›
›
›

Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Lưu Huy Thưởng

pdf 122 trang nhatle22 1450
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Lưu Huy Thưởng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_12_luu_huy_thuong.pdf

Nội dung text: Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Lưu Huy Thưởng

  1. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 LÝ THUY ẾT KH ẢO SÁT HÀM S Ố I. TÍNH ĐƠ N ĐIỆU C ỦA HÀM S Ố 1. Định ngh ĩa: ố đồ ế Hàm s f ng bi n trên K ⇔∀xx12, ∈ Kx , 12 fx 2 2. Điều ki ện c ần: Gi ả s ử f cĩ đạo hàm trên kho ảng I. a) N ếu f đồng bi ến trên kho ảng I thì fx'( )≥ 0, ∀ xI ∈ b) N ếu f ngh ịch bi ến trên kho ảng I thì fx'( )≤ 0, ∀ xI ∈ 3. Điều ki ện đủ: Gi ả s ử f cĩ đạo hàm trên kho ảng I. a) N ếu fx'( )≥ 0, ∀ xI ∈ ( f'( x )= 0 tại m ột s ố h ữu h ạn điểm) thì f đồng bi ến trên I. b) N ếu fx'( )≤ 0, ∀ xI ∈ ( f'( x )= 0 tại m ột s ố h ữu h ạn điểm) thì f ngh ịch bi ến trên I. c) N ếu f'( x )= 0 thì f khơng đổi trên I. Chú ý: Nếu kho ảng I được thay b ởi đoạn ho ặc nửa kho ảng thì f ph ải liên t ục trên đĩ. 4. Điều ki ện hàm s ố luơn đồng bi ến trên m ột mi ền xác định. Cho hàm s ố y= fxm( , ) , m là tham s ố, cĩ t ập xác định D. • Hàm s ố f đồng bi ến trên D ⇔y' ≥ 0, ∀∈ x D • Hàm s ố f ngh ịch bi ến trên D ⇔y' ≤ 0, ∀∈ x D . Từ đĩ suy ra điều ki ện c ủa m. Chú ý: ● y '= 0 ch ỉ xảy ra t ại m ột s ố h ữu h ạn điểm. ●Nếu y' = ax2 + bx + c thì:   a= b = 0 a= b = 0   c ≥ 0 c ≤ 0 ••• y'≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔  • y'≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔    a > 0 a 0 thì g( x ) cĩ hai nghi m x1, x 2 và trong kho ng hai nghi m thì g( x ) khác d u vớia , ngồi kho ảng hai nghi ệm thì g( x ) cùng d ấu v ới a . ● ệ ủ ứ ậ 2 ớ ố So sánh các nghi m x1, x 2 c a tam th c b c hai g( x ) = ax + bx + c v i s 0: ∆ > 0 ∆ > 0   ♣ x 0 ♣ 0 0 ♣x 0   ●Để ố 3 2 độ ả đồ ế ị ế ằ hàm s y= ax + bx + cx + d cĩ dài kho ng ng bi n (ngh ch bi n) (x1 ; x 2 ) b ng d thì BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
  2. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ta th ực hi ện các b ước sau: Bước 1: Tính y '. Bước 2: Tìm điều ki ện để hàm s ố cĩ kho ảng đồng bi ến và ngh ịch bi ến:  a ≠ 0  ∆ > 0  (1) ướ ế đổ x x2 xx d 2 B c 3: Bi n i x1− x 2 = d thành (1+ 2 ) − 4 12 = (2) Bước 4: Sử d ụng định lí Viet đư a (2) thành ph ươ ng trình theo m. Bước 5: Gi ải ph ươ ng trình, so v ới điều ki ện (1) để ch ọn nghi ệm. II. C ỰC TR Ị CỦA HÀM S Ố 1. Khái ni ệm c ực tr ị của hàm s ố ả ử ố đị ậ ⊂ Gi s hàm s f xác nh trên t p D (D R) và x0 ∈ D . đ ể ự đạ ủ ế ồ ạ ả a) x0 – i m c c i c a f n u t n t i kho ng (a ; b ) ∈ D và x0 ∈ ( a ; b ) sao cho { } fx() fx (),0 ∀ x ∈ (;)\ ab x 0 . đ đượ ọ ị ự ể ự ể ủ Khi ĩ f( x 0 ) c g i là giá tr c c ti u (c c ti u) c a f. ế x đ ể ự ị ủ đ ể đượ ọ đ ể ự ị ủ đồ ị ố c) N u 0 là i m c c tr c a f thì i m (x0; f ( x 0 ) ) c g i là i m c c tr c a th hàm s f. 2. Điều ki ện c ần để hàm s ố cĩ c ực tr ị ế ố đạ ạ đạ ự ị ạ đ ể đ N u hàm s f cĩ o hàm t i x0 và t c c tr t i i m ĩ thì f'( x 0 )= 0 . Chú ý: Hàm s ố f ch ỉ cĩ th ể đạt c ực tr ị t ại nh ững điểm mà t ại đĩ đạo hàm b ằng 0 ho ặc khơng cĩ đạo hàm. 3. Điểu ki ện đủ để hàm s ố cĩ c ực tr ị ả ử ố ụ ả ứ đ ể đạ 1. Định lí 1: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng (a ; b ) ch a i m x0 và cĩ o hàm trên { } (a ; b )\ x 0 ế đổ ấ ừ đ đạ ạ a) N u f'( x ) i d u t âm sang dươ ng khi x i qua x0 thì f t cực ti ểu t i x0 . ế đổ ấ ừ đ đạ ạ b) N u f'( x ) i d u t dươ ng sang âm khi x i qua x0 thì f t cực đại t i x0 . ả ử ố đạ ả ứ đ ể đạ 2. Định lí 2: Gi s hàm s f cĩ o hàm trên kho ng (a; b) ch a i m x0 , f'( x 0 )= 0 và cĩ o ấ ạ đ ể hàm c p hai khác 0 t i i m x0 . ế đạ ự đạ ạ a) N u f''( x 0 ) 0 thì f t c c ti u t i x0 . 4. Quy t ắc tìm c ực tr ị Qui t ắc 1: Dùng định lí 1. BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
  3. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tìm f'( x ) . • Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) mà t ại đĩ đạo hàm b ằng 0 ho ặc khơng cĩ đạo hàm. • Xét d ấu f'( x ) . N ếu f'( x ) đổi d ấu khi x đi qua xi thì hàm s ố đạt c ực tr ị t ại xi . Qui t ắc 2: Dùng định lí 2. • Tính f'( x ) . • Gi ải ph ươ ng trình f'( x )= 0 tìm các nghi ệm xi (i = 1, 2, ). • Tính f''( x ) và f''( x i ) (i = 1, 2, ). Nếu f''( x i ) 0 thì hàm s ố đạt c ực ti ểu t ại xi . III. S Ự T ƯƠ NG GIAO C ỦA CÁC ĐỒ TH Ị đồ ị Để độ đ ể ủ 1. Cho hai th ():C1 y= fx () và (C2 ): y= gx () . tìm hồnh giao i m c a (C 1) và (C 2) ta gi ải ph ươ ng trình: fx()= gx () (*) (g ọi là ph ươ ng trình hồnh độ giao điểm). Số nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (*) b ằng s ố giao điểm c ủa hai đồ th ị. 2. Đồ th ị hàm s ố b ậc ba y= ax3 + bx 2 ++ cx da( ≠ 0) cắt tr ục hồnh t ại 3 điểm phân bi ệt ⇔ Ph ươ ng trình ax3+ bx 2 + cx += d 0 cĩ 3 nghi ệm phân bi ệt. ⇔ 3 2 Hàm s ố y= ax + bx + cx + d cĩ c ực đại, c ực ti ểu và yCĐ. y CT < 0 . IV. TỐN TI ẾP TUY ẾN ế ươ ế ế ∆ ủ ạ đ ể Bài tốn 1: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ():C y= fx () t i i m M0( x 0; y 0 ): • ế N u cho x0 thì tìm y0= f( x 0 ) . ế ệ ủ ươ N u cho y0 thì tìm x0 là nghi m c a ph ng trình f( x ) = y 0 . • Tính y'= f '() x . Suy ra yx'(0 )= fx '( 0 ) . • ươ ế ế ∆ Ph ng trình ti p tuy n là: yy−0 = fx'( 0 ).( xx − 0 ) Bài tốn 2: Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến ∆ của ():C y= fx () , bi ết ∆ cĩ h ệ s ố gĩc k cho tr ước. Cách 1 : Tìm to ạ độ ti ếp điểm. • ọ ế đ ể f x G i M0( x 0; y 0 ) là ti p i m. Tính '(0 ) . • ∆ ệ ố cĩ h s gĩc k⇒ fx'(0 ) = k (1) • ả ươ đượ ừ đ ế ươ ủ ∆ Gi i ph ng trình (1), tìm c x0 và tính y0= f( x 0 ) . T ĩ vi t ph ng trình c a . Cách 2: Dùng điều ki ện ti ếp xúc. • Ph ươ ng trình đường th ẳng ∆ cĩ d ạng: y= kx + m . • ∆ ti ếp xúc v ới (C) khi và ch ỉ khi h ệ ph ươ ng trình sau cĩ nghi ệm:  f( x ) = kx + m  (*) f'( x ) = k  • Gi ải h ệ (*), tìm đượcm . T ừ đĩ vi ết ph ươ ng trình c ủa ∆. Chú ý: Hệ s ố gĩc k của ti ếp tuy ến ∆ cĩ th ể được cho gián ti ếp nh ư sau: + ∆ tạo v ới chi ều d ươ ng tr ục hồnh gĩc α thì k = tan α + ∆ song song v ới đường th ẳng d: y= ax + b thì k= a BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
