 0 2 x2 4mx2 4x2 12 0 2 x2 4 mx2 4 4x2 4 0 2 4 4 mx2 x2 4x2 4 2 4 4 mx2 x2 2 2 2. 4 mx2 x2 2 2. 4 mx2 x2 2 2 2 Mà theo bài có: 4 x1 2 . 4 mx2 x1 x2 x1x2 8 3 2 Thay 1 , 2 vào 3 ta được: 2. x1 2 . x2 2  4m 4 12 8 2 2. x1x2 2 x1 x2 4 8 4m 2. 12 2 4m 4 4 64 64m 16m2 2. 16 8m 16 m2 4m 4 Trang 31
  32. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 16. m 2 16 m 2 2 m 2 m 2 2 m 2 2 m 2 4 m 2 4 m 2 2 0 m 2 2 . m 2 2 1 0 m 2 2 0 2 m 2 1 0 m 2 0 2 m 2 1 m 2 0 m 2 1 m 2 1 m 2 m 3 m 1 Vậy m 1;2;3 Bài 18. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021) Cho phương trình x2 2(m 1)x m 0.(1) (m là tham số). a. Giải phương trình (1) khi m 3 . 2 2 b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 xx2 4 . Lời giải a. Giải phương trình (1) khi m 3 Thay vào phương trình (1) ta được: x2 2 3 1 x 3 0 x2 4x 3 0 Vì a b c 1 4 3 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 phân biệt là: c . x 3 a Vậy với phương trình có tập nghiệm là S 1;3 . 2 2 b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 xx2 4 Để phương trình (1) có hai nghiệm thì Δ 0 (m 1)2 m 0 m2 2m 1 m 0 Trang 32
  33. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 m2 3m 1 0 * b x x 2 m 1 1 2 a Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: . c x x m 1 2 a 2 2 2 Ta có: x1 x2 x1x2 4 x1x2 x1 x2 4 2m m 1 4 m m 2 0 m 1 Ta có a b c 1 1 2 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c m 2 a Kết hợp điều kiện ta có thỏa mãn. Vậy là giá trị cần tìm. 2 2 Bài 19. Tìm các giá trị của m để phương trình x mx m m 3 0 có hai nghiệm x1, x2 là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC , biết độ dài cạnh huyền BC 2 . Lời giải Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên x1, x2 0 . x1 x2 m 0 Theo định lý Viet, ta có 2 (1). x1.x2 m m 3 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: m2 4 m2 m 3 0 3m2 4m 12 0 (2). 2 2 2 Từ giả thiết suy ra x1 x2 4 x1 x2 2x1.x2 4 . Do đó m2 2 m2 m 3 4 m2 2m 2 0 m 1 3 Thay m 1 3 vào (1) và (2) ta thấy m 1 3 . Vậy giá trị cần tìm là m 1 3 . 2 2 Bài 20. Cho phương trình x 2 m 1 x 2m 3m 1 0 , với m là tham số. Gọi x1, x2 là nghiệm của 9 phương trình. Chứng minh rằng: x x x x . 1 2 1 2 8 Lời giải Ta có ' m 1 2 2m2 3m 1 m2 m m 1 m . Để phương trình có hai nghiệm ' 0 0 m 1. 2 Theo định lý Viet ta có: x1 x2 2 m 1 và x1x2 2m 3m 1. Ta có Trang 33
  34. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 2 2 2 m 1 1 9 x1 x2 x1x2 2 m 1 2m 3m 1 2m m 1 2 m 2 m 2 2 4 16 2 2 1 1 3 1 9 1 9 Vì 0 m 1 m suy ra m m 0 4 4 4 4 16 4 16 2 2 2 1 9 9 1 9 1 9 Do đó x1 x2 x1x2 2 m 2 m 2 m 4 16 16 4 8 4 8 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m . 4 Bài 21. Cho phương trình x2 2m 1 x m2 1 0 , với m là tham số. tìm tất cả các giá trị m ¢ để x1x2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức P có giá trị là số nguyên. x1 x2 Lời giải Ta có 2m 1 2 4 m2 1 4m 3 . 3 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m . 4 2 Theo định lý Viet ta có: x1 x2 2m 1 và x1x2 m 1. x x m2 1 2m 1 5 Do đó P 1 2 . x1 x2 2m 1 4 4 2m 1 5 3 Suy ra 4P 2m 1 . Do m nên 2m 1 1 2m 1 4 Để P ¢ thì ta phải có 2m 1 là ước của 5 , suy ra 2m 1 5 m 2 Thử lại với m 2 , ta được P 1 (thỏa mãn). Vậy m 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán. Bài 22. Chứng minh rằng phương trình: ax2 bx c 0 a 0 (1) có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp k k 1 lần nghiệm kia khi và chỉ khi 1 k 2 ac kb2 . Lời giải Giả sử (1) có hai nghiệm x1, x2 và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia thì ta có: x1 kx2 x1 kx2 0 x1 kx2 x2 kx1 0 x2 kx1 x2 kx1 0 1 k 2 x x k x2 x2 0 1 k 2 x x k x x 2 2x x 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 c b c 2 2 2 2 1 k k 2 0 1 k ac k b 2ac 1 k ac kb a a a Giả sử 1 k 2 ac kb2 ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm là được. Trang 34
  35. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 4k k 1 Ta có: b2 4ac b2 b2 b2 0 . Vậy ta có điều phải chứng minh. k 1 2 k 1 2 2 2 Bài 23. Cho phương trình 2x 2mx m 2 0 , với m là tham số. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m . Lời giải Ta có m2 4 m 1 m 2 2 0 , với mọi m . Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . Theo hệ thức Viet, ta có: x1 x2 m và x1x2 m 1 Thay m x1 x2 vào x1x2 m 1, ta được x1x2 x1 x1 1 Vậy hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m là x1x2 x1 x1 1. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 24.Cho phương trình: x2 2(m 1) x m 1 0 . a) Giải phương trình với m 4. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn điều kiện x1 3x2 . Bài 25.Cho phương trình: (m 1) x2 4mx 4m 1 0. a) Giải phương trình với m 2. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 2x2 . Bài 26.Cho phương trình: 2x2 6x m 7 0 . a) Giải phương trình với m 3. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một trong các nghiệm bằng x = –4. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn điều kiện x1 2x2 . 2 Bài 27. Tìm m để phương trình mx 2 m 1 x 3 m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 2x2 1. 2 2 Bài 28. Tìm m để phương trình x 2m 1 x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 3x1x2 5 x1 x2 7 0 . 2 Bài 29.Tìm m để phương trình: mx 2(m 2)x m 3 0 có các nghiệm x1, x2 thoả hệ thức: 2 2 x1 x 2 1. Trang 35
