Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 22 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 22 (Kèm đáp án)

1. LUYỆN ĐỀ TRƯỚC KỲ THI QUỐC GIA 2017 ĐỀ CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH LẦN 4 - Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Cho a, b là các số thực dương và x, y là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây là đúng? x x y x y a x x x y xy x x x A. B.a C. D.a a . a .b . a .b ab . a b a b . b 2 Câu 2: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x ? x 1 1 A. B.F C.x D. . F x x 1. F x 4 x 1. F x 2 x 1. x 1 Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A a;0;0 ,B 0;b;0 , C 0;0;c với abc 0 có phương trình là: x y z x y z x y z A. B. C. D. 1 0. 0. 1 0. ax by cz 1 0. a b c a b c a b c Câu 4: Cho các số phức z1 1 2i;z2 2 i. Mô đun của số phức w z1 2z2 3 là: A. B.w C. D.13 . w 5. w 4. w 5. 1 2x Câu 5: Cho hàm số y có đồ thị là C . Mệnh đề nào sau đây là sai? x 1 A. C có tiệm cận ngang là B.y 2. có tiệm cận đứng. C C. C có tiệm cận ngang là D.y 1. có 2 tiệm cận. C Câu 6: Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Đồ thị hàm số y ln x có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số y 2 x có tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số y 2x có tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số y ln x không có tiệm cận ngang. Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : x y z 1 0 và  : 2x my 2z 2 0. Tìm m để song song với  . A. B.m C.2 Không. tồn tại.D. m 5. m 2. Câu 8: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x cos 2x là: Trang 1
2. 1 1 A. B.F x sin 2x. F x sin 2x C. 2 2 1 C. D.F x sin 2x C. F x sin 2x C. 2 Câu 9: Cho số phức z a bi a,b ¡ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Điểm M a;b là điểm biểu diễn của số phức z. B. Mô đun của z là một số thực dương. C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của số phức iz. D. z2 z 2 . Câu 10: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ; ? A. B.y C.x 4D. x2 2. y x2 x 2. y x3 x 1. y x3 x 2. Câu 11: Hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? A. f x x3 x2 x 1. B. f x x3 x2 x 1. C. f x x3 x2 2x 1. D. f x x3 x2 x 1. Câu 12: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng . Chiều cao của hình nón bằng: A. B.3 C D. 5. 1. 2. Câu 13: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng : x y z 0 đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 2z 0? A. 1.B. 0.C. Vô số.D. 2. Câu 14: Cho các số thực x, y 0 thỏa mãn 2x 3y. Mệnh đề nào sau đây là sai? x 1 1 A. B.xy C. 0D log 3. 2 y 3x. 4x 6y. y 2 e Câu 15: Cho tích phân I x ln2 xdx. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 Trang 2
3. e e e 1 e A. B.I x2 ln2 x 2 x ln xdx. I x2 ln2 x 2 x ln xdx. 1 1 1 2 1 e e 1 e e C. D.I x2 ln2 x 2 x ln xdx. I x2 ln2 x x ln xdx. 1 1 2 1 1 Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A 0;1;2 ,B 1;2;3 và C 1; 2; 5 . Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho MB 3MC. Độ dài đoạn AM bằng: A. B.3 C.0. D. 11. 7 2. 7 3. Câu 17: Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều có cùng số đỉnh. B. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có cùng 1 tâm đối xứng. C. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh. D. Mọi khối đa diện đều có số mặt là một số chia hết cho 4. Câu 18: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn loga b 9, loga c 10. Tính M logb a c . 