Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gai môn Toán Lớp 12 - Đề số 2 - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gai môn Toán Lớp 12 - Đề số 2 - Năm học 2018-2019

1. Lovebook.vn ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2019 (Đề thi có 07 trang) CHUẨN CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC – ĐỀ 02 Môn thi: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 3y z 10 0 . Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng P ? A. M1 2;1;2 . B. M 2 2;2;0 . C. M 3 1;2;0 . D. M 4 2; 2;0 . Câu 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số y 9x4 5x2 với trục hoành là A. 3.B. 0.C. 1.D. 4. Câu 3. Nghiệm của phương trình log2019 x 5 13 là A. x 201913 5 .B C. x 132019 .D.5 .x 201913 5 x 132019 5 Câu 4. Cho hai số phức z1 3 4i và z2 1 3i . Hiệu số phức z1 và z2 bằng A. 4 i .B. .C. .D.2 7i . 2 i 4 7i 3 Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số y x2 2x 8 . A. .B. .C. ; 24; . D. \ 2;4 . ; 2  4; Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới đây: 4 x 0 3 y ' + 0 0 + y 1 5 27 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 1 .B. Hàm số đạt cực đại bằng 1. 4 5 C. Hàm số đạt cực tiểu bằng .D. Hàm số đạt cực tiểu tại . x 3 27 Câu 7. Khối trụ có bán kính đáy là r và độ dài chiều cao là h có thể tích bằng 1 A. 2 r 2h .B. .C. .D.rh 2 . r 2h r 2h 3 Câu 8. Cho cấp số nhân an có số hạng đầu bằng 3 và công bội q 2 . Giá trị của a5 bằng A. 96.B. 48.C. 13.D. 11. Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f x 5x4 ex là 1 A. 20x3 ex C .B. x5 .eC.x 1 C 20x .D.3 xex 1 C . x5 ex C x 1 Trang 1/5
2. Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 3;9;6 . Gọi M1, M 2 , M 3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng M1M 2M 3 có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. 0 .B. .C. 1 .D. 1 . 1 3 9 6 3 9 6 3 9 6 1 3 2 Câu 11. Biết rằng 4a x và 16b y . Khi đó xy bằng A. 64ab .B. .C. .D. 4a 2b . 42ab 16a 2b 4 2 2 Câu 12. Cho f x dx 2018 . Giá trị f 2x dx f 2 x dx bằng 0 0 2 A. 4036.B. 3027.C. 0.D. . 1009 Câu 13. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB a 3 và AD a (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng B ' D ' và AC bằng A. 90°.B. 30°. C. 45°.D. 60°. Câu 14. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 2x 1 A. y x4 2x2 .B. y .C. .D. y x3 . 3x y 2x2 x4 x 1 x 1 y z 2 Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;5;3 và đường thẳng d : . Đường thẳng 2 1 2 Δ đi qua I và vuông góc với hai đường thẳng OI, d có phương trình là x 2 y 5 z 3 x 2 y 5 z 3 A. .B. . 7 2 8 8 7 2 x 2 y 5 z 3 x 2 y 5 z 3 C. .D. . 7 2 8 7 2 8 Tải file word tại website Liên hệ mua file word trọn bộ : 096.79.79.369 x2 3 Câu 16. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên 2;4 bằng x 1 19 A. 6.B. .C. 2.D. 7. 3 Câu 17. Tìm các số thực p và q thỏa mãn 3p 2q 3i i 9 8i với i là đơn vị ảo. Trang 2
3. 5 11 A. p 2,q 4 .B. p 3 .,C.q .D. p 4,q 4 . p 3,q 2 2 6x2 5x 1 Câu 18. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? 2x2 9x 5 A. 2.B. 3.C. 4.D. 1. cos 3x 1 Câu 19. lim bằng x 0 x2 9 3 2 9 A. .B. .C. .D. . 2 2 3 2 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : 2x y 2z 4 0 và Q : 2x y 2z 5 0 . Mặt cầu S tiếp xúc với hai mặt phẳng P và Q có bán kính bằng 3 1 A. 3.B. .C. 9.D. . 2 2 Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin x 3 0 là 2 5 A. x k2 ,k .B. . x k2 ,k 3 6 x k2 x k2 3 6 C. ,k .D. . ,k  7 x k2 x k2 3 6 Câu 22. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và đồ thị hàm số y f ' x như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x 2019 f x 2018x 13 là A. 0.B. 1. C. 2.D. 3. Câu 23. Biết rằng khối tứ diện đều cạnh bằng k thì có thể tích bằng 2k 3 . Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a 2 . 12 Tính theo a thể tích khối tứ diện ACB ' D ' . 2 2a3 2a3 2a3 a3 A. .B. .C. .D. . 3 6 2 3 2 Câu 24. Biết rằng phương trình z 3 z 2z 10 0 có ba nghiệm phức là z1, z2 , z3 . Giá trị của z1 z2 z3 bằng A. 5.B. 23.C. .D. . 3 2 10 3 10 x 5 Câu 25. Giả sử rằng f là hàm số liên tục và thỏa mãn 3x 96 f t dt với mỗi x , trong đó c là c một hằng số. Giá trị của c thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 97; 95 .B. .C. 3; 1 .D. . 14;16 3;5 Trang 3