  36. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 30. Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 3m 2 0 (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m 2 2 để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 12 . Bài 31. Cho phương trình x2 6x n 0 x2 – 6x + n = 0 (1) ( n là tham số). Tìm n để phương trình 2 2 (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn mãn x1 1 x2 1 36 Bài 32. Cho phương trình x2 2mx m2 9 0(1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m = -2. 2 b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 tỏa mãn x1 x2 (x1 x2 ) 12 . 2 Bài 33. Cho phương trình x x m 1 0 ( m là tham số). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của 2 phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho x1 3x2 x1x2 7 . 2 2 Bài 34. Cho phương trình x 2m 1 x m 1 0 . Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình 2 thỏa mãn : x1 x2 x1 3x2. Bài 35. Cho phương trình: x2 2x m 3 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 3 3 phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 8. 2 Bài 36. Tìm m để phương trình x x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 3 3 2 2 x1 x2 x1 x2 17 . Bài 37. Cho phương trình 2x2 – (2m+1) x – 3 +2m = 0 ( m là tham số ). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn (2x1 1)(2x2 1) 3 . Bài 38. Cho phương trình x2 3x m 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2 2 biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 1 x2 x2 1 x1 19 Bài 39. Cho phương trình bậc hai: x2 2mx m2 m 1 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có 2 2 hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 3x1x2 1. 2 2 Bài 40.Tìm m để phương trình: x 2(m 2)x m 2m 3 0 có các nghiệm x1, x2 thoả hệ thức 1 1 x x 1 2 . x1 x2 5 2 2 Bài 41. Tìm m để phương trình3x 4 m 1 x m 4m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 1 1 1 mãn: x1 x2 . x1 x2 2 Bài 42. Cho phương trình x2 2x 3m2 0 , với m là tham số. Tìm tất các các giá trị của m để phương x1 x2 8 trình có hai nghiệm x1, x2 0 và thỏa điều kiện . x2 x1 3 Trang 36
  37. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 43. Cho phương trình: x2 x m 5 0 (1) ( m là tham số, x là ẩn). Tìm m để phương trình (1) 6 m x1 6 m x2 10 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 0 thỏa mãn: . x2 x1 3 Bài 44. Cho phương trình x2 mx m 1 0 (có ẩn số x). a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m. 2x1x2 3 b) Cho biểu thức B 2 2 . Tìm giá trị của m để B = 1. x1 x2 2 1 x1x2 Bài 45. Cho phương trình x2 2 m 2 x m2 0 , với m là tham số. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với x1 x2 , tìm tất cả các nghiệm của m sao cho x1 x2 6 . Bài 46. Cho phương trình x2 5x 3m 1 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương 2 2 trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 15 . Bài 47. Cho phương trình x2 2(3 m)x 4 m2 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn : x1 x2 6 Bài 48. Cho phương trình x2 2mx m2 m 1 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai 2 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 2mx2 3m m 5 0 Bài 49. Cho phương trình: x2 2 m 1 x m2 4 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai 2 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 2 m 1 x2 3m 16 . 2 Bài 50. Chứng minh rằng phương trình: x 2 m 1 x m 4 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và biểu thức M x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào m . 2 Bài 51.Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: (m 2)x 2(m 1)x 3 m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 52.Gọi x , x là nghiệm của phương trình: x2 2(m 1)x m 3 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2 x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 53.Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: (m 3)x 2(m 1)x m 5 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 54.Cho phương trình: mx2 2(m 1)x m 4 0 . a) Xác định m để phương trình có các nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 4x2 3 . b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 55.Cho phương trình: mx2 (m 3)x 2m 1 0 . a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm x1, x2 bằng 2. Trang 37
