Một số dạng toán về số phức ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia (Có đáp án)

Nội dung text: Một số dạng toán về số phức ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia (Có đáp án)

1. MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ SỐ PHỨC ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT QG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Một số phức là một biểu thức cĩ dạng a + bi, trong đĩ a, b là các số thực và số i thoả mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức đĩ là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z = a + bi cĩ a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. a a ' z = z’ b b' 3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: z z ' (a a ') (b b')i z z ' (a a ') (b b')i 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: zz ' aa ' bb' (ab' a 'b)i 6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z = a bi = a - bi Chú ý: 10) z = z z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 20) z. z = a2 + b2 *) Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z (2): z z ' z z ' (3): z.z ' z.z ' (4): z. z = a2 b2 (z = a + bi )
2. 7. Mơđun của số phức. Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu z là mơđun của số phư z, đĩ là số thực khơng âm được xác định như sau:  - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM = a2 b2 - Nếu z = a + bi, thì z = z.z = a2 b2 8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số 1 1 z-1= z z a2 b2 z 2 z ' Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: z z ' z '.z z.z 1 z z 2 Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nĩi trên nĩ cũng cĩ đầy đủ tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thơng thường. 9. Phương trình bậc hai với hệ số thực. * Cho phương trình bậc hai : ax2 bx c 0 , cĩ b2 4ac . b + Nếu > 0, PT cĩ 2 nghiệm thực phân biệt x 1,2 2a b + Nếu = 0, PT cĩ nghiệm kép x1 = x2 = 2a b i | | + Nếu 0, PT cĩ 2 nghiệm thực phân biệt x 1,2 a b' + Nếu ' = 0, PT cĩ nghiệm kép x1 = x2 = a b' i | ' | + Nếu ' < 0, PT cĩ 2 nghiệm phức x 1,2 a 10. Một số kết quả cần nhớ 1) i0 = 1 i4n = 1 2) i1 = i i4n + 1 = i 3) i2 = - 1 i4n + 2 = - 1 4) i3 = - i i4n + 3 = - i 5) (1 – i)2 = - 2i 6) (1 + i)2 = 2i
3. B. MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG I. TÍNH TỐN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I. PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, các phép tốn để tính tốn các yếu tố cĩ liên quan. II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 5 7i và z2 2 3i . Tìm số phức z z1 z2 . A. z 7 4i B. z 2 5i C. z 2 5i D. z 3 10i Hướng dẫn giải Ta cĩ z z1 z2 5 7i 2 3i 7 4i Đáp án: A Ví dụ 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z 1 i i3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . A. a 0,b 1 B. a 2,b 1 C. a 1,b 0 D. a 1,b 2 Hướng dẫn giải Ta cĩ z 1 i i3 1 i i 1 2i a 1,b 2 . Đáp án: D Ví dụ 3. (Mã đề 104 - QG – 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 3i 3 2i A. z 1 5i B. z 1 i C. z 5 5i D. z 1 i Hướng dẫn giải Ta cĩ z 2 3i 3 2i z 3 2i 2 3i 1 i Đáp án: B Ví dụ 4. (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z 2 i . Tính z . A. z 3 B. z 5 C. z 2 D. z 5 Hướng dẫn giải Ta cĩ z 22 12 5 Đáp án: D Ví dụ 5. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 3 4i là A. . 3 4i B. . 3 4iC. . 3D. 4. i 4 3i Hướng dẫn giải Đáp án: C III. BÀI TẬP Câu 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z 2 3i . B. z 3i . C. z 2 . D. z 3 i . Câu 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 4 3i và z2 7 3i . Tìm số phức z z1 z2 A. z 11. B. z 3 6i C. z 1 10i D. z 3 6i Câu 3. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 1 3i và z2 2 5i . Tìm phần ảo b của số phức z z1 z2 . A. b 2 B. b 2 C. b 3 D. b 3 Câu 4. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z 2 3i . Tìm phần thực a của z. A. a 2 B. a 3 C. a 3 D. a 2 Câu 5. (QG – 2018) Số phức 3 7i cĩ phần ảo bằng
