›
›
›

Ôn tập Đại số Lớp 9: Hàm số và phương trình bậc hai một ẩn- Trương Ngọc Vỹ

doc 41 trang Kiều Nga 03/07/2023 2310
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập Đại số Lớp 9: Hàm số và phương trình bậc hai một ẩn- Trương Ngọc Vỹ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docon_tap_dai_so_lop_9_ham_so_va_phuong_trinh_bac_hai_mot_an_tr.doc

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 9: Hàm số và phương trình bậc hai một ẩn- Trương Ngọc Vỹ

  1. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 CHƯƠNG 4 HÀM SỐ y ax2 (a 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CHỦ ĐỀ 1 HÀM SỐ y ax2 (a 0) . 1. Tập xác định của hàm số Hàm số y ax2 a 0 . Hàm số xác định với mọi số thực x 2. Tính chất biến thiên của hàm số  Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 .  Nếu a 0 thì hàm đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . 3. Đồ thị của hàm số  Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0) là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O. + Nếu a 0 thì Parabol có bề lõm quay lên trên và nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. + Nếu a 0 thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới và nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.  Vì đồ thị y ax2 (a 0) luôn đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên để vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một điểm ở bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy. Trang 1
  2. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 1 VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax2 (a 0) Bài 1. Vẽ các đồ thị hàm số sau: 1 1 a) y 3x2 b) y 4x2 c) y x2 d) y x2 3 4 1 1 e) y 2x2 f) y 3x2 g) y x2 h) y x2 2 3 1 Bài 2. Cho hàm số y x2 . 10 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. 9 5 b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không: A 3; ,B 5; ,C( 10;1) ? 10 2 Bài 3. Cho hàm số y 2x2 có đồ thị P . a) Vẽ đồ thị hàm số P . b) Tìm các điểm trên đồ thị P có tung độ bằng 4. c) Tìm các điểm trên đồ thị P sao cho các điểm đó cách đều hai trục toạ độ. DẠNG 2 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Bài 1. Cho Parabol P :y x2 và đường thẳng d :y 2x 2 2 a) Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị trên. Bài 2. Cho Parabol P :y x2 và đường thẳng d :y 2x 1 a) Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị trên. Bài 3. Cho hàm số y 2x2 . a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Dựa vào đồ thị (P) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x2 1 m . x2 Bài 4. Cho hàm số y . 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. Trang 2
  3. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 b) Dựa vào đồ thị (P) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 2022 m 0 . 1 Bài 5. Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số y f (x) x2 và y g(x) x . Dựa vào đồ 2 thị hãy giải các bất phương trình: a) f (x) g(x) b) f (x) g(x) . Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y x 6 và parabol P : y x2 . a) Tìm tọa độ các giao điểm của d và P . b) Gọi A, B là hai giao điểm của d và P . Tính diện tích tam giác OAB . DẠNG 3 XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA HÀM SỐ Bài 1. Cho hàm số y f (x) x2 . a) Chứng minh rằng f (a) f ( a) 0 với mọi a. b) Tìm a R sao cho f (a 1) 4 . Bài 2. Cho hàm số y (m 2)x2 (m 2) . Tìm giá trị của m để: a) Hàm số đồng biến với x 0 b) Hàm số nghịch biến với mọi x < 0 1 2 3 Bài 4. Cho parabol y x . Xác định m để điểm C m; nằm trên parabol. 4 4 Bài 5. Cho hàm số y ax2 . Xác định hệ số a trong các trường hợp sau: a) Đồ thị của nó đi qua điểm A(3; 12) b) Đồ thị của nó đi qua điểm B(-2; 3) Bài 6. Xác định m để đồ thị hàm số y (m2 2)x2 đi qua điểm A(1;2) . Với m tìm được, đồ thị hàm số có đi qua điểm B(2;9) hay không? Bài 7. a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O và điểm M(2;4). b) Viết phương trình parabol P dạng y ax2 và đi qua điểm M(2;4). c) Vẽ parabol P và đường thẳng d trên trong cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao điểm của chúng. Bài 8. Cho hàm số y ax2 a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại điểm A có hoành độ bằng -2. b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ Trang 3
  4. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 4 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax2 Bài 1. Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5 m( Bỏ qua độ dày của cổng). a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabo P : y ax2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1. b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao? 1 Bài 2. Một cái cổng hình Parabol có phương trình y x2 . Biết chiều rộng là 5m . Hỏi xe tải có 2 chiều rộng là 2,5m và chiều cao là 3m có đi qua được cái cổng trên không? Bài 3. Thiết diện của một cái hồ nước là Parapol y ax2 (chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxy (hình vẽ), biết rằng bề ngang của thiết diện là AB = 8m, bề sâu của thiết diện OC = 4m. a.Xác định hệ số a. b.Vẽ đồ thị hàm số trên (với hệ số a tìm được) trong mặt phẳng Oxy. Bài 4. Đường đi của quả bóng theo quỹ đạo là một Parabol y ax2 . Một cầu thủ ở vị trí A (hình vẽ), đá một quả bóng bay bổng lên cao đến vị trí O cách mặt đất 15m và rơi xuống vị trí B cách A 30m. Chọn hệ thống trục tọa độ vuông góc Oxy (như hình vẽ) Xác định tọa độ các điểm A và B trong hệ trục Oxy này. Tính giá trị cùa hệ số a. Trang 4
  5. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 1 Bài 5. Quãng đường đi của một vật rơi tự do không vận tốc đầu cho bởi công thức y g.t 2 (trong đó 2 g là gia tốc trọng trường g = 10 m/giây2, t (giây) là thời gian rơi tự do, S là quãng đường rơi tự do). Một vận động viên nhảy dù, nhảy khỏi máy bay ở độ cao 3200 mét (vận tốc ban đầu không đáng kể, bỏ qua các lực cản). Hỏi sau thời gian bao nhiêu giây, vận động viên phải mở dù để khoảng cách đến mặt đất là 1200 mét? DẠNG 5 ỨNG DỤNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax2 TRONG GIẢI TOÁN Tham khảo thêm Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y 1 và điểm F 0;1 . Tìm tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ I đến d bằng IF . Bài 2. Xác định điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 sao cho độ dài đoạn IM là nhỏ nhất, trong đó I 0;1 . Bài 3. Giả sử điểm A chạy trên Parabol P : y x2 . Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn OA . Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A và B chạy trên parabol P : y x2 sao cho A, B O 0;0 và OA  OB . Giả sử I là trung điểm của đoạn AB . a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB . b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định. c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Trang 5