  38. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc m. Bài 56.Cho phương trình: 2x2 (2m 1)x m 1 0 . a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 3x1 4x2 11. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt . c) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. DẠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI LIÊN QUAN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021) 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2(m 3)x 6m 7 0 với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ 2 nhất của biểu thức: C (x1 x2 ) 8x1x2 Lời giải Phương trình x2 2(m 3)x 6m 7 0 có ' (m 3)2 6m 7 m2 16 0 với mọi m ¡ Suy ra: phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 2m 6 Theo định lí Vi-et ta có : x1.x2 6m 7 Ta có : 2 C (x1 x2 ) 8x1x2 (2m 6)2 8( 6m 7) 4m2 24m 36 48m 56 4m2 72m 20 4(m2 18m 81) 4.81 20 4(m 9)2 344 344,m ¡ (vì 4(m 9)2 0,m ¡ ) Dấu ‘’= ‘’ xảy ra khi và chỉ khi m 9 0 m 9 . Vậy GTNN của C là 344 đạt tại m 9 Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021) Trang 38
  39. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Cho phương trình x2 (m 2)x 8 0 (1), với m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m 4 . b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức 2 2 đạt giá trị m x1 ,x2 Q x1 1 x2 1 lớn nhất. Lời giải a) Giải phương trình (1) khi m 4 . Thay m 4 vào phương trình (1) ta được: x2 2x 8 0 x 1 9 2 Ta có: 1 8 9 32 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 . x2 1 9 4 Vậy phương trình có tập nghiệm S { 4;2} . b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức 2 2 đạt giá trị m x1 ,x2 Q x1 1 x2 1 lớn nhất. Phương trình (1) có: (m 2)2 32 0 m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 . x x m 2 Khi đó theo Vi-ét ta có: 1 2 x1x2 8 Ta có: 2 2 Q x1 1 x2 1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 1 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 1 Q 64 ( m 2)2 16 1 ( m 2)2 49 49 m. Vậy Qmax 49 . Dấu "=" xảy ra khi m 2 . Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 49 khi m 2 . Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021) Cho phương trình (ẩn x) x2 2mx 2m 1 0 a) Giải phương trình khi m 3 . 4 x1x2 1 b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A 2 2 x1 x2 2 2 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải a) Khi m 3 , phương trình đã cho trở thành: x2 6x 5 0 . Trang 39
  40. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Vì a b c 1 6 5 0 nên phương trình có 2 nghiệm x1 1 và x2 5 . b) Vì a b c 1 2m 2m 1 0 nên phương trình có nghiệm x1 1 và x2 2m 1 với mọi giá trị của m. 4 x x 1 4 x x 1 4 2m 1 1 8m 2m Ta có: A 1 2 1 2 x2 x2 2 2 x x 2 2 4m2 4 m2 1 1 2 1 2 x1 x2 4 2m 1 1 4 2 2m Lại có: m 1 0,m 2m m2 1 ,m 1,m m2 1 A 1,m , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 1. Suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi m 1. Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021) 2 2 2 Cho phương trình: m m 1 x m 2m 2 x 1 0 ( m là tham số). Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x1 x2 . Lời giải Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phuoong trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x1 x2 Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 khi và chi khi 2 0 m2 2m 2 4 m2 m 1 0 (luôn đúng với mọi m vì 2 2 1 3 m m 1 m 0 với mọi m). 2 4 Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. m2 2m 2 Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: S x x . 1 2 m2 m 1 m2S mS S m2 2m 2 S 1 m2 S 2 m S 2 0 * TH1: S 1 m 1 2 0 m 1 0 m 1. TH2: S 1. Khi đó phương trình (*) có: 2 * S 2 4 S 1 S 2 S 2 4S 4 4 S 2 3S 2 3S 2 8S 4 Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x1 x2 thì phương trình (*) phải có nghiệm. 2 Khi đó ta có: * 0 3S 8S 4 0 Trang 40
  41. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 S 2 3S 2 0 S 2 S 2 S 2 0 S 2 0 Hoặc 2 Hoặc 2 3S 2 0 3S 2 0 S S 3 3 2 Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x x bằng và giá trị lớn nhất của biểu thức S x x bằng 1 2 3 1 2 2. 2 2 m 2m 2 2 2 2 Với S ta có: 2 3 m 2m 2 2 m m 1 3 m m 1 3 m2 4m 4 0 m 2 2 0 m 2 tm 2 m 2m 2 2 2 Với S 2 ta có: 2 2 m 2m 2 2 m m 1 m m 1 m2 0 m 0 tm 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x x bằng đạt được khi m 2 và giá trị lớn nhất của biểu 1 2 3 thức S x1 x2 bằng 2 đạt được khi m 0. Bài 5. Cho phương trình x2 m 1 m2 m 2 0 , với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m . 3 3 x1 x2 b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2 . Tìm m để biểu thức A đạt x2 x1 giá trị lớn nhất. Lời giải 2 2 1 3 a) Xét a.c m m 2 m 0,m ¡ 2 4 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m . b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2 . Theo câu a) thì x1x2 0 , do đó A được xác định với mọi x1, x2 . 3 3 x1 x2 Do x1, x2 trái dấu nên t với t 0 , suy ra 0 , suy ra A 0 x2 x1 3 3 x x 1 Đặt 1 t , với t 0 , suy ra 2 . x2 x1 t 1 Khi đó A t mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi A có giá trị nhỏ nhất. t Trang 41
