Giáo án môn Toán Lớp 12 - Bài 1: Mặt cầu-Khối cầu

Nội dung text: Giáo án môn Toán Lớp 12 - Bài 1: Mặt cầu-Khối cầu

1. CHỦ ĐỀ MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NHÓN 7  Bài 01 MẶT CẦU – KHỐI CẦU I. ĐỊNH NGHĨA 1. Mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R . Kí hiệu: S (O;R)= {M OM = R} . 2. Khối cầu Mặt cầu S (O;R) cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu tâm O , bán kính R . Kí hiệu: B(O;R)= {M OM £ R}. Nếu OA, OB là hai bán kính của mặt cầu sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu. Định lí. Cho hai điểm cố định A, B . Tập hợp các điểm M 0 trong không gian sao cho A·MB = 90 là mặt cầu đường B kính AB . ● A Î S (O;R)Û OA = R. O A1 ● OnằmA1 ngoàiR Û mặtA2 cầu. II. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN A2 Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện (H ) gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện (H ) và khi đó (H ) được gọi là nội tiếp mặt cầu đó. S Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đường tròn. A Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp. D O B III. MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHÓP C 1. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với với tất các mặt của hình chóp. 2. Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp. IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (P) , gọi d là khoảng cách từ O đến (P) và H là hình chiếu vuông góc của O trên (P) . Khi đó O O O r H (P) (P) H H (P) ● Nếu d < R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S (O;R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm là H và có bán kính r = R2 - d 2 .
2. Khi d = 0 thì mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu. ●Nếu d = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu S (O;R) có một điểm chung duy nhất H . Khi đó ta nói (P) tiếp xúc với S (O;R) tại H và (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu, H gọi là tiếp điểm. Chú ý. Cho H là một điểm thuộc mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (P) qua H . Thế thì (P) tiếp xúc với S (O;R)Û OH ^ (P). ●Nếu d > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu S (O;R) không có điểm chung. V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho mặt cầu S (O;R) và đường thẳng D . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên D và d = OH là khoảng cách từ O đến D . Khi đó H A O O H O H D B D ● Nếu d R thì D và S (O;R) không có điểm chung. VI. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU Gọi R là bán kính của mặt cầu thì ● Diện tích mặt cầu: S = 4pR2 . 4 ● Thể tích khối cầu: V = pR3. 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho đường tròn (C ) đường kính AB và đường thẳng D . Để hình tròn xoay sinh bởi (C ) khi quay quanh D là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây: (I)Đường kính AB thuộc D . (II)D cố định và đường kính AB thuộc D . (III)D cố định và hai điểm A, B cố định trênD . A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Không cần thêm điều kiện nào. Câu 2. Cho mặt cầu (S) tâm O , bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R . Một điểm M tùy ý thuộc (S) . Đường thẳng OM cắt (P) tại N . Hình chiếu của O trên (P) là I . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. NI tiếp xúc với (S) . O B. ON = R 2 Û IN = R. M C. Cả A và B đều sai. D. Cả A và B đều đúng. N (P) I Câu 3. Cho mặt cầu S (O;R) và một điểm A , biết OA = 2R . Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B . Khi đó độ dài đoạn AB bằng: R A. R .B. .C. .D. . R 2 R 3 2 – Website chuyên tài liệu đề thi file word
3. Câu 4. Cho mặt cầu S (O;R) và một điểm A , biết OA = 2R . Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = R 3 . Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng: R A. R .B. .C. .D. . R 2 R 3 2 Câu 5. Cho mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (a) . Biết R khoảng cách từ O đến (a) bằng . Khi đó thiết diện 2 tạo bởi mặt phẳng (a) với S (O;R) là một đường tròn O có đường kính bằng: A. R .B. . R 3 r H R R 3 (a) C. .D. . 2 2 Câu 6. Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6cm . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là: A 1,2cm B. .C. 1,3cm .D. . 1cm 1,4cm Câu 7. Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p . Một mặt phẳng (a) cắt hình cầu theo một hình p tròn có diện tích là . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (a) bằng: 2 p 1 2 p p A. . B. .C. .D. . p p p 2p Câu 8. Một hình cầu có bán kính là 2m , một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là 2,4pm . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là: A.1,6m . B. .C. 1,5m . D. . 