4. Câu 26. Cho khối nón có bán kính đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng 3 lần bán kính đáy. Thể tích của khối nón đã cho bằng 2 r3 2 r3 2 2 r3 8 r3 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Tải file word tại website Liên hệ mua file word trọn bộ : 096.79.79.369 x 3 Câu 27. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 2x 1 32 bằng A. 20.B. 4.C. 2.D. 6. Câu 28. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 1 3 f ' x 0 + 0 f x 1 1 3 Số nghiệm thực của phương trình 4 f 2 3x 1 0 là A. 1.B. 3.C. 2.D. 0. Câu 29. Cho khối lăng trụ đều ABC.A' B 'C 'có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 3a3 2 3a3 A. 2 3a3 .B. .C. .D. . 3a3 2 3 6x2 13x 11 Câu 30. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x và thỏa mãn F 2 7 . Biết 2x2 5x 2 1 5 rằng F a ln 2 bln 5 , trong đó a, b là các số nguyên. Tính trung bình cộng của a và b. 2 2 A. 10.B. 8.C. 5.D. 3. x2 2x 2m 1 Câu 31. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f x đồng biến x m a a trên nửa khoảng 2; và S ; , trong đó a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản. b b Giá trị của 3a b bằng A. 11.B. 23.C. 7.D. 19. 5 dx Câu 32. Cho a ln 5 bln 3 c ln 2 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của b 3c2 2a bằng 2 3 x x A. 2 .B. 0.C. 3.D. 6. Câu 33. Cho hình trụ T có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn O;r và O ';r . Gọi A là điểm di động trên đường tròn O;r và B là điểm di động trên đường tròn O ';r sao cho AB Trang 4
5. không là đường sinh của hình trụ T . Khi thể tích khối tứ diện đạtO Ogiá' A trịB lớn nhất thì đoạn thẳng AB có độ dài bằng A. 3r .B. .C. 2 .D. 2 r . 6r 5r Tải file word tại website Liên hệ mua file word trọn bộ : 096.79.79.369 Câu 34. Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị cacbon). Khi một bộ phận của cây đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Gọi P t là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh t trưởng từ t năm trước đây thì P t được cho bởi công thức P t 100. 0,5 5750 % . Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong gỗ là 45,78 (%). Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó. A. 6482 năm.B. 6481 năm.C. 6428 năm.D. 6248 năm. Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm G của tam giác ABD. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 15 2a 285 9a 285 5 A. a .B. .C. .D. . 3a 19 57 19 17 x Câu 36. Cho x, y là các số thực thỏa mãn log x log y log x 2y . Giá trị của tỷ số là 9 12 16 y 2 2 2 2 A. .B. .C. 2 . D.1 . 2 1 2 2 Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 ,C 2;0;1 và mặt phẳng có phương trình 2x 2y z 3 0 . Biết rằng tồn tại duy nhất điểm M a;b;c thuộc mặt phẳng sao cho MA MB MC . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2a b c 0 .B. 2a 3b .C.4c 41 .5D.a b c 0 . a 3b c 0 Câu 38. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z i z z 2i là A. một đường thẳng.B. một đường elip.C. một parabol.D. một đường tròn. Câu 39. Cho d là đường thẳng đi qua điểm A 1;3 và có hệ số góc m. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị C của hàm số y x3 3x 1 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị C tại B và C cắt nhau tại điểm I nằm trên đường tròn đường kính BC. Tính tổng bình phương các phần tử thuộc tập hợp S. 16 34 38 34 A. .B. .C. .D. . 9 9 9 3 Câu 40. Cho hàm số g x 2x3 x2 8x 7 . Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình g g x 3 m 2g x 5 có 6 nghiệm thực phân biệt? Trang 5
6. A. 25.B. 11.C. 13.D. 14. Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 2 y 5 2 z 3 2 27 và đường thẳng x 1 y z 2 d : . Mặt phẳng P chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường 2 1 2 tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của P là ax by z c 0 thì A. a b c 1 .B. a .bC. c 6 .D. a b c . 6 a b c 2 Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2, AD 2 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD,CB. Tính côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng MNP và SCD . 2 435 11 145 2 870 3 145 A. .B. .C. .D. . 145 145 145 145 Câu 43. Bệnh máu khó đông ở người do đột biến gen lặn nằm trên nhiễm sắc thể giới tính X, alen trội tương ứng quy định người bình thường. Một gia đình có người chồng bình thường còn người vợ mang gen dị hợp về tính trạng trên. Họ dự định sinh 2 người con, giả thiết rằng mỗi lần sinh chỉ sinh được một người con, xác suất để cả 2 người con không bị bệnh máu khó đông là bao nhiêu? 9 15 1 3 A. .B. .C. .D. . 16 16 4 4 Câu 44. Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Bất phương trình 3 f x m 4 f x m 5 f x 2 5m nghiệm đúng với mọi x 1;2 khi và chỉ khi A. f 1 m 1 f 2 . B. f 2 m 1 f 1 . C. f 1 m 1 f 2 . D. f 2 m 1 f 1 . Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 2; 3;4 . Gọi P là mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x 'Ox, y 'Oy, z 'Oz lần lượt tại các điểm D, E, F sao cho OD 2OE m2 2m 2 OF 0 , trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để chỉ có đúng ba mặt phẳng P thỏa mãn yêu cầu trên. Tập hợp S có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng? A. 7.B. 3.C. 15.D. 4. 4 3 2 Câu 46. Cho f x là hàm đa thức thỏa mãn f x xf 1 x x 5x 12x 4 x . Gọi M và m 4 2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên tập D x | x 10x 9 0 . Giá trị của 21m 6M 2019 bằng A. 2235.B. 2319.C. 3045.D. 3069. Trang 6