  42. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 1 Ta có A t 2 , suy ra A 2 . t 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t t 2 1 t 1. t 3 x1 x1 Với t 1, ta có 1 1 x1 x2 x1 x2 0 m 1 0 m 1. x2 x2 Vậy với m 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là 2 . Bài 6. *Giả sử phương trình x2 ax b 0 có 2 nghiệm lớn hơn 1. Chứng minh rằng: a2 a 2b 2 b . b a 1 1 b Lời giải x1 x2 a Theo định lý Vi et ta có: . x1.x2 b x x 2 x x Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : 1 2 1 2 . 1 x1 1 x2 1 x1x2 2 1 2 x1x2 x1 x2 2 x1x2 1 1 Hay 1 1 2 x1 x2 1 . 1 x2 1 x1 1 x1x2 1 x1 1 x2 1 x1x2 Theo bất đẳng thức Cô si ta có: x1 x2 1 2 x1x2 1. 1 1 2 Để chứng minh * ta quy về chứng minh: với x1, x2 1. 1 x1 1 x2 1 x1x2 2 Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với x1x2 1 x1 x2 0 ( Điều này là hiển nhiên đúng). 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 a 4b . Bài 7. *Giả sử phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm thuộc 0;3. Tìm giá trị lớn nhất và 18a2 9ab b2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q 9a2 3ab ac Lời giải Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên a 0 . 2 b b 18 9 a a Biểu thức Q có dạng đẳng cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q cho a2 thì Q . b c 9 a a Trang 42
  43. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 b x x 1 2 a Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có: . c x x 1 2 a 2 b b 18 9 2 a a 18 9 x x x x Vậy :Q 1 2 1 2 b c 9 3 x x x x 9 1 2 1 2 a a 2 * Ta GTLN của Q: Ta đánh giá x1 x2 qua x1x2 với điều kiện x1, x2 0;3 . Giảsử 2 x1 x1x2 2 0 x x 3 x x x2 x2 2x x 9 3x x 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x2 9 18 9 x x 3x x 9 Q 1 2 1 2 3. 9 3 x1 x2 x1x2 Ta cũng có thể đánh giá theo cách: x x 3 0 1 1 2 2 x1 x2 3 x1 x2 2 2 0 x1; x2 3 x2 x2 3 0 x1 x2 x1x2 9 x1x2 9 3(x1 x2 ) x1 3 x2 3 0 2 x1 x2 3x1x2 9 . 18 9 x x x x 2 18 9 x x 9 3x x Suy ra Q 1 2 1 2 1 2 1 2 3. 9 3 x1 x2 x1x2 9 3 x1 x2 x1x2 b b 6 3 x1 x2 3 a b 6a a b 3a Đẳng thức xảy ra hay hoặc x 0; x 3 c c 9a c c 0 1 2 9 0 a a 3 x x x2 x2 Ta cóQ 2 1 2 1 2 0 Q 2. 9 3 x1 x2 x1x2 Đẳng thức xảy ra x1 x2 0 b c 0 . Vậy GTLN của Q là 3 và GTNN của Q là 2. Bài 8. *Cho phương trình f x ax2 bx c 0 , trong đó a,b,c là các số nguyên và a 0 , có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;1). Tìm giá trị nhỏ nhất của a. Lời giải Gọi x1, x2 0;1 là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho f x a x x1 x x2 . Vì a,b,c là các số nguyên và a 0 f 0 c ax1x2 , f 1 a b c a 1 x1 1 x2 là các số nguyên dương. Áp dụng BĐT Cauchy tacó: Trang 43
  44. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 1 1 1 x 1 x ; x 1 x x x 1 x 1 x (2) (Vì do x x nên không có đẳng thức). 1 1 4 2 2 4 1 2 1 2 16 1 2 a2 Từ (1) và (2) 1 a2 16 a 5 (a là số nguyên dương). 16 Xét đa thức f x 5x x 1 1, ta thấy f (x) thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5. n n 3 5 3 5 Bài 9. *Chứng minh: a 2 là số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ. n 2 2 Lời giải n n n n 2 3 5 3 5 1 5 1 5 Ta có a 2 . n 2 2 2 2 n n 1 5 1 5 Xét dãy S , ta chứng minh b là một số nguyên. n n 2 2 1 5 1 5 x1 x2 1 Xét x1 , x2 ta có suy ra x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2 2 x1.x2 1 x2 x 1 0 . n 1 n 1 n n n 1 n 1 Ta có Sn 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 x1 x2 hay Sn 1 Sn Sn 1 . 2 Ta có S1 1, S2 x1 x2 2x1x2 3, S3 S2 S1 2. Từ đó bằng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được Sn là số nguyên . 2 Suy ra an Sn là số chính phương. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 10.Cho phương trình: x2 (2a 1)x 4a 3 0 . a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào a. 2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 . Bài 11.Cho phương trình: x 2 2(m 4)x m 2 8 0 1 2 2 a) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức A x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức B x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. Trang 44