1,4m 1,7m Câu 9. Cho mặt cầu S (O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 600. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng: 2 2 pR A. Bp.R . . O 2 pR2 pR2 C. D. . . 0 4 8 60 A r H (P) Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng: a(1+ 3) a( 6 - 2) a( 6 + 2) a( 3 - 1) A. B. C. D. . . . . 2 4 4 2 Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a 2 a 6 A. B. C. .D. 3a. . a 6. 2 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA = a 6 và vuông góc với đáy (ABCD) . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được: A. B.a2 C.2 .D. 8pa2 . 2a2 . 2pa2 . Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh bên SA = a 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: a 2 a 6 a 6 a 2 A. B. . C. D. . . . 2 3 2 3
4. a 21 Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Gọi h là 6 R chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số bằng: h 7 7 7 1 A. B. C. D. . . . 12 24 6 2 Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là: 4pa3 2pa3 6 8pa3 6 8pa3 6 A. B. C. D . . . 3 9 9 27 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu R ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . Tỉ số nhận giá trị nào sau đây? a A. B.a C.2. D. a. 1 2. Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 . Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h là: 4 5 5 A. B.4R C.= D.5 h. 5R = 4h. R = h. R = h. 5 5 4 Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng SA = a 2 vuông góc với đáy (ABCD) . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M , F nhận giá trị nào sau đây? a 2 a A. B.a 2. .C. D. a . . 2 2 Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây? a 2 a A. B.a 2. .C. D. a . . 2 2 Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC ) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là: 2pa3 pa3 pa3 A. B. C. D 2pa3. . . 3 6 2 Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BD = a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây? a a a A. B. .C. D. . . a. 4 3 2 Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC ) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB) . Đẳng thức nào sau đây sai? é ù A. B.R = d ëG,(SAB)û. 3 13R = 2SH. – Website chuyên tài liệu đề thi file word
5. R2 4 3 R C. D. = . = 13. SDABC 39 a Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 2pa3 11 11pa3 pa3 pa3 A. B. C. D . . . 3 162 6 3 Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy (ABC ) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: a a 13 a 39 a 15 A. B C. D. . . . 2 2 6 4 Câu 25. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a , OB = 2a , OC = 3a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là: 3a a 6 a 14 A. B.a C.3 D. . . . 2 2 2 Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = AC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC ) . Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với đáy (ABC )một góc 600. Gọi S, V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp V S.ABC . Tỉ số bằng ? S a 14 3a 14 a 2 A. B.a C.14 D. . . . 12 4 6 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc B·AD = 1200 . Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy (ABCD) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị: a 13 2a a 13 a 13 A. B. C. D . . . 2 3 3 3 3 3 Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC = a . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a , A· SB = 1200 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a a A. B. .C. D. . a. 2a. 4 2 Câu 29. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = a 3 , góc A·CB bằng 300 . Góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng (ABC ) bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A' ABC bằng: 3a a 21 a 21 a 21 A. B. C D. . . . 4 4 2 8 Câu 30. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng (AB 'C ' ) tạo với mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A' B 'C ' bằng: 85a 3a 3a 31a A. B. . .C. D. . . 108 2 4 36  Baøi 02 MAËT TRUÏ – HÌNH TRUÏ – KHOÁI TRUÏ I. MẶT TRỤ TRÒN XOAY Cho hai đường thẳng l và D sao cho l song song với D và d [l ,D]= R . Khi ta quay l D l l l l R