  4. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 + ∆ vuơng gĩc v ới đường th ẳng d: y= ax + b ( a ≠ 0) thì k = − a k− a + ∆ tạo v ới đường th ẳng d: y= ax + b một gĩc α thì = tan α 1 + ka ∆ ∆ Bài tốn 3: Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến của (C): y= f( x ) , bi ết đi qua điểm A( xA ; y A ) . Cách 1: Tìm to ạ độ ti ếp điểm. • ọ ế đ ể đ y fx yfx G i M0( x 0; y 0 ) là ti p i m. Khi ĩ: 0= ( 00 ); ' '( 0 ) . • ươ ế ế ∆ ạ Ph ng trình ti p tuy n t i Myy:−0 = fxxx '( 0 )( − 0 ) • ∆ đ i qua A( xA ; y A ) nên: yA=−= y0 fxx'( 0 )( A − x 0 ) (2) • ả ươ đượ ừ đ ế ươ ủ ∆ Gi i ph ng trình (2), tìm c x0 . T ĩ vi t ph ng trình c a . Cách 2: Dùng điều ki ện ti ếp xúc. • ∆ Ph ươ ng trình đường th ẳng đi qua A( xA ; y A ) và cĩ h ệ s ố gĩc ky:− yA = kx ( − x A ) • ∆ ti ếp xúc v ới (C) khi và ch ỉ khi h ệ ph ươ ng trình sau cĩ nghi ệm: fx kx x y  ()= ( −A ) + A  f'( x ) = k  (*) • Gi ải h ệ (*), tìm được x (suy ra k ). T ừ đĩ vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến ∆. V. ĐIỀU KI ỆN TI ẾP XÚC Đ ề ệ ầ đủ để đườ ế ệ ươ 1. i u ki n c n và hai ng ():C1 y= fx () và (C2 ): y= gx () ti p xúc nhau là h ph ng trình sau cĩ nghi ệm:   fx()= gx ()  (*) fx'()= gx '()  Nghi ệm c ủa h ệ (*) là hồnh độ c ủa ti ếp điểm c ủa hai đường đĩ. ế 2 2. N u (C1 ) : y= px + q và (C2 ) : y= ax + bx + c thì 2 (C 1) và (C 2) ti ếp xúc nhau ⇔ ph ươ ng trình ax+ bx += c px + q cĩ nghi ệm kép. VI. KHO ẢNG CÁCH 2 2 1. Kho ảng cách gi ữa hai điểm A, B: AB = (xxB− A )( + yy BA − ) 2. Kho ảng cách t ừ điểm M(x 0; y 0) đến đường th ẳng ∆:ax + by += c 0 ax+ by + c d(M, ∆) = 0 0 a2+ b 2 VII. ĐỒ TH Ị CH ỨA D ẤU GIÁ TR Ị TUY ỆT ĐỐI Cách 1: Kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị. • Xét d ấu bi ểu th ức cĩ ch ứa d ấu giá tr ị tuy ệt đối. • Chia mi ền xác định thành nhi ều kho ảng, trong m ỗi kho ảng ta b ỏ d ấu giá tr ị tuy ệt đối. BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
  5. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Vẽ đồ th ị hàm s ố t ươ ng ứng trong các kho ảng c ủa mi ền xác định. Cách 2: Th ực hi ện các phép bi ến đổi đồ th ị. Dạng 1: Vẽ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) . Đồ th ị (C ′) c ủa hàm s ố y= f( x ) cĩ th ể được suy t ừ đồ th ị (C) c ủa hàm s ố y = f(x) nh ư sau: + Gi ữ nguyên ph ần đồ th ị (C) ở phía trên tr ục hồnh. + L ấy đối x ứng ph ần đồ th ị c ủa (C) ở phía d ưới tr ục hồnh qua tr ục hồnh. + Đồ th ị (C ′) là h ợp c ủa hai ph ần trên. Dạng 2: Vẽ đồ th ị c ủa hàm s ố y= f() x . Đồ th ị (C ′) c ủa hàm s ố y= f() x cĩ th ể được suy t ừ đồ th ị (C) c ủa hàm s ố y = f(x) nh ư sau: + Gi ữ nguyên ph ần đồ th ị (C) ở bên ph ải tr ục tung, b ỏ ph ần bên trái tr ục tung. + L ấy đối x ứng ph ần bên ph ải tr ục tung qua tr ục tung. + Đồ th ị (C ′) là h ợp c ủa hai ph ần trên. BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