  45. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 2 c) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức C x1 x2 x1x2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 12.Cho phương trình: x2 2(m 1)x m2 3m 0 . a) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –2. Tìm nghiệm còn lại. 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 8 . 2 2 c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 . Bài 13. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (*) . a/ Tìm tham số m để phương trình (*) có nghiệm. 2 2 b/ Tìm tham số m để phương trình (*) có nghiệm thỏa: Pnhỏ= nhất.10x1x2 + x1 + x2 Bài 14. Cho phương trình x2 mx 1 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị m thoả mãn của biểu thức x2 x 1 x2 x 1 P 1 1 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 x 2 2 Bài 15. Tìm m để phương trình x x m 0 có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức: 2 2 Q x1 x1 1 x2 x2 1 đạt giá trị lớn nhất. Bài 16. Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 2 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho P x1x2 2 x1 x2 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 Bài 17. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 3a 1 x 2 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3 2 x1 x2 1 1 biểu thức: P x1 x2 2 2 2 x1 x2 2 Bài 18. Cho phương trình x 2mx m 2 0 ( x là ẩn số). Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương 24 trình. Tìm m để biểu thức M 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x1 x2 6x1x2 2 2 Bài 19. Cho phương trình 2x 2mx m 2 0 , với m là tham số. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của 2x1x2 3 phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 Trang 45
  46. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 6 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng d và Parabol (P) : y ax2 ta cần chú ý:  Nếu đường thẳng d là y m (song song với trục Ox ) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào ax2 m .  Nếu đường thẳng d : y mx n ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: ax2 mx n ax2 mx n 0 từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình ax2 mx n 0 bằng cách xét dấu của .  Trong trường hợp đường thẳng d cắt đồ thị hàm số P tại hai điểm phân biệt A, B thì A x1;mx1 n , B x2 ;mx2 n khi đó ta có: AB x x 2 m2 x x 2 m2 1 x x 2 4x x . 2 1 2 1 1 2 1 2 Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm x1, x2 ta đều quy về định lý Viet. Chú ý: Đường thẳng d có hệ số góc a đi qua điểm M x0 ; y0 thì có dạng: y a x x0 y0 Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021) Tìm giá trị của tham số thực m để Parabol P :y x2 và đường thẳng d :y 2x 3m có đúng một điểm chung. Lời giải Trang 46
  47. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Phương trình hoanh độ giao điểm của P và d : x2 2x 3m x2 2x 3m 0 2 ' 1 1.3m 1 3m . 1 Để P và d có đúng một điểm chung thì : ' 0 1 3m 0 m 3 Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x m 2 ( m là tham số). a) Vẽ parabol P . b) Khi m 0 , tìm tọa độ giao điểm của P và d bằng phép toán. c) Tìm giá trị của m để đường thẳng d và parabol P có một điểm chung duy nhất. Lời giải a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 P , ta có bảng sau: x -2 -1 0 1 2 y x2 4 1 0 1 4 Vậy đồ thị hàm số y x2 P là Pa-ra-bol đi qua 2;4 , 1;1 , 0 : 0 , 1;1 , 2;4 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 6 f(x) = x2 4 2 1 x 5 -2 -1 O 1 2 5 b) Khi m 0 phương trình đường thẳng có dạng d : y x 2 . Hoành độ giao điểm của P : y x2 và d : y x 2 là nghiệm của phương trình: x2 x 2 x2 x 2 0 Trang 47
  48. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 c Vì a b c 1 1 2 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1; x 2 . 1 2 a 2 Với x1 1 y1 1 1. 2 Với x2 2 y2 2 4 . Vậy ta có hai giao điểm của P và d là 1;1 và 2;4 . c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của P : y x2 và d : y x m 2: x2 x m 2 x2 x m 2 0 (1). Để d và P có một điểm chung duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm kép 9 0 12 4.1. m 2 0 1 4m 8 0 4m 9 m . 4 9 Vậy m là giá trị cần tìm. 4 Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021) Cho (P): y x2 và đường thẳng d: y m2 4 x m2 3 (m là tham số) a) Tìm toạ độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d khi m = 0. b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt. Lời giải Cho (P): y x2 và đường thẳng d: y m2 4 x m2 3 (m là tham số) a. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x2 m2 4 x m2 3 x2 m2 4 x m2 3 0 1 Thay m = 0 vào phương trình trên ta được phương trình x2 4x 3 0 Ta có Phương trình có hai nghiệm phân biệt ; . Với Với Vậy khi m = 0 thì d cắt (P) tại hai điểm có toạ độ (-1;1) và (-3;9). b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x2 m2 4 x m2 3 x2 m2 4 x m2 3 0 1 Trang 48
