Ôn tập Đại số Lớp 9: Một số dạng khác liên quan đến phương trình bậc hai ( Phần nâng cao dành cho học sinh giỏi chuyên Toán) - Trương Ngọc Vỹ

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 9: Một số dạng khác liên quan đến phương trình bậc hai ( Phần nâng cao dành cho học sinh giỏi chuyên Toán) - Trương Ngọc Vỹ

1. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 CHỦ ĐỀ 5 MỘT SỐ DẠNG KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (Phần nâng cao dành cho học sinh giỏi chuyên toán ) Bài 1. Cho các phương trình x2 ax b 0 (1); x2 cx d 0 (2), trong đó các hệ số a,b,c,d đều khác 0 . Biết a,b là nghiệm của phương trình (2) và c,d là nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng a2 b2 c2 d 2 10 . Lời giải 2 a b c Áp dụng hệ thức Viet với x ax b 0 ta có: . ab d 2 c d a Áp dụng hệ thức Viet với x cx d 0 ta có: . cd b c d a c a d Ta có: b d a b c a b c Kết hợp với ab d và cd b suy ra a 1,c 1 Do a b c và c d a suy ra b 2,d 2 Do đó a2 b2 c2 d 2 12 2 2 12 2 2 10 . 2 Bài 2. Cho phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn ax1 bx2 c 0 Chứng minh rằng ac a c 3b b3 0 . Lời giải 2 3 2 2 3 3 c c bc Vì a 0 nên ac a c 3b b ac a c b 3abc a 3 2 (*). a a a b c Theo hệ thức Viet, ta có: x x ; x x . 1 2 a 1 2 a Khi đó (*) thành: a3 x2 x2 x x x x 3 3x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a3 x2 x2 x x x3 x3 a3 x2 x x2 x 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 2 2 ac a c 3b b a x1 x2 x2 x1 2 Mà theo giả thiết ta có ax2 bx2 c 0 và ax1 bx2 c 0 a 0 2 2 Suy ra bx2 c ax2 ax1 x2 x1 0 . Do đó ac a c 3b b3 0 Bài 3. Giả sử p,q là hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm x2 px q 0; x2 qx p 0 . Trang 1
2. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Lời giải Vì p,q nguyên dương khác nhau nên xảy ra hai trường hợp là p q hoặc p q . Nếu p q suy ra p q 1. Khi đó p2 4q q 1 2 4q q 1 2 0 . Vậy trong trường hợp này phương trình x2 px q 0 có nghiệm. Tương tự trường hợp p q thì phương trình x2 qx p 0 có nghiệm (đpcm). Bài 4. Tìm các số a,b để hai phương trình x2 ax 11 0 và x2 bx 7 0 có nghiệm chung và đồng thời có a b bé nhất. Lời giải Theo điều kiện đầu bài thì ta gọi x0 là nghiệm chung hai phương trình, ta có: 2 x0 ax0 11 0 2x2 a b x 18 0 2 0 0 x0 bx0 7 0 Do đó phương trình 2x2 a b x 18 0 có nghiệm (*) Khi đó a b 2 144 0 hay a b 12 . Mặt khác, ta có a b a b 12. Vậy a b bé nhất bằng 12 khi và chỉ khi a và b cùng dấu. Với a b 12 , thay vào (*) ta được: 2x2 12x 18 0 . Phương trình trên có nghiệm kép x 3. 20 16 Thay x 3 vào các phương trình đã cho ta được a ;b . 3 3 20 16 20 16 Vậy các cặp số sau thỏa mãn điều kiện bài toán: a;b ; , ; . 3 3 3 3 6 Bài 5. Cho các số a,b,c thỏa mãn a 0,bc 4a2 ,2a b c abc . Chứng minh rằng a . 2 Lời giải Từ giả thiết ta có: bc 4a2 và b c abc 2a 4a3 2a 2a 2a2 1 . Suy ra b,c là nghiệm của phương trình x2 4a3 2a x 4a2 0 . 2 2 6 Khi đó ' a2 2a2 1 4a2 0 2a2 1 4 a (vì a 0 ). 2 Bài 6. Cho a,b,c là ba số khác nhau và c 0 . Chứng minh rằng nếu các phương trình x2 ax bc 0 và x2 bx ac 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của phương trình x2 cx ab 0 . Lời giải Trang 2
3. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 x0 ax0 bc 0 Giả sử x là nghiệm chung, tức là 0 2 x0 bx0 ca 0 a b x0 c a b a b x0 c 0 . Vì a b nên x0 c . Khi đó ta có: c2 bc ca 0 c a b c 0, Do c 0 nên a b c 0 a b c . Mặt khác theo định lý Viet, phương trình x2 ax bc 0 còn có nghiệm x b; phương trình x2 bx ac 0 còn có nghiệm x a . Theo định lý đảo của định lý Viet, hai số a và b là nghiệm của phương trình: x2 a b x ab 0 hay x2 cx ab 0 (đpcm). Bài 7. Cho f x ax2 bx c a 0 , biết rằng phương trình f x x vô nghiệm. chứng minh rằng phương trình af 2 x bf x c x vô nghiệm. Lời giải Vì phương trình f x x vô nghiệm, nên suy ra f x x hoặc f x x,x ¡ Khi đó af 2 x bf x c f x x,x ¡ hoặc af 2 x bf x c f x x,x ¡ . Tức là phương trình af 2 x bf x c x vô nghiệm. 2 Bài 8. Cho các số a1,a2 ,b1,b2 sao cho các phương trình sau vô nghiệm: x a1x b1 0 và 1 1 x2 a x b 0 . Hỏi phương trình x2 a a x b b 0 có nghiệm hay không? Vì sao? 2 2 2 1 2 2 1 2 Lời giải 2 2 Từ giả thiết suy ra a1 4b1 0 và a2 4b2 0 . 2 2 2 2 a1 a1 4b1 2 a2 a2 4b2 Do đó x a1x b1 x 0,x ¡ . và x a2 x b2 x 0,x ¡ 2 4 2 4 1 1 1 2 2 2 nên x a1 a2 x b1 b2 x a1x b1 x a2 x b2 0 . 2 2 2 1 1 Do vậy phương trình x2 a a x b b 0 vô nghiệm. 2 1 2 2 1 2 Bài 9. Cho a b 0,b c 0,a c 0 . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: a b c x2 2 3 a3 b3 c3 x a2 b2 c2 0 . Lời giải Nếu a b c 0 thì từ giả thiết ta suy ra a b c 0 . Do vậy phương trình có vô số nghiệm. Dưới đây ta xét trường hợp a b c 0 . Trang 3
4. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Ta có: ' 3 a3 b3 c3 a b c . a2 b2 c2 2 a3 b3 c3 ab a b bc b c ac a c a3 b3 ab a b b3 c3 bc b c a3 c3 ac a c a b . a b 2 b c . b c 2 a c . a c 2 0 . Do a b,b c,a c 0 . Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm. Bài 10. Cho phương trình: ax2 bcx b3 c3 4abc 0 (1) a 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: ax2 bx c 0 2 và ax2 cx b 0 (3). Lời giải Vì (1) vô nghiệm nên ta có: 2 2 3 3 2 2 1 b c 4a b c 4abc 0 b 4ac c 4ab 0(*) 2 2 Phương trình (2) có: 2 b 4ac; Phương trình (3) có: 3 c 4ab Nên (*) 2. 3 0 trong hai số 2 , 3 luôn có một số dương và một số âm dẫn đến trong hai phương trình (2) và (3) luôn có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm. Bài 11. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a 2b 3c 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm 4x2 4 2a 1 x 4a2 192abc 1 0 và 4x2 4 2b 1 x 4b2 96abc 1 0 . Lời giải Hai phương trình trên lần lượt có '1 16a 1 48bc , '2 16b 1 24ac . Vì a,b là các số dương nên '1, '2 lần lượt cùng dấu với 1 48bc và 1 24ac . Mặt khác ta lại có 1 48bc 1 24ac 2 24c a 2b 2 24c 1 3c 2 6c 1 2 0 . ' ' Dẫn đến 1 2 0 . Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 11 file word (hơn 3000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề toán 12 ôn thi đại học file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ Bài 12. Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a b c 6 . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm : x2 ax 1 0; x2 bx 1 0; x2 cx 1 0 Trang 4
5. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Lời giải 2 2 2 Ba phương trình đã cho lần lượt có 1 a 4; 2 b 4; 3 c 4. 2 2 2 Do đó 1 2 3 a b c 12 . Lại có 3 a2 b2 c2 a b c 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b c 2 . 2 a b c 62 Suyra a2 b2 c2 12. 3 3 2 2 2 Do đó a b c 12 0 hay 1 2 3 0 . Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm. Bài 13. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: 2 2 2 ax 2bx c 0 (1) ; bx 2cx a 0 (2) ; cx 2ax b 0 (3). Lời giải Nếu Trong ba số a,b,c có một số bằng 0, chẳng hạn a 0 (2) có nghiệm x 0 . Ta xét a,b,c là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có 2 '1 b ac 2 '2 c ab . 2 '3 a bc Xét tổng 1 2 3 ta có: 1 2 2 2 ' ' ' a2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a 0 1 2 3 2 Suy ra trong ba số '1; '2; '3 có ít nhất một số không âm hây ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài 14. Cho tam thức bậc hai f x x2 bx c trong đó b,c là các số nguyên. Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên k để được f k f 2022 . f 2023 . Lời giải Để chứng minh sự tồn tại của số k ta cần chỉ ra tính chất: Với mọi đa thức bậc 2 dạng f x x2 px q . Ta luôn có f f x x f x . f x 1 với mọi x . Thật vậy ta có: 2 f f x x f x x b f x x c f 2 x 2 f x .x x2 b. f x bx c f 2 x 2 f x .x b. f x x2 bx c f 2 x 2 f x .x bf x f x Trang 5
6. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 f x f x 2x b 1 2 f x x 2x 1 b x 1 c f x . f x 1 Trở lại bài toán chọn x 2022 ta có f f 2022 2022 f 2022 . f 2023 . Ta suy ra số k cần tìm chính là: k f 2022 2022 . Bài 15. Cho tam thức bậc hai f x x2 bx c . Giả sử phương trình f x x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f f x x có 4 nghiệm nếu: b 1 2 4 b c 1 . Lời giải Ta có: 2 2 f f x x f x bf x c x f x f x x x f x x b f x x x bx c x 2 hay f f x x f x x f x x b 1 f x x x b 1 x b c 1 Để ý rằng phương trình x2 b 1 x b c 1 0 có b 1 2 4 b c 1 0 và f x x 0 có 2 nghiệm phân biệt nên suy ra f f x x có 4 nghiệm. Bài 16. Cho a,b,c là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: a x a x c b x c x a c x a x b 0 (1) Lời giải Cách 1: (1) a b c x2 2 ab bc ca x 3abc 0 (2) Vì a b c 0 nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh ' 0 Ta có: ' ab bc ca 2 3abc a b c a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 1 2 2 2 ab bc bc ca ca ab 0 . 2 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. Cách 2: Gọi f x là vế trái của phương trình (1). Ta có: f 0 3abc; f a a a b a c ; f b b b a b c ; f c c c a c b 2 f 0 . f a . f b . f c 3 abc a b b c c a 0 trong bốn số f 0 , f a , f b , f c luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm. Trang 6
7. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 17. Cho a,b,c thỏa mãn:3a 4b 6c 0. CHứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: f x ax2 bx c 0 Lời giải Cách 1: 2 2 * Nếu a 0 4b 6c 0 c b f x b x f x có nghiệm 3 3 3a 6c 2 3a 6c 2 * Nếu a 0 ta có: b2 4ac 4ac 0 f x 0 có nghiệm 16 16 1 1 1 Cách 2: Ta có: 2 f 1 4 f 2 a b c 4 a b c 3a 4b 6c 0 2 4 2 1 1 1 2 1 f 1 2 f f 1 . f f 0 f x 0 có nghiệm. 2 2 2 2 3 9 3 9a 12b 16c 3 3a 4b 6c 2c c2 Cách 3: Ta có f 0 c; f a b c 4 16 4 16 16 8 3 Suy ra f 0 . f 0 suy ra phương trình luôn có nghiệm. 