7. 2x2 x sin x x 1 cos x Câu 47. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y , trục hoành và hai xsin x cos x 2 4 đường thẳng x 0 và x . Biết rằng diện tích của hình phẳng D bằng a ln 2 bln 4 , 4 16 với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2a b 12 .B. 2 .C.a b 6 .D. 2a b . 12 2a b 6 Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i z 5 i 2 65 . Giá trị nhỏ nhất của z 2 i đạt được khi z a bi với a, b là các số thực dương. Giá trị của 2b 3a bằng A. 19.B. 16.C. 24.D. 13. Câu 49. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có C 3;2;3 , đường cao AH nằm trên đường thẳng x 2 y 3 z 3 d : và đường phân giác trong BD của góc B nằm trên đường thẳng d có phương 1 1 1 2 2 x 1 y 4 z 3 trình . Diện tích tam giác ABC bằng 1 2 1 A. 4.B. .C. .D. 8. 2 3 4 3 Câu 50. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và đồ thị C . Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm 2;m có phương trình là y 4x 6 . Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y f f x và y f 3x2 10 tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y ax b và y cx d . Tính giá trị của biểu thức S 4a 3c 2b d . A. S 26 .B. .C. S 17 .6D. . S 178 S 174 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu! Phụ huynh, thầy cô và đồng đội vui lòng không giải thích gì thêm. Lovebook xin cảm ơn! CHÚC CÁC EM LÀM BÀI TỐT! Trang 7
8. ĐÁP ÁN 1. D 2. C 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. B 9. D 10. C 11. B 12. B 13. D 14. D 15. D 16. A 17. A 18. A 19. D 20. B 21. C 22. D 23. A 24. C 25. B 26. C 27. A 28. B 29. A 30. D 31. C 32. D 33. C 34. A 35. A 36. D 37. B 38. C 39. B 40. C 41. C 42. B 43. A 44. A 45. A 46. A 47. A 48. B 49. B 50. D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Chọn đáp án D. Câu 2. Chọn đáp án C. Ta có 9x4 5x2 0 x2 9x2 5 0 x 0 nên có đúng 1 giao điểm của đồ thị hàm số y 9x4 5x2 với trục hoành. Câu 3. Chọn đáp án A. 13 13 Ta có log2019 x 5 13 x 5 2019 x 2019 5 . Câu 4. Chọn đáp án B. Ta có z1 z2 3 4i 1 3i 2 7i . Câu 5. Chọn đáp án D. 3 Hàm số y x2 2x 8 xác định khi và chỉ khi x2 2x 8 0 x 2 hoặc x 4 . Do đó, tập xác định của hàm số là D ; 2  4; . STUDY TIP FOR REVIEW Phương trình cơ bản: 1) Việc tìm tập xác định của hàm số log f x b f x ab , với a y f x tùy thuộc vào số mũ α. Cụ thể: a 0 và a 1 . +) α nguyên dương thì hàm số xác định khi f x xác định. +) α nguyên âm hoặc bằng 0 thì hàm số xác định khi f x 0 . +) α không nguyên thì hàm số xác định khi f x 0 . 2) Hàm số y loga f x , với 0 a 1 , xác định khi và chỉ khi f x 0 . Trang 8
9. Bài tập tương tự: Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y x 1 2 . A. D ;1 .B. .C. D .D. D . 1; D \ 1 2 7 Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx 4x m 3 xác định trên . A. 4;1 .B. . ; 1  4; C. ; 4  1; .D. . ; 41; 2 Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y log2 x 3x 4 . A. D ; 14; .B. . D  1;4 C. D ; 1  4; .D. . D 1;4 Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y log 5x x2 6 . 11 A. D 1;6 .B. . D 2;3 C. D 2;3 .D. . D ;2  3; FOR REVIEW Hình trụ có bán kính đáy là r và chiều cao h thì có: - Diện tích xung quanh: S 2 rh . - Thể tích khối trụ: V r 2h . Câu 6. Chọn đáp án B. Câu 7. Chọn đáp án D. Câu 8. Chọn đáp án B. 4 4 Ta có a5 a1q 3.2 48 . Chú ý: - Cho cấp số cộng an có số hạng đầu a1 và công sai d. Số hạng thứ n của cấp số cộng đó là: an a1 n 1 d . - Cho cấp số nhân xn có số hạng đầu x1 và có công bội q. Số hạng thứ n của cấp số nhân đó là: n 1 xn x1q . Câu 9. Chọn đáp án D. Trang 9