2 7 5 3 A. B.M C. D M . M . M . 3 3 2 2 x 1 Câu 19: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên 2x 1 đoạn  2;0. Giá trị của biểu thức 5M m bằng: 24 24 4 A. B. C D. . 0. . 5 5 5 Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có SA a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là: 6a3 6a3 6a3 6a3 A. B. C. D . . . 4 24 12 8 Câu 21: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 x2 2 x4 4 . Số điểm cực trị của hàm số y f x là: Trang 3
4. A. 3.B. 4.C. 2.D. 1. 4 dx 2 Câu 22: Cho tích phân I a bln với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào 0 3 2x 1 3 sau đây là đúng? A. B.a C.b D.3 . a b 3. a b 5. a b 5. Câu 23: Hàm số f x log 2x 4x 1 có đạo hàm là: 2 2x 2x A. B.f ' x . f ' x . 4x 1.ln 2 4x 1 ln 2 2x ln 2 C. D.f ' x . f ' x . 4x 1 4x 1 x4 Câu 24: Biết rằng phương trình log2 x log có hai nghiệm a và b. Khi đó ab bằng: 3 3 3 A. 9.B. 8.C. 64.D. 81. Câu 25: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và hàm số y g x xf x2 có đồ thị trên đoạn 1;2 như hình vẽ bên. Biết phần 5 4 diện tích miền được tô màu là S , tính tích phân I f x dx. 2 1 5 5 A. B.I . I . 2 4 C. D.I 10. I 5. Câu 26: Hàm số nào trong các hàm số sau nghịch biến trên khoảng 0; ? 2 2 1 A. B.y C. xD. x. y log 1 x 1 . y . y . 2 x 1 x 2 Câu 27: Gọi z1 là số phức có phần ảo âm của phương trình z 2z 2 0. Tìm số phức liên hợp của w 1 2i z1. A. B.w C.1 D. 3 i. w 1 3i. w 3 i. w 3 i. Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : x 2y 3z 6 0 và x 1 y 1 z 3 đường thẳng : . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 1 A. B.  cắt . và không vuông góc . Trang 4
5. C. D. / / .  . Câu 29: Một khối trụ có thể tích bằng 16 . Nếu chiều cao của khối trụ tăng lên 2 lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16 . Bán kính đáy của khối trụ ban đầu bằng. A. 1.B. 8.C. 4.D. 2. 1 Câu 30: Tập xác định của hàm số y là: 2 log3 x A. B. 1; C.9 . D. 9; . 0;9 . 0;9. Câu 31: Cho số phức z có điểm biểu diễn là M trong hình vẽ bên. Biết 1 rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức  là một trong 4 z điểm P, Q, R, S. Khi đó điểm biểu diễn số phức  là: A. Điểm R.B. Điểm P. C. Điểm S.D. Điểm Q. Câu 32: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x3 4x 4x 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 2;2 . C. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0;2 . D. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 2;0 . Câu 33: Cho các số thực dương a, b khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với Ox mà cắt các đường y a x ; y bx và trục tung lần lượt tại M, N, A sao cho AN 2AM (hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. B.a 2 C. b D ab2 1. b 2a. ab . 2 x x2 1 Câu 34: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y có tiệm cận ngang. ax2 2 A. B.a C.0. D. hoặc a 0. a 0. a 1 a 4. Trang 5
