Đề thi Trung học phổ thông môn Toán học Lớp 12 - Đề số 20

Nội dung text: Đề thi Trung học phổ thông môn Toán học Lớp 12 - Đề số 20

1. ĐỀ SỐ 20 BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC (đề thử sức số 4) Môn: Toán học Đề thi gồm 06 trang Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề  Câu 1: Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên: x 1 3 y ' 0 + 0 y 1 1 3 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. 1 B. Hàm số có GTLN bằng 1 , GTNN bằng 3 C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. 2x 3 Câu 2: Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x2 1 A. 1B. 2C. 3D. 4 (m 1)x3 (3m x)x2 Câu 3: Nếu x 1điểm cực tiểu của hàm số: f (x) m2 x 6 thì giá 3 2 trị của m là: A. 1B. C. D. (0; ) ( ;3) 1 mx 4 Câu 4: Cho hàm số y . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ;1 x m A. B. 2 C. mD. 1 2 m 1 1,5 m 1 2 m Câu 5: Hàm số y x4 2x2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. B. 1; C. D. 0;1 1;0 1;1 Câu 6: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiểu rộng 8cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?
2. A. B.6 C.5 6D. 6 2 6 3 5x 1 Câu 7: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y là điểm nào trong các điểm có tọa độ x 1 dưới đây? A. B. 1; C.2 D. 1; 1 1;10 1;5 2x 1 Câu 8: Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) đi x 2 qua A 0;2 có hệ số góc m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị? A. B.m C.0 D. hoặc m 0 m 5 m 0 m 5 Câu 9: Hàm số y x 3 2sin x đạt giá trị nhỏ nhất trên 0;2  tại x bằng: A. 0B. C. D. 6 3 x2 2x 5 Câu 10: Cho hàm số y có đồ thị là (C). Hỏi trên đồ thị (C) có bao nhiêu điểm x 1 có tọa độ nguyên? A. 3B. 4C. 6D. 5 Câu 11: Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là 384cm2 . Lề trên, lề dưới là 3cm; lề phải, lề trái là 2cm. Khi đó chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là: A. 24cm, 25cmB. 15cm, 40cmC. 20cm, 30cmD. 22,2cm, 27cm Câu 12: Hàm số y 1 7x có đạo hàm là: 7x ln 7 7x ln 7 7x 7x A. B.y' C. D. y' y' y' 2 1 7x 1 7x 2 1 7x 1 7x.ln 3 x Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số x2 1
3. 2 2 2 2 x ln x 1 2 2x ln x 1 2 2x A. B.e ln x 1 2 e ln x 1 2 2 x 1 x 1 2 2 2 2 x ln x 1 2 2x x ln x 1 2 x C. D.e x ln x 1 2 e ln x 1 2 x 1 x 1 Câu 14: Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. A. 253,5triệu.B. 251triệu.C. 253triệu.D. 252,5 triệu. x2 3x 2 9 Câu 15: Tập xác định của hàm số y 3 4 A. B.0 ;C.3 D. ;12; 1;2  1;2 Câu 16: Cho a log27 5;b log8 7;c log2 3 . Khi đó log6 35 được biểu diễn là: 3 b ac 2 b ac b ac b ac A. B. C. D. a c 1 c 1 c 2 1 c Câu 17: Cho các số thực dương a, b với a 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 3 2 1 A. B.log a 2 b 6 log b log a 2 b log b 3 a 2 a 3 a 3 6 a 3 1 C. D.log a 2 b log b log a 2 b log b 3 a 2 a 3 a 6 a Câu 18: Tập xác định của hàm số y ln ln 5 x2 A. B. 5 ;C. D. ;5  2;2 2;2 3 Câu 19: Bất phương trình logx x 1 logx 1 x 2 có tập nghiệm là: A. B. 1C.;0 D.  2; 3; 1;0 2; 3 2 1 Câu 20: Phương trình x log2 x 3log2 x 2log2 x 1 có bao nhiêu nghiệm thực? x A. Vô nghiệm. B. 1 nghiệm.C. 2 nghiệm.D. 3 nghiệm. 3 Câu 21: Biết thể tích khí CO2 năm 1998 là V m . 10 năm tiếp theo, mỗi năm thể tích CO 2 tăng m%. 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO 2 mỗi năm tăng n%. Tính thể tích CO 2 năm 2016 ? 100 m 10 100 n 10 100 m 10 100 n 8 A. B.V V 1040 1036
