Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018

1. TT ĐẠT THÀNH 10/19 Xuân Diệu, P4, QTB (016-6767-6789) Đề 1. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 – TP HCM 2017-2018 MÔN: TOÁN CHUYÊN Bài 1. (2 điểm) a. Cho 2 số thực a,b,c sao cho a b c 3 , a2 b2 c2 29 và abc 11 . Tính a5 b5 c5 . b. Cho biểu thức A m n 2 3m n với m,n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu A là một số chính phương thì n3 1 chia hết cho m . Bài 2. (2 điểm) a. Giải phương trình 2 x 2 3x 1 3x2 7x 3 . 1 10 x 1 b. Giải hệ phương trình y x . 2 20y xy y 1 Bài 3. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC < BC. Trên các cạnh BC, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AN = AB = BM. Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại K. Gọi H là hình chiếu của K lên AB. Chứng minh rằng: a. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên KH. b. Các đường tròn nội tiếp tam giác ACH và BCH tiếp xúc với nhau. Bài 4. (1,5 điểm) Cho x, y là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 16 xy x2 y2 P . x y xy Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC có góc B tù. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, CA, BC lần lượt tại L, H và J. a. Các tia BO, CO cắt LH lần lượt tại M, N. Chứng minh 4 điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn. b. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với AJ; d cắt AJ và đường trung trực của cạnh BC lần lượt tại D và F. Chứng minh 4 điểm B, D, F, C cùng thuộc một đường tròn. Bài 6. (1 điểm) Trên một đường tròn có 9 điểm phân biệt, các điểm này được nối với nhau bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Biết rằng mỗi tam giác tạo bởi 3 trong 9 điểm chứa ít nhất một cạnh màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 4 điểm sao cho 6 đoạn thẳng nối chúng đều có màu đỏ. HẾT chí tiến đạt thành 1
2. TT ĐẠT THÀNH 10/19 Xuân Diệu, P4, QTB (016-6767-6789) Đề 2. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 – TP HCM 2016-2017 MÔN: TOÁN CHUYÊN Bài 1. (2 điểm) a. Cho 2 số thực a,b sao cho a b và | ab 0 thỏa mãn điều kiện: a b a b 3a b a3 2a2b 3b3 . Tính giá trị của biểu thức P . a2 ab a2 ab a2 b2 2a3 ab2 b3 b. Cho m,n là số nguyên dương sao cho 5m n chia hết cho 5n m . Chứng minh rằng m chia hết cho n . Bài 2. (2 điểm) a. Giải phương trình x2 6x 4 2 2x 1 0 . 3 3 x y 9 x y b. Giải hệ phương trình . 2 2 x y 3 Bài 3. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA1, BB1, CC1. Gọi K là hình chiếu của A lên A1B1; L là hình chiếu của B lên B1C1. Chứng minh rằng A1K = B1L. Bài 4. (1,5 điểm) x y y x x y 1 Cho x, y 0 . Chứng minh rằng . x y 2 4 Bài 5. (2 điểm) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC cắt BD tại E. Tia AD cắt tia BC tại F. Dựng hình bình hành AEBG. a. Chứng minh FD.FG = FB.FE. b. Gọi H là điểm đối xứng của E qua AD. Chứng minh 4 điểm F, H, A, G cùng thuộc một đường tròn. Bài 6. (1 điểm) Nam cắt một tờ giấy ra làm 4 miếng hoặc 8 miếng rồi lấy một số miếng nhỏ đó cắt ra làm 4 hoặc 8 miếng nhỏ hơn và Nam cứ tiếp tục như thế nhiều lần. Hỏi Nam có thể cắt được 2016 miếng lớn, nhỏ hay không? Vì sao? HẾT chí tiến đạt thành 2
3. TT ĐẠT THÀNH 10/19 Xuân Diệu, P4, QTB (016-6767-6789) Đề 3. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 – TP HCM 2015-2016 MÔN: TOÁN CHUYÊN Bài 1. (1,5 điểm) Cho 2 số thực a,b sao cho ab 1 và |a b 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 3 1 1 6 1 1 P 3 3 3 4 2 2 5 . a b a b a b a b a b a b Bài 2. (2,5 điểm) a. Giải phương trình 2x2 x 3 3x x 3 . b. Chứng minh rằng abc a3 b3 b3 c3 c3 a3 7 với mọi số nguyên a,b,c . Bài 3. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. KE Tính tỉ số . KF Bài 4. (1 điểm) Cho hai số dương a,b thoả mãn điều kiện a b 1 . Chứng minh rằng 3 a 9 a2 . 4a b 4 Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. a. Chứng minh BA.BC = 2.BD.BE. b. CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC. Bài 6. (1 điểm) Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, , người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hoà. 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng x1 x2 x10 y1 y2 y10 . HẾT chí tiến đạt thành 3
4. TT ĐẠT THÀNH 10/19 Xuân Diệu, P4, QTB (016-6767-6789) Đề 4. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 – TP HCM 2014-2015 MÔN: TOÁN CHUYÊN Bài 1. (2 điểm) a. Giải các phương trình sau: x 2x 3 3x 4 . b. Cho ba số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x y z 0 và xyz 0 . Tính giá x2 y2 z2 trị của biểu thức P . y2 z2 x2 z2 x2 y2 x2 y2 z2 Bài 2. (1,5 điểm) 1 9 x y y x Giải hệ phương trình: . 4 4y x y x x2 Bài 3. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC đều và M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất. Bài 4. (2 điểm) x2 y2 x y a. Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng . y2 x2 y x b. Cho a,b là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 3ab b2 P . ab a b Bài 5. (2 điểm) Từ một điểm M nằm ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB và OM, I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A). a. Chứng minh HK vuông góc với AI. b. Tính số đo M· KB . Bài 6. (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên x, y thoả mãn phương trình 2015 x2 y2 2014 2xy 1 25 . HẾT chí tiến đạt thành 4