10. Câu 10. Chọn đáp án C. STUDY TIP Ta có M1 3;0;0 , M 2 0;9;0 và M 3 0;0;6 nên Trong không gian Oxyz, cho điểm x y z M a;b;c với abc 0 . M M M có phương trình là 1 . 1 2 3 3 9 6 - Mặt phẳng đi qua các hình chiếu Câu 11. Chọn đáp án B. vuông góc của M trên các trục tọa độ Ta có xy 4a.16b 4a.42b 4a 2b . Ox, Oy, Oz thì có phương trình là x y z Câu 12. Chọn đáp án B. 1. 2 2 a b c Ta có f 2x dx f 2 x dx - Mặt phẳng đi qua các hình chiếu 0 2 vuông góc của M trên các mặt phẳng 1 2 2 f 2x d 2x f 2 x d 2 x tọa độ Oxy , Oyz , Ozx thì có 2 0 2 x y z phương trình là 2 . 1 4 4 f u du f v dv 1009 2018 3027 . a b c 2 0 0 Bài tập tương tự: 2 6 3 Câu 1: Cho f x dx 4 và f x dx 8 . Tính I f 2x dx . 1 1 1 A. I 2 .B. .C. .D.I 4 . I 6 I 12 5 2 1 Câu 2: Cho f x dx 3 . Tính I f 3x 1 dx f 3 x dx . 2 1 2 A. I 4 .B. .C. .D.I 2 . I 6 I 0 2 8 x Câu 3: Cho f 2x dx 4 . Tính I f 4 dx . 0 0 2 A. I 4 .B. .C. .D.I 8 . I 16 I 32 Câu 13. Chọn đáp án D. Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD thì B ' D ', AC B D, AC AOD . Ta có AC BD 2a nên AD OA OD a hay tam giác AOD đều. Do đó B ' D ', AC AOD 60 . Câu 14. Chọn đáp án D. Câu 15. Chọn đáp án D. Cách 1: d có một vectơ chỉ phương là u 2;1;2 .  Δ vuông góc với hai đường thẳng OI, d nên nhận OI,u 7;2; 8 làm một vectơ chỉ phương. Do x 2 y 5 z 3 I nên Δ có phương trình . 7 2 8 Cách 2: Nhận thấy tọa độ điểm I không thỏa mãn phương trình ở phương án A và phương án C nên loại hai phương án này. d có một vectơ chỉ phương là u 2;1;2 . Trang 10
11. Đường thẳng có phương trình trong phương án B có vectơ chỉ phương a 8;7; 2 . Ta có u.a 2. 8 1.7 2. 2 13 0 nên loại phương án này. Câu 16. Chọn đáp án A. 4 Cách 1: Có f ' x 1 và f ' x 0 x 3 2;4 . x 1 2 19 Lại có f 2 7; f 3 6 và f 4 . Hơn nữa hàm số f x liên tục trên 2;4 nên min f x 6 . 3 2;4 19 Cách 2: Ta có 2 6 7 nên ta kiểm tra từng phương án từ nhỏ đến lớn để tìm phương án đúng. 3 x2 3 +) f x 2 2 x2 2x 5 0 (vô nghiệm). x 1 Vậy giá trị nhỏ nhất không phải bằng 2. Do đó loại phương án C. x2 3 +) f x 6 6 x2 6x 9 0 x 3 2;4 . x 1 Vậy phương án đúng là A. Bài tập tương tự: 2x2 x 1 Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0;1 bằng x 1 A. 2 .B. 2.C. 1.D. 3. Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 2x2 7x trên đoạn 0;4 bằng A. 259 .B. 68.C. 0.D. . 4 6 1 Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số y 3x2 trên đoạn ;2 bằng x 2 51 A. 9.B. 8.C. .D. 15. 4 Câu 17. Chọn đáp án A. 3 p 1 9 p 2 Ta có 3p 2q 3i i 9 8i 3 p 1 2qi 9 8i . 2q 8 q 4 Câu 18. Chọn đáp án A. 1 Điều kiện xác định: 2x2 9x 5 0 x ; x 5 . 2 6 Ta có lim y lim y 3 nên đồ thị có một tiệm cận ngang là y 3 . x x 2 3x 1 1 3x 1 3x 1 Lại có lim y lim và lim y lim ; lim y lim 1 1 x x x 5 11 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 2 2 nên đồ thị có một tiệm cận đứng là x 5 . Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận, trong đó có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Câu 19. Chọn đáp án D. Trang 11
12. Cách 1: (Sử dụng giới hạn cơ bản) 2 2 3x 3x 2sin sin cos 3x 1 2 9 2 9 sin x lim lim lim (do lim 1 ). x 0 2 x 0 2 x 0 3x x 0 x x 2 2 x 2 Cách 2: (Sử dụng quy tắc Lopital) cos 3x 1 3sin 3x 9cos 3x 9 lim lim lim . x 0 x2 x 0 2x x 0 2 2 Câu 20. Chọn đáp án B. Ta có P / / Q và M 2;0;0 P . 2.2 0 2.0 5 Do đó d P , Q d M , Q 3 . 3 Vì S tiếp xúc với P và Q nên có đường kính d d P , Q 3 . 3 Vậy, bán kính của S bằng . 2 STUDY TIP Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song P : ax by cz d 0 và d d ' Q : ax by cz d ' 0 bằng . a2 b2 c2 Câu 21. Chọn đáp án C. 3 Ta có 2sin x 3 0 sin x sin x sin 2 3 4 x k2 hoặc x k2 với k . 3 3 Câu 22. Chọn đáp án D. Ta có g ' x 2019 f ' x 2018 . Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có g ' x 0 có ba nghiệm phân biệt và g ' x đổi dấu khi x qua ba nghiệm này. Do đó hàm số y g x có ba điểm cực trị. Câu 23. Chọn đáp án A. Ta có ACB ' D ' là khối tứ diện đều cạnh bằng a 2 2 2a . Suy ra thể tích của khối ACB ' D ' là 3 2 2a 2 2a3 V . 12 3 Trang 12
13. Chú ý: Tứ diện đều chỉ là trường hợp đặc biệt của một số tứ diện hoặc một hình chóp tam giác. Chúng ta có các kết quả như sau: 1. Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Thể tích khối chóp tam giác đều a2. 3b2 a2 bằng V . 12 2. Cho khối tứ diện ABCD có AB x và các cạnh còn lại đều bằng a. Thể tích khối tứ diện ABCD là ax V 3a2 x2 . 12 3. Cho khối tứ diện ABCD có AB x,CD y và các cạnh còn lại đều bằng a. Thể tích khối tứ diện xy ABCD là V 4a2 x2 y2 . 12 4. Cho khối tứ diện gần đều ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c . Thể tích khối tứ diện 2 ABCD là V . a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 . 12 Câu 24. Chọn đáp án C. Ta có z 3 z2 2z 10 0 z 3 hoặc z 1 3i . Do đó z1 z2 z3 3 1 3i 1 3i 3 2 10 . STUDY TIP Nếu phương trình az2 bz c 0 ,với a,b,c , có hai nghiệm phức z1 và z2 c (không là nghiệm thực) thì z z . 