6. Câu 35: Cho hàm số f x có đạo hàm là f ' x . Đồ thị hàm số y f ' x được cho như hình vẽ bên. Biết f 0 f 3 f 2 f 5 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 0;5 lần lượt là: A. B.f 0C. , D.f 5 . f 2 ,f 0 . f 1 ,f 5 . f 2 ,f 5 . Câu 36: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD (xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7,2 cm; đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm. Kem được đỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau: A. 132 B.dm 2933. C. 954 D. 170 dm3. dm3. dm3. Câu 37: Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy cứ sau 5 ngày số lượng loài vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200 con vi khuẩn B, hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng hai loài bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau? A. 5 log8 2 ngày.B. ngày. 5 log 4 2 3 3 C. 10 log 3 2 ngày.D. ngày. 10 log 4 2 2 3 Câu 38: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : x ay bz 1 0 và x y z 1 đường thẳng : . Biết rằng // và tạo với các trục Ox, Oz các góc 1 1 1 giống nhau. Tìm giá trị của a. A. B.a 2. hoặc a 2 a 0. C. D.a 0. hoặc a 1 a 1. Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y ax+ x2 1 có cực tiểu. A. B. 1 C. a D. 1. 0 a 1. 1 a 2. 2 a 0. Trang 6
7. Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a 2. SA vuông góc với đáy, tam giác SBD đều. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2a3 2 a3 2 A. B. C. D 2a3 2. . a3 2. 3 3 Câu 41: Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 1. Tính z1 z2 . 3 A. B.3 C D. 2 3. 1. . 2 x 2 y 2 z 1 Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 2 và mặt phẳng : x y z 1 0. Gọi d là đường thẳng trên đồng thời cắt và trục Oz. Một vectơ chỉ phương của d là: A. B.u C. 2 D.; 1; 1 . u 1; 2;1 . u 1;2; 3 . u 1;1; 2 . Câu 43: Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và Ox xung quanh trục Ox. 16 16 A. B. . . 15 5 12 4 C. D. . . 15 3 Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng AB AA' a; AC 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M.A'B'C' là: a 5 a 3 a 2 A. B. a.C D. . . 2 2 2 4x 1 Câu 45: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log m có nghiệm. 2 4x 1 A. B.m C.0 D 1 m 1. m 1. 1 m 0. Câu 46: Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x2 2x m trên đoạn  1;2 bằng 5. A. B. 6C.; D.3  0;2 . 4;3 . 5; 2  0;3 . 0; . Trang 7
8. z Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w là số thực. Giá trị 2 z2 lớn nhất của biểu thức M z 1 i là: A. 2.B. C. D. 8. 2 2. 2. Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho biết  là tập hợp tâm của các mặt cầu (S) đi qua điểm A 1;1;1 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng : x y z 6 0 và  : x y z 6 0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong  là: A. B.3 C.5. 3.D. 9 . 45 . Câu 49: Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng 0; và thỏa mãn f 1 1,f x f ' x 3x 1,x 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. B.1 f 5 2. 4 f 5 5. C. D.2 f 5 3. 3 f 5 4. Câu 50: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B'C'. Mặt phẳng A'NM cắt cạnh BC tại P. Thể tích khối đa diện MBP.A'B'N bằng: 7a3 3 a3 3 7a3 3 7a3 3 A. B. C. D . . . 32 32 68 96 ĐÁP ÁN 1- B 2- C 3- C 4- C 5- C 6- B 7- B 8- B 9- C 10- D 11- D 12- A 13- A 14- D 15- B 16- A 17- C 18- A 19- C 20- C 21- D 22- D 23- B 24- D 25- D 26- B 27- B 28- A 29- C 30- C 31- D 32- B 33- B 34- B 35- D 36- D 37- D 38- A 39- A 40- A 41- A 42- D 43- A 44- A 45- A 46- C 47- B 48- B 49- D 50- D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Câu 2: Đáp án C ' 1 ' 2 x 1 4 x 1 . 2 x 1 x 1 Câu 3: Đáp án C Trang 8
