Đề thi tuyển sinh Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Đồng Nai

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Đồng Nai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC : 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (1,75 điểm) 1) Giải phương trình 2x2 - 7x + 6 = 0. ïì 2x - 3y = - 5 2) Giải phương trình íï îï 3x + 4y = 18 3) Giải phương trình x4 + 7x2 - 18 = 0. Câu 2. (2,25 điểm) - 1 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x2 , y = 2x - 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M = 3x - 5 - xác định. 3 x2 - 4 Câu 3. ( 2 điểm) 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 < a Î ¡ . Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn 2 2 có hai nghiệm là 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) . 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Câu 4. ( 1 điểm) æ + öæ - + ö ç a a÷ça 3 a 2÷ 1) Rút gọn biểu thức P = ç ÷ç ÷ ( với a ³ 0 và a ¹ 4 ). èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷ ïì 4x2 - xy = 2 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn íï . ï 2 îï y - 3xy = - 2 Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H .
2. Biết ba góc C·AB, A·BC,B·CA đều là góc nhọn. 1) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh DE vuông góc với OA. . 3) Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC, AH . Cho K,L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE , MN và BD . Chứng minh KL song song với AC . Câu 6. (0,5 điểm) Cho ba số thực a,b,c . Chứng minh rằng: 3 3 3 (a2 - bc) + (b2 - ca) + (c2 - ab) ³ 3(a2 - bc)(b2 - ca)(c2 - ab). HẾT
3. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN – TỈNH ĐỒNG NAI Câu 1. (1,75 điểm) 1) Giải phương trình 2x2 - 7x + 6 = 0. ïì 2x - 3y = - 5 2) Giải phương trình íï îï 3x + 4y = 18 3) Giải phương trình x4 + 7x2 - 18 = 0. Lời giải 1) Giải phương trình: 2x2 - 7x + 6 = 0. 2 Ta có: D = b2 - 4ac = (- 7) - 4.2.6 = 1 > 0 é 7 + 1 ê = = êx1 2 Þ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ê 2.2 . ê 7 - 1 3 êx = = ëê 2 2.2 2 ïì 3 ïü Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = íï ;2ýï . îï 2 þï ïì 2x - 3y = - 5 2) Giải hệ phương trình : íï îï 3x + 4y = 18 ïì 17y = 51 ïì y = 3 ïì 2x - 3y = - 5 ïì 6x - 9y = - 15 ï ï ïì x = 2 í Û í Û í 3y - 5 Û í 3.3- 5 Û í . îï 3x + 4y = 18 îï 6x + 8y = 36 ï x = ï x = îï y = 3 îï 2 îï 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y)= (2;3). 3) Giải hệ phương trình: x4 + 7x2 - 18 = 0. Đặt x2 = t(t ³ 0) . Khi đó ta có phương trình Û t2 + 7t - 18 = 0 (1) Ta có: D = 72 + 4.18 = 121 > 0 é - 7 + 121 - 7 + 11 êt = = = 2 (tm) ê1 2 2 Þ (1) có hai nghiệm phân biệt: ê ê - 7 - 121 - 7 - 11 êt = = = - 9(ktm) ëê2 2 2 Với t = 2 Þ x2 = 2 Û x = ± 2.
4. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S = {- 2 ; 2}. Câu 2 ( 2,25 điểm): - 1 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x2 , y = 2x - 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M = 3x - 5 - xác định. 3 x2 - 4 Lời giải - 1 1) Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 , y = 2x - 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ 2 1 +) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 2 Ta có bảng giá trị: x -4 -2 0 2 4 1 y = - x2 2 -8 -2 0 -2 -8 1 Vậy đồ thị hàm số y = - x2 là đường cong đi qua các điểm (- 4;- 8) , (- 2;2) , (0;0) , (2;- 2) , 2 (4;- 8) và nhận trục Oy làm trục đối xứng. +) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - 1 Ta có bảng giá trị: x 0 -2 y = 2x - 1 -1 -5 Vậy đường thẳng y = 2x - 1 là đường thẳng đi qua hai điểm: (0;- 1), (- 2;- 5).