  6. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1 HT 1. Cho hàm số y=( m − 1) xmx3 + 2 + (3 m − 2) x (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 3 hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nĩ. Giải • Tập xác định: D = R. y′=−( m 1) x2 + 2 mx + 3 m − 2 . (1) đồng biến trên R ⇔ y′≥0, ∀ x ⇔(mx − 1)2 + 2 mxm + 3 −≥∀ 2 0, x  m−1 = 2 m = 0 m > 1   3m − 2 ≥ 0 m >1     1 ⇔ ⇔2 ⇔⇔≥  m ≤ m 2 m −1 > 0  −+−≤2m 5 m 20  2      2  m ≥ 2 m−( m − 1)(3 m −≤ 2) 0    HT 2. Cho hàm số y= x3 +3 x 2 − mx − 4 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (−∞ ;0) . Giải • Tập xác định: D = ℝ ; y'= 3 x2 + 6 xm − , (1) đồng biến trên khoảng (-∞;0) ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ (-∞;0) ⇔ 3x2 + 6 x − m ≥ 0 ∀x ∈ (-∞;0) x -∞ -1 0 +∞ f’(x) - 0 + ⇔ 3x2 + 6 x ≥ m ∀x ∈ (-∞;0) x + - f(x) Xét hàm số f(x) = 3x2 + 6 x − m trên (-∞;0] -3 Cĩ f’(x) = 6x + 6; f’(x) = 0 ⇔ x = -1 Từ bảng biến thiên: ⇒ m ≤ − 3 3 2 HT 3. Cho hàm số y=−2x 3(2 mxmmx ++ 1) 6 ( ++ 1) 1 cĩ đồ thị (C m). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞ ) Giải BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
  7. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tập xác định: D = ℝ y'=− 6 x2 6(2 m ++ 1) x 6 mm ( + 1) cĩ ∆=(2m + 1)2 − 4( m 2 + m ) => 1 0 x= m y '= 0 ⇔  x= m + 1  Ta cĩ: y’ ≥ 0, ∀x (-∞;m) và (m + 1; + ∞) Do đĩ: hàm số đồng biến trên (2;+∞ ) ⇔ m +1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1 HT 4. Cho hàm sốyx=+−3(1 2 mx ) 2 +− (2 mxm ) ++ 2 . Tìm m để hàm đồng biến trên (0; +∞ ). Giải • Tập xác định: D = ℝ yx′=32 + 2 (2)( 1 − mx +− 2 m ) Hàm đồng biến trên (0;+∞ ) ⇔=yx′ 32 + 2 (12)( − mx +−≥ 2 m ) 0 với ∀x ∈ (0;+∞ ) 3x 2 + 2x + 2 ⇔f( x ) = ≥ m với ∀x ∈ (0;+∞ ) 4x + 1  2 x = − 1 2(2 x +x − 1) 2  Ta cĩ: f′() x= = 02 ⇔ x +x −1 = 0 ⇔  1 (4x + 1 ) 2 x =  2 Lập bảng biến thiên của hàm f( x ) trên (0;+∞ ) , từ đĩ ta đi đến kết luận:   1 5 f  ≥ m ⇔ ≥ m 2  4 HT 5. Cho hàm số y=− x42 mx 2 − 3 m + 1 (1), (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ y'4= x3 − 4 mx = 4( xx 2 − m ) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
  8. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + m ≤ 0 , y′≥0, ∀ x ∈ (1;2) ⇒ m ≤ 0 thoả mãn. + m > 0 , y ′= 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt: − m, 0, m . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi m≤1 ⇔ 0 0 nên trên (0;π ) :y '=⇔ 0 cos x =⇔= x 2 3 π  π  + Trên khoảng 0; :y '> 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn 0;       3  3  π  π  + Trên khoảng  ;π :'y < 0 nên hàm số nghịch biến trên đoạn ;π       3   3  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8