  6. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI - ET 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0 , trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và biệt thức b2 4ac : b b  Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 2a 2 2a b  Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 2a  Nếu 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.  Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: x1 x 2 u v + Nếu nhẩm được: thì phương trình có nghiệm x1 u, x 2 v . x1x 2 u.v c + Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a c + Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và b 2b , b 2 ac : b b  Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 a 2 a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 a  Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. 4. Hệ thức Viet 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: Trang 6
  7. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 b x1 x 2 a c x x 1 2 a  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (a 0) (1)  (1) có nghiệm 0 .  (1) có hai nghiệm phân biệt 0 .  (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0  (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị m ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:  Nếu: x1 m x2 x1 m x2 m 0 . x1 x2 2m  Nếu m x1 x2 x1 m x2 m 0 x1 x2 2m  Nếu x1 x2 m x1 m x2 m 0 Trang 7
  8. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 3x2 5x 8 0 b) 5x2 3x 15 0 c) x2 4x 1 0 10 5 d) 3x2 7x 2 0 e) 5x2 x 0 f) 5 2 x2 10x 5 2 0 7 49 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) (x 1)2 4(x2 2x 1) 0 b) x2 7x 3 x(x 1) 1 c) 2x2 5x 3 (x 1)(x 1) 3 d) 5x2 x 3 2x(x 1) 1 x2 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 2x y 5 0 3x 4y 1 0 2x 3y 2 a) 2 b) c) y x 4x xy 3(x y) 9 xy x y 6 0 DẠNG 2 TÌM GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN VI-ET 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b x1 x 2 a c x x 1 2 a  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ).  Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: 2 2 Nếu phương trình ax bx c 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ax bx c a x x1 . x x2 .  Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp: 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 ; 3 3 3 x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 ; 4 4 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1 x2 ; 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 Trang 8
  9. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 1. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x2 10x 16 0 b) x2 15x 50 0 c) x2 6x 5 0 d) x2 7x 10 0 e) x2 3x 4 0 f) x2 x 20 0 Bài 2. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm của các phương trình sau: a) x2 x 6 0 b) 2x2 5x 2 0 c) 7x2 6x 1 0 Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x 3x2 5x 2 b) g x x4 5x2 4 c) P x; y 2x2 y 4xy2 6xy d) Q x; y 4x2 12xy 9y2 25 . Bài 4. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau: 1 a) 10 và 8 b) 10 và –8 c) 3 và 4 2 Bài 5. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 2x - 3x - 7 = 0 . Không giải phương trình, hãy tính: 2 2 3 3 4 4 a) M = x1 + x2 b) N = x1 + x2 c) P = x1 + x2 d) Q = x1 - x2 e) E = (2023x1 + x2 )(2023x2 + x1) 2 Bài 6. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 3x + 10x + 3 = 0 . Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1 1 1 1 a) A = + b) B = + c) C = + x x 2 2 3 3 1 2 x1 x2 x1 x2 1 1 1 1 d) D = + e) E = + 4 4 2022x + x 2022x + x x1 x2 1 2 2 1 2 Bài 7. Cho phương trình x 3x 2 0 . Gọi các nghiệm của phương trình là x1, x2 . Không tính giá trị của x1, x2 , hãy tính các giá trị của biểu thức sau: 2 2 3 3 1 1 A x1 x2 B x1 x2 C x1 1 x2 1 2 Bài 8. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x 6x m 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau theo m. 1 1 x 2 x 2 a) A x2 x2 b) B c) C 1 2 1 2 x x 2 2 1 2 x 2 x1 2 Bài 9. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x (m 3)x 2m 1 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau theo m. x 2 x 2 x x 5 a) A x 3 x 3 b) B 1 2 c) C x 2 x 2 x x d) D 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 x x 2 x 2 x1 2 1 Trang 9
  10. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 3 TÌM THAM SỐ THEO SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Hệ thức Viet 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b x1 x 2 a c x x 1 2 a  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 2. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (a 0) (1)  (1) có nghiệm 0 .  (1) có hai nghiệm phân biệt 0 .  (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0  (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị m ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:  Nếu: x1 m x2 x1 m x2 m 0 . x1 x2 2m  Nếu m x1 x2 x1 m x2 m 0 x1 x2 2m  Nếu x1 x2 m x1 m x2 m 0 Trang 10
  11. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 1 Bài 1. Tìm m để phương trình: 15x 2 mx 1 0 có một trong các nghiệm bằng x . Tìm nghiệm 0 3 còn lại. Bài 2. Tìm m để phương trình: x 2 2(3m 1)x 2m 2 2m 5 0 có một trong các nghiệm bằng x 0 1. Tìm nghiệm còn lại. 2 2 Bài 3. Tìm m để phương trình: x 2(m 1)x m 5m 2 0 có một trong các nghiệm bằng x 0 1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm a) 3x2 4x 2m 0 b) (2m 1)x2 2(m 4)x 5m 2 0. Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt a) 9x2 6mx m(m 2) 0 b) (m 1)x2 2mx m 1 0. Bài 6. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép a) 2x2 10x m 1 0 b) mx2 (m 4)x 2m 0. Bài 7. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm a) 5x2 12x m 3 0 b) (m 2)x2 2(m 1)x m 0 Bài 8. Cho phương trình: x2 2(3m 2)x 2m2 3m 5 0 . a) Giải phương trình với m 2. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –1. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. Bài 9. Cho phương trình: x2 2(m 2)x m2 3m 5 0. a) Giải phương trình với m 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –4. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. Bài 10.Cho phương trình: x2 2(m 3)x m2 3 0 . a) Giải phương trình với m 1 và m 3. b) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng 4. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 11.Cho phương trình: m 1 x2 2 m 1 x m 3 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m 2 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài 12.Xác định m để mỗi cặp phương trình sau có nghiệm chung: a) x2 mx 2 0 và x2 2x m 0 Trang 11