  49. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 1 có hai điểm phân biệt Vậy với thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KHÁNH HÒA năm 2021) Trên mặt phẳng tọa độ, cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m2 – 2m (m: tham số) a) Biết A là một điểm thuộc (P) và có hoành độ xA = -2. Xác định tọa độ điểm A b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. c) Xác định tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 và 2 x2 thỏa mãn x1 2x 2 3m Lời giải a) Biết A là một điểm thuộc (P) và có hoành độ xA = -2. Xác định tọa độ điểm A Gọi tọa độ điểm Alà (xA , yA ) . Theo đề bài ta có xA 2 2 2 Do điểm Athuộc parabol (P) nên yA (xA ) ( 2) 4 Vậy tọa độ điểm A là ( 2;4) . b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm: x2 2x m2 2m x2 2x m2 2m 0 * d cắt P tại 2 điểm phân biệt Phương trình * có 2 nghiệm phân biệt ' 0 1 2 1. m2 2m 0 ' 0 1 2 1. m2 2m 0 Vậy m 1 thì d cắt P tại 2 điểm phân biệt . c) Xác định tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 và x2 2 thỏa mãn x1 2x 2 3m Với m 1 Trang 49
  50. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 d cắt P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 và x2 nên x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*). Do x1 là nghiệm của phương trình (*) nên ta có: 2 2 2 2 x1 2x1 m 2m 0 x1 2x1 m 2m Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 x2 2 . 2 x1 2x2 3m 2 2x1 m 2m 2x2 3m 2 x1 2x2 3m 2 2x1 m 2m 2x2 3m m 1(loại) hoặc m 4 (nhận) Vậy m 4 . Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx 3 ( m là tham số). a) Vẽ parabol P . b) Khi m 2 , tìm tọa độ giao điểm của P và d bằng phép toán. c) Tìm m để đường thẳng d và parabol P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 1 3 x1, x2 thỏa mãn . x1 x2 2 Lời giải a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 P , ta có bảng sau: x -2 -1 0 1 2 y x2 4 1 0 1 4 Vậy đồ thị hàm số y x2 P là Pa-ra-bol đi qua 2;4 , 1;1 , 0 : 0 , 1;1 , 2;4 và nhận Oy làm trục đối xứng. Trang 50
  51. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 y 6 f(x) = x2 4 2 1 x 5 -2 -1 O 1 2 5 b) Khi m 2 phương trình đường thẳng có dạng d : y 2x 3. Hoành độ giao điểm của P : y x2 và d : y 2x 3 là nghiệm của phương trình: x2 2x 3 x2 2x 3 0 c Vì a b c 1 2 3 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1; x 3. 1 2 a 2 Với x1 1 y1 1 1. 2 Với x2 3 y2 3 9 . Vậy ta có hai giao điểm của P và d là 1;1 và 3;9 . c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của P : y x2 và d : y mx 3: x2 mx 3 x2 mx 3 0 (1). Để d và P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thì phương trình (1) phải luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 0 m 2 4.1. 3 0 m2 12 0 (luôn đúng với mọi m ) Vậy với mọi m thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . Theo hệ thức Vi-et, ta có: x1 x2 m . x1.x2 3 Thay x 0 vào (1), ta có 02 m.0 3 3 0 với mọi m nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 0 với mọi m . 1 1 3 Theo bài ra ta có: 2x2 2x1 3x1x2 2 x1 x2 3x1x2 . x1 x2 2 9 Thay hệ thức Vi-et, ta được: 2m 3. 3 2m 9 m . 2 Trang 51
  52. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 9 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parabol (P): y = x2. a) Vẽ (P). b) Tìm m để đường thẳng (d): y = (m – 1)x + m + 4 cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Lời giải a) Vẽ (P). Ta có bảng giá trị : x -2 -1 0 1 2 y = x2 4 1 0 1 4 Vậy đồ thị hàm số (P): y = x2 là parabol đi qua các điểm (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4). y y = x2 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 x b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) : y (m 1)x m 4 và (P) : y x2 ta có: (m 1)x m 4 x2 x2 (m 1)x m 4 0 (*) Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ac 0 m 4 0 m 4 Vậy m > -4 thì đường thẳng (d): y = (m – 1)x + m + 4 cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Bài 7. Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm I 0;1 và cắt parabol (P) : y x2 tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN 2 10 . Lời giải Đường thẳng d qua I với hệ số góc a có dạng: y ax 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: x2 ax 1 x2 ax 1 0 (1). Trang 52
  53. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Vì a2 4 0 với mọi a , (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt M x1; y1 , N x2 ; y2 hay M x1;ax1 1 , N x2 ;ax2 1 . Theo định lý Viet ta có: x1 x2 a, x1x2 1. Ta có: MN 2 10 2 2 x2 x1 ax2 1 ax1 1 40 2 2 a 1 x2 x1 40 a2 1 x x 2 4x x 40 1 2 1 2 a2 1 a2 4 40 a4 5a2 36 0 a2 4 N . 2 a 9 L a2 4 a 2 1 1 Bài 8. Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx m2 m 1. 2 2 a) Với m 1, xác định tọa độ giao điểm A, B và d và P . b) Tìm các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 x2 2 . Lời giải a) Với m 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: 1 3 x2 x x2 2x 3 0 x 1 hoặc x 3 (do a b c 0 ) 2 2 1 9 1 9 Ta có y 1 ; y 3 . Vậy tọa độ các giao điểm là A 1; và B 3; . 2 2 2 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là 1 1 x2 mx m2 m 1 x2 2mx m2 2m 2 0 (*) 2 2 Để P cắt d tại hai điểm phân biệt x1, x2 thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ' m2 m2 2m 2 0 m 1 Cách 1: 2 2 2 Khi m 1 ta có: x1 x2 2 x1 x2 2x1x2 4 x1 x2 4x1x2 4 1 4m2 4 m2 2m 2 4 8m 4 m . 2 Trang 53
