Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 - Đề số 3 - Năm học 2019-2020 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 - Đề số 3 - Năm học 2019-2020 (Kèm đáp án)

1. MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYấN Năm 2021 MễN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1 (2,0 điểm). a) Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 . Tớnh giỏ trị biểu thức: x4 4x3 x2 6x 12 P . x2 2x 12 b) Cho phương trỡnh x 2 2 m 2 x m2 2m 4 0 . Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm thực phõn biệt x1 , x2 thỏa món: 2 1 1 2 2 . x1 x2 x1x2 15m Cõu 2 (2,0 điểm). 25x2 a) Giải phương trỡnh x2 11 . x 5 2 3 3 x 8x y 2y b) Giải hệ phương trỡnh: 2 2 x 3 3 y 1 Cõu 3 (2,0 điểm). a) Cho x,y,z là cỏc số thực dương thoả món điều kiện 2 xy + xz = 1 . 3yz 4zx 5xy Chứng minh rằng + + ³ 4 . x y z b) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món 2x2 4x 19 3y2 1 Cõu 4 (3,0 điểm). Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB, M là trung điểm củ a AO. Kẻ đường thẳng d vuụng gúc với AB tại M. Trờn d lấy điểm K bất kỳ, KA, KB lần lượt cắt (O) tại I, C. Trờn cung nhỏ IC của (O) lấy điểm N bất kỳ. Đường thẳng KN cắt AB tại S, cắt (O) tại P (P khỏc N) và cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc KIC tại J. Chứng minh: a) Chứng minh KJI KSA b) Chứng minh KN.KP = KJ.KS. c) Gọi H là giao của AC và KM. Chứng minh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AKH luụn đi qua một điểm cố định khi K thay đổi trờn d. Cõu 5 (1,0 điểm). Chứng minh rằng nếu p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p – 1 và p + 1 khụng thể là cỏc số chớnh phương. Hết
2. MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYấN Năm 2021 MễN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm a. (1,0 điểm) Ta cú: 0,25 2 2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5 2 2 0,25 x2 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1 x 5 1. Từ đú ta suy ra x 1 2 5 x2 2x 4 . 0,25 2 2 2 0,25 x 2x 2 x 2x 12 42 3.4 12 P 1 x2 2x 12 4 12 b. (1,0 điểm) 1 PT đó cho cú hai nghiệm phõn biệt cú điều kiện: 0,25 (2 điểm) ' 0 m 2 2 m2 2m 4 0 m 0 (*) x x 4 2m m 0 1 2 Với theo Vi-et ta cú: 2 x1.x2 m 2m 4 2 1 1 2 1 1 0,25 Ta cú 2 2 2 (1) x1 x2 x1x2 15m x1 x2 2x1x2 x1x2 15m 1 1 1 m2 6m 4 m2 2m 4 15m 1 1 1 4 0,25 . Đặt m t do m 0 t 0 4 4 15 m m 6 m 2 m m 1 1 1 t 4 Ta cú (1) trở thành t 4 ( do t 0 ) t 6 t 2 15 t 12 4 0,25 Với t 4 ta cú m 4 m 2 thỏa món (*) m Vậy m=-2 là giỏ trị cần tỡm. a. (1,0 điểm) Điều kiện x 5 0,25 Ta viết lại phương trỡnh thành 2 2 2 5x 10x2 x2 10x2 (2 điểm) x 11 0 11 0 . x 5 x 5 x 5 x 5 2 x 2 t 1 0,25 Đặt t thỡ phương trỡnh cú dạng t 10t 11 0 x 5 t 11