  12. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 b) x2 (m 4)x m 5 0 và x2 (m 2)x m 1 0 Bài 13.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm trái dấu. a) 2x2 (2m 1)x m 1 0 b) (m 4)x2 2(m 2)x m 1 0 Bài 14.Tìm m để phương trình: có hai nghiệm cùng dấu. a) x2 2(m 1)x m 1 0 b) m 1 x2 2mx m 1 0 Bài 15.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. a) x2 2(m 1)x m2 3m 0 b) m 4 x2 2mx m 2 0 Bài 16.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm dương. a) x2 (m 2)x m 5 0. b) m2 1 x2 2 m 1 x 2m 1 0 Bài 17.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm âm. a) x2 (m 3)x 3m 0. b) (m 1)x2 2(m 1)x m 0. Bài 18.Tìm m để các phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. a) x2 (m 2)x 2m 0. b) (4m 3)x2 3(m 1)x 2m 2 0. Bài 19.Tìm m để các phương trình có đúng một nghiệm dương. a) x2 2(m 2)x 4m 5 0. b) (m 3)x2 2(m 1)x m 5 0. Bài 20.Tìm m để các phương trình có đúng một nghiệm âm. a) x2 2(m 1)x 4m 3 0. b) (m 2)x2 (2m 1)x m 3 0. Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 11 file word (hơn 3000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề toán 12 ôn thi đại học file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ Trang 12
  13. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 4 TÌM THAM SỐ LIÊN QUAN GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 1. Hệ thức Viet 2  Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b x1 x 2 a c x x 1 2 a  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 2. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (a 0) (1)  (1) có nghiệm 0 .  (1) có hai nghiệm phân biệt 0 .  (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0  (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0  (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị m ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:  Nếu: x1 m x2 x1 m x2 m 0 . x1 x2 2m  Nếu m x1 x2 x1 m x2 m 0 x1 x2 2m  Nếu x1 x2 m x1 m x2 m 0 Trang 13
  14. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 1. Cho phương trình: x2 2(m 1) x m 1 0 . a) Giải phương trình với m 4. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn điều kiện x1 3x2 . Bài 2. Cho phương trình: (m 1) x2 4mx 4m 1 0. a) Giải phương trình với m 2. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 2x2 . Bài 3. Cho phương trình: 2x2 6x m 7 0 . a) Giải phương trình với m 3. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một trong các nghiệm bằng x = –4. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn điều kiện x1 2x2 . 2 Bài 4. Tìm m để phương trình mx 2 m 1 x 3 m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 2x2 1. 2 2 Bài 5. Tìm m để phương trình x 2m 1 x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 3x1x2 5 x1 x2 7 0 . 2 Bài 6. Tìm m để phương trình: mx 2(m 2)x m 3 0 có các nghiệm x1, x2 thoả hệ thức: 2 2 x1 x 2 1. Bài 7. Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 3m 2 0 (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m 2 2 để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 12 . Bài 8. Cho phương trình x2 6x n 0 x2 – 6x + n = 0 (1) ( n là tham số). Tìm n để phương trình 2 2 (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn mãn x1 1 x2 1 36 Bài 9. Cho phương trình x2 2mx m2 9 0(1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m = -2. 2 b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 tỏa mãn x1 x2 (x1 x2 ) 12 . 2 Bài 10. Cho phương trình x x m 1 0 ( m là tham số). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của 2 phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho x1 3x2 x1x2 7 . 2 2 Bài 11. Cho phương trình x 2m 1 x m 1 0 . Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình 2 thỏa mãn : x1 x2 x1 3x2. Trang 14
  15. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 12. Cho phương trình: x2 2x m 3 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 3 3 phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 8. 2 Bài 13. Tìm m để phương trình x x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 3 3 2 2 x1 x2 x1 x2 17 . Bài 14. Cho phương trình 2x2 – (2m+1) x – 3 +2m = 0 ( m là tham số ). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn (2x1 1)(2x2 1) 3 . Bài 15. Cho phương trình x2 3x m 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2 2 biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 1 x2 x2 1 x1 19 Bài 16. Cho phương trình bậc hai: x2 2mx m2 m 1 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có 2 2 hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 3x1x2 1. 2 2 Bài 17.Tìm m để phương trình: x 2(m 2)x m 2m 3 0 có các nghiệm x1, x2 thoả hệ thức 1 1 x x 1 2 . x1 x2 5 2 2 Bài 18. Tìm m để phương trình3x 4 m 1 x m 4m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 1 1 1 mãn: x1 x2 . x1 x2 2 Bài 19. Cho phương trình x2 2x 3m2 0 , với m là tham số. Tìm tất các các giá trị của m để phương x1 x2 8 trình có hai nghiệm x1, x2 0 và thỏa điều kiện . x2 x1 3 Bài 20. Cho phương trình: x2 x m 5 0 (1) ( m là tham số, x là ẩn). Tìm m để phương trình (1) 6 m x1 6 m x2 10 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 0 thỏa mãn: . x2 x1 3 Bài 21. Cho phương trình x2 mx m 1 0 (có ẩn số x). a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m. 2x1x2 3 b) Cho biểu thức B 2 2 . Tìm giá trị của m để B = 1. x1 x2 2 1 x1x2 Bài 22. Cho phương trình x2 2 m 2 x m2 0 , với m là tham số. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với x1 x2 , tìm tất cả các nghiệm của m sao cho x1 x2 6 . Bài 23. Cho phương trình x2 5x 3m 1 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương 2 2 trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 15 . Bài 24. Cho phương trình x2 2(3 m)x 4 m2 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn : x1 x2 6 Trang 15
  16. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 25. Cho phương trình x2 2mx m2 m 1 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai 2 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 2mx2 3m m 5 0 Bài 26. Cho phương trình: x2 2 m 1 x m2 4 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai 2 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 2 m 1 x2 3m 16 . 2 Bài 27. Chứng minh rằng phương trình: x 2 m 1 x m 4 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và biểu thức M x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào m . 2 Bài 28.Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: (m 2)x 2(m 1)x 3 m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 29.Gọi x , x là nghiệm của phương trình: x2 2(m 1)x m 3 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2 x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 30.Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: (m 3)x 2(m 1)x m 5 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 31.Cho phương trình: mx2 2(m 1)x m 4 0 . a) Xác định m để phương trình có các nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 4x2 3 . b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 32.Cho phương trình: mx2 (m 3)x 2m 1 0 . a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm x1, x2 bằng 2. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc m. Bài 33.Cho phương trình: 2x2 (2m 1)x m 1 0 . a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 3x1 4x2 11. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt . c) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Trang 16