9. x y z Phương trình mặt chắn của ABC : 1. a b c Câu 4: Đáp án C w z1 2z2 3 4i w 4. Câu 5: Đáp án C (C) có 2 tiệm cận. Tiệm cận đứng x 1 và tiệm cận ngang y 2. Câu 6: Đáp án B Đồ thị hàm số y ln x có tiệm cận đứng là x 0. Đồ thị hàm số y 2x có tiệm cận ngang là y 0. Đồ thị hàm số y ln x có tiệm cận đứng x 0 và không có tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số y 2 x không có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang. Câu 7: Đáp án C 2 m 2 2 Hai mặt phẳng đã cho song song nên do đó không tồn tại giá trị của tham 1 1 1 1 số m. Câu 8: Đáp án B 1 1 cos 2xdx cos 2x.d 2x sin 2x C. 2 2 Câu 9: Đáp án C Ta có: iz ai b iz z . Câu 10: Đáp án D Ta có y x3 x 2 y' 3x2 1 0,x ¡ do đó hàm số y x3 x 2 đồng biến trên ; . Câu 11: Đáp án D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy lim f x nên a < 0 nên loại A và B. x Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 1;0 nên loại C. Câu 12: Đáp án A 2 2 2 l 2r; Sd r r 1; l 2 h l r 3. Câu 13: Đáp án A Mặt cầu (S) có tâm I 1;1;1 ;R 3. Trang 9
10. Mặt phẳng cần tìm có dạng P : x y z m 0 m 0 m 3 Điều kiện tiếp xúc: d I; P R 3 m 6 hay m 0 (loại). 3 Câu 14: Đáp án D x y x y 2 Với x, y 0. Ta có: 2 3 log2 2 log2 3 x ylog2 3 xy y log2 3 0 1 1 1 1 x x y x y x y x xy y xy y x Suy ra log2 3; 2 3 4 9 ; 2 3 2 3 2 3 . y Câu 15: Đáp án B 1 2 du 2ln x. e e u ln x x 1 2 2 Đặt I x ln x x ln xdx. dv xdx 1 2 v x2 1 1 2 Câu 16: Đáp án A   Do M nằm trên đoạn BC sao cho MB 3MC nên MB 3MC M 1; 1; 3 . Do đó AM 1 4 25 30. Câu 17: Đáp án C Khối 12 mặt đều và 20 mặt đều có cùng số cạnh (30 cạnh). Tứ diện đều không có tâm đối xứng. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh (12 cạnh). Câu 18: Đáp án A 1 1 1 1 1 2 M log a c log a log c log a.log c .10 . b b 2 b 9 2 b a 9 2.9 3 Câu 19: Đáp án C 3 Ta có: y' 0,x  2;0 do đó hàm số nghịch biến trên đoạn  2;0. 2x 1 2 1 Khi đó m y 0 1; M y 2 5M m 0. 5 Câu 20: Đáp án C Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH  AB. Lại có SAB  ABC SH  SAB SA a Khi đó SH ; AB SA 2 a 2 2 2 Trang 10
11. 2 1 1 a a 2 3 a3 6 Suy ra V .SH.S . . . S.ABC 3 ABC 3 2 4 12 Câu 21: Đáp án D 2 Ta có f ' x x 1 x2 2 x2 2 do đó đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực trị. Câu 22: Đáp án D 4 dx 2 I a bln . 0 3 2x 1 3 Đặt t 2x 1 t2 2x 1 tdt xdx. Khi đó: 3 tdt 3 3 2 3 I 1 dt 2 3ln 2 3ln . 1 t 3 1 t 3 3 2 Do đó a b 5. Câu 23: Đáp án B t 1 2 1 Ta có: f t log t t2 1 f ' t t 1 . 2 2 1 t2 1 .ln 2 t 1.ln 2 x 1 ' 2 f ' x 2x . 4x 1.ln 2 4x 1 Câu 24: Đáp án D 2 2 Điều kiện x 0. Khi đó PT log3 x 4log3 x 1 log3 x 4log3 x 1 0 4 Theo Vi-ét: log3 x1 log3 x2 4 log3 x1x2 4 x1x2 3 81 ab 81. Câu 25: Đáp án D 2 5 2 5 g x dx xf x2 dx . Đặt t x2 dt 2xdx . Đổi cận suy ra: 1 2 1 2 2 1 4 5 4 xf x2 dx f t dt f t dt 5 I 5. 1 2 1 2 1 Câu 26: Đáp án B 1 Hàm số y log x 1 có y' 0,x 0 nên hàm số y log x 1 nghịch 1 1 1 2 x 1 ln 2 2 biến trên khoảng 0; . Câu 27: Đáp án B Trang 11
