Giáo án Hàm số và đồ thị

Nội dung text: Giáo án Hàm số và đồ thị

1. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
2. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
3. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
4. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định hàm số. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số * Phương pháp giải Hàm số y = ax + b Đồng biến trên ¡ khi a > 0 . Nghịch biến trên ¡ khi a 0 + Hàm số đồng biến khi x > 0 + Hàm số nghịch biến khi x 0 2 A(x0;y0 ) thuộc đồ thị khi y0 = ax0 Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = (a + 1)x2 . Tìm a để hàm số nghịch biến khi x 0 . (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Hàm số nghịch biến khi x 0 Û a + 1> 0 Û a > - 1 . Vậy a > - 1 . Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : y = (m- 1)x + n . Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng d đi qua điểm A(1;- 1) và có hệ số góc bằng - 3 .
5. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (Đề thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Đường thẳng d có hệ số góc bằng - 3 nên m- 1= - 3 Û m = - 2 . Đường thẳng d đi qua điểm A(1;- 1) nên - 1= - 3.1+ n Û n = 2 Vậy m = - 2,n = 2 . Ví dụ 3: Cho hàm số cóy = đồax thị+ b là . Tìm a,( bD biết) rằng đi qua (haiD) điểm A(5;1) và B(- 1;- 1) . Giải chi tiết Theo giả thiết (D) đi qua hai điểm A(5;1) và B(- 1;- 1) nên ta có: ïì 1 ï a = ïì 1= 5a + b ïì 6a = 2 ï 3 íï Û íï Û íï ï - 1= - a + b ï b = a- 1 ï 2 îï îï ï b = - îï 3 1 2 Thay vào phương trình của hàm số ta được: y = x - . 3 3 1 2 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = x - . 3 3 Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m2 - m + 2017)x + 2018 đồng biến trên ¡ . (Đề thi vào 10 tỉnh Gia Lai năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Hàm số đồng biến trên ¡ Û a > 0 Û m2 - m + 2017 > 0 , với mọi m. æ 1ö2 8067 Û çm- ÷ + > 0 , với mọi m (luôn đúng). èç 2ø÷ 4 Vậy với mọi giá trị của m thì hàm số luôn đồng biến trên ¡ . Ví dụ 5. Xác định m để đường thẳng y = (2- m)x + 3m- m2 tạo với trục hoành một góc a = 60° . (Đề thi vào 10 tỉnh Cần Thơ năm học 2011 - 2012) Giải chi tiết Đường thẳng y = (2- m)x + 3m- m2 tạo với trục hoành một góc a = 60° Û 2- m = tan60° Û m = 2- tan60° = 2- 3 Vậy m = 2- 3 .
6. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Ví dụ 6: Cho đường thẳng (d): y = 2x + m- 1 . a) Khi m = 3 , tìm a để điểm A(a;- 4) thuộc đường thẳng (d) . b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 1. (Đề thi vào 10 tỉnh Hưng Yên năm học 2012 - 2013) Giải chi tiết a) Khi m = 3 để điểm A(a;- 4) thuộc đường thẳng (d) thì - 4 = 2.a + 3- 1 Û a = - 3 . Vậy a = - 3 æ1- m ö b) Đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N thì Mç ;0÷ và èç 2 ø÷ æ ö 1 1 ç1- m÷ N(0;m- 1) nên SMNO = MO.NO = (m- 1).ç ÷ 2 2 èç 2 ø÷ 1 æ1- mö 2 ém = 3 S = 1 Û m- 1 .ç ÷= 1 Û m- 1 = 4 Û ê Mà MNO ( ) ç ÷ ( ) 2 è 2 ø ëêm = - 1 Vậy m = 3,m = - 1 . Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số Phương pháp giải Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất: + Đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm M(1;a) . æ b ö + Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng qua A(0;b) và qua Bç- ;0÷ . èç a ø÷ æ b ö Chú ý: Có thể thay điểm Bç- ;0÷ với một điểm C khác bằng cách cho x bởi một giá trị èç a ø÷ nguyên nào đó rồi xác định y. Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ¹ 0) + Lập bảng giá trị. + Vẽ đồ thị . Bài tập mẫu Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x2 . Vẽ đồ thị parabol (P) . (Đề thi vào 10 tỉnh Vĩnh Long năm học 2017 - 2018)
7. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Giải chi tiết Bảng giá trị giữa x và y: x -2 -1 0 1 2 y 8 2 0 2 8 Đồ thị hàm số đã cho có dạng như hình vẽ. Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị hàm số trên với trục tung và trục hoành. Tính diện tích tam giác OAB. (Đề thi vào 10 tỉnh Hòa Bình năm học 2012 - 2013) Giải chi tiết a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 æ- 2 ö Đồ thị đi qua A(0;2) và Bç ;0÷ èç 3 ø÷ 1 1 - 2 2 b) Ta có S = OA.OB = 2. = OAB 2 2 3 3 2 Vậy S = . OAB 3 Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 4x + 9 . a) Vẽ đồ thị .(P) b) Viết phương trình đường thẳng (d1) biết (d1) song song với đường thẳng (d )và tiếp xúc (P). (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2017 - 2018) Giải chi tiết a) Vẽ đồ thị (P): y = x2 x -2 -1 0 1 2
8. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ y 4 1 0 1 4 Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ. b) Gọi phương trình đường thẳng (d1) có dạng: y = ax + b . ïì a = 4 Vì (d1) song song với (d) nên ta có: í Þ (d1): y = 4x + b îï b ¹ 9 Phương trình hoành độ giao điểm của (vàP) ( là:d1) x2 = 4x + b Û x2 - 4x - b = 0 (*) Vì (d1) tiếp xúc với (nênP) (*) có nghiệm kép Û D¢= 0 Û 4 + b = 0 Û b = -(thoản4 mãn). Vậy phương trình đường thẳng (d1) là: y = 4x - 4 . Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi tham số Phương pháp giải - Bước 1: Giả sử M(x0;y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = ax + b luôn đi qua. - Bước 2: Đặt điều kiện y0 = ax0 + b(*) đúng với mọi m. ïì A = 0 - Bước 3: Biến đổi (*) về dạng Am + B = 0 " m Û íï îï B = 0 - Bước 4: Kết luận. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho đường thẳng: (m- 1)x + (m- 2)y = 1 (với m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Giải chi tiết Giả sử M(x0;y0 ) là điểm cố định thuộc đường thẳng đã cho. Ta có: (m- 1)x0 + (m- 2)y0 = 1 với mọi m Û m(x0 + y0 )- (x0 + 2y0 + 1)= 0 với mọi m ïì x + y = 0 ïì y = - 1 Û íï 0 0 Û íï 0 ï ï îï x0 + 2y0 + 1= 0 îï x0 = 1 Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm M(1;- 1) với mọi m. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: 1 5 (d ): y = - mx + m + 1,(d ): y = x - 1- (với m là tham số khác 0). 1 2 m m
9. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d1) luôn đi qua. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng luôn thuộc một đường cố định. (Thi thử THPT Thăng Long – Hà Nội 2018 - 2019) Giải chi tiết Giả sử M(xM ;yM ) là điểm cố định mà đường thẳng (d1) luôn đi qua. Ta có: yM = - mxM + m + 1 với mọi m Û m(1- xM )+ (1- yM )= 0 với mọi m ïì 1- x = 0 ïì x = 1 Û íï M Û íï M ï ï îï 1- yM = 0 îï yM = 1 Vậy đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm M(1;1) cố định. Giả sử N(x0;y0 ) là giao điểm của (d1) và (d2 ) . Khi đó: ì = - + + ïì - 1= 1- (1) ï y0 mx0 m 1 ï y0 m( x0 ) ï ï í Û íï ï 1 5 ï 1 ï y0 = x0 - 1- ï y + 1= (x - 5) (2) îï m m îï 0 m 0 Nhân theo vế của (1) và (2) ta được: 2 2 2 2 (y0 + 1)(y0 - 1)= (1- x0 )(x0 - 5)Û y0 - 1= - x0 + 6x0 - 5 Û (x0 - 3) + y0 = 5 2 2 Giả sử I(3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta có IN = (x0 - 3) + y0 = 5 không đổi. Vậy N thuộc đường tròn tâm I bán kính 5 . Dạng 4. Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải * Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. - Bước 2: Chứng minh đường thẳng còn lại thuộc đường thẳng đó. - Bước 3: Kết luận. * Chứng minh ba đường thẳng đồng quy - Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm M của (d1) và (d2 ) . - Bước 2: Chứng minh M thuộc (d3) . - Bước 3: Kết luận. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng có phương trình:
10. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (d1): y = x + 2; (d2 ): y = - 2; (d3 ): y = (k + 1)x + k . Tìm k để các đường thẳng trên đồng quy. (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 – 2019) Giải chi tiết ïì y = x + 2 ïì x = - 4 Tọa độ giao điểm của (d1) , (d2 ) là nghiệm của hệ: í Û í îï y = - 2 îï y = - 2 Do đó các đường thẳng trên đồng quy Û (d3) đi qua điểm (- 4;- 2) 2 Û - 2 = - 4(k + 1)+ k Û 3k = - 2 Û k = - 3 2 Vậy k = - thì các đường thẳng đã cho đồng quy. 3 Ví dụ 2: Trong cùng một hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(2;4), B(- 3;- 1),C(- 2;1) . Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. (Đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012) Giải chi tiết Giả sử đường thẳng đi qua A(2;4) và B(- 3;- 1) có phương trình là y = ax + b . ïì 2a + b = 4 ïì a = 1 Khi đó: íï Û íï îï - 3a + b = - 1 îï b = 2 Suy ra phương trình đường thẳng đi qua A và B là y = x + 2(d) . Mà C(- 2;1) không thuộc đường thẳng (d) vì 1¹ - 2 + 2 hay ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Chú ý: Ngoài ra, ta có thể chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng bằng cách chứng minh AB khác BC + AC hoặc BC khác AB + AC hoặc AC khác AB + BC . 2 2 Khoảng cách giữa hai điểm A và B là AB = (- 3- 2) + (- 1- 4) = 5 2 . é ù2 é ù2 2 2 Khoảng cách giữa hai điểm B và C là BC = ë- 2- (- 3)û + ë1- (- 1)û = 1 + 2 = 5 . 2 2 2 2 Khoảng cách giữa hai điểm A và C là AC = (- 2- 2) + (1- 4) = (- 4) + (- 3) = 5 Ta có: BC + AC = 5 + 5> 5 2 = AB . Tương tự, ta có BC khác AB + AC và AC khác AB + BC . Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
11. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Tương tự, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh AB = BC + AC (chứng minh tổng hai đoạn bằng độ dài một đoạn còn lại). Ví dụ 3: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1): mx + y = 1 và (d2 ): x - my = m + 6 cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng (d): x + 2y = 8 . (Đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ninh năm học 2016 - 2017) * Phân tích đề bài Tìm tọa độ giao điểm M của (d1),(d2 ) . Vì M thuộc đường thẳng (d )nên tọa độ M thỏa mãn phương trình của (d) . * Giải chi tiết m 1 Để hai đường thẳng (d ),(d ) cắt nhau thì ¹ Û m2 ¹ - 1 luôn thỏa mãn với mọi m. 1 2 1 - m Tọa độ giao điểm M của (d1),(d2 ) là nghiệm của hệ phương trình: ïì 2m + 6 ï = ì ï x 2 ïì mx + y = 1 ïì y = 1- mx ï y = 1- mx ï 1+ m íï Û íï Û í Û íï ï x - my = m + 6 ï x - m(1- mx)= m + 6 ï (1+ m2 )x = 2m + 6 ï - m2 - 6m + 1 îï îï îï ï y = îï m2 + 1 Vì M thuộc đường thẳng (d) nên: 2m + 6 - m2 - 6m + 1 + 2. = 8 Û 2m + 6- 2m2 - 12m + 2 = 8m2 + 8 1+ m2 m2 + 1 ém = 0 Û 10m2 + 10m = 0 Û 10m(m + 1)= 0 Û ê ëêm = - 1 Vậy với m = 0 hoặc m = - 1 thì hai đường thẳng (d1) và (d2 ) cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng (d) . Dạng 5: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng Phương pháp giải Cho đường thẳng (d): y = ax + b(a,b ¹ 0) , ta có: æ b ö b + d ÇOx = Aç- ;0÷Þ OA = - èç a ø÷ a + d ÇOy = B(0;b)Þ OB = b
12. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ + Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng d. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông là: 1 1 1 = + OH2 OA2 OB2 Bài tập mẫu 1 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x2 và hai điểm 2 A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = - 1;xB = 2 . a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B. c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) . (Đề thi vào 10 tỉnh Phú Thọ năm học 2017 - 2018) Giải chi tiết 1 1 2 1 1 1 a) Vì A, B thuộc (P) nên: y = x2 = (- 1) = ;y = x2 = .22 = 2 A 2 A 2 2 B 2 B 2 æ 1ö Vậy Aç- 1; ÷, B(2;2) . èç 2÷ø b) Gọi phương trình đường thẳng (d) là: y = ax + b . Ta có hệ phương trình: ïì 1 ïì 3 ïì 1 ï - a + b = ï 3a = ï a = í 2 Û í 2 Û í 2 ï ï ï îï 2a + b = 2 îï 2a + b = 2 îï b = 1 1 Vậy (d): y = x + 1 2 c) (d) cắt Oy tại điểm C(0;1) và cắt trục Ox tại điểm D(- 2;0) . Ta có: OC = 1 và OD = 2 . Gọi h là khoảng cách từ O tới d. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông OCD 1 1 1 1 1 5 2 5 Ta có: = + = + = Þ h = h2 OC2 OD2 12 22 4 5 Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d): y = (m- 1)x + 3 (với m là tham số). Tìm m để: a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng 2 . b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
13. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Giải chi tiết a) Cho x = 0 thì y = 3 . Suy ra (d) cắt trục Oy tại điểm B(0;3) 3 æ 3 ö Cho y = 0 thì x = (m ¹ 1) . Suy ra (d) cắt trục Ox tại điểm Aç ;0÷ 1- m èç1- m ø÷ 3 Ta có: OA = ,OB = 3 . Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) . 1- m 2 1 1 1 (1- m) 1 m2 - 2m + 2 Þ = + = + = h2 OA2 OB2 9 9 9 9 2 ± 14 Theo giả thiết, h = 2 Û h2 = 2 Û = 2 Û 2m2 - 4m- 5 = 0 Û m = m2 - 2m + 2 2 b) Ta thấy, khoảng cách từ O đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất Û m2 - 2m + 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 Ta có: m2 - 2m + 2 = (m- 1) + 1³ 1," m . Đẳng thức xảy ra Û m = 1 Vậy hmax = 3 Û m = 1 Nhận xét: Dễ thấy điểm B(0;3) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Gọi H là hình chiếu của O lên (d) . Ta có: OH £ OB . Đẳng thức xảy ra Û H º B Û d ^ Oy tại .B Û m = 1 Do vậy OH lớn nhất bằng 3 khi và chỉ khi m = 1 . Dạng 6: Sự tương giao giữa hai đồ thị BÀI TOÁN 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d¢): y = a¢x + b¢ ïì a = a¢ ïì a = a¢ + d / /d¢Û íï + d º d¢Û íï îï b ¹ b¢ îï b = b¢ + d ^ d¢Û a.a¢= - 1 + d cắt d¢Û a ¹ a¢ Bài tập mẫu
14. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d¢): y = (m2 - 2)x + 3 . Tìm m để (d) và (d¢) song song với nhau. (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương năm học 2017 - 2018) Giải chi tiết ïì - 1= m2 - 2 ïì m2 = 1 ïì m = ± 1 Điều kiện để hai đồ thị song song là íï Û íï Û íï Û m = - 1 îï m + 2 ¹ 3 îï m ¹ 1 îï m ¹ 1 Vậy m = - 1 thì hai đường thẳng đã cho song song. Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d1 : y = - x + 2 cắt đường thẳng d2 : y = 2x + 3- k tại một điểm nằm trên trục hoành. (Đề thi vào 10 tỉnh Thái Nguyên năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết Ta thấy hai đường thẳng d1;d2 luôn cắt nhau: + Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(2;0) æ ö çk - 3 ÷ + Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm Bç ;0÷ èç 2 ø÷ k - 3 + Để hai đường thẳng d ;d cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì = 2 Û k = 7 . 1 2 2 Vậy k = 7 . Ví dụ 3: Cho hai hàm số y = (3m + 2)x + 5 với m ¹ - 1 và y = - x - 1 có đồ thị cắt nhau tại điểm A(x;y) . Tìm các giá trị của m để biểu thức P = y2 + 2x - 3 đạt giá trị nhỏ nhất. (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết æ- 2 2 ö Với m ¹ - 1 hai đồ thị cắt nhau tại điểm Aç ; - 1÷ èçm + 1 m + 1 ø÷ 2 2 æ 2 ö æ- 2 ö Ta có: P = y + 2x - 3 = ç - 1÷ + 2ç ÷- 3 èçm + 1 ÷ø èçm + 1÷ø 2 2 2 Đặt t = ta được P = (t - 1) - 2t - 3 = t2 - 4t - 2 = (t - 2) - 6 ³ - 6 m + 1 2 Đẳng thức xảy ra Û t = 2 Þ = 2 Û m = 0 m + 1 Vậy m = 0 thì biểu thức P = y2 + 2x - 3 đạt giá trị nhỏ nhất.
15. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1 Ví dụ 4: Cho hai hàm số y = 2x - 1 và y = - x + 4 2 a) Tìm tọa độ giao điểm M của hai đồ thị hàm số trên. b) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của hai đồ thị trên với trục tung. Tính diện tích tam giác MNP. (Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2018) Giải chi tiết a) Tọa độ giao điểm M của hai đồ thị hàm số trên là nghiệm của hệ phương trình: ïì y = 2x - 1 ïì 2x - y = 1 ï ï ïì x = 2 í 1 Û í 1 Û í Þ M(2;3) ï y = - x + 4 ï x + y = 4 îï y = 3 îï 2 îï 2 b) N = d ÇOy Þ N(0;- 1);P = d¢ÇOy Þ P(0;4) Gọi H là hình chiếu của M trên Oy. Ta có MH = xM = 2 1 1 Diện tích tam giác S = MH.NP = .2.5 = 5 (đvdt). MNP 2 2 BÀI TOÁN 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Phương pháp giải - Tìm giao điểm của đường thẳng y = ax + b(a ¹ 0) và Parabol y = Ax2 (A ¹ 0) + Phương trình hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b(*) + Hoành độ giao điểm là nghiệm của (*) . - Số giao điểm bằng số nghiệm của (*) + d cắt (P)Û (*) có hai nghiệm phân biệt. + d tiếp xúc (P)Û (*) có nghiệm kép. + d không cắt (P)Û (*) vô nghiệm. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = - 6x + 9 . (THCS Thái Thịnh năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
16. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ - x2 = - 6x + 9 Û x2 - 6x + 9 = 0 Û x = 3 Thay x = 3 vào phương trình đường thẳng (d) ta được y = - 9 . Vậy giao điểm của hai đồ thị là M(3;- 9) Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số y = x2 và y = x + 2 . Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết éx = - 1 Xét phương trình: x2 = x + 2 Û x2 - x - 2 = 0 Û ê ëêx = 2 Thay x = - 1 và x = 2 vào phương trình y = x + 2 ta lần lượt được y = 1 và y = 4 . Vậy A(- 1;1), B(2;4) . Suy ra D(- 1;0),C(2;0) . Tứ giác ABCD là hình thang vuông nên có diện tích là: (AD+ BC).DC (1+ 4).3 15 S = = = ABCD 2 2 2 Ví dụ 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + 6 và parabol (P): y = x2 . a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) . b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB. (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2014 - 2015) Giải chi tiết a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 + x - 6 = 0 D = 25> 0 suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 2, x = - 3 Với x = 2 thì y = 4 , suy ra A(2;4) . Với x = - 3 thì y = 9 , suy ra B(- 3;9) . Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(2;4) và B(- 3;9) . b) Gọi A¢, B¢ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành. Ta có: SDOAB = SAA¢B¢B - SDOAA¢- SDOBB¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A B = xB¢- xA¢ = xA¢- xB¢ = 5, AA = yA = 4, BB = yB = 9
17. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ AA¢+ BB¢ 9+ 4 65 Ta có: S = .A¢B¢= .5 = (đvdt) AA¢B¢B 2 2 2 1 1 S = AA¢.OA¢= .4.2 = 4 (đvdt) DOAA¢ 2 2 1 1 27 S = BB¢.OB¢= .9.3 = (đvdt) DOBB¢ 2 2 2 65 27 Vậy diện tích tam giác OAB là: S = S - S - S = - 4- = 15 (đvdt). DOAB AA¢B¢B DOAA¢ DOBB¢ 2 2 Nhận xét: 1 Nếu tính diện tích tam giác OAB, bằng cách trực tiếp S = OB.AH , trong đó AH là đường OAB 2 cao kẻ từ đỉnh A. Dễ thấy có thể tính được độ dài đoạn OB, nhưng gặp khó khăn trong việc tính đường cao AH. Do vậy, ta nghĩ đến việc tính diện tích tam giác OAB bằng cách gián tiếp như trên. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (vàP) đường: y = x2 thẳng (d): y = 2(m- 1)x - m2 + 3m . a) Với m = 3 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) . b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng 7 của hình chữ nhật có diện tích bằng . 4 (Thi thử THPT Sơn Tây – Hà Nội năm học 2018 - 2019) Phân tích đề bài a) Giải phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) trong trường hợp m = 3 , từ đó tìm được tọa độ giao điểm của (d) và (P) . b) Ở câu này ta phải trả lời được hai câu hỏi: + Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. + Hoành độ giao điểm lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng 7 . 4
18. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 . Theo giả thiết x1, x2 là 7 chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng nên x , x là các số dương và 4 1 2 7 x .x = . 1 2 4 Giải chi tiết Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : x2 = 2(m- 1)x - m2 + 3m Û x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 (1) éx = 0 a) Với m = 3 thì phương trình (1) trở thành: x2 - 4x = 0 Û ê ëêx = 4 Thay x = 0, x = 4 lần lượt vào phương trình của parabol (taP )được: y = x2 y .= 0, y = 16 Vậy với m = 3 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(0;0), B(4;16) . b) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của 7 hình chữ nhật có diện tích bằng thì phương trình (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt 4 7 x , x và thỏa mãn x .x = . 1 2 1 2 4 Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ì 2 2 ì ¢ ï (m- 1) - (m - 3m)> 0 ïì ï D > 0 ï ï m + 1> 0 ï ï ï ïì m > 1 Û í x1 + x2 > 0 Û í 2(m- 1)> 0 Û í m > 1 Û í Û m > 3(*) ï ï ï îï m > 3 ï > ï 2 ï îï x1x2 0 ï m - 3m > 0 ï m(m- 3)> 0 îï î é 7 êm = (tháa m·n (*)) 7 2 7 2 ê 2 Ta có: x .x = Û m - 3m = Û 4m - 12m- 7 = 0 Û ê 1 2 4 4 ê 1 êm = - (kh«ng tháa m·n (*)) ëê 2 7 Vậy m = là giá trị cần tìm. 2 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P): y = x2 . a) Chứng minh (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
19. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên. (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2018 - 2019) Phân tích đề bài a) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) . Vì x1, x2 nguyên nên x1 + x2 và x1x2 cũng là các số nguyên. Giải chi tiết a) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x2 = (m + 2)x + 3 Û x2 - (m + 2)x - 3 = 0 (1) Ta có: a = 1¹ 0 2 2 2 Xét D = (m + 2) + 4.3 = (m + 2) + 12 > 0," m Î ¡ (vì (m + 2) ³ 0," m Î ¡ ). Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. ïì x + x = m + 2 b) Gọi x , x là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét: íï 1 2 1 2 ï îï x1x2 = - 3 ïì x = - 1 ïì x = 3 ïì x = - 3 ïì x = 1 Để x , x Î ¢ mà x x = - 3 nên íï 1 hoặc íï 1 hoặc íï 1 hoặc íï 1 1 2 1 2 ï ï ï ï îï x2 = 3 îï x2 = - 1 îï x2 = 1 îï x2 = - 3 éx + x = 2 ém + 2 = 2 ém = 0 ê 1 2 Û ê Û ê Suy ra ê ê ê ëx1 + x2 = - 2 ëm + 2 = - 2 ëm = - 4 Vậy với m = 0 hoặc m = - 4 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên. Ví dụ 6: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = - 2mx - 4m (m là tham số). a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. b) Giả sử x1, x2 là hoành độ của A, B. Tìm m để x1 + x2 = 3 . Giải chi tiết a) Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm:
20. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ x2 + 2mx + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt ém > 4 Û D¢> 0 Û m2 - 4m > 0 Û m(m- 4)> 0 Û ê ëêm 4 thì x1x2 = 4m > 0 , do đó: 3 x + x = 3 Û x + x = 3 Û - 2m = 3 Û 2m = 3 Û m = (loại vì m > 4 ) 1 2 1 2 2 + Xét m 4 thì (*) trở thành: 3 4m2 - 8m + 8m- 9 = 0 Û 4m2 - 9 = 0 Û m = ± (loại vì m > 4 ) 2 + Nếu m < 0 thì (*) trở thành: é 9 êm = (lo¹i v× m < 0) 2 2 ê 2 4m - 8m- 8m- 9 = 0 Û 4m - 16m- 9 = 0 Û ê ê 1 êm = - (tháa m·n) ëê 2 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Xác định các hệ số a, b để đồ thị của hàm số y = ax + bđi qua hai điểm A(2;- 2và) B(- 3;2). (Đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ninh năm học 2018 - 2019)
21. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu 2: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = - x + 2 . a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính. (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Phước năm học 2018 - 2019) Câu 3: Cho parabol (P): y = ax2 . Tìm a biết rằng parabol (P) đi qua điểm A(3;- 3) . Vẽ (P) với a vừa tìm được. Câu 4: Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = 2 3x + m + 1 (m là tham số). a) Vẽ đồ thị (P) . b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (cắtd) ( tạiP) hai điểm phân biệt. (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019) Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số k để đường thẳng d1 : y = - x + 3 cắt đường thẳng d2 : y = x + 2- k tại một điểm nằm trên trục hoành. Câu 6: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất y = (m- 2)x + 3 đồng biến trên ¡ . (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2011 - 2012) Câu 7: Cho hai đường thẳng (d1): y = 2x + 5, (d2 ): y = - 4x + 1 cắt nhau tại I. Tìm m để đường thẳng (d3): y = (m + 1)x + 2m- 1 đi qua điểm I. (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương năm học 2011 - 2012) 1- m Câu 8: Cho đường thẳng (d ): y = x + (1- m)(m + 2) (m là tham số). m m + 2 1 a) Tìm m để đường thẳng (d ) vuông góc với đường thẳng (d): y = x - 3 . m 4 b) Với giá trị nào của m thì (dm ) là hàm số đồng biến? (Đề thi vào 10 tỉnh Kiên Giang năm học 2011 - 2012) Câu 9: Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số. a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1;4) . Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên ¡ ? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0 . (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Bình năm học 2011 - 2012)
22. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu 10: Cho hàm số bậc nhất y = ax - 2 (1). Hãy xác định hệ số a, biết rằng a > 0và đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 2OA (với O là gốc tọa độ). (Đề thi vào 10 thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014) 1 Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng 2 1 3 (d): y = x + . 4 2 a) Vẽ đồ thị của (P) . b) Gọi A(x1;y1) và B(x2 ;y2 ) lần lượt là các giao điểm của (d )và (P .) Tính giá trị biểu thức x + x T = 1 2 . y1 + y2 (Đề thi vào 10 tỉnh Cần Thơ năm học 2017 - 2018) 1 Câu 12: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + 4 . 2 a) Vẽ đồ thị của (P) . b) Gọi A, B là các giao điểm của hai đồ thị (d) và (P) . Biết rằng đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm M trên tia Ox sao cho diện tích tam giác MAB bằng 30cm2. (Đề thi vào 10 Đà Nẵng năm học 2016 - 2017) Câu 13: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (2m- 1)x - m + 2 (m là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2 ;y2 ) thỏa mãn x1y1 + x2 y2 = 0 (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Định năm học 2017 - 2018) 1 Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m 2 a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ khi m = 2 . b) Định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. c) Tìm giá trị của m để độ dài đoạn thẳng AB = 6 2 . (Đề thi vào 10 tỉnh Tiền Giang năm học 2018 – 2019)
23. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu 15: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (2m- 1)x - 2m + 2 . a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 0 . b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt C(x1;y1), D(x2 ;y2 ) thỏa mãn 3 x < < x . 1 2 2 (Đề thi vào 10 tỉnh Tiền Giang năm học 2018 - 2019) Gợi ý giải Câu 1: 4 2 Đáp số: a = - ,b = - 5 5 Câu 2: a) HS tự làm. b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: éx = - 2 Þ y = 4 x2 = - x + 2 Û x2 + x - 2 = 0 Û (x + 2)(x - 1)= 0 Û ê ëêx = 1Þ y = 1 Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là (- 2;4),(1;1) . Câu 3: 1 (P) đi qua điểm A(3;- 3) nên ta có - 3 = 32.a Û a = - 3 1 Vậy P = - x2 3 Câu 4: a) HS tự vẽ hình. b) Đáp số: m < 2 Câu 5: Ta thấy hai đường thẳng d1;d2 luôn cắt nhau: + Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(3;0) . + Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm B(k- 2;0) . + Để hai đường thẳng d1;d2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì k - 2 = 3 Û k = 5 . Vậy k = 5 .
24. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu 6: Để hàm số bậc nhất y = (m- 2)x + 3 đồng biến trên ¡ thì m- 2 > 0 Û m > 2 . Câu 7: ïì - 2 ï x = ïì y = 2x + 5 ï 3 Tọa độ I là nghiệm của hệ íï Û íï ï y = - 4x + 1 ï 11 îï ï y = îï 3 11 - 2 Do (d ) đi qua điểm I nên = (m + 1)+ 2m- 1 Û m = 4 3 3 3 Câu 8: a) Để đường thẳng (dm ) vuông góc với đường thẳng (d) thì 1- m 1 ïì 4m + 8+ 1- m = 0 . = - 1 Û íï Û m = - 3 m + 2 4 îï m ¹ 2 1- m 1- m b) Để hàm số y = x + (1- m)(m + 2) đồng biến thì > 0 Û - 2 < m < 1 m + 2 m + 2 Câu 9: a) Ta có y = mx + 1 đi qua A(1;4) khi và chỉ khi 4 = m + 1 Û m = 3 . Khi đó đường thẳng y = 3x + 1 đồng biến trên ¡ . b) Ta có x + y + 3 = 0 Û y = - x - 3 , đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) khi ïì m = - 1 íï îï 1¹ - 3 Vậy m = - 1 Câu 10: æ2 ö 4 2 Ta có Aç ;0÷;B(0;- 2) , để OB = 2OA Û 4 = 4. Û a = 4 Þ a = 2 èça ø÷ a2 Câu 11: a) HS tự vẽ. éx = 2 1 2 1 3 ê b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x - x - = 0 Û ê 3 2 4 2 êx = - ëê 2
25. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ æ 3ö 2 + ç- ÷ æ 3 9ö x + x èç 2ø÷ 4 Giao điểm của (d) và (P) là A(2;2), Bç- ; ÷ . Vậy T = 1 2 = = èç 2 8ø÷ y + y 9 25 1 2 2 + 8 Câu 12: a) HS tự làm. b) Giao điểm của (d) và (P) là A(- 2;2), B(4;8) Gọi M(m;0) thuộc tia Ox(m > 0) . Gọi C(- 2;0), D(4;0) lần lượt là hình chiếu của A và B trên Ox. Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có: SAMB = SABDC - SACM - SBDM . Có ABDC là hình thang, AC = 2cm, BD = 8cm,CD = 6cm 2 Þ SABDC = 30cm 2 Suy ra SAMB 4 Ta có: SAMB = SABDC - SACM + SBDM 2 SABDC = 30cm 1 1 2 SACM = AC.CM = .2.(m + 2)= m + 2(cm ) 2 2 1 1 2 SBDM = BD.DM = .8.(m- 4)= 4(m- 4)(cm ) 2 2 2 Þ SAMB = 30cm Û SACM = SBDM Û m + 2 = 4(m- 4)Û m = 6 Vậy M(6;0) Câu 13: a) Phương trình hoành độ giao điểm: x2 - (2m- 1)x + m- 2 = 0(*) 2 Ta có: D = 4m2 - 8m + 9 = 4(m- 1) + 5³ 5> 0 với mọi m. Vậy parabol luôn cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. ïì x + x = 2m- 1 b) Vì x , x là nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có: íï 1 2 1 2 ï îï x1x2 = m- 2
26. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ïì 2 ï y1 = x1 Mặt khác í ï 2 îï y2 = x2 3 3 2 2 Ta có: x1y1 + x2 y2 = 0 Û x1 + x2 = 0 Û (x1 + x2 )(x1 - x1x2 + x2 )= 0 éx + x = 0 é2m- 1= 0 ê 1 2 ê Û Û 2 ê 2 - + 2 = 0 ê + - 3 = 0 ëx1 x1x2 x2 ëê(x1 x2 ) x1x2 é 1 êm = 1 Û ê 2 Û m = ê 2 2 ëê4m - 7m + 7 = 0 1 Vậy m = . 2 Câu 14: a) HS tự làm. 1 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 = x + m Û x2 - 2x - 2m = 0(1) 2 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 Û D¢> 0 Û 1+ 2m > 0 Û m > - 2 c) Giả sử A(x1;y1), B(x2 ;y2 ) , với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét có: ïì x + x = 2 íï 1 2 ï îï x1x2 = - 2m Ta có: y1 = x1 + m;y2 = x2 + m 2 2 2 Theo giả thiết: AB = 6 2 Û (x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) = 6 2 Û 2(x1 - x2 ) = 6 2 2 2 2 2 Û (x1 - x2 ) = 6 Û x1 - 2x1x2 + x2 = 36 Û (x1 + x2 ) - 4x1x2 = 36 Û 4 + 8m = 36 Û m = 4 (thỏa mãn). Câu 15: a) HS tự làm. b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 = (2m- 1)x - 2m + 2 Û x2 - (2m- 1)x + 2m- 2 = 0 (1) é ù Nhận thấy a + b + c = 1+ ë- (2m- 1)û+ (2m- 2)= 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1;x2 = 2m- 2 .
27. CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 3 Û x ¹ x Û 1¹ 2m- 2 Û m ¹ (*) 1 2 2 3 3 7 Để x Û m > 1 2 2 2 2 4 7 Kết hợp với điều kiện (*) suy ra m > . 4