4 Nhận xét: 1 Với cách giải thứ hai thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng thức: 2 f 1 4 f 0. Tại sao 2 1 1 ta xét f 1 , f và nhân thêm các hệ số 2 và 4. Vậy ngoài hai giá trị f 1 , f ta còn có những giá 2 2 2 trị nào khác không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta xét f 1 , f , f 0 . Ta cần xác định hệ số 3 2 m,n, p 0 saocho: mf 1 nf pf 0 3a 4b 6c . Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương trình: 3 4 m n 3 9 2 9 1 2 m n 4 m 1,n , p . Vậy ta có: 2 f 1 9 f f 0 0 trong ba số 3 2 2 3 m n p 6 2 f 1 , f , f 0 tồn tại một số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương 3 hay phương trình có nghiệm. 3 Cách giải thứ 3: Tại sao ta chỉ ra được f . Điều này là hoàn toàn tự nhiên nếu ta cần tạo ra một tỷ lệ 4 3a : 4b để tận dụng giả thiết: 3a 4b 6c 0 Trang 7
8. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 a b c Bài 18. Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m;mp n2 và 0. Chứng minh rằng m n p phương trình: f x ax2 bx c 0 (1) có nghiệm x 0;1 Lời giải Để chứng minh (1) có nghiệm x 0;1 , ta sẽ chỉ ra các số thực , 0;1 sao cho f . f  0 . n n n2 n Vì , 0;1 và có giả thiết n m 1 nên dẫn đến ta xét: f a 2 b c . m m m m a b c m n2 n 1 m Mặt khác từ: 0 2 a. 2 b c c 2 0 m n p n m m p n m n n2 pm n pm n2 pm n2 2 f c. 2 0 f c f 0 n m pn m pm pm * Xét c 0 Nếu a 0 b 0 f x là đa thức không, do đó f x sẽ có nghiệm trong 0;1 b n b Nếu a 0 , từ giả thiết 1 và f x x ax b 0 x 0;1 a m a 2 n pm n 2 n * Xét c 0 ta có: f . f 0 f 0 0 f x có nghiệm x 0;  0;1 m pm m VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN (Phương pháp miền giá trị hàm số) ax2 bx c Bài toán : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức y với mx2 nx p 0x . mx2 nx p Phương pháp: Gọi y0 là một giá trị của biểu thức: ax2 bx c Khi đó y y m a x2 y n b x y p c 0 . (*) 0 mx2 nx p 0 0 0 Ta xét 2 trường hợp: a a + Nếu y m a 0 y thay vào * ta tìm được x suy ra y là một giá trị của biểu thức. 0 0 m 0 m a + Nếu y m a 0 y thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn x . 0 0 m Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 0 . Từ đó ta suy ra điều kiện của y0 . Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức. Chú ý  Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau: Trang 8
9. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 2 2 b 2 b Ta có: a. f x a x 2 a x . 2a 4a 2a 4 Từ đó suy ra Nếu 0 thì a. f x 0 a, f x luôn cùng dấu. Một kết quả thường xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : f x ax2 bx c có a 0, 0 f x 0,x .” x2 Bài 19. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: y x2 5x 7 Lời giải 2 2 5 3 Do x 5x 7 x 0 , x suy ra biểu thức y luôn xác định với mọi x . 2 4 x2 Gọi y là một giá trị của biểu thức khi đó ta có: y y 1 x2 5y x 7y 0 * . 0 0 x2 5x 7 0 0 0 7 + Nếu y 1 5x 7 0 x điều đó có nghĩa là y 1 là một giá trị của biểu thức nhận được. 0 5 0 2 + Nếu y0 1 thì (*) là một phương trình bậc 2 có 5y0 4. y0 1 .7y0 y0 28 3y0 . 28 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 0 y . 0 3 28 Để ý rằng với mỗi giá trị y 0 hoặc y thì 0 nên 0 0 3 5y + GTNN của y là 0 khi và chỉ khi x 0 0 . 2 y0 1 28 5. 28 5y 14 + GTLN của y là khi và chỉ khi x 0 3 . 3 2 y 1 28 5 0 2 1 3 x2 8x 7 Bài 20. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: P x2 1 Lời giải ĐKXĐ x ¡ . x2 8x 7 Ta có P P 1 x2 8x P 7 0 (1) . x2 1 Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x . 3 Trường hợp 1: P 1 0 P 1 thì x (*) 4 Trường hợp 2: P 1 0 P 1 phương trình (1) có nghiệm khi ' 0 P2 8P 9 0 P 1 P 9 0 1 P 9 ( ). Trang 9
10. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Kết hợp (*) và ( ) ta có min P 1;max P 9 . 2x2 2xy 9y2 Bài 21. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: A với y 0 . x2 2xy 5y2 Lời giải 2x2 2xy 9y2 A . Biểu thức A có dạng đẳng cấp bậc 2. x2 2xy 5y2 2 x x 2 2 9 2 y y Ta chia tử số và mẫu số cho y ta được A 2 x x 2 5 y y x 2t 2 2t 9 đặt t thì A . y t 2 2t 5 Ta có t 2 2t 5 t 1 2 4 0 với mọi t . Gọi A0 là một giá trị của biểu thức. 2t 2 2t 9 Khi đó ta có: A A 2 t 2 2A 2 t 5A 9 0 (*) 0 t 2 2t 5 0 0 0 1 + Nếu A 2 thì t suy ra A 2 là một giá trị của biểu thức nhận được. 0 6 0 + Nếu A0 2 thì (*) là một phương trình bậc 2 có 2 2 ' A0 1 A0 2 5A0 9 4A0 21A0 17 . Điều kiện để phương trình có nghiệm là 17 ' 0 4A2 21A 17 0 1 A 4A 17 0 1 A . 0 0 0 0 0 4 Từ đó ta có: A 1 GTNN của A là 1 khi và chỉ khi t 0 2 x 2y . A0 2 17 A 1 7 7 GTLN của A là khi và chỉ khi t 0 x y . 4 A0 2 3 3 2x2 12xy Bài 22. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: A biết x2 y2 1 1 2xy 2y2 Lời giải Nếu y 0 thì x2 1 P 2x2 2 . 2 2x2 12xy 2x2 12xy 2 t 6t Xét y 0 đặt x ty thì A . 1 2xy 2y2 x2 2xy 3y2 t 2 2t 3 Giải tương tự như câu trên Ta có 6 A 3. Suy ra : Trang 10
11. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 3 2 3 2 GTNN của A là 6 đạt được khi và chỉ khi x ; y hoặc x ; y . 13 13 13 13 3 1 3 1 GTLN của A là 3 đạt được khi và chỉ khi x ; y hoặc x ; y . 10 10 10 10 xy yz zx 8 Bài 23. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của x . x y z 5 Lời giải yz 8 x y z yz 8 x 5 x Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng: (*) hay (*). y z 5 x y z 5 x Vì x, y, z là các số thực thỏa mãn * nên suy ra y, z là hai nghiệm của phương trình: t 2 5 x t 8 5x x2 0 ( ). Điều kiện để phương trình ( ) có nghiệm là: 2 7 5 x 4 8 5x x2 3x2 10x 7 0 7 3x 1 x 0 hay 1 x . 3 Khi x 1 t 2 y z 2 nên GTNN của x là 1. 7 4 4 7 Khi x t y z suy ra GTLN của x . 3 3 3 3 Bài 24. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm GTLN của biểu thức: P 9xy 10yz 11zx . Lời giải Thay z 1 x y vào P ta có: P 9xy z 10y 11x 9xy 1 x y 10y 11x 11x2 11 12y x 10y2 10y hay 11x2 12y 11 x 10y2 10y P 0 . Để phương trình có nghiệm điều kiện là : 0 12y 11 2 4.11 10y2 10y P 0 2 2 74 2 22 121 74 11 495 495 hay 296y 176y 121 44P 0 P y y y . 11 37 296 11 27 148 148 495 25 11 27 Do đó GTLN của P là đạt được khi x ; y ; z . 148 74 37 74 9 Bài 25. Cho các số thực dương a,b,c sao cho a b c 3 . Chứng minh rằng: a ab 2abc . 2 Lời giải Từ giả thiết ta suy ra b 3 a c . Ta biến đổi bất đẳng thức thành: Trang 11
12. Đại số 9 - Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận có lời giải Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 9 9 a a 3 a c 2ac 3 a c 0 2c 1 a2 2c2 5c 4 a 0 coi đây là hàm số bậc 2 2 2 của a . 9 Xét f a 2c 1 a2 2c2 5c 4 a ta có hệ số của a2 là 2c 1 0 và ta có: 2 2 2 2 2 2 2c 5c 4 18 2c 1 2c 1 c 4c 2 2c 1 c c 3 c 2 0 do 0 c 3 . 3 1 Suy ra f a 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a ,b 1,c . 2 2 Trang 12