12. Ta có: z1 1 i w 1 2i 1 i 1 3i w 1 3i. Câu 28: Đáp án A   n .u 1 2 3 0 / / hay  . Mặt khác A 1; 1;3 và A 1; 1;3 nên  . Câu 29: Đáp án C Ta có: 16 r2h r2h 16 16 Lại có 16 2 r 2h hr 4 r 4. 4 Câu 30: Đáp án C x 0 Hàm số đã cho xác định khi 0 x 9. log3 x 2 Câu 31: Đáp án D 1 1 1 Chọn z 1 i w i nên điểm Q biểu diễn số phức w. z 2 2 Câu 32: Đáp án B Ta có: f ' x x x 2 x 2 4x 1 0 x ; 2  2; . f ' x 0 x 2;2 do đó hàm số nghịch biến trên khoảng 2;2 . (chú ý f ' x 0 có nghiệm kép x 0 nên không đổi dấu khi đi qua x 0 ). Câu 33: Đáp án B Với y y0 ta có x1 logb y0; x2 loga y0 . Theo giả thiết ta có: AN 2AM nên log y 2log y log y log 1 y . b 0 a 0 b 0 0 a 2 1 1 Khi đó b a 2 ab2 1. a Câu 34: Đáp án B 1 Ta có: y . x x2 1 ax2 2 Rõ ràng a 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại tồn tại lim y. x Với a 0 thì đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang là y 0. Câu 35: Đáp án D Trang 12
13. Từ đồ thị y f ' x trên đoạn 0;5, ta có bảng biến thiên của hàm số y f x : x 0 2 5 ' f x 0 f x CT Suy ra min f x f 2 . Từ giả thiết, ta có: 0;5 f 0 f 3 f 2 f 5 f 5 f 3 f 0 f 2 Hàm số f x đồng biến trên 2;5 f 3 f 2 f 5 f 2 f 5 f 3 f 0 f 2 f 5 f 0 Suy ra max f x max f 0 ,f 5  f 5 . 0;5 Câu 36: Đáp án D Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm: Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy lớn R1 3,2cm; bán kính đáy nhỏ r1 0,8cm và chiều cao h 7,2cm. Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R 3,7cm . 1 2 2 2 3 Suy ra: V h R1 R1r1 r1 R 3 3 1 2 20288 .7,2 3,22 3,2.0,8 0,82 .3,23 170cm3. 3 3 375 Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là 170.103 cm3 170dm3. Câu 37: Đáp án D Giả sử sau x ngày số lượng hai loài vi khuẩn bằng nhau. Khi đó: x x x x x x 1 100.2 5 200.310 2 5 2.310 2 5 310 x x 10 1 .log2 3 x 2 log2 3 10 x 5 10 2 log2 3 4 1 10 Lại có: 2 log2 3 log2 x 10 log 4 2 ngày. 3 log 4 2 2 log2 3 3 3 Câu 38: Đáp án A Trang 13
14.  u 1; 1; 1   Ta có:  mà / / n .u 0 1 a b 0 a b 1 * n 1;a;b   Mặt khác tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau sin n ;i sin n ;k với i 1;0;0 . k 0;0;1   n .i n .k 1 b   b 1. Thế vào (*) ta được: a 2 hay a 0. 1 1 n . i n . k Tuy nhiên a 0 : x z 1 0 chứa đường thẳng nên nhận a 2. Câu 39: Đáp án A x 1 Xét hàm số y ax x2 1, x ¡ f ' x a ; f " x . 2 3 x 1 x2 1 2 ' f x 0 Hàm số đã cho có cực tiểu khi và chỉ khi f ' x có nghiệm. " 0 f x 0 x x Phương trình f ' x 0 a 0 a * với x ¡ . x2 1 x2 1 x 3 Xét hàm số g x g' x x2 1 2 0,x ¡ g x đồng biến trên ¡ . x2 1 x x Tính các giá trị lim 1; lim 1. x x2 1 x x2 1 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nghiệm 1 a 1 1 a 1. Câu 40: Đáp án A Đặt AB x, tam giác ABD vuông cân tại A BD x 2. Tam giác ABD đều SB SD BD x 2. 2 2 Tam giác SAB vuông tại A SA2 AB2 SB2 a 2 x2 x 2 1 1 2 2a3 2 x2 2a 2 x a 2 V SA.S a 2. a 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 41: Đáp án A 2 2 2 Ta có: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1z2 Trang 14
15. 2 2 2 Mà z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1z2 Từ đó suy ra: z z 2 z z 2 2 z 2 z 2 z z 3. 1 2 1 2 1 2 1 2 Câu 42: Đáp án D Gọi M là giao điểm của và suy ra M 1;1; 1 . Gọi P là giao điểm của d và Oz suy ra P 0;0;z .    Ta có: MP 1; 1;z 1 mà điểm M,P MP.n 0 z 1. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u 1;1; 2 . Câu 43: Đáp án A Gọi phương trình hàm số bậc hai là y ax2 bx c có đồ thị (P). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (P) đi qua các điểm O 0;0 ,A 1;1 ,B 2;0 . c 0 a 1 2 Khi đó ta có a b c 1 b 2 P : y f x 2x x 4a 2b c 0 c 0 2 2 2 16 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V f 2 x dx 2x x2 dx . 0 0 15 Câu 44: Đáp án A Dạng toán: “Tứ diện S.ABC có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc, chẳng hạn có mp(SBC) vuông góc với mp(ABC)” thì suy ra công thức tính toán nhanh là: gọi R1,R 2 lần lượt là bán kính hai đường tròn ngoại tiếp của SBC, ABC và l là độ dài giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC là: l2 R R 2 R 2 . 1 2 4 Vì M là trung điểm của AC MA'C'  A'B'C' . Tam giác MA'C' có MA' MC' a 2; A'C' 2a. tam giác MA'C' vuông cân tại M Xét khối đa diện M.A'B'C' có: BC AB2 AC2 a 5 R . ABC 2 2 2 Trang 15