1 2 a Bài tập tương tự: 2 Câu 1: Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3z 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng A. 2 5 .B. .C. 3.D. 10. 5 2 2 2 Câu 2: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0 . Tính M z1 z2 . A. M 2 34 .B. .C.M 4 5 .D. . M 12 M 10 Câu 25. Chọn đáp án B. c Ta có 3c5 96 f t dt 0 c 2 3; 1 . c Câu 26. Chọn đáp án C. Gọi h và l lần lượt là độ dài chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đã cho. Theo giả thiết thì l 3r . Mặt khác r 2 h2 l 2 nên h 2 2r . 1 2 2 r3 Thể tích khối nón là V r 2h . 3 3 Câu 27. Chọn đáp án A. Trang 13
14. x 3 Ta có 2x 1 32 2 x 1 x 3 25 x 1 x 3 5 x2 2x 8 0 x 2 hoặc x 4 . Suy ra tổng bình phương các nghiệm bằng 2 2 42 20 . Câu 28. Chọn đáp án B. 1 1 1 Từ bảng biến thiên ta có 4 f t 1 0 f t có ba nghiệm thực phân biệt (do ;1 ). Do 4 4 3 đó phương trình 4 f 2 3x 1 0 cũng có ba nghiệm thực phân biệt (ứng với mỗi nghiệm t0 của phương trình 4 f t 1 0 thì có duy nhất nghiệm x0 thỏa mãn 2 3x t0 ). Câu 29. Chọn đáp án A. 3 2 Đây là tam giác đều cạnh 2a nên có diện tích S . 2a 3a2 . 4 Vậy, thể tích cần tính là V 2a. 3a3 2 3a3 . Câu 30. Chọn đáp án D. 4 3 Ta có f x 3 nên 2x 1 x 2 F x 3x 2ln 2x 1 3ln x 2 C . Do đó F 2 7 6 2ln 5 3ln 4 C 7 C 1 6ln 2 2ln 5 . Suy ra F x 3x 2ln 2x 1 3ln x 2 1 6ln 2 2ln 5 . 1 5 Ta có F 11ln 2 5ln 5 . Từ đó, ta có a 11,b 5 . 2 2 11 5 Vậy trung bình cộng của a và b là 3 . 2 Bài tập tương tự: Câu 1: Biết rằng F x ax3 bx2 cx d ex là một nguyên hàm của hàm số f x 2x3 9x2 2x 5 ex . Tính a2 b2 c2 d 2 . A. 244.B. 245.C. 246.D. 247. Câu 2: Cho hàm số F x là một nguyên hàm của f x sin3 x cos x và thỏa mãn F 0 . Giá trị của F bằng 2 4 1 4 1 A. .B. .C. .D. . 4 4 Câu 31. Chọn đáp án C. x2 2mx 1 4m Ta có f ' x . x m 2 Hàm số đồng biến trên 2; khi và chỉ khi f ' x 0,x 2; Trang 14
15. m 2 m 2; 2 . 2 x 1 x 2mx 1 4m 0,x 2; 2m ,x 2; x 2 x2 1 5 Bằng cách khảo sát hàm số y trên nửa khoảng 2; , ta được min y y 2 .Vì vậy x 2 2; 4 x2 1 x2 1 5 5 2m ,2; 2m min m . x 2 2; x 2 4 8 Suy ra a 5,b 8 . Do vậy, 3a b 7 . Câu 32. Chọn đáp án D. 5 5 dx 1 1 5 5 Ta có dx ln x 1 ln x 2 3 3 3 x x 3 x 1 x ln 4 ln 2 ln 5 ln 3 ln 5 ln 3 ln 2 . Suy ra a 1,b c 1 . Do đó b 3c2 2a 6 . Bài tập tương tự: 1 xdx Câu 1: Cho a bln 2 c ln 3 với a, b,c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng 2 0 x 2 A. 2 .B. .C. 2.D.1. 1 25 dx Câu 2: Cho a ln 2 bln 5 c ln11 với a,b,c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 16 x x 9 A. a b c .B. .C. a b c .D. .a b 3c a b 3c 1 dx 1 e Câu 3: Cho a bln với a, b là các số hữu tỷ. Tính S a3 b3 . x 0 e 1 2 A. S 2 .B. .C. S .D. 2 . S 0 S 1 Câu 33. Chọn đáp án C. Kẻ các đường sinh AA', BB ' của hình trụ T . Khi đó 1 1 1 1 3 1 3 VOO' AB VOAB'.O' A'B OO '. OA.OB '.sin AOB ' r sin AOB ' r . 3 3 2 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AOB ' 90 hay OA  O ' B . 1 Như vậy, khối tứ diện OO ' AB có thể tích lớn nhất bằng r3 , đạt được khi 3 OA  O ' B . Khi đó A' B r 2 và AB A' A2 A' B2 r 6 . DISCOVERY Từ cách làm và kết quả của câu hỏi này, chúng ta có thể đề xuất và trả lời các câu hỏi như ở trên. Trang 15
16. Bài tập tương tự: Câu 1: Cho hình trụ T có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn O;r và O ';r . Gọi A là điểm di động trên đường tròn O;r và B là điểm di động trên đường tròn O ';r . Thể tích khối tứ diện OO ' AB đạt giá trị lớn nhất bằng 1 3 1 3 A. r3 .B. .C. .D. r3 . r3 r3 6 6 3 3 Câu 2: Cho hình trụ T có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn O;r và O ';r . Gọi A là điểm di động trên đường tròn O;r và B là điểm di động trên đường tròn O ';r . Khi thể tích khối tứ diện OO ' AB đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng O 'O và AB bằng 1 2 3 A. r.B. .C. .D. . r r r 2 2 2 Câu 3:Cho hình trụ T có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn O;r và O ';r . Gọi A là điểm di động trên đường tròn O;r và B là điểm di động trên đường tròn O ';r sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và O ' B bằng 60°. Thể tích khối tứ diện O 'OAB bằng 1 3 3 1 A. r3 .B. .C. .D. r3 . r3 r3 6 6 3 3 Câu 4: Cho hình trụ có các đường tròn đáy là O và O ' , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Các điểm A, B lần lượt thuộc các đường tròn đáy O và O ' sao cho AB 3 .a Thể tích khối tứ diện ABOO ' là 1 1 1 A. a3 .B. .C. .D. .a 3 a3 a3 2 3 6 Câu 34. Chọn đáp án A. t 45,78 5750 Ta có 100. 0,5 45,78 t 5750.log2 6481,46 năm. Do đó niên đại của công trình 100 kiến trúc cổ là 6482 năm. Câu 35. Chọn đáp án A. Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của AB. Khi đó G là giao điểm của AC và DN. Tam giác SGD vuông tại G nên S DG nhọn. Do SG  ABCD nên S D, ABCD S D, DG S DG S DG 60 . a 5 a 5 Tam giác NAD vuông tại A nên DN . Suy ra GD . 2 3 a 15 Do đó SG GD tan SDG . 3 3 Ta có CD / / AB nên AB / / SCD . Ta có AC GC . 2 3 Suy ra d AB;SC d AB; SCD d A; SCD d G; SCD . 2 Trang 16
17. Từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại M thì CD  SGM . Suy ra SCD  SGM . Hai mặt phẳng SCD và SGM cắt nhau theo giao tuyến SM. Từ G kẻ GH  SM , H SM thì GH  SCD . Do đó d G; SCD GH . 2a Ta có GM và tam giác SGM vuông tại G có đường cao GH 3 nên SG.GM 2a 15 15 GH . Vậy d AB;SC a . SG2 GM 2 3 19 19 Câu 36. Chọn đáp án D. t t t Đặt t log9 x log12 y log16 x 2y . Suy ra x 9 ; y 12 ; x 2y 16 và t x 9t 3 t . y 12 4 2t t t t t t t t 3 3 Do đó, ta có 9 2.12 16 9 2.12 16 0 2 1 0 4 4 t 3 x 2 1 2 1. 4 y Bài tập tương tự: p Câu 1: Giả sử p và q là các số thực dương sao cho log p log q log p q . Tính giá trị của . 16 20 25 q 1 3 5 1 3 1 1 5 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 y Câu 2: Cho log x log y log x y . Khi đó giá trị của bằng 3 15 5 x 5 1 3 5 5 1 3 5 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 x Câu 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2 log x log y log 2x 3y . Giá trị của bằng 4 6 9 y 38 6 38 6 A. .B. .C. .D. . 2 38 12 2 38 12 8 8 Câu 37. Chọn đáp án B.     Cách 1: Ta có AB 2; 3; 1 , AC 2; 1; 1 và AB.AC 0 nên tam giác ABC vuông tại A và trung điểm I 0; 1;1 của cạnh BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do MA MB MC nên M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nghĩa là M thuộc đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ABC . Trang 17
18. x t 1   ABC nhận AB, AC 1;2; 4 làm vectơ pháp tuyến nên d : y 1 2t . 2 z 1 4t Ta có d và cắt nhau tại M 2;3; 7 . Suy ra 2a 3b 4c 41 . Cách 2: Ta có 2 2 2 2 2 2 a b 1 c 2 a 2 b 2 c 1 MA MB MC 2 2 2 2 2 2 a b 1 c 2 a 2 b c 1 2a 3b c 2 . 2a b c 0 2a 3b c 2 a 2 Do đó, ta có hệ phương trình 2a b c 0 b 3 . 2a 2b c 3 0 c 7 Bài tập tương tự: Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 ,C 2;0;1 và M a;b;c thuộc mặt phẳng sao cho MA MB MC . Giá trị của biểu thức a3 b3 c3 bằng A. 308.B. 27.C. .D. 378. 308 Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 ,C 2;0;1 và mặt phẳng có phương trình 2x 2y z 3 0 . Mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và tâm thuộc mặt phẳng thì có bán kính bằng A. 89 .B. .C. .D. 45.3 5 85 Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1;1 , B 1;1;0 ,C 1;0;1 và mặt phẳng có phương trình x y z 1 0 . Biết rằng tồn tại điểm M sao cho MA MB MC . Thể tích khối chóp M.ABC bằng 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 9 3 6 2 Câu 38. Chọn đáp án C. Giả sử z x yi, x, y . Ta có 2 z i z z 2i 2 x y 1 i x yi x yi 2i x y 1 i y 1 i 2 2 1 x2 y 1 y 1 y x2 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã 4 1 cho là parabol P có phương trình y x2 . 4 Trang 18
19. Bài tập tương tự: Câu 1: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 3 z i 2z z 3i là A. một parabolB. một đường thẳng. C. một đường tròn.D. một elip. 2 Câu 2: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z2 z 4 là A. một hypebol.B. một elip. C. một parabol.D. một đường thẳng. Câu 3: Biết rằng tâp hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z i 1 i z là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng A. 2 .B. 2.C. 4.D. 1. Câu 39. Chọn đáp án B. Đường thẳng d có phương trình y m x 1 3 . Hoành độ giao điểm của d và C là nghiệm của phương trình x3 3x 1 m x 1 3 x 1 x2 x 2 m 0 x 1 hoặc x2 x 2 m 0 . 9 1 4 2 m 0 m d và C cắt nhau tại ba điểm phân biệt 8 . m 0 m 0 2 Gọi B x1; y1 và C x2 ; y2 , trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x x 2 m 0 . I nằm trên đường tròn đường kính BC nên tiếp tuyến của C tại B và C vuông góc với nhau 9 x2 1 x2 1 1 9 x x 2 2x x 1 x x 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 2  9m 18m 1 0 m S  . 3 3  2 2 3 2 2 3 2 2 34 Tổng bình phương các phần tử của S là . 3 9 Trang 19