4. A. 3.B. 7.C. 3. D. 7 . Câu 6. (QG – 2018) Số phức cĩ phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3 4i . B. 4 3i . C. 3 4i . D. 4 3i . Câu 7. (QG – 2018) Số phức 5 6i cĩ phần thực bằng A. – 5.B. 5.C. – 6.D. 6. Câu 8. (QG – 2018) Số phức cĩ phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1 3i .B. 1 3i .C. 1 3i .D. 1 3i . Câu 9. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 5 3i là A. . 5 3i B. . 3 5iC. . D. 5 3i 5 3i . Câu 10. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 3 2i là A. . 3 2i B. 3 2i . C. . 3 2i D. . 2 3i Câu 11. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 1 2i là A. 1 2i . B. 1 2i . C. 2 i . D. 1 2i . Câu 12. Cho số phức z 6 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3i B. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3 C. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3 D. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3i Câu 13. Cho 2 số phức z và z’. Các phát biểu nào sau đây sai ? 2 z z.z A. z z ' z z ' B. z.z z C. z z D. z ' z '.z Câu 14. Cho số phức z = 3- 4i. Phần thực và phần ảo số phức z là A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng - 4i; B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4; C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i; D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4. Câu 15. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = i2020. A. 0 và 2020 B. 0 và 1 C. 1 và 0 D. 2020 và 0 Câu 16. Tìm phần thực, phần ảo của z 4 i 2 3i 5 i A. phần thực là 1, phần ảo là 1 B. phần thực là 11, phần ảo là 1 C. phần thực là 1, phần ảo là 3 D. phần thực là 11, phần ảo là 3 1 i 1 i Câu 17. Cho số phức z . Trong các kết luận sau kết luận nào đúng? 1 i 1 i A. z cĩ phần thực và phần ảo 0 . B. z là số thuần ảo. C. Mơ đun của z bằng 1 D. z cĩ phần thực và phần ảo đều bằng 0. Câu 18. Tính z z và z.z biết z 2 3i A. 4 và 13 B. 4 và 5 C. 4 và 0 D. 13 và 5 Câu 19. Cho số phức z 2 3i . Tìm số phức w = 2iz - z . A. w 8 7i B. w 8 i C. w 4 7i D. w 8 7i Câu 20. Cho số phức z1 1 3i và z2 3 4i . Mơđun số phức z1 z2 là A. 17; B. 15 ; C. 4; D. 8. Câu 21. Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - 3i là:
5. 1 1 3 1 1 3 1 1 A. z = i z = i z = 1 + 3i D. z = -1 + 4 4 B. 2 2 C. 3i Câu 22. Mơ đun của số phức z 5 2i i 1 3 là A.7 B.3 C.5 D.2 Câu 23. Cho số phức z = a + bi (với a, b là các số thực). Xét các phát biểu sau (1) z² – z ² là số thực (2) z² + z ² là số ảo (3) z z là số thực (4) |z| – z là bằng 0 Số câu phát biểu đúng là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 24. Giá trị của A = (1 + i)20 bằng A. 1024 B. 220 C. –1024 D. 1024 – 1024i Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: z (1 2i) 7 4i .Tìm mơ đun số phức z 2i . A. 5 B. 17 C. 24 D. 4 i Câu 26. Cho số phức z biết z 2 i . Phần ảo của số phức z2 là 1 i 5 5 5 5 A. i . B. - i . C. . D. . 2 2 2 2 3 1 i 3 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn: z . Tìm mơđun của z iz . 1 i A. 8 2 B. 4 2 C. 8 D. 4 2 Câu 28. Phần thực của số phức z thỏa mãn 1 i 2 i z 8 i 1 2i z là A. 6 B. 3 C.2 D. 1 DẠNG II. PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các phương pháp giải phương trình mẫu mực như phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai .với ẩn là số phức z. II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm ? A. z 2 2z 3 0 B. z 2 2z 3 0 C. z 2 2z 3 0 D. z 2 2z 3 0 Hướng dẫn giải Cách 1: Ta cĩ 1 2i 1 2i 2 ; 1 2i 1 2i 2 . Suy ra 1 2i và 1 2i là nghiệm của phương trình z 2 2z 3 0 . Đáp án: C Cách 2: Thử đáp án bằng MTBT Ví dụ 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 3z z 1 0 . Tính P z1 z2 3 2 3 2 14 A. P . B. P C. P . D. P . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải
6. 1 i 11 Phương trình 3z 2 z 1 0 cĩ hai nghiệm z . 1,2 6 2 3 Khi đĩ P z z 1 2 3 Đáp án: B Ví dụ 3. Tìm số phức sau: a) (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i 2 i 1 3i b) z 1 i 2 i Giải a) Ta cĩ (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i 1 i 1 z 2 3i 5 i 1 z 13 8 1 z i 13 13 b) Ta cĩ 2 i 1 3i ( 1 3i)(1 i) z z 1 i 2 i (2 i)2 2 4i (2 4i)(3 4i) z z 3 4i 25 22 4 z i 25 25 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau trên trường số phức: a) z4 + 2z2 -3 = 0 b) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) Giải z2 1 z 1 a) Ta cĩ z4 + 2z2 -3 = 0 2 z 3 z i 3 z 1 Vậy phương trình cĩ 4 nghiệm z i 3 b) Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) cĩ nghiệm z = 1. (1) (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0 (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 0 z 1 z 1 z 3 z 3 z 2i 2 z 4 0 z 2i Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm:
7. z = 2i;z = ― 2i; z = 1;z = 3 III. BÀI TẬP Câu 1. (Mã đề 103 - QG – 2017) Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 1 1 z 2 z 6 0 . Tính P z1 z2 1 1 1 A. P . B. P C. P . D. P 6. 6 12 6 2 Câu 2. (QG-2019)Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức phương trình z 6 z 1 0 0 . Giá trị 2 2 z1 z2 bằng A. 16. B. 56. C. 20. D. 26. 2 Câu 3. (QG-2019)Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 14 0 . Giá trị 2 2 của z1 z2 bằng A. .3 6 B. 8 . C. .2 8 D. . 18 2 Câu 4. (QG-2019)Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4 z 5 0 . Gái trị của 2 2 z1 z2 bằng A. 6. B. .8 C. . 16 D. . 26 2 Câu 5. (QG-2019)Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4 z 7 0 . Giá trị của 2 2 z1 z2 bằng A. 10. B. 8. C. 16. D. 2. Câu 6. Tìm mơ đun của số phức z thoả 3iz (3 i)(1 i) 2 . 2 2 3 2 3 3 2 3 A. z B. z C. z D. z 3 2 2 3 10 Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – 5 – 5i = 0. Tìm số phức w = z z A. 6 + 2i B. 2 + 6i C. –2 + 6i D. –6 + 2i Câu 8. Giải phương trình 2 3i z z 1. 1 3 1 3 1 3 1 3 A. z i. B. z i. C. z i. D. z i. 10 10 10 10 10 10 10 10 Câu 9. Giải phương trình 2 i z 4 0. 1 3 8 4 5 3 1 3 A. z i. B. z i. C. z i. D. z i. 5 5 5 5 10 10 13 13 2 i 1 3i Câu 10. Giải phương trình z . 1 i 2 i 1 3 8 4 22 4 1 3 A. z i. B. z i. C. z i. D. z i. 5 5 5 5 25 25 13 13 2 z 1 Câu 11. Tìm nghiệm của phương trình 1 i z i 1 3 1 4 1 1 1 1 A. z i. B. z i. C. z i. D. z i 5 5 5 5 2 2 2 2
8. Câu 12. Tìm nghiệm của phương trình z 2 2z 5 0 . A. z -1 2i; z -1-2i. B. z -1 2i; z -1-2i. 1 2 1 2 C. z 1 2i; z -1 2i. D. z -1 2i; z -1 2i. 1 2 1 2 Câu 13. Tìm các số thực b,c để phương trình (với ẩn z): z 2 bz c 0 nhận z 1 i làm một nghiệm. A. b 2, c 2. B. b 2, c 3. C. b 1, c 2. D. b 2, c 2. 2 Câu 14. Gọi z1 và z2 lần lượt là nghiệm của phương trình: z 2z 10 0 . Tính giá trị của 2 2 biểu thức A z1 z2 A. 15 B. 17 C. 20 D. 10 Câu 15. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình z 2 2z 3 0 . Tính độ dài đoạn thẳng AB . A. 2 2 B. 3 2 C. 2 3 D. 3 6 Câu 16. Cho số phức z cĩ phần thực dương thỏa mãn z 2 6z 13 0 . Tính z . z i A. 13 B. 17 C. 7 D. 7 3 DẠNG III. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN I. PHƯƠNG PHÁP: Để giải bài tốn tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thực hiện theo các bước sau: B1: Đặt z a bi a,b ¡ B2: Thay vào đk được hệ phương trình hai ẩn a,b. B3: Giải tìm a,b Chú ý: ▪ Tìm số phức z a bi a,b ¡ thật ra là tìm phần thực a và phần ảo b của nĩ. a 0 ▪ z a bi 0 , b 0 a a z a bi; z a b i 1 2 ▪ 1 1 1 2 2 2 . Khi đĩ: z1 z2 b1 b2 ▪ z a bi a,b ¡ . Khi đĩ z là số ảo (thuần ảo) khi a 0 , z là số thực khi b 0 . Ví dụ 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 5 và z là z 4 số thuần ảo ? A. 0 B. Vơ sốC. 1 D. 2 Hướng dẫn giải Đặt z a bi a,b ¡ . Điều kiện z 4. Ta cĩ z 3i 5 a b 3 i 5 a2 b 3 2 25 a2 b2 6b 16 0 1