  17. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI LIÊN QUAN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1. Cho phương trình: x2 (2a 1)x 4a 3 0 . a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào a. 2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 . Bài 2. Cho phương trình: x 2 2(m 4)x m 2 8 0 1 2 2 a) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức A x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức B x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. 2 2 c) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức C x1 x2 x1x2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 3. Cho phương trình: x2 2(m 1)x m2 3m 0 . a) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –2. Tìm nghiệm còn lại. 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 8 . 2 2 c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 . Bài 4. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (*) . a/ Tìm tham số m để phương trình (*) có nghiệm. 2 2 b/ Tìm tham số m để phương trình (*) có nghiệm thỏa: Pnhỏ= nhất.10x1x2 + x1 + x2 Bài 5. Cho phương trình x2 mx 1 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị m thoả mãn của biểu thức x2 x 1 x2 x 1 P 1 1 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 x 2 2 Bài 6. Tìm m để phương trình x x m 0 có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức: 2 2 Q x1 x1 1 x2 x2 1 đạt giá trị lớn nhất. Bài 7. Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 2 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho P x1x2 2 x1 x2 6 đạt giá trị nhỏ nhất. Trang 17
  18. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 Bài 8. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 3a 1 x 2 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3 2 x1 x2 1 1 biểu thức: P x1 x2 2 2 2 x1 x2 2 Bài 9. Cho phương trình x 2mx m 2 0 ( x là ẩn số). Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương 24 trình. Tìm m để biểu thức M 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x1 x2 6x1x2 2 2 Bài 10. Cho phương trình 2x 2mx m 2 0 , với m là tham số. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của 2x1x2 3 phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 DẠNG 6 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng d và Parabol (P) : y ax2 ta cần chú ý:  Nếu đường thẳng d là y m (song song với trục Ox ) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào ax2 m .  Nếu đường thẳng d : y mx n ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: ax2 mx n ax2 mx n 0 từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình ax2 mx n 0 bằng cách xét dấu của .  Trong trường hợp đường thẳng d cắt đồ thị hàm số P tại hai điểm phân biệt A, B thì A x1;mx1 n , B x2 ;mx2 n khi đó ta có: AB x x 2 m2 x x 2 m2 1 x x 2 4x x . 2 1 2 1 1 2 1 2 Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm x1, x2 ta đều quy về định lý Viet. Chú ý: Đường thẳng d có hệ số góc a đi qua điểm M x0 ; y0 thì có dạng: y a x x0 y0 Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d : y 2x m và parabol P : y x2 . Tìm m để (d) và (P) có một điểm chung. Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021) 1 Tìm tham số m để đường thẳng d : y 2x m cắt P : y x2 tại hai điểm phân biệt. 2 Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SÓC TRĂNG năm 2021) Trang 18
  19. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Cho hàm số y x2 có đồ thị P . a) Vẽ đồ thị P trên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y 2x 3m (với m là tham số) cắt đồ thị (P) tại hai điểm 2 phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1x2 x2 3m 2x1 12. Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y x2 có đồ thị (P) và đường thẳng d có phương trình 2 1 y x m2 m 1, với m là tham số. 2 a) Vẽ đồ thị (P). 3 3 b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 x2 68 . Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021) Cho hàm số y 2x2 có đồ thị P a) Vẽ đồ thị P trên mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y 2mx 1 cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 và x2 x1 2021. Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021) 1 Cho Parabol là đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng d là đồ thị hàm số y mx m 1 (với m là 2 tham số). 1 a. Vẽ Parabol là đồ thị hàm số y x2 . 2 b. Chứng minh Parabol luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Bài 7. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y (m 1)x m 4 ( m là tham số). Tim điều kiện của tham số m đề d cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phia của trục tung. Bài 8. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021) Cho đường thẳng d : y 2mx 2m 3 và Parabol P : y x2 a) Tìm m để đường thẳng d đi qua A 1;5 . b) Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với Parabol P Bài 9. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI BÌNH năm 2021) Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 3mx 1 m2 ( m là tham số) Trang 19