20. Câu 40. Chọn đáp án C. Đặt t g x 3 2x3 x2 8x 4 . Ta có bảng biến thiên: 4 x 1 3 t ' + 0 0 + 316 t 27 1 Từ cách đặt, ta có g g x 3 m 2g x 5 trở thành g t m 2t 1 1 2t 1 0 t 2 2 . g t m 2t 1 3 2 2t 3t 12t 6 m Ta có bảng biến thiên của hàm số f t 2t3 3t 2 12t 6 : 1 t 1 2 2 f ' + 0 0 + f 13 11 14 Từ các bảng biến thiên trên, ta có: 316 Mỗi t 1; đều có 3 giá trị phân biệt của x. 27 316 Do f 11 nên phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f t m 27 1 316 có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ; 14 m 11 11 m 14 . Do đó có 13 2 27 số nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 41. Chọn đáp án C. S có tâm I 2;5;3 và bán kính R 27 3 3 . Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến. Ta có R2 r 2 d 2 I, P nên P cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi d I, P là lớn nhất. Do d  P nên d I, P d I,d IH , trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d. Dấu bằng xảy ra khi P  IH .  Ta có H 1 2t;t;2 2t d và IH 2t 1;t 5;2t 1   IH.ud 0 2 2t 1 1. t 5 2 2t 1 0 t 1 H 3;1;4 . Trang 20
21. Suy ra P : x 4y z 3 0 hay P : x 4y z 3 0 . Do đó a 1;b 4;c 3 . Câu 42. Chọn đáp án B. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH  ABCD . Ta có SH  AB; AB  HN; HN  SH và SH 3 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó: B 1;0;0 , A 1;0;0 , N 0;2 3;0 , C 1;2 3;0 , D 1;2 3;0 , S 0;0; 3 , 1 3 M ;0; , P 1; 3;0 2 2  3   Mặt phẳng SCD nhận n CD, SC 0;1;2 làm một 1 6 vectơ pháp tuyến; mặt phẳng MNP nhận  2 3   n MN, MP 3;1;5 làm một vectơ pháp tuyến. Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng 2 3 MNP và SCD thì   n1.n2 11 145 cos .   145 n1 . n2 Câu 43. Chọn đáp án A. Ta có sơ đồ lai: P: X AY X A X a A a A A A a F1 : 1X Y,1X Y,1X X ,1X X Cách 1: Từ kết quả lai, ta có xác suất sinh con như sau: 1 - Xác suất sinh con gái là p (ứng với kết quả sinh là 1X A X A hoặc 1X A X a ); 1 2 1 - Xác suất sinh con trai bình thường là p (ứng với kết quả sinh là 1X AY ); 2 4 2 2 1 1 - Xác suất sinh 2 con gái bình thường là p1 . 2 4 2 2 1 1 - Xác suất sinh 2 con trai bình thường là p2 . 4 16 - Xác suất sinh 1 con gái bình thường và 1 con trai bình thường là 1 1 1 2 p p 2. . . 1 2 2 4 4 Để 2 người con đều bình thường thì chỉ xảy ra các trường hợp: hoặc 2 con gái bình thường hoặc 2 con trai bình thường hoặc 1 con gái bình thường và 1 con trai bình thường. Do đó xác suất để sinh được 2 người con bình thường là Trang 21
22. 1 1 1 9 p2 p2 2 p p . 1 2 1 2 4 16 4 16 3 Cách 2: Từ sơ đồ lai, ta có xác suất trong một lần sinh để sinh được người con bình thường là . Do đó, 4 2 2 3 9 xác suất để trong hai lần sinh đều sinh được người con bình thường là C2 . . 4 16 Câu 44. Chọn đáp án A. t t Xét hàm số g t 3 4 5t 2 trên . Ta có g ' t 3t ln 3 4t ln 4 5 và t 2 t 2 g '' t 3 ln 3 4 ln 4 0,t . Suy ra hàm số y g ' t đồng biến trên . Do đó phương trình g ' t 0 có tối đa một nghiệm. Vì vậy, phương trình g t 0 có tối đa hai nghiệm. Nhận thấy t 0,t 1 là các nghiệm của phương trình g t 0 nên phương trình g t 0 có đúng hai nghiệm là t 0,t 1 . Hàm số y g t liên tục trên , g 0 g 1 0 nên trên mỗi khoảng ;0 , 0;1 và 1; , hàm số y g t không đổi dấu trên mỗi khoảng đó. 1 Lại do g 1 0; g 0; g 1 0 nên g t 0 0 t 1 . 2 Do đó 3 f x m 4 f x m 5 f x 2 5m 0 f x m 1 f x m 1 f x . Hàm số y f x nghịch biến trên 1;2 (do khi x 1;2 thì f ' x 0 ). Vì vậy, 3 f x m 4 f x m 5 f x 2 5m nghiệm đúng với mọi x 1;2 khi và chỉ khi f x m 1 f x với mọi x 1;2 f 1 m 1 f 2 . Câu 45. Chọn đáp án A. P có phương trình a x 2 b y 3 c z 4 0 ax by cz 2a 3b 4c . Đặt p m2 2m 2, p 0 . Do D, E, F khác O nên abc 0 và k 2a 3b 4c 0 . k k k Do vậy D ;0;0 , E 0; ;0 , F 0;0; . Lại do OD 2OE pOF nên a b c 1 2 p a b c hay . a b c 1 2 p Xảy ra các trường hợp sau: a b c +) a, b, c cùng dấu. Do đó . Suy ra k 4 p 1 a . 1 2 p a b c +) a, b cùng dấu nhưng trái dấu với c. Khi đó . 1 2 p Trang 22
23. Suy ra k 4 p 1 a 0,a 0 nên trường hợp này tồn tại một mặt phẳng P thỏa mãn yêu cầu bài toán. a b c +) a, c cùng dấu nhưng trái dấu với b. Khi đó . 1 2 p Suy ra k 4 p 2 a 0,a 0 nên trường hợp này cũng tồn tại một mặt phẳng P thỏa mãn yêu cầu bài toán. a b c +) b, c cùng dấu nhưng trái dấu với a. Khi đó . Suy ra k 4 2 p a . Do p 1và 2 p 1 2 p không đồng thời bằng không nên để chỉ có đúng 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán thì p 1 0 m2 2m 1 0 S 0;1;2 . 2  2 p 0 m 2m 0 Suy ra số tập hợp con khác rỗng của S là 23 1 7 . STUDY TIP Cho ba số dương p, q, r và điểm M x0 ; y0 ; z0 với x0 y0 z0 0 . Để đếm số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho pOA qOB rOC 0 thì ta đếm số giá trị khác 0 trong các giá trị sau: px0 qy0 rz0 ; px0 qy0 rz0 ; px0 qy0 rz0 ; px0 qy0 rz0 . Câu 46. Chọn đáp án A. Ta có f x xf 1 x x4 5x3 12x2 4 (1). Từ (1) thay x bởi 1 x ta được f 1 x 1 x f x 1 x 4 5 1 x 3 12 1 x 2 4 1 x f x f 1 x x4 x3 3x2 13x 4 (2). Coi f x , f 1 x là các ẩn số. Từ (1) và (2) ta giải được f x x3 3x2 4 . Ta có x4 10x2 9 0 1 x2 9 x  3;11;3 . Suy ra D  3; 11;3 . Xét hàm số y f x trên tập D. Ta có f x là hàm số liên tục trên từng đoạn  3; 1,1;3 . Lại có f ' x 3x2 6x và f ' x 0 x 0 D hoặc x 2 D . Mặt khác f 3 4; f 2 f 1 0; f 1 2; f 3 50 . Do đó, max f x f 3 50;min f x f 3 4 . D D Vậy, 21m 6M 2019 2235 . Câu 47. Chọn đáp án A. 4 2x2 x sin x x 1 cos x 4 2x 1 xsin x cos x 3x cos x I dx dx 0 xsin x cos x 0 xsin x cos x Trang 23