4. 100 m 10 100 n 10 100 m 10 100 n 8 C. D.V V 1036 1020 Câu 22: Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f x sin 5x sin 2x thì: sin 3x cos7x sin 3x sin 7x A. B.F x C F x C 6 14 6 14 cos3x cos7x cos3x cos7x C. D.F x C F x C 6 14 6 14 Câu 23: Kí hiệu (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x , y g x và hai đường thẳng x a, x b a b . Khi đó thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là: b b 2 A. B.V f 2 x g2 x dx V f 2 x g2 x dx a a b b C. D.V f 2 x g2 x dx V g2 x f 2 x dx a a e Câu 24: Tích phân lnxdx 1 A. B.e 11C. 2D. e 1 x Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số sau: F x sin t2dt x 0 1 sin x sin x 2sin x A. B.F' C.x D. F' x F' x F' x sin x x 2 x x Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 3x 3 và đường thẳng d : y 2x 1 là: 7 13 19 A. B. C. D. 11 3 3 6 1 Câu 27: Tìm các số a, b để hàm số f x a sin x b thỏa mãn: f 1 2 và f x dx 4 0 A. B.a C. ,D.b 2 a ,b 2 a ,b 2 a ,b 2 2 2 3 3 Câu 28: cho z1 4cos a i4sin a ,z2 3cosa i3sina ,a ¡ . Trong các khẳng đinh sau, khẳng định nào đúng?
5. 2 A. B.z1 C. z D.2 i z1 z2 3 z1 z2 4 z1 z2 7 Câu 29: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z , biết rằng z 1 2i 2 i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: A. B. 4 ;C. 3 D. 4;3 4; 3 4;3 Câu 30: Tìm nghiệm phức của phương trình: x2 2x 2 0 A. B.x1 1 i;x2 1 i x1 1 i;x2 1 i C. D.x1 2 i;x2 2 i x1 2 i;x2 2 i Câu 31: Kí hiệu z1,z2 (qui ước: z1 là số phức có phần ảo lớn hơn) là nghiệm của hệ phương z.z 1 trình . Khi đó 3z 6z bằng: 2 8 1 2 z 2z 1 27 A. B.6 C. 5D.i 6 5i 6 5i 6 5i Câu 32: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: x 2y 2x y i 2x y x 2y i 1 1 2 1 2 A. B.x C.y D. 0 x y x ; y x ; y 2 3 3 3 3 Câu 33: Số phức z 4 3i có mô đun bằng: A. 25B. 5C. 7 D. 7 Câu 34: Tìm các số thực a,b,c để phương trình (ẩn z) z3 az2 bz c 0 nhận z 1 i và z 2 làm nghiệm. A. B.a 4,b 6,c 3 a 4,b 6,c 4 C. D.a 4,b 6,c 4 a 4,b 5,c 4 Câu 35: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA' BC a . a3 3 a3 3 a3 2 a3 A. B.V C. D. V V V 12 4 6 3 Câu 36: Cho hình lăng trụ ABCDA' B' C' D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0. Đỉnh A’ cách đều các đỉnh A,B,C,D. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị thể tích của hình lăng trụ nói trên? a3 6 a3 3 a3 6 a3 6 A. B. C. D. 9 2 3 2 Câu 37: Thể tích hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a bằng:
6. a3 a3 2 a3 3 a3 6 A. B. C. D. 9 18 18 27 Câu 38: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có các kích thước a,2a,4a a 0 là: 21 A. B.21 C.a 2D. 843 a 2 7 a 2 a 2 4 Câu 39: Cho tam giác ABC vuông tại A với AC 3a,AB 4a . Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, thể tích vật thể tròn xoay sinh ra là : 84 a 2 120 a 2 144 a 2 84 a 2 A. B. C. D. 15 27 15 25 Câu 40: Cho hình trụ T có bán kính đáy R, trục OO' bằng 2R và mặt cầu (S) đường kính OO'. Tỉ số diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng 1 1 A. B. C. 1D. 2 3 2 Câu 41: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và cạnh đáy là 600. Hỏi diện tích mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với các cạnh bên bằng bao nhiêu ? (O là tâm mặt đáy): 2 a 2 a 2 3 a 2 2 A. B. C. D. a 2 3 2 3 2 Câu 42: Ông Bình muốn thiết kế mái cho một xưởng may có diện tích 20000 m có hai đồ án như sau: - Công ty A thiết kế dạng hình vuông với mái là hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 70m. - Công ty B thiết kế dạng hình tròn với mái là nửa mặt cầu úp xuống. Hỏi thiết kế của công ty A giúp tiết kiệm diện tích mái hơn bao nhiêu m2 ? A. 11857 m2 B. 20000 m2 C. 9000 m2 D. 5000 m2 Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho ba mặt phẳng P : 2x y z 3 ,0 Q : x y z 1 0, R : y z 2 0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Không có điểm nào cùng thuộc ba mặt phẳng trên. B. P  Q C. Q  R D. P  R
7. Câu 44: Cho ba điểm A 3;1;0 ,B 0; 1;0 ,C 0;0; 6 . Nếu tam giác A’B’C’ thỏa mãn hệ    thức A 'A B'B C'C 0 thì có tọa độ trọng tâm là: A. B. 1; C.0; D.2 2; 3;0 3; 2;0 3; 2;1 Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho A 0;0;a ,B b;0;0 ,C 0;c;0 với a,b,c ¡ và a.b.c 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z x y z x y z x y z A. B. C. D. 1 1 1 1 a b c b a c b c a c b a Câu 46: Số đo góc giữa hai mặt phẳng : 2x y 2z 1 0 và  : 3x 3y 5 0 là: A. B. C. D. 4 6 3 2 Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy xác định tâm I của mặt cầu có phương trình: 2x2 2y2 2z2 8x 4y 12z 100 0 A. B.I 4C.; D.2;6 I 4;2; 6 I 2; 1;3 I 2;1; 3 x 1 y z 1 Câu 48: Khoảng cách từ M 2;1; 1 đến đường thẳng : là: 2 1 2 14 A. B.1 35C. D. 1 3 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 3y z 11 0 tiếp xúc với mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 2z 8 0 . Tìm tọa độ điểm M của (P) và (S). A. B.M C.3; 1D.;2 M 1; 2;1 M 1; 5;0 M 3; 8; 1 Câu 50: Bán kính của mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 2y 10z 5 0 là: A. 5B. 6C. 4D. 9 Đáp án 1-C 2-D 3-A 4-A 5-B 6-D 7-D 8-B 9-B 10-C 11-C 12-C 13-A 14-D 15-C 16-A 17-A 18-D 19-A 20-D 21-B 22-B 23-C 24-B 25-B 26-B 27-A 28-A 29-B 30-B 31-D 32-A 33-B 34-B 35-B 36-D 37-D 38-C 39-C 40-C 41-D 42-A 43-A 44-A 45-C 46-A 47-D 48-D 49-D 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT
8. Câu 1: Đáp án C Nhận thấy hàm số đạt cực đại tại xCD 3 , gúa trị cực đại bằng 1 và đạt cực tiểu tại xCT ,1 1 giá trị cực tiểu bằng . 3 Câu 2: Đáp án D 2x 3 y TXĐ: D ( ;1)  (1; ) . x2 1 Ta có: lim y 2 suy ra đường thẳng y 2 là TCN của đồ thị hàm số. x lim y 2 suy ra đường thẳng y 2 là TCN của đồ thị hàm số. x lim y suy ra đường thẳng x 1 là TCN của đồ thị hàm số. x 1 Vậy đồ thị của hàm số đã cho có tổng cộng 4 đường tiệm cận. Câu 3: Đáp án A Ta có: f '(x) (m 1)x2 (3m 2)x m2 ; f ''(x) 2(m 1)x 3m 2 Với m 1 ta có f '(x) x 1, f '(x) 0 x 1, f ''( 1) 0 . Nên nhận m 1 . Với m 1 , x 1 là điểm cực tiểu của hàm số suy ra f '( 1) 0 (m 1)2 0 m 1(VL) . Vậy m 1 thỏa. Câu 4: Đáp án A mx 4 Hàm số y có TXĐ: D ¡ \ m x m m2 4 y' hàm số nghịch biến khi y' 0 m2 4 0 2 m 2 . Khi đó hàm số x m 2 nghịch biến trên các khoảng ; m và m; . Để hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 thì 1 m m 1 . Vậy 2 m 1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 5: Đáp án B y' 4x x2 1 0 x ; 1  0;1 do đó đáp B là đúng nhất. Câu 6: Đáp án D Đặt EF x,EC 8 x FC x2 8 x 2 16x 64 EF CF Ta có ADF : FCE g.g AF AD
9. EF.AD 8x AF FC 16x 64 64x2 16x3 y AE AF2 EF2 x2 16x 64 16x 64 16x3 f x x 0;8 16x 64 48x2 16x 64 16.16x3 f ' x 16x 64 2 f ' x 0 768x3 3072x2 256x3 0 512x3 3072x2 0 x 6 BBT: x 0 6 8 f ' x 0 + f x 108 y f x ymin fmin 108 6 3 Câu 7: Đáp án D 5x 1 Xét hàm số y x 1 5x 1 Ta có: lim y lim nên đồ thị có tiệm cận đứng x 1 x 1 x 1 x 1 5x 1 lim y lim 5 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 5 x x x 1 Giao của hai đường tiệm cận là I 1;5 Câu 8: Đáp án B Đường thẳng (d) đi qua A 0;2 có phương trình là: y mx 2 2x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: mx 2 x 2 x 2 f x mx2 2mx 5 0, ta có ' m2 5m . Để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 2 m 0 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) thì: m 5m 0 m 0 m.f 2 0
10. Câu 9: Đáp án B Sử dụng MTCT thay các giá trị của đáp án vào ta được y 0 0, y 0,621, y 0,081, y 5,568, y 2 2 3 6 3 Rõ ràng giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x 6 Câu 10: Đáp án C x2 2x 5 4 4 Ta có: y x 1 . Gọi M x0 ; y0 C suy ra y0 x0 1 , ta x 1 x 1 x0 1 x0 2 x 0 x 1 1 0 0 4 x0 3 có x , y Z x 1 2 . Vậy có 6 điểm có tọa độ nguyên. 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 4 0 0 x 3 0 x0 5 Câu 11: Đáp án C Gọi a,b cm a 0,b 0 là độ dài chìu dọc và chìu ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là a 6,b 4 384 Ta có: a.b 384 b 1 a 2304 Diện tích trang sách là: S a 6 b 4 S 4a 408 a 2304 Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có: S 2 4a. 408 600 a 2304 Suy ra MinS 600 4a a 24 , suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm a Câu 12: Đáp án C x 1 7 ' 7x ln 7 y' 1 7x 2 1 7x 2 1 7x Câu 13: Đáp án A 2 2 x x ln x 1 Ta có x 1 e . Do đó 2 2 2 2 x ln x 1 x ln x 1 2 x ln x 1 2 2x e ' e . x ln x 1 ' e ln x 1 2 x 1