  20. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 a) Tìm m để d đi qua điểm A 1; 9 b) Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt của hoành độ x ; x thỏa mãn x x 2x x 1 2 1 2 1 2 Bài 10. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH PHÚC năm 2021) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y 2x m (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có A x1, y1 , B x2 , y2 sao cho 2 2 y1 y2 x1 x2 6 x1 x2 . Bài 11. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021) Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2m 1 x 2m (m là tham số). Tìm m để P cắt d tại hai điểm phân biệt A x1, y1 ; B x2 , y2 sao cho y1 y2 x1x2 1. Bài 12. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố Đà Nẵng năm 2021) Cho hàm số y x2 có đồ thị P và đường thẳng d : y kx 2k 4 . a) Vẽ đồ thị P . Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm C 2;4 . b) Gọi H là hình chiếu của điểm B 4;4 trên d . Chứng minh rằng khi k thay đổi k 0 thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm2 ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét). Bài 13. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parapol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y 2(m 1)x m 3 . Gọi x1 ,x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parapol (P) . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 biểu thức M x1 x2 . Bài 14. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố HÀ NỘI năm 2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y 2x m 2. Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2 2 . 2 1 Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y m 1 x 3 3 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng mỗi giá trị của m thì P và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 3 2 b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm P và d , đặt f x x m 1 x x . 1 3 Chứng minh rằng: f x f x x x . 1 2 2 1 2 Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y mx 3 tham số m và parabol P : y x2 . a) Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm A 1;0 . Trang 20
  21. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 b) Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 . 2 Bài 17. Cho hai hàm số y x và y mx 4 , với m là tham số a) Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hai số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2 2 2 A1 x1; y1 và B x2 ; y2 . Tìm tất cả các trị của m sao cho y1 y2 7 . Bài 18. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d : y 2ax 4a (với a là tham số) 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi a 2 b)Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3 Bài 19. Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y mx 4 . a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B .Gọi x1, x2 là hoành 2 x1 x2 7 độ của các điểm A, B . Tìm giá trị lớn nhất của Q 2 2 . x1 x2 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 . Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 11 file word (hơn 3000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề toán 12 ôn thi đại học file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ Trang 21
  22. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG  Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 bx2 c 0 ( a 0 ) . Cách giải: Đặt t x2 (t 0), đưa về phương trình bậc hai at2 bt c 0 .  Cho phương trình ax4 bx2 c 0 ( a 0 ) 1 Đặt t x2 (t 0) khi đó phương trình 1 trở thành: at2 bt c 0 2 + Để phương trình 1 vô nghiệm thì phương trình 2 vô nghiệm hoặc có nghiệm âm + Để phương trình 1 có 1 nghiệm thì phương trình 2 có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 + Để phương trình 1 có 2 nghiệm thì phương trình 2 có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu + Để phương trình 1 có 3 nghiệm thì phương trình 2 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương + Để phương trình 1 có 4 nghiệm thì phương trình 2 có 2 nghiệm dương phân biệt Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x4 3x2 4 0 b) x4 5x2 4 0 c) x4 5x2 6 0 d) 3x4 5x2 2 0 e) x4 x2 30 0 f) x4 7x2 8 0 g) 4x4 8x2 12 0 h) 12x4 5x2 30 0 i) 8x4 x2 7 0 Bài 2. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm: a) x4 (1 2m)x2 m2 1 0 b) x4 (3m 4)x2 m2 0 Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có 1 nghiệm phân biệt: a) mx4 2(m 1)x2 m 1 0 b) x4 8mx2 16m 0 Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: a) mx4 5x2 1 0 b) (m 2)x4 3x2 1 0 Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x4 (m 2)x2 m 0 b) (m 2)x4 2(m 1)x2 m 1 0 Trang 22
  23. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 6. Tìm m để các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: a) x4 (2m 1)x2 m2 0 b) x4 (3m 4)x2 12m 0 DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU QUY VỀ BẬC HAI Cách giải: Thực hiện các bước sau: + Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. + Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. + Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. + Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 1. Giải các phương trình sau: 2x 5 3x 4x x 1 2x 5 5 a) b) c) x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x2 5x 6 1 3 1 x x 3 2x 1 x 3 d) 1 e) 6 f) 3 3x2 27 4 x 3 x 2 x 1 x 2x 1 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 10 50 x 1 x 1 2x 1 a) 1 b) x 2 x 3 (2 x)(x 3) x 2 x 2 x 1 2x 1 x 1 x2 3x 5 c) d) 1 3x 2 x 2 x2 4 2x2 5x 2 2x2 x 15 x 3 4x 2 e) f) x 1 x 3 (x 1)2 (2x 1)2 Bài 3. Giải các phương trình sau: 2 2 1 1 1 1 3 1 a) x 1 x 1 b) x x x2 5x 4 x2 17x 70 4x 2 x2 11x 28 2 13 6 x 1 x 2 x 4 x 5 c) d) 0 3x2 4x 1 3x2 2x 1 x x 2 x 3 x 5 x 6 x m x 1 Bài 4. Tìm m để phương trình 3 có một nghiệm phân biệt. x 1 x m Trang 23
  24. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA CÓ MỘT NGHIỆM NHẨM ĐƯỢC  Cho phương trình ax3 bx2 cx d 0 a 0 1 Nếu x là một nghiệm phương trình thì: ax3 bx2 cx d x x Ax2 Bx C 0 1 0 0 0 Để tìm Ax2 Bx C ta: + sử dụng sơ đồ Hooc-ne 3 2 + lấy đa thức ax bx cx d chia cho x x0 3 2  Để biện luận số nghiệm phương trình ax bx cx d 0 a 0 khi biết x0 là một nghiệm, ta làm như sau: ax3 bx2 cx d 0 1 x x Ax2 Bx C 0 0 x x0 0 2 2 Ax Bx C 0 3 + Để phương trình 1 có một nghiệm thì phương trình 3 có nghiệm kép x x0 hoặc phương trình 3 vô nghiệm. + Để phương trình 1 có hai nghiệm thì phương trình 3 có nghiệm kép khác x0 hoặc phương trình 3 có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó có một nghiệm bằng x0 . + Để phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt thì phương trình 3 có hai nghiệm phân biệt khác x0 . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x3 5x2 2x 24 0 b) x3 4x2 x 6 0 c) x3 5x2 7x 3 0 d) x3 6x2 11x 6 0 e) x3 3x2 x 3 0 f) 2x(3x 1)2 9x2 1 0 Bài 2. Tìm m để phương trình: 2x 1 x2 mx 3m 5 0 có đúng 1 nghiệm. Bài 3. Tìm m để phương trình: x 1 x2 2 m 1 x 2 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 4. Tìm m để phương trình: x3 (2m 1)x2 3(m 4)x m 12 0 có 3 nghiệm phân biệt. Trang 24