  9. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 8. Cho hàm số y= x3 +3 x 2 + mx + m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 1 Giải Hàm số đã cho xác định trên ℝ Ta cĩ: y'= 3 x2 + 6 xm + cĩ ∆' = 9 − 3 m + Nếu m ≥ 3 thì y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , khi đĩ hàm số đồng biến trên ℝ , do đĩ m ≥ 3 khơng thỏa mãn. + Nếu m < 3, khi đĩ: y’ = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1< x 2 ) và hàm số nghịch biến trong đoạn: x; x  với độ dài l = x− x 1 2  2 1 m Theo Vi-ét ta cĩ: x+ x =−2, xx = 1 2 12 3 Hàm số nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 1 ⇔ l = 1 2 4 9 ⇔ ()xx− =⇔+1( xxxx )42 − =⇔− 14 m =⇔= 1 m 21 12 12 3 4 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
  10. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HT 9. Cho hàm số yx=+3(1–2) mx 2 + (2– mxm ) ++ 2 (m là tham số) (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cĩ điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Giải • Tập xác định: D = ℝ y′=3 x2 + 2(1 − 2 mx ) +−= 2 mgx ( ) ⇔ ′ YCBT phương trình y = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn: x1 5 0  5 7 ⇔ g(1) =− 5 m +> 7 0 ⇔ 2) 0  2   ∆=−'m − 230 m +> − 0 ⇔ 0  m + 2 HT 11. Cho hàm số yx=−+23 3( mx 2) 2 + 6(5 mxm +− 1) (4 3 + 2). Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại ∈  x0 (1;2  Giải Vì hàm số bậc 3 nên để hàm số cĩ hai điểm cực trị ⇔y ' = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt. 3 > Do hệ số của x là dương nên khi đĩ: xCT x CD BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
  11. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Ta cĩ y'= 6[ xmxmy2 −+++ ( 2) 5 1], ' =⇔ 0 mx ( −=−+ 5) xx2 2 1 (1) x2 −2 x + 1 Do x = 5 khơng là nghiệm của (1) ⇒ (1)⇔m = = g ( x ) x − 5 x2 −10 x + 9 x = 1 g'( x )= = 0 ⇔ 2  = (x − 5) x 9 Bảng biến thiên: + 0 - - - 0 + 0 Từ bảng biến thiên và kết hợp với nhận xét trên 1 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x∈(1;2] ⇔−≤ m < 0 0 3 1 3 HT 12. Cho hàm số y= x4 − mx 2 + (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) cĩ cực tiểu mà 2 2 khơng cĩ cực đại. Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 y′=2 x3 − 2 mx = 2( xx 2 − m ) . y ′=0 ⇔  x2 = m  Đồ thị của hàm số (1) cĩ cực tiểu mà khơng cĩ cực đại ⇔ PT y ′= 0 cĩ 1 nghiệm ⇔ m ≤ 0 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
  12. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 2 HT 13. Cho hàm số y=− x +2 mx − 4 (). C m Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (Cm ) đều nằm trên các trục tọa độ. Giải x = 0 Ta cĩ: y'=− 4 x3 + 4;'0 mx y =⇔  x2 = m  Nếu m ≤ 0 ⇒ đồ thị hàm số cĩ 1 điểm cực trị duy nhất và điểm đĩ nằm trên trục tung. Nếu m > 0 thì đồ thị hàm số khi đĩ cĩ 3 điểm cực trị. Một điểm cực trị nằm trên trục tung và hai điểm cực trị cịn lại cĩ tọa độ: (±m ; m 2 − 4) ⇒ Các điểm này chỉ cĩ thể nằm trên trục hồnh.  m > 0 ⇒ Điều kiện các điểm nằm trên trục hồnh là  ⇔ m = 2 m2 −4 = 0  m = 2 Kết luận:  m ≤ 0  3 2 2 HT 14. Cho hàm số yx=−+(2 mxmmx + 1) − ( − 3 + 2) − 4 (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m). Xác định m để (C m) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Giải •Tập xác định: D = ℝ y′=−3 x2 + 2(2 mxmm + 1) − ( 2 − 3 + 2) . (C m) cĩ các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung ⇔ PT y′ = 0 cĩ 2 nghiệm trái dấu ⇔ 3(m2 − 3 m + 2) < 0 ⇔ 1<m < 2 . 