11. Cách khác: 2 2 x 2 A ' 2 2x 2 x 2 2x A x 1 ln A x ln x 1 ln x 1 x. 2 A ' x 1 ln x 1 2 A x 1 x 1 Câu 14: Đáp án D Cuối năm thứ I: T1 a a.m a 1 m Đầu năm thứ II: a 2 a 2 T a 1 m a a 1 m 1 1 m 1 1 m 1 2 1 m 1 m Cuối năm thứ II: a 2 a 2 a 2 T 1 m 1 1 m 1 .m 1 m 1 . 1 m 3 m m m a n Suy ra cuối năm thứ n: T 1 m 1 . 1 m n m (Trong đó a là số tiền ban đầu, m là lãi suất, n là số tháng) Áp dụng: T 2.1000tr,n 6,m 0,08 a 252,5 triệu Câu 15: Đáp án C x2 3x 2 9 Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi 3 4 x2 3x x2 3x 2 2 9 2 2 2 2 0 x 3x 2 x 3x 2 0 1 x 2 . 3 4 3 3 Vậy hàm số có tập xác định là 1;2 Câu 16: Đáp án A 3a log3 5 log2 35 3 b ac Ta có: 3b log2 7 log2 5 3ac . Khi đó log6 35 log2 6 1 c c log2 3 Câu 17: Đáp án A 1 1 1 log a 2 b log a 2b 2 3log a 2b 2 3 log a 2 log b 2 3 a 1 a a a a 3 1 3 3 2 loga b 6 loga b 2 2 Câu 18: Đáp án D Biểu thức ln ln 5 x2 có nghĩa khi và chỉ khi
12. 2 ln 5 x 0 2 2 5 x 1 x 4 x 2 2 x 2 2 5 x 0 Vậy hàm số đã cho có tập xác định là 2;2 Câu 19: Đáp án A Điều kiện 0 x 1 3 3 3 2 Ta có logx x 1 logx 1 x 2 logx 1 x 1 2 x 1 x 1 2 2 2 x 1 x x 1 x 1 0 x 1 x x 1 x 1 0 1 x 0 x x 1 x 2 0 x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm là 1;0  2; Câu 20: Đáp án D 3 2 Điều kiện x 0 . Phương trình tương đương log2 x 3log2 x 2log2 x 0 log2 x 0 x 1 log x 1 x 2 . Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. 2 log2 x 2 x 4 Câu 21: Đáp án B 10 m Thể tích khí CO2 năm 2008 là: V2008 V 1 100 Thể tích khí CO2 năm 2016 là: 8 10 8 10 8 n m n 100 m 100 n V2016 V2008 1 V 1 1 V 36 100 100 100 10 Câu 22: Đáp án B Ta có 2f x 2sin 5x sin 2x coos 5 2 x cos 5 2 x cos3x cos7x sin 3x sin 7x sin 3x sin 7x Suy ra 2 f x dx C f x dx C 3 7 6 14 Câu 23: Đáp án C đối với câu hỏi này em nào đã đọc kĩ sách giáo khoa thì sẽ chọn ngay đáp án C, nếu C ghi b như thế này V g2 x f 2 x dx vẫn đúng a Câu 24: Đáp án B
13. dx e u ln x du Xét ln xdx . Đặt x 1 dv dx v x e e e Vậy ln xdx x ln x e dx x ln x 1 e 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Hs có thể sử dụng MTCT để chọn nhanh kết quả: Câu 25: Đáp án B Ta có: H t sin2 tdt H ' t sin t2 H ' x sin x Khi đó F' x H x H 1 ' 2 x 2 x Câu 26: Đáp án B 2 2 x 1 Xét phương trình x 3x 3 2x 1 x x 2 0 x 2 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 3x 3 và đường thẳng d : y 2x 1 là 2 2 2 2 3 2 2 x x 13 S x 3x 3 2x 1 dx 2 x x dx 2x 2 3 3 1 1 1 13 Vậy S (đvdt). 3 Câu 27: Đáp án A Ta có f 1 2 a sin b 2 b 2 1 1 1 a cos x f x dx 4 a sin x 2 dx 4 2x 4 a 0 0 0 Câu 28: Đáp án A Áp dụng công thức a1 b1i a 2 b2i a1 a 2 b2 b1 i 3 3 Theo đó z1 z2 4cos a 3cosa i 3sin a 4sin a cos3a i.sin 3a 2 2 2 2 Suy ra z1 z2 cos 3a sin 3a 1 i . Vậy z1 z2 i Câu 29: Đáp án B z 1 2i 2 i z 4 3i suy ra z 4 3i Vậy phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: 4;3
14. Câu 30: Đáp án B Ta có: 22 4.1.2 4 suy ra có một căn bậc hai là 2i, phương trình có hai nghiệm: 2 2i 2 2i x 1 i;x 1 i 1 2 2 2 Câu 31: Đáp án D Đặt z x yi x, y ¡ suy ra z x yi . Khi đó ta được x yi x yi 1 y2 1 x2 2 8 3 2 52 x yi 2 x yi 1 4x x 2x 0 27 27 2 2 x x 3 3 2 5 5 y y 9 3 2 5 2 5 suy ra z1 i, z2 i 13 2 3 3 3 3 x x 12 3 L 25 y2 5 y 144 3 Vậy 3z1 6z2 6 5i Câu 32: Đáp án A x 2y 2x y i 2x y x 2y i x 2y 2x y 2x y z 2y i 0 x y y x x 3y i 0 x y 0 x 3y Câu 33: Đáp án B z 42 32 5 Câu 34: Đáp án B Ta có: z 1 i là nghiệm suy ra 1 i 3 a 1 i 2 b 1 i c 0 Và z 2 là nghiệm suy ra 8 4a 2b c 0 b c 2 0 a 4 Từ hai điều này ta có hệ 2a b 2 0 b 6 4a 2b c 8 0 c 4 Câu 35: Đáp án B