  25. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 5. Tìm m để phương trình: x3 (2m 3)x2 (m2 2m 2)x m2 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 6. Tìm m để phương trình: x 2 x2 2 m 1 x m2 3m 0 có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4. Bài 7. Tìm m để phương trình: x3 2m 1 x2 2(2 m)x 4 0 có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3. DẠNG 4 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ BẬC HAI Bài 1. Giải các phương trình sau: a) (4x2 25)(2x2 7x 9) 0 b) (2x2 3)2 4(x 1)2 0 c) (2x 1)4 –8(2x 1)2 –9 0 d) (x2 –2x)2 –2(x2 –2x) –3 0 2 2 2 2 2x 1 2x 1 e) (x – x) –8(x – x) 12 0 f) 4 3 0 x 2 x 2 21 2 2 1 1 g) x 4x 6 0 h) 4 x 16 x 23 0 x2 4x 10 x2 x Bài 2. Giải các phương trình sau: a) (x 1)4 (x 3)4 2 b) (x 3)4 (x 5)4 16 0 c) x4 (x 1)4 97 d) (x 4)4 (x 6)4 2 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) (x4 4x2 4) –4(x2 2) –77 0 b) (x2 4x 2)2 4x2 16x 11 0 c) (x 2)2(x2 4x) 5 d) x(x 1)(x 2)(x 3) 24 e) (x 1)(x 4)(x2 5x 6) 24 f) (x 2)(x 3)(x 1)(x 6) 36 g) x4 x3 4x2 x 1 0 h) 6x4 35x3 62x2 35x 6 0 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) (x 1)(x 2) 2 x 2 x 1 0 b) 15x 2x2 5 2x2 15x 11 c) x 5 2 x 3 x2 3x d) (1 x)(2 x) 1 2x 2x2 e) x 1 x 3 3 x2 4x 5 2 0 f) x2 x2 3x 5 3x 7 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) 7 x x 1 x 2 6x 13 b) 1 x x 7 2 x 2 6x 7 8 Trang 25
  26. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 c) x 3 6 x 3 (x 3)(6 x) d) x 1 3 x (x 1)(3 x) 1 e) x 9 x x2 9x 9 f) x 1 4 x (x 1)(4 x) 5 2 g) 7 x 2 x (7 x)(2 x) 3 h) 1 x x2 x 1 x 3 Bài 6. Giải các phương trình sau: a) 2x 3 x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16 b) 3x 2 x 1 4x 9 2 3x2 5x 2 DẠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính Casio (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x a . Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung x a . Các biểu thức liên hợp thường dùng: A  B 1. A B , với mọi A, B lớn hơn 0 và A khác B. A  B A  B2 2. A B , với mọi A lớn hơn 0 và A khác B2. A  B A  B 3. 3 A 3 B , với mọi A, B. 3 A2  3 A.B 3 B2 A  B 4. 4 A 4 B , với mọi A, B lớn hơn 0 và A khác B. 4 A  4 B A B B 0 5. A B A B B 0 6. A B 2 A B Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1. 3 x 2 3x 2 2 2. 10x 1 4 10x 9 3. 7x 2 7x 6 4 Trang 26
  27. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 4. 4x 1 x 1 3x 2 5. x 2 3x 5 2x 3 6. 2 3 8x 4x 1 6x 7. 10x 1 14x 3x 2 8. x x 8 3 x 1 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1. 5x2 2x 2 5x2 2x 3 5 2. 3x2 4x 4 1 3x2 4x 3 3. x2 3x 5 x2 3x 3 2 4. 3x2 2x 2 3x2 x 3 x 1 5. 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3 6. x2 2x x 2 x2 3x 2 7. 2 x x2 1 1 4x x2 8. 2x2 7x 1 x x 4 x2 3x 1 9. 11x2 x 6x 4 x 11x2 7x 4 0 10. x2 4x 1 x 1 x x 3 x 0 Bài 3. Giải các phương trình sau: 2x2 1. 2 x 21 3 2x 9 2 2. 4x 3 x 1 x 3 16 2 3. 3x 1 x 1 x2 2x 1 2 4. x 3 2x 1 x x2 2x 1 5. x 3 1 x 2 x 2 6. 2x 1 3 2 x2 x 2 4x2 4x 1 1 1 x 2x2 7. 2 2x 1 Bài 4. Giải các phương trình sau: 5 4 1 1. x 2x x x x x 2 1 1 2. 3x 2x x 0 x x x 1 3. 1 x2 2 x 2 x 1 4. 2 2x2 x 1 2x 1 x 1 1 5. 2x2 3x 5 x2 5 3 x 1 2 6. x2 4x 9 4x 11 x2 x4 Trang 27
  28. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 7. x x2 1 3x 1 3 x 1 1 8. 2x x x x x x 1 3 5 9. x 3x 1 2x x x 1 x 1 1 10. 2x x x 3 x 3 x x Bài 5. Giải các phương trình sau: 1. x 9 3 x 9 4x 1 x 2. 2x 1 1 2x 1 x2 x 1 2x 3. x 25 5 x 25 x2 3x x 0 4 1 3 4. x x2 x x x2 x x 5 5 5. 4 x x2 5 x x2 5 1 2 6. x 3 x2 1 x x2 1 x x2 4 7. x2 25 x2 25 5 x2 4 x 1 4 x2 25 x 8. x2 9 x 4x2 9 2x 9 Bài 6. Giải các phương trình sau: x 1. 1 2x2 x 1 x2 x 1 x2 1 x 2 1 2. 1 x 1 x 1 x 2 6 x2 x 8 3. 2x x 5 x x2 3x 2 x 2 2x2 3x 1 4x2 x 1 4. 2x2 x 2x 1 4x2 1 x Bài 7. Giải các phương trình sau: 1. 7x 3 2x 3 6x 4 0 2. 5x 6 x 2 4x 7 x3 1 3. 4x 7 x2 x 3 3x 8 0 4. x 2 7x 2 8x 1 2x 2 0 5. 5x 6 x2 x 3 4x 7 x3 1 0 6. 2 4x 7 x2 5x 8 3x 8 0 Bài 8. Giải các phương trình sau: 1. 7x2 5x 2 x2 x 6x 2 x 1 Trang 28
  29. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2. 8x2 9x 1 7x 1 x 1 x2 x 3. 3x2 2x 16 2x2 4x x x 2 8 x 2 4. x2 8x 7 x2 1 2 x 3 x 1 8x2 17x 2 2x2 x 6 5. 4 x 1 x 2 8x2 9x 1 x2 x 6. 1 7x 1 x 1 Bài 9. Giải các phương trình sau: 1. x 1 x2 4x 3 2x2 7x 3 x2 5x 6 0 2. x2 3x 2 x2 10x 16 3x x 2 2x2 4x 1 1 2 3. x 1 x 4x 3 2 x 1 2x 1 x 2 4. 2x 2 x2 5x 6 3x2 8x 4 0 5. 7x2 10x 3 2x 3 6x2 10x 4 0 6. x 2 7x2 9x 2 8x2 9x 1 2 x 1 x 1 0 Bài 10. Giải các phương trình sau: 1. 7 4x 3 3 4 2 x 2. 17 6x 5 6 17 16x 11 3. x 3 3 3x 7 5 2x 5 4. 3 2x 1 5 7 4x 6x 7 5 0 5. 3x 1 2 5x 4 6 3 7 3x 4 9 5x 6. 4 x 2 5 4x 1 6 3 x 7 5 2x 10 0 Bài 11. Giải các phương trình sau: 1. 5x 4 2x 1 6x2 x 7 0 2. x 3 7 x x2 14x 50 3. 3 2x 5 4 3 x 2x2 5x 7 4. 3 2x 7 1 5x 2x2 13x 22 0 5. 2x 1 2 3x 2 3 3x 1 5x2 8x 6 0 6. 2 4x 3 2 x 5 4x 2x2 5x 3 Bài 12. Giải các phương trình sau: 1. 3x2 8x 2 2 x2 5x 6 6 x 2 2. 3 x2 5x 6 3x2 2x 6 5 x 2 0 3. x2 3x 2 2x2 7x 6 3x2 8x 4 12 x 2 4. 2 3x2 x 2 x2 x 2 2x 3 x 1 0 5. 5 2x2 18 2 3x 4 x 3 8 x2 11x 24 6. x2 x 6 x2 4x 21 25 4x x 3 Bài 13. Giải các phương trình sau: 1. x 2 4 x 2x2 3x 9 Trang 29
  30. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2. x 3 5 x 7x 2 2x2 3. x 2x 7 3x2 2x 5 4. x 2 2 x 1 x2 2x 6 5. 3x2 4x 4 x2 3x 2 2x2 x 6 x 2 6. x2 12x 31 x 2 x2 2x 8 x2 6x 12 Bài 14. Giải các phương trình sau: 1. 2 x2 3 3x 1 x 7 0 2. 5 3x2 1 2 3x 1 2 8 x 3. 10 x2 2 2x 1 x2 2x 8 0 4. 10 x2 x 1 2x2 4x 9 0 CHỦ ĐỀ 4 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Lập phương trình  Chọn ẩn số và nêu điều kiện thích hợp của ẩn số.  Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.  Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết. Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Đối chiếu nghiệm của phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời. Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ DẠNG 1 TOÁN LIÊN QUAN HÌNH HỌC Thuộc công thức tính chu vi; diện tích của tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông, định lý Pi-ta-go. Bài 1. Một đa giác lồi có tất cả 170 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2 . Bài 3. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng Trang 30
  31. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 500 m2 . Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2 . Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu. Bài 4. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2 . Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2 . Tính hai cạnh góc vuông. Bài 5. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. DẠNG 2 TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Kiến thức cần nhớ:  Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.  Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:  Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.  Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB  Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý: + Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước. + Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước. + Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0) Bài 1. Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. 1 Bài 2. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được 3 Trang 31
