Đề thi tuyển sinh Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở Giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở Giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐỀ THI MễN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) Trong cỏc cõu sau, mỗi cõu chỉ cú một lựa chọn đỳng. Em hóy ghi vào bài làm chữ cỏi in hoa đứng trước lựa chọn đỳng (Vớ dụ: Cõu 1 nếu chọn A là đỳng thỡ viết 1.A). Cõu 1. Cho khối hộp chữ nhật cú chiều dài 3m, chiều rộng 2m và cao 1m. Thể tớch của khối hộp đó cho bằng A. 3m3 B. 6m3 C. 2m3 D. 12m3 Cõu 2. Biểu thức P = 5( 10 - 40) cú giỏ trị bằng A. P = - 5 10 B. P = - 5 6 C. P = - 5 30 D. P = - 5 2 Cõu 3. Tổng cỏc nghiệm của phương trỡnh x2 - 6x + 1 = 0 bằng A. 6 B. -3 C. 3 D. -6 Cõu 4. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x để biểu thức P = x - 2 xỏc định. A. x 2 C. x ³ 2 D. x Ê 2 II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) ỡ ù x - 2y = 3 Cõu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh ớ ù x + y = 6 ợù 1 Cõu 6 (2,0 điểm). Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = - x + m (x là ẩn, m tham số). 2 a) Tỡm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng (d) khi m = 4. b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt A (x1;y1),B (x2;y2 ) thỏa món x1x2 + y1y2 = 5. Cõu 7 (1,0 điểm). Người thứ nhất đi đoạn đường từ địa điểm A đến địa điểm B cỏch nhau 78km. Sau khi người thứ nhất đi được 1 giờ thỡ người thứ hai đi theo chiều ngược lại vẫn trờn đoạn đường đú từ B về A. Hai người gặp nhau ở địa điểm C cỏch B một quóng đường 36km. Tớnh vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của người thứ hai lớn hơn vận tốc của người thứ nhất là 4km/h và vận tốc của mỗi người trong suốt đoạn đường là khụng thay đổi. Cõu 8 (3,0 điểm). Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O). Gọi M là một điểm di động trờn cung nhỏ BC của đường trũn (O) (M khụng trựng với B, C). Gọi H, K, D theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M đến cỏc đường thẳng AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giỏc AHMK nội tiếp đường trũn. b) Chứng minh MH .MC = MK .MB. c) Tỡm vị trớ của điểm M để DH + DK lớn nhất. Cõu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: 2 + 6a + 3b + 6 2bc 16 ³ 2 2a + b + 2 2bc 2b2 + 2(a + c) + 3 Hết Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
2. HƯỚNG DẪN GIẢI. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (Mỗi cõu đỳng được 0,5 điểm) Cõu 1 2 3 4 Đỏp ỏn B D A C II. PHẦN TỰ LUẬN. ỡ ù x - 2y = 3 Cõu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh ớ ù x + y = 6 ợù Lời giải ỡ ỡ ỡ ù x - 2y = 3 ù 3y = 3 ù y = 1 ớ Û ớ Û ớ ù x + y = 6 ù x = 6- y ù x = 5 ợù ợù ợù Vậy, hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất (x ,y) = (5,1) 1 Cõu 6 (2,0 điểm). Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = - x + m (x là ẩn, m tham số). 2 a) Tỡm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng (d) khi m = 4. b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt A (x1;y1),B (x2;y2 ) thỏa món x1x2 + y1y2 = 5. Lời giải a. Khi m = 4, đường thẳng (d) cú dạng: y = - x + 4. 1 Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = - x + 4 Û x2 + 2x - 8 = 0 (1) 2 PT (1) cú DÂ= 1+ 8 = 9 ị DÂ= 3 ộx = - 1- 3 = - 4 PT (1) cú hai nghiệm phõn biệt : ờ 1 ờx = - 1+ 3 = 2 ởờ 2 1 2 Với x = - 4 ị y = .(- 4) = 8 1 1 2 1 2 Với x = 2 ị y = .(2) = 2 2 2 2 Vậy, khi m = 4 thỡ đường thẳng (d) luụn cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú tọa độ lần lượt là (- 4;8) và (2;2) 1 b. Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = - x + m Û x2 + 2x - 2m = 0 (2) 2 PT (2) cú DÂ= 1+ 2m Để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt thỡ PT (2) phải cú hai nghiệm phõn biệt. 1 hay DÂ= 1+ 2m > 0 Û m > - (*) 2 Với ĐK (*) , gọi x1 ;x2 là hai nghiệm của PT (2).