3. x2 1 21 0,25 Nếu t 1 ta cú: 1 x2 x 5 0 x . x 5 2 x2 0,25 Nếu t 11 11 x2 11x 55 0 phương trỡnh vụ nghiệm. x 5 b. (1,0 điểm) Vỡ x 0 khụng là nghiệm của hệ nờn ta đặt y tx . Khi đú hệ thành: 0,25 2 3 3 3 3 3 x 8x t x 2tx x 1 t 2t 8 1 t t 4 x2 3 3 t 2 x2 1 2 2 1 3t 2 3 x 1 3t 6 1 0,25 t 3 2 2 3 3 1 t t 4 1 3t 12t t 1 0 . 1 t 4 x2 1 3t 2 6 0,25 1 x 3 Với t x . 3 y y 1 3 4 78 0,25 x 1 13 Với t . 4 78 y  13 Suy ra hệ phương trỡnh cú cỏc cặp nghiệm: 4 78 78 4 78 78 (x; y) 3,1 ; 3, 1 ; , ; , 13 13 13 13 a. (1 điểm) Gọi P là biểu thức vế trỏi của bất đẳng thức. 0,5 Ta viết lại P dưới dạng ổyz zx ữử ổyz xyử ổxy zx ữử P = ỗ + ữ+ 2ỗ + ữ+ 3ỗ + ữ. ốỗ x y ứữ ốỗ x z ứữ ốỗ z y ứữ Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta cú yz zx yz zx + ³ 2 . = 2z 3 x y x y yz xy yz xy (2 điểm) + ³ 2 . = 2y . x z x z xy zx xy zx + ³ 2 . = 2x z y z y Suy ra P ³ 2z + 4 y + 6x = 2(x + z)+ 4(x + y)³ 4 zx + 8 xy = 4 . 0,5 ùỡ x = y = z 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ớù Û x = y = z = . ù ợù 2 xy + zx = 1 3 b. (1,0 điểm)
4. 2x2 4x 19 3y2 2x2 4x 2 21 3y2 0,25 2(x 1)2 3(7 y2 ) * Ta thấy 3(7 y2 ) chia hết cho 3 7 y2 chia hết cho 2 hay y lẻ 0,25 Mặt khỏc 3 7 y2 0 y2 7 Do đú y2 1 Khi đú phương trỡnh (*) trở thành 2(x 1)2 18 (x 1) 3 Do đú 0,25 x1= 2; x2 = - 4 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn (x; y) là 0,25 (2; 1); (2; -1); (-4; 1); (-4; -1) a. (1,0 điểm) K N C J I H E A M O S B P Ta cúKã CI KảJI (Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung KI) 0,25 Mà AICB là tứ giỏc nội tiếp (O) 0,25 Nờn Kã CI IãAB (Cựng bự với gúc ICB) 4 Do đú KảJI Kã AB (3 điểm) Xột KIJ và KSA 0,25 Cú KảJI Kã AB (chứng minh trờn) Gúc IảKJ chung Vậy KIJ KSA (g.g) 0,25 b. (1,0 điểm) + Ta cú KIJ KSA (g.g) 0,25 KI KJ Nờn KS KA => KI.KA = KJ.KS (1) 0,25 KI KN 0,25 Nờn KP KA => KI.KA = KN.KP (2) Từ (1) và (2) suy ra KN.KP = KJ.KS. 0,25 c. (1,0 điểm) Gọi E là điểm đối xứng của B qua M. Do A, B, M cố định nờn E cố 0,25 định.
5. Ta cú Kã EA Kã BM (tớnh chất đối xứng) 0,25 MàKã BM Ã HM (cựng phụ với gúc CAB) Nờn KEA = AHM Suy ra tứ giỏc KHAE là tứ giỏc nội tiếp (Gúc ngoài tại một đỉnh bằng 0,25 gúc trong tại đỉnh đối diện) Điểm E thuộc đường trũn ngoại tiếp KHA . Vậy đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AKH luụn đi qua một điểm E cố 0,25 định khi K thay đổi trờn d. (1,0 điểm) Vỡ p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn nờn p  2 và p khụng chia 0,25 hết cho 4 (1) Giả sử p +1 là số chớnh phương . Đặt p +1 = m2 (m N) Vỡ p chẵn nờn p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ. Đặt m = 2k+1 (k N). Ta cú m2 = 4k2 + 4k + 1 0,25 5 p+1 = 4k2 + 4k + 1 (1 điểm) p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)  4 mõu thuẫn với (1) p+1 là số chớnh phương p = 2.3.5 là số chia hết cho 3 p-1 cú dạng 3k +2. 0,25 Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 3k + 2 p-1 khụng là số chớnh phương . Vậy nếu p là tớch n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p-1 và p+1 khụng là số chớnh phương Hết