9. z a bi a a 4 b2 4b Lại cĩ i . z 4 a 4 bi a 4 2 b2 a 4 2 b2 2 z a a 4 b 2 2 Vì là số thuần ảo nên 2 0 a b 4a 0 2 . z 4 a 4 b2 3 Từ (1) + (2) suy ra 4a 6b 16 a 4 b . Thay vào (1), ta được: 2 2 b 0 3 2 a b b 6b 16 0 24 . 2 b 13 Với b 0 a 4 z 4 loại . 24 16 16 24 Với b a z i thỏa mãn . 13 13 13 13 Đáp án: C Ví dụ 2. (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho số phức z a bi (a,b ¡ ) thỏa mãn z 1 3i z i 0. Tính S a 3b 7 7 A. S B. S 5 C. S 5 D. S 3 3 Hướng dẫn giải Theo giả thiết, ta cĩ: 2 z 1 3i z i 0 z 1 z 3 i z 1 z 3 2 2 5 z 1 z 3 z 3 4 4 z 1 i a 1;b S a 3b 5 3 3 Đáp án: B Ví dụ 3. (Mã đề 103 - QG – 2017) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x2 1 yi 1 2i A. x 2, y 2 B. x 2, y 2 C. x 0, y 2 D. x 2, y 2 Hướng dẫn giải 2 2 x 1 2 x 0 Ta cĩ x 1 yi 1 2i y 2 y 2 Đáp án: C Ví dụ 4. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 13 và z z 2 là số thuần ảo ? A. Vơ số B. 2 C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải Đặt z a bi a,b ¡ , ta cĩ: z 3i 13 a b 3 i 13 a2 b 3 2 13 a2 b2 6b 4 0 1 . z a bi a a 2 b2 2b Lại cĩ i . z 2 a 2 bi a 2 2 b2 a 2 2 b2
10. 2 z a a 2 b 2 2 2 Vì là số thuần ảo nên 2 0 a a 2 b 0 a b 2a 0 2 . z 2 a 2 b2 Từ (1)+(2) suy ra 2a 6b 4 a 3b 2. Thay vào (1), ta được: b 0 2 3b 2 b2 6b 4 0 3 . b 5 Với b 0 a 2 z 2 loại . 3 1 1 3 Với b x z i thỏa mãn . 5 5 5 5 Đáp án: D Ví dụ 5. (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 5 và z 3 z 3 10i . Tìm số phức w z 4 3i . A. w 3 8i B. w 1 3i C. w 1 7i D. z 4 8i Hướng dẫn giải Đặt z a bi a,b ¡ , ta cĩ: z 3 5 a 3 bi 5 a 3 2 b2 25 Lại cĩ z 3 z 3 10i a 3 bi a 3 b 10 i a 3 2 b2 a 3 2 b 10 2 b2 b 2 2 b 5 a 0 z 5i w 4 8i . Đáp án: D III. BÀI TẬP Câu 1. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z a bi (a,b ¡ ) thoả mãn z 2 i z . Tính S 4a b. A. S 4 B. S 2 C. S 2 D. S 4 Câu 2. (QG – 2018) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 3 i 2i 4 i z ? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 3. (QG – 2018) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z (z 6 i) 2i (7 i)z ? A. 2.B. 3.C. 1.D. 4. Câu 4. (QG – 2018) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 5 i 2i 6 i z ? A. 1.B. 3.C. 4.D. 2. Câu 5. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 3 5 và z 2i z 2 2i . Tìm số phức z . A. z 17. B. z 17. C. z 10. D. z 10. Câu 6. (QG – 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 2x 3yi 1 3i x 6i với i là đơn vị ảo. A. x 1; y 3 .B. x 1; y 1 .C. x 1; y 1 .D. x 1; y 3 . Câu 7. (QG – 2018) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 4 i 2i 5 i z?
11. A. 2.B. 3.C. 1.D. 4. Câu 8. (QG – 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 3x 2yi 2 i 2x 3i với i là đơn vị ảo. A. x 2; y 2 .B. x 2; y 1.C. x 2; y 2 .D. x 2; y 1 Câu 9. (QG – 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x yi) (4 2i) 5x 2i với i là đơn vị ảo. A. x 2; y 4 . B. x 2; y 4 .C. x 2; y 0 .D. x 2; y 0 . Câu 10. (QG – 2018) Tìm hai số x và y thỏa mãn 2x 3yi 3 i 5x 4i với i là đơn vị ảo. A. x 1; y 1 .B. x 1; y 1 .C. x 1; y 1 .D. x 1; y 1 . Câu 11. (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn 3 z i 2 i z 3 10i . Mơ đun của z bằng A. .3 B. . 5 C. 5 . D. . 3 Câu 12. (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn 3 z i 2 3i z 7 16i . Mơđun của z bằng A. 5 . B. .5 C. . 3 D. . 3 Câu 13. (QG-2019)Cho số phức zthỏa (2 i)z 4(z i) 8 19 .i Mơđun của bằngz A. .1 3 B. . 5 C. 1 3 . D. . 5 Câu 14. (QG-2019)Cho số phức z thỏa (2 i)z 3 16i 2(z i) . Mơđun của z bằng A. . 5 B. . 13 C. 13. D. .5 Câu 15. Tìm số phức z, biết z z 3 4i 7 7 A. z 4i B. z 3 C. z 4i D. z 3 4i 6 6 Câu 16. Số phức z thỏa mãn:(1 i)z (2 i)z 13 2i là A. 3 + 2i ; B. 3-2i; C. -3 + 2i ; D. -3 -2i. Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = 1 – 9i. Tìm modun của z. A. |z| = 3 B. |z| = 3 C. |z| = 13 D. |z| = 13 Câu 18. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = 2 + 9i A. 4 và –3 B. –4 và 3 C. 4 và 3 D. –4 và –3 2 1 1 Câu 19. Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: z z z 1 z z i . 2 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 20. Số số phức z thỏa mãn z 1 2 z 1 2 10i z 3. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 iz z 2i Câu 21. Tìm mơ đun số phức z thỏa mãn 2z . 2 i 1 2i A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 2 Câu 22. Biết z là số phức thỏa điều kiện z i z 0. Tìm số phức z cĩ phần ảo âm 1 1 1 1 1 1 A. z 1 i B. z i C. z i D. z 1 i 2 2 2 2 2 2