  54. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Cách 2: b ' b ' Khi m 1 ta có: x x 2 2 ' 2 2m 2 1 2 a a ' 1 Theo yêu cầu bài toán ta có: 2 2m 2 2 2 m 2 2 2m 2 1 m . 2 1 Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P : y x2 , điểm M m;0 với m là tham số 2 khác 0 và điểm I 0; 2 .Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M , I . Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A, B với độ dài đoạn AB 4 . Lời giải 2 Phương trình đường thẳng d : y x 2 . m Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol là: 1 2 x2 x 2 mx2 4x 4m 0 . 2 m 2 2 2 x1 x2 Ta có ' 4 4m 0,m suy ra d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A x1; , B x2 ; 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 AB x2 x1 x2 x1 x1 x2 4x1x2 1 x1 x2 2 2 4 4 Theo định lý Viet ta có: x x , x x 4 . 1 2 m 1 2 2 16 4 Vậy AB 2 16 1 2 16 nên AB 4 . m m x2 Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P có phương trình y . Gọi d là đường 2 thẳng đi qua I 0; 2 và có hệ số góc k . a) Viết phương trình đường thẳng d . Chứng minh đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B khi k thay đổi. b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I . Lời giải a) Đường thẳng d : y kx 2 x2 Xét phương trình kx 2 x2 2kx 4 0 (1). Ta có: ' k 2 4 0 với mọi k , suy ra (1) có 2 hai nghiệm phân biệt. Trang 54
  55. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Vậy d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 2 2 2 2 2 2 Suy ra A x1; y1 , B x2 ; y2 thì H x1;0 , K x2 ;0 . Khi đó IH x1 4, IK x2 4, KH x1 x2 . 2 2 2 2 2 Theo định lý Viet thì x1x2 4 nên IH IK x1 x2 8 KH . Vậy tam giác IHK vuông tại I . Bài 11. Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx 1. a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m . b) Gọi A x1; y1 và B x2 ; y2 là các giao điểm của d và P . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M y1 1 y2 1 . Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: x2 mx 1 x2 mx 1 0 (1) m2 4 0 với mọi m nên (1) có hai nghiệm phân biệt, suy ra d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A x1; y1 và B x2 ; y2 . b) Theo định lý Viet, ta có: x1 x2 m; x1x2 1 2 2 2 2 2 2 M y1 1 y2 1 x1 1 x2 1 x1 x2 2x1x2 x1 x2 1 m 0 Vậy max M 0 khi m 0 . Bài 12. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021) Cho parabol P : y x2 và hai điểm A 3;9 , B 2;4 . Tìm tọa độ điểm M có hoành độ thuộc khoảng 3;2 trên P sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. Lời giải y A 9 4 B M H I K x -3 a 0 1 2 Gọi M a;a2 P 3 a 2 Goi H, K, I lần lượt là hình chiếu của A, B, M lên trục Ox . Ta có: Trang 55
  56. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 S MAB SABKH SAMIH SBMIK 1 1 1 9 4 .5 9 a2 . 3 a 4 a2 . 2 a 2 2 2 65 1 9 a2 . 3 a 4 a2 . 2 a 2 2 a 3 0 3 a a 3 Vì 3 a 2 2 a 0 2 a 2 a Khi đó ta có: 65 1 2 2 S MAB 9 a a 3 4 a 2 a 2 2 65 1 9a 27 a3 3a2 8 4a 2a2 a3 2 2 65 1 65 5 5a2 5a 35 a2 a 7 2 2 2 2 2 2 2 1 1 27 1 27 27 Ta có: a a 7 a 2. .a a . 2 4 4 2 4 4 65 5 27 125 S  MAB 2 2 4 8 125 1 1 1 Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB bằng , đạt được khi a M ; 8 2 2 4 Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y a2 0 và parabol P : y ax2 (a 0) . a) Tìm a để d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B . Chứng minh rằng A và B nằm bên phải trục tung. 4 1 b) Gọi xA , xB là hoành độ của A và B . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . xA xB xA.xB Lời giải a) Xét phương trình ax2 2x a2 ax2 2x a2 0 (1) d cắt P .tại hai điểm phân biệt A, B khi (1) có hai nghiệm phân biệt ' 0 a 1. Kết hợp với điều kiện ta có 0 a 1 khi đó (1) có hai nghiệm dương nên A, B nằm ở bên phải trục Oy . 2 xA xB 0 b) Theo định lý Vi et ta có: a . xA.xB a 0 4 1 1 Ta có: T 2a xA xB xA.xB a Trang 56