5. 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. Hai đường thẳng y = (m2 + 1)x + m và y = 2x - 1 song song với nhau. ïì ém = 1 ïì 2 + = ïì 2 = ï ê ï m 1 2 ï m 1 ï ê Û í Û í Û í ëm = - 1Û m = 1. îï m ¹ - 1 îï m ¹ - 1 ï îï m ¹ - 1 Vậy m = 1 thỏa mãn bài toán. 1 3) Tìm các số thực x để biểu thức M = 3x - 5 - xác định. 3 x2 - 4 ïì 5 ïì 5 ïì 3x - 5 ³ 0 ïì 3x ³ 5 ï x ³ ï x ³ Û ï Û ï Û ï Û ï Biểu thức M đã cho xác định í 2 í 2 í 3 í 3 . îï x - 4 ¹ 0 îï x ¹ 4 ï ï îï x ¹ ± 2 îï x ¹ 2 5 Vậy biểu thức M xác định khi và chỉ khi x ³ ,x ¹ 2. 3 Câu 3( 2 điểm) (VD): 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 < a Î ¡ . Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn 2 2 có hai nghiệm là 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) .
6. 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Lời giải 1) Cho tam giác MNP vuông tại N có MN = 4a, NP = 3a với 0 0 ) Do đó hình nón có độ dài đường sinh là l = MP = 5a. 2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq = pRl = p.3a.5a = 15pa . 2 2) Cho x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trìnhx - 3x + 1 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn 2 2 có hai nghiệm là 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) . ïì x + x = 3 Phương trình x2 - 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x ,x ( gt) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: íï 1 2 1 2 ï îï x1x2 = 1 Xét các tổng và tích sau: 2 2 2 2 S = 2x1 - (x2 ) + 2x2 - (x1 ) = 2(x1 + x2 )- (x1 + 2 ) 2 = 2(x + x )- é(x + x ) - 2x x ù= 2.3- é32 - 2.1ù= - 1 1 2 ëê 1 2 1 2 ûú ëê ûú 2 2 2 P = é2x - (x ) ùé2x - (x ) ù= 4x x - 2x3 - 2x3 + (x x ) ëê 1 2 ûúëê 2 1 ûú 1 2 1 2 1 2 3 3 2 = 4x1x2 - 2(x1 + x2 )+ (x1x2 ) é 3 ù 2 = 4.1- 2 ëê3 - 3.1.3ûú+ 1 = - 31. 2 Ta có S2 = (- 1) = 1 ³ 4P = - 124
7. 2 2 Þ 2x1 - (x2 ) và 2x2 - (x1 ) là 2 nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0 Û X 2 + X - 31 = 0. 3) Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm? Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x ( %/năm) ( ĐK: x > 0 ). Số tiền lãi bác B phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 100x% = x ( triệu đồng). Þ Số tiền bác B phải trả sau 1 năm là 100 + x ( triệu đồng). Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác B (100 + x)x phải trả sau 2 năm là (100 + x)x% = ( triệu đồng). 100 Hết 2 năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng nên ta có phương trình: (100 + x)x 100 + x + = 121 Û 10000 + 100x + 100x + x2 = 12100 100 Û x2 + 200x - 2100 = 0 Û x2 - 10x + 210x - 2100 = 0 Û x(x - 10)+ 210(x - 10)= 0 Û (x - 10)(x + 210)= 0 éx - 10 = 0 éx = 10 (tm) Û ê Û ê ê ê ëx + 210 = 0 ëêx = - 210 (ktm) Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng đó là 10%/ năm. Câu 4 ( 1 điểm) æ + öæ - + ö ç a a÷ça 3 a 2÷ 1) Rút gọn biểu thức P = ç ÷ç ÷ ( với a ³ 0 và a ¹ 4 ). èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷ ïì 4x2 - xy = 2 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn íï . ï 2 îï y - 3xy = - 2 Lời giải æ + öæ - + ö ç a a÷ça 3 a 2÷ 1) Rút gọn biểu thức: P = ç ÷ç ÷ ( với a ³ 0 và a ¹ 4 ). èç1 + a ø÷èç a - 2 ø÷
8. Với a ³ 0 và a ¹ 4 thì: æ + öæ - + ö a (1 + a) - - + ç a a÷ça 3 a 2÷ a 2 a a 2 P = ç ÷ç ÷= . èç1 + a ø÷èç a - 2 ÷ø 1 + a a - 2 a ( a - 2)- ( a - 2) ( a - 1)( a - 2) = a. = a. a - 2 a - 2 = a.( a - 1)= a - a Vậy P = a - a. ïì 4x2 - xy = 2 1) Tìm các số thực x và y thỏa mãn íï . ï 2 îï y - 3xy = - 2 ì 2 ï 4x - xy = 2(1) í ï 2 îï y - 3xy = - 2(2) Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được: 4x2 - xy + y2 - 3xy = 0Û 4x2 - 4xy + y2 = 0 2 Û (2x - y) = 0Û 2x - y = 0 Û y = 2x Thay y = 2x vào (2) ta được: Û - 2x2 = - 2 Û x2 = 1 Û x = ± 1 Với x = 1 thì y = 2.1 = 2. Với x = - 1 thì y = 2.(- 1)= - 2. Vậy hệ có nghiệm (x; y)Î {(1;2),(- 1;- 2)}. Câu 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H . Biết ba góc C·AB, A·BC,B·CA đều là góc nhọn. 2) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn. 3) Chứng minh DE vuông góc với OA. .