15. a 2 3 a3 3 S . Khi đó V ABC 4 ABC.A'B'C' 4 Câu 36: Đáp án D Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Từ giả thiết A’ cách đều các đỉnh A, B, C ta suy ra hình chiếu của A’ trên mặt phẳng ABCD là O hay A’O là đường cao của khối lăng trụ. Trong tam giác A’OA vuông tại A và A· 'OA 600 , ta có: a a 6 A 'O OA.tan 600 . 3 2 2 2 Diện tích đáy ABCD là SACDD a a3 6 Thể tích của khối lăng trụ là V B.h S .A 'O ABCD 2 a3 6 Vậy V 2 Câu 37: Đáp án D a 3 Đáy là tam giác đều nên bán kính r ngoại tiếp đường tròn là r 3 a 6 Chiều cao của khối nón là h 3 1 a3 6 Vậy thể tích cần tìm là V r2h 3 27 Câu 38: Đáp án C Gọi d là độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật. Ta có d2 a 2 2a 2 4a 2 21a 2
16. Gọi R, V theo thứ tự là bán kính và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho. Rõ 4 1 1 ràng d 2R d2 4R 2 . Thể tích khối cầu là V R 2 d2 .21. a 2 7 a 2 3 3 3 Vậy V 7 a 2 (đvtt). Câu 39: Đáp án C Kẻ đường cao AH của ∆ABC khi quay quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy,bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC 1 1 1 1 1 25 Ta có: AH2 AB2 AC2 16a 2 9a 2 144a 2 25 Suy ra AH2 144a 2 Thể tích khối tròn xoay sinh ra là : 1 1 1 144a 2 144 a 2 V V V AH2HC2 AH2. HB HC . .5a 1 2 3 3 3 25 15 HB HC BC 5a Câu 40: Đáp án C 2 Diện tích mặt cầu : S1 4 R 2 Diện tích xung quanh của hình trụ : S2 2 Rl 4 R S Vậy 1 1 S2 Câu 41: Đáp án D Ta có S· AO 600 (Góc giữa cạnh bên SA và đáy (ABC)) 2 a 3 SO AO.tanSAO . .tan 600 a 3 2 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 OH SO OA a a 3 a 3 a Bán kính mặt cầu (S) là R OH 2 2 2 a 2 Vậy diện tích mặt cầu (S) là : SC 4 R 4 a 2 Câu 42: Đáp án A
17. Phương án A: Hình chóp tứ giác đều 2 Chiều dài của cạnh bên là h2 50 2 4900 5000 30 11 h 70 Độ dài cạnh đáy là: 20000 1 2 Sxq 4. chiều cao mặt bên.cạnh đáy 2.30 11.100 2 6000 22 m 2 Phương án B: Mặt cầu: Diện tích hình tròn lớn bằng 20000 20000 20000m2 R 2 20000 R ;S 2 R 2 2 40000m2 mat Kết luận: Vậy phương án A giúp tiết kiện diện tích mái hơn 40000m2 6000 22m2 11857 m2 Câu 43: Đáp án A Các em kiểm chứng B, C, D bằng cách lấy tích vô hướng các vec-tơ pháp tuyến. Suy ra các đáp án B, C, D đều đúng. 2x y z 3 0 Đối với đáp án A các em giải hệ phương trình x y z 1 0 y z 2 0 2 x 3 11 Ở đây hệ có nghiệm y nên khẳng định A sai. 6 1 z 6 Câu 44: Đáp án A * Cách diễn đạt thứ nhất: Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có:          1 : A 'A B'B C'C 0 TA TA ' TB TB' TC TC' 0       TA TB TC TA ' TB' TC' 2    Hệ thức (2) chứng tỏ . Nếu T  G tức là TA TB TC 0 thì ta cũng có    TA ' TB' TC' 0 hay T  G ' hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.