12. DẠNG IV. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC I. PHƯƠNG PHÁP: Giả sử z = x + yi (x, y R). Khi đĩ số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đĩ suy ra tập hợp điểm M. Một số quỹ tích thường gặp: Với z = x+yi (x, y là các số thực) khi đĩ nếu: * x= a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy). * y= b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox). * (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z là đường trịn tâm I(a.b) bán kính R. * (x-a)2 +(y-b)2 R2 Quỹ tích z là hình trịn tâm I(a.b) bán kính R ( kể cả biên). * (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z là các điểm nằm ngồi đường trịn tâm I(a.b) bán kính R. II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. (Mã đề 101- QG – 2017) Cho số phức z 1 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz trên mặt phẳng tọa độ ? A. Q(1; 2) B. N (2;1) C. M (1; 2) D. P( 2;1) Hướng dẫn giải Ta cĩ w iz i 1 2i 2 i . Suy ra điểm biểu diễn của số phức w là N (2;1) . Đáp án: B Ví dụ 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Số phức nào sau đây cĩ điểm biểu diễn trên mặt phẳng y tọa độ là điểm M như hình bên ? 1 A. z4 2 i B. z2 1 2i 2 O x C. z3 2 i D. z1 1 2i Hướng dẫn giải Đáp án: C Ví dụ 3. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z 2 i | 2 2 và (z 1)2 là số thuần ảo. A. 0 B. 4 C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải Đặt z x yi x, y ¡ . Theo giả thiết, ta cĩ | z 2 i | 2 2 x 2 y 1 i 2 2 x 2 2 y 1 2 8 C . 2 Mặt khác, z 1 2 x 1 yi x 1 2 y2 2 x 1 yi . Theo giả thiết (z 1)2 là số thuần ảo nên x y 1 0 d 2 2 2 2 y x 1 x 1 y 0 y x 1 . y x 1 x y 1 0 Đường trịn (C) cĩ tâm I 2;1 , bán kính R 2 2 .
13. Ta cĩ d I,d 2 2 R , suy ra d tiếp xúc (C). Ta cĩ d I,d 2 R , suy ra cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức chính là các giao điểm của (C) với hai đường thẳng d và . Số giao điểm là 3. Đáp án: C Ví dụ 4. (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z1 1 2i, z2 3 i. Tìm điểm biểu diễn của số phức z z1 z2 trên mặt phẳng tọa độ. A. N(4; 3) B. M (2; 5) C. P( 2; 1) D. Q( 1;7) Hướng dẫn giải Ta cĩ z z1 z2 2 i . Vậy điểm biểu diễn của số phức z là P( 2; 1) . Đáp án: C Ví dụ 5. (Mã đề 104 - QG – 2017) Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 4 0 . Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T OM ON với O là gốc tọa độ. A. T 2 2 . B. T 2 C. T 8. D. T 4. Hướng dẫn giải 2 z1 2i Ta cĩ z 4 0 . z2 2i Suy ra M 0;2 ,N 0; 2 OM ON 2 T OM ON 4. Đáp án: D Ví dụ 6. (Mã đề 104 - QG – 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z 1 và z 3 i m . Tìm số phần tử của S. A. 2 B. 4 C. 1 D. 3. Hướng dẫn giải Điều kiện: m 0. Đặt z x yi x, y ¡ . 2 2 2 Theo giả thiết z.z 1 z 1 x y 1 C1 . C1 là đường trịn tâm O 0;0 , bán kính R1 1. 2 Mặt khác 2 2 z 3 i m x 3 y 1 m x 3 y 1 m C 2 C2 là đường trịn tâm I 3; 1 , bán kính R2 m. Để tồn tại duy nhất số phức z thì C1 và C2 tiếp xúc ngồi hoặc trong. TH1: C1 và C2 tiếp xúc ngồi khi và chỉ khi R1 R2 OI 1 m 2 m 1 thỏamãn . R1 OI R2 1 2 m m 3 thỏa mãn TH2 C1 và C2 tiếp xúc trong khi và chỉ khi . OI R2 R1 m 2 1 m 1 loại Vậy S 1,3 . Đáp án: A