  57. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 1 theo bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có: 2a 2 2 . a 1 Vậy minT 2 2 khi a . 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 14. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d : y 2x m và parabol P : y x2 . Tìm m để (d) và (P) có một điểm chung. Bài 15. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021) 1 Tìm tham số m để đường thẳng d : y 2x m cắt P : y x2 tại hai điểm phân biệt. 2 Bài 16. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SÓC TRĂNG năm 2021) Cho hàm số y x2 có đồ thị P . a) Vẽ đồ thị P trên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y 2x 3m (với m là tham số) cắt đồ thị (P) tại hai điểm 2 phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1x2 x2 3m 2x1 12. Bài 17. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y x2 có đồ thị (P) và đường thẳng d có phương trình 2 1 y x m2 m 1, với m là tham số. 2 a) Vẽ đồ thị (P). 3 3 b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 x2 68 . Bài 18. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021) Cho hàm số y 2x2 có đồ thị P a) Vẽ đồ thị P trên mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y 2mx 1 cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 và x2 x1 2021. Bài 19. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021) 1 Cho Parabol là đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng d là đồ thị hàm số y mx m 1 (với m là 2 tham số). 1 a. Vẽ Parabol là đồ thị hàm số y x2 . 2 Trang 57
  58. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 b. Chứng minh Parabol luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Bài 20. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y (m 1)x m 4 ( m là tham số). Tim điều kiện của tham số m đề d cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phia của trục tung. Bài 21. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021) Cho đường thẳng d : y 2mx 2m 3 và Parabol P : y x2 a) Tìm m để đường thẳng d đi qua A 1;5 . b) Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với Parabol P Bài 22. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI BÌNH năm 2021) Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 3mx 1 m2 ( m là tham số) a) Tìm m để d đi qua điểm A 1; 9 b) Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt của hoành độ x ; x thỏa mãn x x 2x x 1 2 1 2 1 2 Bài 23. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH PHÚC năm 2021) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y 2x m (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có A x1, y1 , B x2 , y2 sao cho 2 2 y1 y2 x1 x2 6 x1 x2 . Bài 24. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021) Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2m 1 x 2m (m là tham số). Tìm m để P cắt d tại hai điểm phân biệt A x1, y1 ; B x2 , y2 sao cho y1 y2 x1x2 1. Bài 25. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố Đà Nẵng năm 2021) Cho hàm số y x2 có đồ thị P và đường thẳng d : y kx 2k 4 . a) Vẽ đồ thị P . Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm C 2;4 . b) Gọi H là hình chiếu của điểm B 4;4 trên d . Chứng minh rằng khi k thay đổi k 0 thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm2 ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét). Bài 26. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parapol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y 2(m 1)x m 3 . Gọi x1 ,x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parapol (P) . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 biểu thức M x1 x2 . Bài 27. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố HÀ NỘI năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y 2x m 2. Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2 2 . Trang 58
  59. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 1 Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y m 1 x 3 3 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng mỗi giá trị của m thì P và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 3 2 b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm P và d , đặt f x x m 1 x x . 1 3 Chứng minh rằng: f x f x x x . 1 2 2 1 2 Bài 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y mx 3 tham số m và parabol P : y x2 . a) Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm A 1;0 . b) Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 . 2 Bài 30. Cho hai hàm số y x và y mx 4 , với m là tham số a) Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hai số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2 2 2 A1 x1; y1 và B x2 ; y2 . Tìm tất cả các trị của m sao cho y1 y2 7 . Bài 31. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d : y 2ax 4a (với a là tham số) 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi a 2 b)Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3 Bài 32. Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y mx 4 . a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B .Gọi x1, x2 là hoành 2 x1 x2 7 độ của các điểm A, B . Tìm giá trị lớn nhất của Q 2 2 . x1 x2 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 . Trang 59
  60. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Trang 60