  32. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 quãng đường AB, người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Bài 3. Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB. Bài 4. Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30km/h. Bài 5. Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau ở thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ô tô và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi. Bài 6. Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3 km. người thứ ba đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính thời gian chạy hết quãng đường đua của các tay đua. 2 Bài 7. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với vận tốc bằng vận tốc 3 ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu? 3 Bài 8. Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được xe bị hỏng 4 phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 3 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy 4 1 trên quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? 4 Bài 9. Hai bến sông A và B cách nhau 40km. cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sauk hi đến bến B, ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8km. tính vận tốc riêng của ca nô. Bài 10. Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau. Bài 11. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng. Bài 12. Một canô đi xuôi dòng 45 km, rồi ngược dòng 18 km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 6 km/h. Tính vận tốc canô lúc đi ngược dòng. DẠNG 3 Trang 32
  33. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 TOÁN CÔNG VIỆC Bài 1. Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể? 4 Bài 2. Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và 5 1 vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy trong bao lâu mới 2 đầy hồ (giả thiết hồ ban đầu không có nước0. Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? Bài 4. Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu? Bài 5. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất 3 làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được công việc. Hỏi một 4 người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? Bài 6. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm. DẠNG 4 TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ Bài 1. Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119. Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Bài 3. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3. 1 Bài 4.Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . Nếu tử 4 Trang 33
  34. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 5 số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó. 24 Bài 5. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử và 3 mẫu thì phân số tăng . Tìm phân số đó. 2 DẠNG 5 TOÁN THỰC TẾ Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021) Để phục vụ công tác phòng chống dịch COVID-19, một Công ty A lên kế hoạch trong một thời gian quy định làm 20000 tấm chắn bảo hộ để tặng các chốt chống dịch. Do ý thức khẩn trương trong công tác hỗ trợ chống dịch và nhờ cải tiến quy trình làm việc nên mỗi ngày Công ty A làm được nhiều hơn 300 tấm so với kế hoạch ban đầu. Vì thế, Công ty A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn đúng một ngày so với thời gian quy định và làm được nhiều hơn 700 tấm so với kế hoạch ban đầu. Biết rằng số tấm làm ra trong mỗi ngày là bằng nhau và nguyên cái. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày Công ty A cần làm bao nhiêu tấm chắn bảo hộ ? Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố HÀ NỘI năm 2021) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.) Bài 6. Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. Trang 34
  35. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 7. Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau Bài 3. Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu bớt đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi? Bài 4. Một phòng học có một số dãy ghế tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu trong phòng có mấy dãy ghế? Bài 5. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Bài 6. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4.045.000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay? BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 4 Bài 1. Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = 5x – 6 có đồ thị là (D) a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) . x 2 3 Bài 2. Cho các hàm số y = - có đồ thị là (P) và hàm số y = x – có đồ thị là (D) 2 2 a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D). 3 1 Bài 3. Cho các hàm số y = - x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = - 2 x + có đồ thị là (D) 2 2 a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D). c/Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hòanh độ và tung độ của điểm đó bằng 4. Bài 4. Cho các hàm số y = - 2x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = -3x +m có đồ thị là (Dm) a/ Khi m= 1 vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc và xác định tọa độ giao điểm của chúng. 1 b/ Tìm m để (Dm) đi qua điểm trên (P) có hòanh độ bằng 2 c/ Tìm m để (P) cắt (D) tại 2 điểm phân biệt. Trang 35
  36. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 1 Bài 5. Cho các hàm số y = - x2 có đồ thị là (P)và hàm số y = x có đồ thị là (D) 4 a/ Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D). Bài 6. Cho các hàm số y = 2x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = -3x +2 có đồ thị là (D) a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) . c/ Gọi A là điểm trên (P) có hòanh độ bằng 1 và B là điểm trên (D) có tung độ bằng m + Khi m = 5 viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. + Tìm m để 3 điểm A, O, B thẳng hàng ( O là gốc tọa độ) x2 Bài 7. Cho parabol (P): y và đường thẳng (d): y x m . 4 a) Vẽ parabol (P). b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. c) Xác định phương trình đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng –4. x2 Bài 8. Cho parabol (P): y và điểm M (1; –2). 4 a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m. b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi. 2 2 c) Gọi xA; xB lần lượt là hoành độ của A và B . Xác định m để xA xB xA xB đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. Bài 9. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau: g) x2 5x 6 0 h) x2 5x 6 0 i) x2 5x 6 0 2 Bài 10. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x 4x 3 8 0 . Không giải phương trình, hãy 2 2 6x1 10x1 x2 6x2 tính: M 3 3 5x1x2 5x1 x2 2 Bài 11. Tìm m để phương trình: 3x 7x m 0 có một trong các nghiệm bằng x 0 1. Tìm nghiệm còn lại. 2 Bài 12. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x mx 1 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau theo m. 1 1 x2 x2 x x 5 a) B x3 x3 b) C c) D 1 2 d) 1 2 0. 1 2 x x 2 2 x x 2 1 2 x2 x1 2 1 2 2 Bài 13. Tìm m để phương trình: x 2(m 1)x m 3m 0 có các nghiệm x1, x2 thoả hệ thức 2 2 x1 x 2 8. Trang 36