18. 3 0 0 1 1 0 0 0 6 Ta có tọa độ của G là: G ; ; 1;0; 2 3 3 3 Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của A 'B'C' * Cách diễn đạt thứ hai:    Ta có: AA ' BB' CC' 0 (1)          A 'G ' G 'G GA B'G ' G 'G GB C'G ' G 'G GC 0        GA GB GC A 'G ' B'G ' C'G ' 3G 'G 0 (2) Nếu G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa là        GA GB GC A 'G ' B'G ' C'G ' thì 2 G 'G 0 G '  G Tóm lại (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm. 3 0 0 1 1 0 0 0 6 Ta có tọa độ của G là: G ; ; 1;0; 2 . Đó cũng là tọa độ trọng 3 3 3 tâm G’ của A 'B'C' Câu 45: Đáp án C x y z Phương trình chính tắt của mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C là 1 b c a Chú ý: mặt phẳng đi qua ba điểm M a;0;0 , N 0;b;0 ,F 0;0;c có phương trình x y z 1. a b c Câu 46: Đáp án A Vecto pháp tuyến của mặt phẳng : 2x y 2z 1 0 là: n 2; 1; 2  Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  : 3x 3y 5 0 là: n ' 3; 3;0 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và  . Khi đó: 2 3 3 0. 2 3 3 1 cos 3 3 0 22 1 2 2 2 3 6 2 Câu 47: Đáp án D Mặt cầu có phương trình là x2 y2 z2 4x 2y 6z 50 0 x 2 2 y 1 2 z 3 2 82 , suy ra tâm của mặt cầu là I 2;1; 3 Câu 48: Đáp án D
19. x 1 y z 1 Khoảng cách từ M 2;1; 1 đến đường thẳng : 2 1 2 Cách 1: Rõ ràng đường thẳng đi qua điểm M0 1;0; 1 và có vecto chỉ phương là u 2;1; 2 , u 22 12 2 2 3 Ta có:  M0M 2 1;1 0; 1 1 1;1;0  1 2 2 2 2 1 u  M0M ; ; 2; 2; 1 1 0 0 1 1 1  2 2 2 u  M0M 2 2 1 3 Khoảng cách giữa điểm M 2; 1; 1 đến đường thẳng là:  u  M0M 3 d M, 1 u 3 Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng : x 1 2t x 1 y z 1 Ta có: y t . Gọi N 1 2t;t; 1 t 2 1 2 z 1 2t Ta có: MN2 2t 1 2 t 1 2 2t 2 9t2 6t 2 3t 2 2 1 1 2 1 Gọi f t 3t 1 1 . Rõ ràng min f t f 1 suy ra min MN 1 ¡ 3 ¡ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối điểm M với đường thẳng ấy, bởi thế d M, 1 Câu 49: Đáp án D  Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến np 2;3;1 Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;1
20.  Đường thẳng d đi qua điểm I 1; 2;1 và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận np 2;3;1 x 1 2t làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: y 2 3t t ¡ z 1 t M là giao điểm của d và (P) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: x 1 2t x 1 2t x 3 y 2 3t y 2 3t y 1 z 1 t z 1 t z 2 2x 3y z 11 0 2 1 2t 3 2 3t 1 t 11 0 t 1 Vậy M 3;1;2 Câu 50: Đáp án A Bán kính của mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 2y 10z 5 0 là R 22 1 2 52 5 5