9. 4) Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC, AH . Cho K,L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE , MN và BD . Chứng minh KL song song với AC . Lời giải Phương pháp: 1) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau. 2) Kẻ tiếp tuyến Ax chứng minh Ax //DE. Cách giải: ì · ï BD ^ AC Þ BDC = 90° 1) Ta có: íï ï · îï CE ^ AB Þ CEB = 90° Tứ giác BEDC có B·DC = B·EC = 90° nên nó là tứ giác nội tiếp ( tứ giá có hai đỉnh kề nhua cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) Suy ra bốn điểm B , D , C , E cùng thuộc một đường tròn. 2) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) tại A . Khi đó Ax ^ AO ( tính chất tiếp tuyến). Ta có: C·Ax = C·BA ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) (1)
10. Do tứ giác BEDC nội tiếp (cmt) Þ C·BA = E·DA ( góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diên đỉnh đó) (2) Từ (1) và(2) suy ra C·Ax = E·DA(= C·BA) . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE //Ax . Mà Ax ^ AO (cmt) nên DE ^ AO (đpcm). Câu 6 (0,5 điểm) Cho ba số thực a,b,c . Chứng minh rằng: 3 3 3 (a2 - bc) + (b2 - ca) + (c2 - ab) ³ 3(a2 - bc)(b2 - ca)(c2 - ab). Lời giải Phương pháp: - Đặt x = a2 - bc, y = b2 - ca, z = c2 - ab đưa bất đẳng thức cần chứng minh về x3 + y3 + z3 ³ 3xyz. - Chứng minh đẳng thức x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) - Từ đó đánh gái hiệu x3 + y3 + z3 - 3xyz và kết luận. Đặt x = a2 - bc, y = b2 - ca, z = c2 - ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : x3 + y3 + z3 ³ 3xyz. Ta có: x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x3 + y3 )- 3xyz + z3 3 = (x + y) - 3xy(x + y)- 3xyz + z3 3 = (x + y) + z3 - 3xy(x + y + z) 2 = (x + y + z)é(x + y) - (x + y)z + z2 ù- 3xy(x + y + z) ëê ûú é 2 2 2 ù = (x + y + z)ëêx + 2xy + y - xz - yz + z - 3xyûú = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Dễ thấy:
11. 1 x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = (x2 - 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + z2 - 2zx + x2 ) 2 1 é 2 2 2 ù = ê(x - y) + (y - z) + (z - x) ú³ 0, " x, y, z 2 ë û Do đó ta đi xét dấu của x + y + z Ta có: x + y + z = a2 - bc + b2 - ca + c2 - ab 2 2 2 1 é 2 2 2 ù = a + b + c - ab - bc - ca = ê(a - b) + (b - c) + (c - a) ú³ 0, " a,b,c 2 ë û Suy ra x + y + z ³ 0Þ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)³ 0 3 3 3 Þ x3 + y3 + z3 ³ 3xyz hay (a2 - bc) + (b2 - ca) + (c2 - ab) ³ 3(a2 - bc)(b2 - ca)(c2 - ab) (đpcm) Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c