  37. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Bài 14. Cho phương trình : mx2+mx – 1 = 0 (1) 1 a/ Giải phương trình (1) khi m = 2 b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. c/ Tìm m để bình phương của tổng hai nghiệm bằng bình phương của tích hai nghiệm. 2 2 2 2 Bài 15. Tìm m để phương trình : x 2(m 1)x m 3m 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 8. 2 Bài 16. Tìm m để phương trình : (2m 1)x 2(m 4)x 5m 2 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn 2 2 x1 x2 2x1x2 16. 2 Bài 17. Tìm m để phương trình: (m 1)x 2mx m 1 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x x 5 1 2 0. x2 x1 2 2 Bài 18. Tìm m để phương trình: mx (m 4)x 2m 0.có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn 2 2 2(x1 x2 ) 5x1x2 0. 2 x1 x2 Bài 19. Tìm m để phương trình : x 2(m 2)x 4m 5 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn 1. x2 x1 2 Bài 20. Tìm m để phương trình : (m 2)x (2m 1)x m 3 0.có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2. 2 Bài 21. Tìm m để phương trình : x 2(m 1)x 4m 3 0.có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 2x1 + x2 = 5. 2 Bài 22. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: (4m 3)x 3(m 1)x 2m 2 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 2 Bài 23. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x (2m 1)x m m 1 0.Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 24. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: (m 1)x 2(m 1)x m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 25. Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 4 0. a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. c) Chứng minh biểu thức M = x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào m. Bài 26. Tìm m để phương trình: a) x2 x 2(m 1) 0 có hai nghiệm dương phân biệt. b) 4x2 2x m 1 0 có hai nghiệm âm phân biệt. c) (m2 1)x2 2(m 1)x 2m 1 0 có hai nghiệm trái dấu. Bài 27. Cho phương trình: x2 4x m 1 0 . a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Trang 37
  38. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 2 2 b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 10 . Bài 28. Cho phương trình: x2 a 1 x a2 a 2 0 . a) Chứng minh rằng với mọi a, phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu. 2 2 b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 . Tìm giá trị của a để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 29. Cho phương trình: x2 2(m 1)x 2m 10 0 . a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 . b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1, x2 , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. 2 2 c) Tìm giá trị của m để biểu thức A = 10x1x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 30. Cho phương trình: x2 2 m 1 x 3 m 0 1 a) Chứng tỏ rằng phương trình 1 có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm cùng âm 2 2 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình 1 thoả mãn x1 x2 10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 2 Bài 31. Cho phương trình: x ax 1 0 . Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn : 2 2 x x 1 2 7 x2 x1 Bài 32. Cho phương trình : m 1 x2 2 m 1 x m 0 1 a) Giải và biện luận phương trình 1 theo m b) Khi phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 : * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tìm m sao cho x1 x2 2 Bài 33. Cho phương trình (ẩn x): x2 ax 2 0 (*) a) Giải phương trình (*) với a = 1. b) Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức: 2 2 M x1 (x1 2)(x2 2) x2 có giá trị nhỏ nhất. Bài 34. a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) Trang 38
  39. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. Bài 35. Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1). a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). Bài 36. Cho phương trình: x2 2(m 1)x 2m 0 (1) (với ẩn là x ). a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 . Bài 37. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 2x2 (3m 2)x 12 0 x2 mx 1 0 2x2 (3m 1)x 9 0 a) b) c) 2 2 2 4x (9m 2)x 36 0 x x m 0 6x (7m 1)x 19 0 Bài 38. Giải các phương trình sau: a) 10x2 17x 3 2(2x 1) –15 b) 9(x 2)2 4(x 1)2 0 c) 2x2 3(2x 3)2 0 d) 6x2 x 3 3x(x 1) –11 e) 4x2 x(x 1) 3 x(x 3) 5 f) x2 x 3(2x 3) x(x 2) –1 g) x2 4x 3(2x 7) 2x(x 2) 7 h) 3(2x 3) x(x 2) 1 Bài 39. Giải các phương trình sau: 7 a) 5x4 3x2 0 b) 4x4 7x2 –2 0 c) x4 –13x2 36 0 16 Bài 40. Giải các phương trình sau: 2 1 1 2 1 1 a) 3 x 16 x 26 0 b) 2 x 7 x 2 0 x2 x x2 x Bài 41. Giải các phương trình sau: 2 4 3 2 2 x 16 10 x 4 a) x x 4x x 1 0 b) x(x 1)(x 2) 1 0 c) 9 x2 3 3 x 1 1 1 d) e) 2x 3 x 2 13x 6 0 f) x 4 2x 3 x 2 8x 12 0 x(x 2) (x 1)2 12 2 x 2 10 g) 2x 3 3x 2 11x 6 0 h) i) x 3 3x x 2 x(x 2 9) 5 4 3 x 1 3 6x 3x 2 Bài 42. Giải các phương trình sau: Trang 39
  40. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 a/ x2 + 2x + 4 = 2 - x . b/ 3x2 - 9x + 1 = x - 2 . c/ x2 + x - 12 = 8 - x . d/ 5x + 10 = 8 - x . Bài 43. Giải các phương trình sau a/ x2 - 6x + 9 = 4 x2 - 6x + 6 . b/ (x - 3)(8 - x) + 26 = - x2 + 11x . c/ x - 1 + 3 - x - (x - 1)(3 - x) = 1 . d/ 7 - x + 2 + x - (7 - x)(2 + x) = 3 . Bài 44. Giải các phương trình a/ 3 x + 5 + 3 x + 6 = 3 2x + 11 . b/ 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x - 1 . Bài 45. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B. Bài 46. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h, nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là 20 phút. Tính quãng đường AB? Bài 47. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h. Bài 48. Có hai thùng đựng dầu. Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng? Bài 49. Hai trường A, B có 250 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 học sinh đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10. Bài 50. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể. Bài 51. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu. Trang 40
  41. Đại số 9 - Chương 4: Hàm số và Phương trình bậc hai một ẩn - Năm 2022 - Tự luận Trương Ngọc Vỹ 0978.333.093 Trang 41