6. quanh trục D một góc 3600 thì l tạo thành một mặt trụ tròn xoay (T ) (hoặc đơn giản hơn là mặt trụ). ● Dgọi là trục của mặt trụ (T . ) ● lgọi là đường sinh của mặt trụ (T .) ● Rgọi là bán kính của mặt trụ (T . ) II. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY 1. Định nghĩa hình trụ Cắt mặt trụ (T ) trục D , bán kính R bởi hai mặt phẳng (P) và (P ') cùng vuông góc với D , ta được giao tuyến là hai đường tròn (C ) và (C ') . ●Phần của mặt trụ (T ) nằm giữa (P) và (P ' )cùng với hai hình tròn xác định bởi (C )và (C ') gọi là hình trụ. ● Hai đường tròn (C ) và (C ') gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ . ● OO ' gọi là trục của hình trụ. O' (C ') ● Độ dài OO ' gọi là chiều cao của hình trụ. (P ') M' ● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ. ● Với mỗi điểm M Î (C ) , có một điểm M ' Î (C ') sao cho MM ' POO ' . Các đoạn thẳng như MM ' gọi là đường sinh của (T ) hình trụ. 2. Nhận xét (P) O (C ) Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ.M Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau. Thiết diện vuông góc vơi trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy. Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M ' lên một mặt phẳng (a) và M ' di động trên môt đường tròn (C ) cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định (T ) chứa (C ) và có trục vuông góc (a) . 3. Khối trụ Định nghĩa. Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ. III. DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỤ Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là: Sxq = 2pRh. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy của nó. Thể tích của khối trụ có bán kính R và chiều cao h là: V = pR2h. CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Câu 31. Xét các mệnh đề (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng D cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ. (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ. Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I).B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II).D. Không có mệnh đề đúng. Câu 32. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng .a Thể tích khối trụ bằng: – Website chuyên tài liệu đề thi file word
7. pa3 pa3 pa3 A. Bp.a C3 D. . . . 2 3 4 Câu 33. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là: A. 2( 3 + 1)pR2 và 2 3pR2 .B. và 2 3pR2 2 .( 3 + 1)pR2 C. 2 3pR2 và 2pR2 .D. và 2 3p .R2 2 3pR2 + R2 Câu 34. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằn 2R . Diện tích toàn phần của khối trụ bằng: A. B4.p CR.2 D. . 6pR2 . 8pR2 . 2pR2 . Câu 35. Một hình trụ có bán kính đáy R = 70cm , chiều cao hình trụ h = 20cm . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu? A. B8.0 Ccm. D. . 100cm. 100 2cm. 140cm. Câu 36. Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm , chiều cao bằng 6cm . Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng: A. B10. cCm. D. . 6cm. 5cm. 8cm. Câu 37. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30 . 0 Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng: R 3 R 3 A. BR C. D. R 3. . . 2 4 Câu 38. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O ' , bán kính bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O ' lấy điểm B sao cho AB = 2a . Thể tích của khối tứ diện OO ' AB bằng: 3a3 3a3 3a3 3a3 A. B. C. D. . . . . 12 6 4 2 Câu 39. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O ') , thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O ') . Biết a 3 AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO ' bằng . Bán kính đáy bằng: 2 a 14 a 14 a 14 a 14 A. B. C. D. . . . . 4 2 3 9 Câu 40. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng: A 2p B. .C D 3p 4p 8p Câu 41. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng: a3 a3 A B. .C D pa3 2pa3 p 2p Câu 42. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng: a a a A B. .C D 2pa p 2 2p Câu 43. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm´ 240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):
8. ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là thể tích của thùng gò được theo V cách 2. Khi đó tỉ số 1 bằng: V2 1 A. . B. . C. . D 1 2 4 2 Câu 44. Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy Rvà đường cao h bằng: A.h = R . B. . hC=.2R . D h = 3R h = 2R Câu 45. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O ') , chiều cao 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng (a) đi qua trung điểm của OO 'và tọa với OO 'một góc 30 .° Hỏi (a )cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? 2R 4R 2R 2 2R A B. . C. . D. . 3 3 3 3 3  Baøi 03 MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN I. ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN D d Cho đường thẳng D . Xét một đường thẳng d cắt D tại d d p O tạo thành một góc a với 0 < a < . Mặt tròn xoay sinh 2 bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh D gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón). O ● Dgọi là trục của mặt nón. a ● dgọi là đường sinh của mặt nón. ● Ogọi là đỉnh của mặt nón. ● Góc 2a gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. II. HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN 1. Hình nón Cho mặt nón N với trục D , đỉnh O , góc ở đỉnh 2a . Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với tạiD điểm O I khác O . Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo một (P ') đường tròn (C ) có tâm I . Lại gọi (P ') là mặt phẳng vuông góc với Dtại .O ● Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (P ') cùng với hình tròn xác định bởi (C ) được gọi là hình nón. I ● Ogọi là đỉnh của hình nón. (P) M ● Đường tròn (C ) gọi là đường tròn đáy của hình nón. – Website chuyên tài liệu đề thi file word
9. ● Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn (C ) , đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của hình nón. ● Đoạn thẳng OI gọi là trục của hình nón, độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.) 2. Khối nón Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó. Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón. III. KHÁI NIỆM VỀ DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu: ● Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón. ● Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. 1. Định nghĩa Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn. Thể tích của khối nón là giới hạn của thể tích của khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn. 2. Định lí 1 Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l là Sxq = pRl . 3. Định lí 2 Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là 1 V = pR2h. 3 CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Câu 46. Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với đáy góc a = 600 . Diện tích toàn phần của hình nón bằng: A. B4.p a2 . C. D3. pa2 . 2pa2 . pa2 . Câu 47. Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a 2 , góc ở đỉnh bằng 600 . Diện tích xung quanh của hình nón bằng: A. B4.p a2 . C. D3. pa2 . 2pa2 . pa2 . Câu 48. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và AC = a 3 . Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng: A. Bl .= a. C. l = a D2. . l = a 3. l = 2a. Câu 49. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là: 2 (1+ 2)pa 2pa3 2pa2 2pa3 A. và . B. và . 2 12 2 4 2 (1+ 2)pa 2pa3 2pa2 2pa3 C. và . D. và . 2 4 2 12 Câu 50. Cạnh bên của một hình nón bằng 2a . Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120° . Diện tích toàn phần của hình nón là: A.p2 (3+ 3) . B. 2pa2 (3+ .C3. ) .D 6pa2 pa2 (3+ 2 3) Câu 51. Cho mặt cầu tâm O , bán kính R = a . Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại 3a H sao cho SH = . Độ dài đường sinh l của hình nón bằng: 2 A. Bl .= a. C. l = a D2. . l = a 3. l = 2a. Câu 52. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O , bán kính R . Dựng hai đường sinh SA và SB , biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 600 , khoảng cách từ tâm R O đến mặt phẳng (SAB) bằng . 2
10. Đường cao h của hình nón bằng: R 6 R 3 A. Bh.= . C. h = D. . h = a 3. h = a 2. 4 2 Câu 53. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O . Dựng hai đường sinh SA và SB , biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2 . Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 300 . Đường cao h của hình nón bằng: a 6 a 3 A. Bh.= . C. h = D. . h = a 3. h = a 2. 4 2 Câu 54. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón · · sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB = 600 . Độ dài đường sinh l của hình nón bằng: A. Bl .= a. C. l = a D2. . l = a 3. l = 2a. Câu 55. Một hình nón có bán kính đáy R , góc ở đỉnh là 60° . Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90° . Diện tích của thiết diện là: R2 7 R2 3 3R2 R2 6 A B. .C. .D. . 2 2 2 2 Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ tâm O của a đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là . Thể tích của khối nón ngoại tiếp 2 hình chóp S.ABC bằng: 4pa3 4pa3 4pa3 2pa3 A. B. . C. D. . . . 3 9 27 3 Câu 57. Cho hình nón có đỉnh S , đường cao SO = h , đường sinh SA . Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S , đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng: h 2 a 2 a 2 h 2 A.B. . C. D. . . . 2a 2h h a Câu 58. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O ') , chiều cao R 3 và bán kính đáy R . Một hình nón có đỉnh là O ' và đáy là hình tròn (O;R) . Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng: A. 2 .B. .C. .D. 2 . 3 3 Câu 59. Một hình nón có đường cao bằng 9cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5cm . Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là: 27 81 27 81 A B. .C D. . 500 500 125 125 Câu 60. Cho hình nón có bán kính đáy là 5a , độ dài đường sinh là 13a . Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng: 4000pa3 4000pa3 40pa3 400pa3 A. .B. .C. .D. . 81 27 9 27 – Website chuyên tài liệu đề thi file word