14. Ví dụ 7. (QG – 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z i z 2 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn cĩ bán kính bằng 5 3 A. 1.B. 5 . C. .D. . 4 2 2 Hướng dẫn giải Đặt z x yi x, y ¡ . Ta cĩ z i z 2 x yi i x yi 2 x2 2x y2 y x 2y 2 i 2 2 2 2 1 5 Vì z i z 2 là số thuần ảo nên x 2x y y 0 x 1 y . 2 4 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn cĩ bán 5 kính bằng . 2 Đáp án: C III. BÀI TẬP Câu 1. (QG – 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z 3i z 3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn cĩ bán kính bằng 9 3 2 A. . B. 3 2 . C. 3. D. . 2 2 Câu 2. (QG – 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z 2 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn cĩ bán kính bằng A. 2.B. 2 2 .C. 4.D. 2 . Câu 3. (QG – 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z 2 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn cĩ bán kính bằng A. 2 2 .B. 2 .C. 2.D. 4. Câu 4. (QG-2019)Cho hai số phức z1 1 i và z2 1 2i . Trên mặt phẳng toạ độ O xy , điểm biểu diễn số phức 3z1 z2 cĩ toạ độ là 1;4 A. 4; 1 . B. . 1;4 C. . 4;1 D. . Câu 5. (QG-2019)Xét các số phức z thỏa mãn z 2 . Trên mặt phẳng tọa độ O xy , tập 4 iz hợp điểm biểu diễn của các số phức w là một đường trịn cĩ bán kính bằng 1 z A. 34. B. 2 6 . C. 3 4 . D. 26. Câu 6. (QG-2019)Xét các số phức z thỏa mãn z 2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập 3 iz hợp điểm biểu diễn các số phức w là một đường trịn cĩ bán kính bằng 1 z A. 2 3 B. 12 C. 20 D. 2 5
15. Câu 7. (QG-2019)Cho hai số phức z1 2 i và z2 1 i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn số phức 2z1 z2 cĩ tọa độ là A. . 3; 3 B. . 2; 3C. 3;3 . D. . 3;2 Câu 8. (QG-2019)Cho hai số phức z1 1 i và z 2 2 i . Trên mặt phẳng O xy , điểm biểu diễn số phức z1 2 z 2 cĩ tọa độ là A. . 2;5 B. . 3;5 C. . 5;D.2 5;3 . Câu 9. (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Trên mặt phẳng tọa độ O xy , tập hợp các 2 iz điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn w là một đường trịn cĩ bán kính bằng 1 z A. .1 0 B. . 2 C. . 2 D. 1 0 . Câu 10. (QG-2019)Cho hai số phức z1 2 i,z2 1 i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức 2z1 z2 cĩ tọa độ là: A. 5; 1 . B. . 1;5 C. . 5;0 D. . 0;5 Câu 11. (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Trên mặt phẳng tọa độ O xy , tập hợp 5 iz các điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn w là một đường trịn cĩ bán kính bằng 1 z A. .5 2 B. 2 13. C. .2 11 D. . 44 Câu 12. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều 2 z i z là A. Đường thẳng 4x 2y 3 0 B. Đường thẳng 4x 2y 3 0 A. Đường thẳng x 2y 3 0 D. Đường thẳng x 9y 3 0 Câu 13. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2i z 1 i là A. Đường thẳng x y 3 0 B. Đường thẳng x 2y 3 0 A. Đường thẳng x 2y 3 0 D. Đường thẳng x y 1 0 Câu 15. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i 2 là A. Đuờng thẳng x y 2 0 B. Đường trịn x 1 2 y 1 2 4 C. Đường thẳng x y 2 0 D. Đường trịn tâm I 1; 1 và bán kính R 2. Câu 16. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 4i 10 là x2 y2 x2 y2 A. Đuờng elip 1 B. Đuờng elip 1 9 16 16 9
16. x2 y2 x2 y2 C. Đuờng elip 1 D. Đuờng elip 1 4 3 9 4 Câu 17. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z z 2 là A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hồnh D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hồnh Câu 18. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 z 1 i 2 là A. Tập hợp các điểm là hình trịn cĩ tâm I 1; 1 , bán kính 2 B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn cĩ tâm tại A 1;1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 C. Tập hợp các điểm là hình trịn cĩ tâm I 1; 1 , bán kính 1 D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn cĩ tâm tại I 1; 1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 z 2 3i Câu 19. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u là một số thuần ảo. z i A. Đường trịn tâm I 1; 1 bán kính R 5 B. Đường trịn tâm I 1; 1 bán kính R 5 trừ đi hai điểm A 0;1 ; B 2; 3 . C. Đường trịn tâm I 1;1 bán kính R 5 D. Đường trịn tâm I 1;1 bán kính R 5 trừ đi hai điểm A 0;1 ; B 2; 3 . Câu 20. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn điều kiện x y 1 là A. Ba cạnh của tam giác B. Bốn cạnh của hình vuơng C. Bốn cạnh của hình chữ nhật D. Bốn cạnh của hình thoi DẠNG V. CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I. PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các kiến thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và một số bài tốn cơng cụ sau: BÀI TỐN CƠNG CỤ 1: Cho đường trịn (T ) cố định cĩ tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường trịn (T ) . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. Hướng dẫn giải:
17. TH1: A thuộc đường trịn (T) Ta cĩ: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A khơng thuộc đường trịn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường trịn (T); Giả sử AB JB) ; d cắt (T2) tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên (T1) và điểm N bất kì trên (T2). Ta cĩ: MN IM IN IM IJ JN R1 R2 IJ AD. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D MN IM IN IJ IM JN IJ R1 R2 BC . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. BÀI TỐN CƠNG CỤ 3:
18. Cho hai đường trịn (T ) cĩ tâm I, bán kính R; đường thẳng khơng cĩ điểm chung với (T ) . Tìm vị trí của điểm M trên (T ) , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của I trên d Đoạn IH cắt đường trịn (T ) tại J Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường trịn (T ) , ta cĩ: MN IN IM IH IJ JH const . Đẳng thức xảy ra khi M  H ; N  I Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Trong các số phức z thoả mãn z 3 4i 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Hướng dẫn giải Cách 1 Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z 3 4i 4 (x 3)2 (y 4)2 4 (x 3)2 (y 4)2 16 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường trịn (T) cĩ tâm I (3; 4) , bán kính R = 4. z x2 y2 OM ;OI 5 R nên O nằm ngồi đường trịn (T) z lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. (Bài tốn qui về Bài tốn cơng cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường trịn (T) tại hai điểm phân biệt 3 4 27 36 A ; ;B ; OA 1;OB 9 5 5 5 5 Với M di động trên (T), ta cĩ: OA OM OB 1 OM 9 1 z 9 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B 3 4 27 36 Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z i ; z lớn nhất bằng 9 khi z i 5 5 5 5 Cách 2 Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy  3 4i A(3; 4) biểu diễn cho số phức  z OM;  OA 5 z  AM ; Theo giả thiết z 3 4i 4 z  4 AM 4. Ta cĩ: OM OA AM 4 OM OA 4 4 OA OM 4 OA 1 OM 9 3 4 27 36 1 z 9; z 1 khi z i ; z 9 khi z i 5 5 5 5
19. 3 4 27 36 Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z i ; z lớn nhất bằng 9 khi z i 5 5 5 5 ❖ Nhận xét: Ngồi ra bài tốn trên cĩ thể Hướng dẫn giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hố. Ví dụ 2. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z (z 2 4i) là một số ảo, tìm số phức z sao cho z 1 i cĩ mơđun lớn nhất. Hướng dẫn giải Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z(z 2 4i) (x yi)(x 2) (y 4)i x(x 2) y(y 4) x(y 4) y(x 2)i z (z 2 4i) là một số ảo x(x 2) y(y 4) 0 x2 y2 2x 4y 0 (x 1)2 (y 2)2 5 M biểu diễn cho z thuộc đường trịn (T) cĩ tâm I ( 1; 2) , bán kính R 5  z 1 i (x 1) (y 1)i (x 1)2 (y 1)2 AM với A(1;1) IA 5 A (T) (Bài tốn được qui về Bài tốn cơng cụ 1 - trường hợp 1) Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất AM là đường kính của (T) M đối xứng với A qua I I là trung diểm của AM M ( 3;3) z 3 3i  4 2i Vậy  lớn nhất bằng 2 5 khi z 3 3i. Ví dụ 3. Trong các số phức z cĩ mơđun bằng 2 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P z 1 z i đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải Gọi z x yi x; y R z 2 2 x2 y2 2 2 x2 y2 8 P z 1 z i (x 1)2 y2 x2 (y 1)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpxki cho hai bộ số 1;1 và (x 1)2 y2 ; x2 (y 1)2 , ta cĩ: 2 2 2 2 2 P 2 (x 1) y x (y 1) 4(9 x y) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và x; y, ta cĩ: x y 2 x2 y2 4 2 P 52 P 2 13. Đẳng thức xảy ra khi x y 2 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 13 khi z 2 2i.