24. 4 4 d xsin x cos x 2x 1 dx 3 x2 x 4 3ln xsin x x 4 0 0 0 0 xsin x cos x 2 4 15 15 ln 2 3ln 4 . Suy ra, a ;b 3 . Do đó 2a b 12 . 16 2 2 Bài tập tương tự: 3 x 2 ex Câu 1: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y , trục hoành và hai đường thẳng xex 1 1 x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V a bln 1 , e trong đó a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. a 2b 7 .B. .C. a b 3 .D. . a b 5 a 2b 5 5 x 4 ex Câu 2: Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đường cong y , xex 1 trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 1 quanh trục hoành có thể tích V a bln e 1 , trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b 5 .B. .C.a 2b 3 .D. .a b 9 a 2b 13 Câu 48. Chọn đáp án B. Cách 1: (Sử dụng kiến thức Hình học) Ta có z 1 3i z 5 i 8 z 1 3i z 5 i 8 . Gọi M, A, B, I lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z, 1 3i , 5 i , 2 i . Khi đó A 1; 3 , B 5;1 và I 2; 1 . Có I là trung điểm của đoạn thẳng AB và MA MB 2 65 và MI z 2 i . Do I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên MA2 MB2 AB2 MA2 MB2 MI 2 13. 2 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có MA2 MB2 2MA.MB 2 MA2 MB2 MA MB 2 Kết hợp với giả thiết, suy ra MA2 MB2 130 . Do đó MI 2 65 13 52 MI 2 13 . Đẳng thức xảy ra khi MA MB 65 hay MI là đường trung trực của đoạn AB và MI 2 13 . Dễ dàng tìm được M 6; 7 hoặc M 2;5 . Theo giả thiết thì ta lấy M 2;5 ứng với z 2 5i . Do đó a 2,b 5 và 2b 3a 16 . Cách 2: (Sử dụng kiến thức Đại số) Đặt z x yi, x, y . Trang 24
25. Từ giả thiết, ta có x 1 y 3 i x 5 y 1 i 2 65 x 1 2 y 3 2 x 5 2 y 1 2 2 65 . Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xky, ta có 2 65 1. x 1 2 y 3 2 1. x 5 2 y 1 2 2 x 1 2 y 3 2 x 5 2 y 1 2 2 65 2 x2 y2 4x 2y 18 2 x 2 2 y 1 2 13 52 x 2 2 y 1 2 2 13 z 2 i . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1 2 y 3 2 x 5 2 y 1 2 65 x; y 6; 7 hoặc x; y 2;5 . Theo giả thiết, ta lấy a 2,b 5 . DISCOVERY Từ cách làm của câu này, chúng ta có kết quả tổng quát sau: Cho hai số phức z1, z2 khác nhau và các số phức z thỏa mãn: z z1 z z2 d , z1 z2 trong đó d z1 z2 . Khi đó z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 1 2 d 2 z z . 2 1 2 Trường hợp d z1 z2 bạn đọc có thể tham khảo trong Công phá Toán 1 hoặc Công phá Toán 3. Bài tập tương tự Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i z 8 5i 2 38 . Biểu thức z 2 4i đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 5 A. .B. .C. 2.D. 1. 2 2 Câu 2: Cho các số phức z thỏa mãn z 2 7i z 6 i 26 . Biểu thức z 2 4i đạt giá trị nhỏ nhất bằng 41 89 A. 12.B. 24.C. .D. . 2 2 Câu 49. Chọn đáp án B.  +) Do B d2 nên B 1 b;4 2b;3 b . Suy ra CB b 2;2 2b;b .  d1 có 1 vectơ chỉ phương là u1 1;1; 2 .    CB  AH CB.u1 0 b 0 B 1;4;3 . Suy ra BC 2; 2;0 . Trang 25
26.  +) Do A d1 nên A 2 a;3 a;3 2a . Suy ra BA a 1;a 1; 2a .  d2 có một vectơ chỉ phương là u2 1; 2;1 .     Vì BD là phân giác trong góc B nên cos BC,u2 cos u2 , BA     BC.u u .BA 2 2 2 2 2 a 1 a 1 2a 2 1 a BC BA 1 a 0 a 1 a 1 . 2 2 2 6a 2 2 1 a a a 0 a 0  1  +) Với a 0 thì BA 1; 1;0 BC nên trường hợp này bị loại. 2   Với a 1 thì BA 0; 2;2 không cùng phương với BC nên tồn tại tam giác ABC.  3 2 Dễ thấy AC 2;0; 2 và AB BC CA 2 2 nên diện tích tam giác ABC bằng . 2 2 2 3 . 4 Câu 50. Chọn đáp án D. Ta có f 2 4.2 6 2 nên tiếp tuyến của C tại điểm M 2;2 có phương trình là y f ' 2 x 2 2 . Theo giả thiết, ta có f ' 2 4 . 2 Đặt g x f f x và h x f 3x 10 . 2 Khi đó g ' x f ' x . f ' f x và h' x 6x. f ' 3x 10 . Có f f 2 f 2 2;h 2 f 2 2 và g ' 2 f ' 2 . f ' 2 16;h' 2 12. f ' 2 48 . Suy ra, tiếp tuyến của đồ thị hàm số y g x tại điểm 2;2 có phương trình y 16x 3 , 0còn tiếp tuyến của đồ thị hàm số y h x tại điểm 2;2 có phương trình y 48x 94 . Do đó a 16,b 30,c 48,d 94 . Suy ra S 174 . Trang 26