3. ùỡ x + x = - 2 ù 1 2 Áp dụng định lớ Viets, ta cú : ớ (3) ù x x = - 2m ợù 1 2 Với x = x1 ị y1 = - x1 + m Với x = x2 ị y2 = - x2 + m Xột biểu thức : x1x2 + y1y2 = 5 Û x1x2 + (- x1 + m)(- x2 + m) = 5 2 2 Û x1x2 + x1x2 - m (x1 + x2)+ m = 5 Û 2x1x2 - m (x1 + x2)+ m = 5 (4) Thay (3) vào (4), ta được : ộ 2 2 ờm = 1+ 6 (t / m (*)) 2(- 2m)- m(- 2)+ m = 5 Û m - 2m- 5 = 0 Û ờ ởờm = 1- 6 (Loaùi) Vậy, với m = 1+ 6 thỡ yờu cầu bài toỏn được thỏa món. Cõu 7 (1,0 điểm). Người thứ nhất đi đoạn đường từ địa điểm A đến địa điểm B cỏch nhau 78km. Sau khi người thứ nhất đi được 1 giờ thỡ người thứ hai đi theo chiều ngược lại vẫn trờn đoạn đường đú từ B về A. Hai người gặp nhau ở địa điểm C cỏch B một quóng đường 36km. Tớnh vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của người thứ hai lớn hơn vận tốc của người thứ nhất là 4km/h và vận tốc của mỗi người trong suốt đoạn đường là khụng thay đổi. Lời giải Gọi vận tốc của người thứ nhất là x (km / h)(Đk: x > 0) Khi đú, vận tốc của người thứ hai là x + 4(km / h) 78- 36 42 Thời gian người thứ nhất đi từ A đến C là: = (giụứ) x x 36 Thời gian người thứ hai đi từ B đến C là: (giụứ) x + 4 Do người thứ nhất đi trước người thứ hai 1 giờ, nờn khi hai người gặp nhau tại C thỡ ta cú phương trỡnh: 42 36 - = 1 (1) x x + 4 Giải phương trỡnh (1) và kết hợp với ĐK x > 0 , ta được: x = 14 (km / h) Vậy, vận tốc của người thứ nhất là 14 (km/h) và vận tốc của người thứ hai là 14 + 4 = 18 (km/h) Cõu 8 (3,0 điểm). Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O). Gọi M là một điểm di động trờn cung nhỏ BC của đường trũn (O) (M khụng trựng với B, C). Gọi H, K, D theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M đến cỏc đường thẳng AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giỏc AHMK nội tiếp đường trũn. b) Chứng minh MH .MC = MK .MB. c) Tỡm vị trớ của điểm M để DH + DK lớn nhất. Lời giải Cõu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: 2 + 6a + 3b + 6 2bc 16 ³ 2 2a + b + 2 2bc 2b2 + 2(a + c) + 3 Lời giải
4. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN NĂM HỌC 2019 – 2020 Dành cho thớ sinh thi chuyờn Toỏn và chuyờn Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Cõu 1 (4,0 điểm) a) Giải phương trỡnh x2 - 2x - 2 x2 - 2x + 2 - 1= 0 1 3 10 b) Giải phương trỡnh + = 2x2 - x + 1 2x2 - x + 3 2x2 - x + 7 ỡ ù 2 x + 3y + 2 - 3 y = x + 2 c) Giải hệ phương trỡnh ớ ù 2 2 ợù y + xy + x = 4y + 1 Cõu 2 (1,5 điểm) a) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x,y thỏa món 9x2 - 3xy - 24x - 2y2 + y + 28 = 0 b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương p,m,n thỏa món 2m p2 + 1= n5 , trong đú p là số nguyờn tố. Cõu 3 (1,0 điểm). Cho cỏc số nguyờn dương a,b,c thỏa món abc ³ 1. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ³ b + ac c + ab a + bc 2 Cõu 4 (3,0 điểm). Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB < AC. Đường trũn tõm I nội tiếp tam giỏc ABC tiếp xỳc với cỏc cạnh BC, CA, AB lần lượt tại cỏc điểm D, E, F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, gọi N là giao điểm của hai đường thẳng ID và EF. Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại cỏc điểm Q, P. Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng EF tại điểm K. a) Chứng minh cỏc tứ giỏc INQF, INEP nội tiếp đường trũn và tam giỏc IPQ cõn. b) Chứng minh IãAM = FãKI . c) Chứng minh hai đường thẳng IM, DK vuụng gúc với nhau. Cõu 5 (0,5 điểm). Bạn Bỡnh cú 19 viờn bi màu xanh, 21 viờn bi màu đỏ và 23 viờn bi màu vàng. Bỡnh thực hiện một trũ chơi theo quy tắc sau: Mỗi lần Bỡnh chọn 2 viờn bi cú màu khỏc nhau, rồi sơn chỳng bởi màu thứ ba (Vớ dụ: Nếu Bỡnh chọn 2 viờn bi gồm 1 viờn bi màu xanh và 1 viờn bi màu đỏ thỡ Bỡnh sơn 2 viờn bi này thành màu vàng). Hỏi sau một số hữu hạn lần thực hiện trũ chơi theo quy tắc trờn, bạn Bỡnh cú thể thu được tất cả cỏc viờn bi cựng một màu hay khụng ? Tại sao ? Hết Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
5. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐỀ THI MễN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho tất cả cỏc thớ sinh. Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề ổ ử x 3- x ỗ2 x 1 ữ ( ) Cõu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức P = ỗ + ữ. ỗ ữ ốỗ9- x 3+ x ứữ x - 2 a) Rỳt gọn biểu thức P. 1 b) Tỡm tất cả cỏc số thực x để P = - 3 Cõu 2 (2,0 điểm). Cho phương trỡnh x2 - 2(m + 1)x + m- 4 = 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số). a) Giải phương trỡnh (1) khi m = - 2 b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món điều kiện 2 2 x1 + x2 - 3x1x2 = 25 . Cõu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trỡnh 4x2 + 3x + 3 = 4x x + 3 + 2 2x - 1 ùỡ 2x3 + 3x2y = 5 b) Giải hệ phương trỡnh ớù ù 3 2 ợù y + 6xy = 7 Cõu 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R. Gọi K là điểm chớnh giữa cung AB, M là điểm di động trờn cung AK (M khụng trựng với A và K). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng BM sao cho AM = BN. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và OK. a) Chứng minh MK là đường phõn giỏc của gúc DãMB . b) Chứng minh ÃMK = BãNK . c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trờn cung AK thỡ đường thẳng vuụng gúc với BM tại N luụn đi qua một điểm E cố định. Xỏc định vị trớ của M để đường thẳng DE song song với đường thẳng AB. Cõu 5 (1,0 điểm). Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món (a + b)(b + c)(c + a)= 8. Tỡm giỏ trị nhỏ 1 1 1 1 nhất của biểu thức P = + + + 3 abc a + 2b b + 2c c + 2a Hết Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.