20. Ví dụ 4. Trong các số phức z cĩ mơđun bằng 2. Tìm số phức z sao cho biểu thức P z 1 z 1 7i đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải Gọi z x yi x; y R z 2 x2 y2 2 x2 y2 4 P z 1 z 1 7i (x 1)2 y2 (x 1)2 (y 7)2     Xét u x 1; y ,v 1 x; 7 y u v 0; 7 . Khi đĩ:       P u v u v 7 . Đẳng thức xảy ra khi u,v cùng hướng (x 1)( 7 y) y(1 x) x 1 x 1 y 3   Với x 1; y 3 thì u,v ngược hướng (khơng thoả mãn)   Với x 1; y 3 thì u,v cùng hướng (thoả mãn) Vậy z 1 i 3 thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7. Ví dụ 5. Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: z1 1 i 1; z2 6 6i 6, tìm số phức z1, z2 sao cho z1 z2 đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải Gọi z1 a b.i; z2 c d.i ; (a,b,c,d là những số thực); z1 được biểu diễn bởi điểm M(a; b); z2 được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy 2 2 2 z1 1 i 1 z1 1 i 1 (a 1) (b 1) 1 suy ra M thuộc đường trịn tâm I(1; 1), bán kính R = 1. 2 2 2 z2 6 6i 6 z2 6 6i 36 (c 6) (d 6) 36 suy ra M thuộc đường trịn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6. 2 2 z1 z2 (c a) (d b) MN . (Bài tốn được qui về Bài tốn cơng cụ 2) Đường thẳng IJ cĩ phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường trịn tâm I tại hai điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 M ; ;M ; 1 2 2 2 2 2 Đường thẳng IJ cắt đường trịn tâm J tại hai điểm . N1 6 3 2; 6 3 2 ; N 2 6 3 2; 6 3 2 M2N1 MN M1N2 5 2 7 z1 z2 5 2 7 max z1 z2 5 2 7 khi M  M1, N  N2 . 2 2 2 2 Vậy z i ; z 6 3 2 6 3 2 ithì z z đạt giá trị lớn nhất. 1 2 2 2 1 2 Ví dụ 6. Cho các số phức z1; z2 thoả mãn: z1 1;z2 z2 (1 i) 6 2i là một số thực. 2 Tìm số phức z1; z2 sao cho P z2 z1z2 z1z2 đạt giá trị nhỏ nhất.
21. Hướng dẫn giải Gọi z1 a bi; z2 c di ; a,b,c,d R M (a;b), N(c;d) lần lượt biểu diễn cho z1; z2 trong hệ toạ độ Oxy 2 2 2 2 z1 1 a b 1 a b 1 M thuộc đường trịn (T ) cĩ tâm O, bán kính R = 1 z2 c di;  z z 1 i 6 2i c di (c 1) (d 1)i 2 6i c(c 1) d (d 1) 2 c(d 1) d (c 1) 6i  là số thực c(d 1) d (c 1) 6 0 c d 6 0 N thuộc đường thẳng : x y 6 0 Ta cĩ d (O; ) 1 nên và (T ) khơng cĩ điểm chung z1z2 ac bd (bc ad)i; z1z2 ac bd ( bc ad)i z1z2 z1z2 2(ac bd) 2 2 2 2 2 P c d 2(ac bd) (c a) (b d) 1 MN 1 (vì a2 b2 1) (Bài tốn được qui về Bài tốn cơng cụ 3) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên : x y 6 0 H (3;3) 2 2 Đoạn OH cắt đường trịn (T ) tại I ; 2 2 Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường trịn (T ) , ta cĩ: MN ON OM OH OI IH 3 2 1. Đẳng thức xảy ra khi M  I; N  H 2 P 3 2 1 1 18 6 2 . 2 2 Đẳng thức xảy ra khi z i;z 3 3i 1 2 2 2 2 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18 3 2 khi z i;z 3 3i. 1 2 2 2 Ví dụ 7. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 3 z 3 10. Tìm số phức z cĩ mơđun lớn nhất. Hướng dẫn giải Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z 3 z 3 10 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 ; MF1 MF2 10 (với F1( 3;0); F2(3;0) ). x2 y2 M (E) cĩ tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6 M (E): 1 25 9
22. z OM;OM lớn nhất OM a 5 M (5;0)  M ( 5;0) Vậy z lớn nhất bằng 5 khi z 5 z 5 III. BÀI TẬP Câu 1. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z.z 3 z z 5 12i .Số phức nào cĩ mơ đun lớn nhất? A.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-i Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i 2 .Số phức nào cĩ mơ đun nhỏ nhất? A.2+i B.4-i C.1 3 1 i D. 3 2 2i Câu 3. Xét các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M. 5 2 2 73 A. P 13 73 . B. P . 2 5 2 73 C. P 5 2 2 73 . D. P . 2 Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn z 3 2i z 3 i 3 5. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z 1 3i . A. M 17 5, m 3 2. B. M 26 2 5, m 3 2. C. M 26 2 5, m 2. D. M 17 5, m 2. Câu 5. Xét số phức z thỏa mãn z 2 3i z 6 i 2 17. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2i z 2 i . A. M 3 2, m 0. B. M 3 2, m 2. C. M 3 2, m 5 2 2 5. D. M 2, m 5 2 2 5. Câu 6. Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i z 1 3i 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biển thức P z 1 i . 9 A. P . B. P 3. C. P 13. D. P 4. min 34 min min min Câu 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 2 , tìm số phức z cĩ mơđun nhỏ nhất. 2 4 2 4 A. z 1 2 i B. z 1 2 i 5 5 5 5 2 4 2 4 C. z 1 2 i D. z 1 2 i 5 5 5 5 z 2 i Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất z 1 i của z . z 10 3; z 10 3 z 10 3; z 10 3 A. min max B. min max
23. C. z 10 3; z 10 3 z 10 3; z 10 3 min max D. min max