16. A'C' AC R a. MA'C' 2 2 l MA'C'  A'B'C' AC 2a. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M.A'B'C' là: AC2 a 5 R R 2 R 2 . M.A'B'C' MA'C' ABC 4 2 Câu 45: Đáp án A 4x 1 t 1 Đặt t 4x 1, khi đó: log m m log * 2 4x 1 2 t 1 t 1 2 Xét hàm số f t log trên khoảng 1; , khi đó ta có: f ' t 0,t 0. 2 t 1 t2 1 ln 2 Suy ra f t là hàm đồng biến trên 1; , tính các giá trị lim f t ; lim f t 0. t 1 t Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nghiệm m 0. 4x 1 2 2 Cách 2: Ta có: 2m 1 2m 1 2m 4x 1 4x 1 4x 1 2 Dễ thấy 4x 1 1 0 1 suy ra phương trình có nghiệm khi 4x 1 0 1 2m 1 2m 1 m 0. Câu 46: Đáp án C Đặt t x2 2x 1 x 1 2 , x  1;2 t 0;4. Ta có: y f t t m 1 . max y max f t max f 0 ;f 4  max m 1 , m 3  1;2 0;4 0;4 0;4 m 1 m 3 m 1 TH1: Với max y m 1 ta được m 4.  1;2 m 1 5 m 1 5 m 3 m 1 m 1 TH2: Với max y m 3 ta được m 2.  1;2 m 3 5 m 3 5 Vậy các giá trị của m tìm được thỏa mãn tập hợp 5; 2  0;3 . Cách 2: Xét hàm số f x x2 2x m trên đoạn  1;2. Ta có: f ' x 2x 2 0 x 1. Lại có f 1 3 m; f 1 m 1; f 2 m f x m 1;m 3. Trang 16
17. Điều kiện để hàm số y x2 2x m đạt GTLN trên đoạn  1;2 bằng 5 là m 1 5 m 4 . m 3 5 m 2 Với m 4 f x  5; 1 f x 1;5. Với m 2 f x 1;5 f x 1;5. m 4 Vậy là các giá trị cần tìm. m 2 Câu 47: Đáp án B z z z Ta có: w 2 w 2 2 1 . Vì w là số thực nên w w 2 . 2 z 2 z 2 z z z 2 Từ (1), (2) suy ra z 2 z z 2 z2 2 z z z.z z z 2 2 2 z 2 z z z z 2 2 0 z 2 2 z 2 (vì z không là số thực nên z z 0 ). Đặt w z 1 i z w 1 i w 1 i 2 w 2 12 12 2 2. max 1 2 Cách 2: Ta có w là số thực nên z là số thực. w z Đặt z a bi. 1 2 a bi 2b b 0 ko t / m ycbt a bi là số thực khi b 0 2 2 2 2 2 2 w a b a b a b 2 z 2 Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn O 0;0 ;R 2. Đặt M z ;A 1;1 MAmax AO R 2 2. Câu 48: Đáp án B Gọi I x; y;z là tâm của mặt cầu (S). Theo đề bài ta có IA d I, d I;  . d I, d I;  x y z 6 x y z 6 P : x y z 0. d ,  2 2 2 / /  IA 2 3 S : x 1 y 1 z 1 12. 2 1 Vậy tập hợp tâm I của mặt cầu (S) là giao tuyến của mặt cầu (S 1) và mặt phẳng (P) hay chính 2 2 là đường tròn có bán kính R R 2 d2 A, P 2 3 3 3. S1 Vậy diện tích của hình phẳng cần tính là S R 2 9 . Trang 17
18. Câu 49: Đáp án D f ' x 1 f ' x dx f x f ' x 3x 1 dx f x 3x 1 f x 3x 1 1 2 d f x 2 3x 1 C 3x 1 2 dx ln f x 3x 1 C f x e 3 f x 3 4 C 4 Mặt khác f 1 1 1 e 3 C f 5 3,793. 3 Câu 50: Đáp án D Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. Khi đó MF//AE mà AE//A'N nên MF//A'N . Suy ra các điểm A' ,M,F, N thuộc cùng một mặt phẳng. Vậy A'MN cắt cạnh BC tại P nên P trùng với F. Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện h “Thể tích khối chóp cụt là V fB B' BB' với h là chiều cao, B, 3 B' lần lượt là diện tích hai đáy”. Xét khối chóp cụt MBP.A'B'N có chiều cao h BB' a. S S B S ABC MBP 8 8 a 2 3 Và diện tích đáy với S . S ' ' ' S 4 B' S A B C A'B'N 2 2 ' 3 ' ' BB S S S S 7 3a Vậy thể tích khối đa diện MBP.A B N là V . . 3 8 2 8 2 96 Trang 18