1 3 2 HT 15. Cho hàm số y= x − mx +(2 m −− 1) x 3 (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m). Xác định m để 3 (C m) cĩ các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Giải • TXĐ: D = ℝ ; y′= x2 –2 mx + 2 m –1 . BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
  13. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đồ thị (C m) cĩ 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung ⇔ y ′= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt   ′ 2 m ≠ 1 ⇔ ∆=m −2 m +> 1 0  cùng dấu  ⇔  1 2m − 1 > 0 m >   2 3 2 HT 16. Cho hàm số y= x +3 x + mx + m – 2 (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m). Xác định m để (C m) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh. Giải • PT hồnh độ giao điểm của (C) và trục hồnh: x3+3 x 2 ++ mx m – 2 = 0 (1) x = − 1 ⇔  gx( )= x2 + 2 x + m −= 2 0 (2)  (C m) cĩ 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x ⇔ PT (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt  ∆=′ 3 −m > 0 ⇔ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác –1 ⇔  ⇔ m < 3 g(− 1) = m − 3 ≠ 0  1 4 HT 17. Cho hàm số yxmx=3 −+( 1) 2 + ( m + 1) 3 ( C ). Tìm m để các điểm cực trị của hàm số 3 3 (C) nằm về hai phía (phía trong và phía ngồi) của đường trịn cĩ phương trình: x2+ y 2 −4 x += 3 0. Giải Ta cĩ: yx'=2 − 2( m + 1) x x = 0 y '= 0 ⇔  x=2( m + 1)  4 y(0)= ( m + 1)3 ; ym (2 += 2) 0 3 Đề hàm số cĩ cực trị thì m ≠ − 1.    4 3  Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0; ( m+ 1) ; Bm (2 + 2;0)  3   Gọi I là tâm đường trịn, khi đĩ I(2;0) và R = 1. BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
  14. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 A và B nằm về hai phía của đường trịn khi và chỉ khi: (IA2− R 2)( IB 2 − R 2 ) ∀ 0 x  9   1 Suy ra: (*)⇔ 4m2 −<⇔ 1 0 m < 2 1 Kết hợp điều kiện ta cĩ: m < 2 3 2 3 HT 18. Cho hàm số y= x −3 mx + 4 m (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m). Xác định m để (C m) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 Ta cĩ: y′ =3 x2 − 6 mx ; y′ =0 ⇔  . Để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0. x= 2 m  Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị là: A(0; 4m 3), B(2m; 0) ⇒ AB=(2 m ; − 4 m 3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m 3)   3 AB⊥ d 2m− 4 m = 0 2 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x ⇔  ⇔  ⇔ m = ± I∈ d 2m3 = m 2   HT 19. Cho hàm số y=−+ x33 mx 2 − 3 m − 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x+ 8 y − 74 = 0 . Giải • Tập xác định: D = ℝ y′= −3 x2 + 6 mx ; y′=0 ⇔ x = 0 ∨ xm = 2 . BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
  15. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔ PT y ′= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 . Khi đĩ 2 điểm cực trị là: A(0;−− 3 m 1), Bmm (2 ;43 −− 3 m 1) ⇒ AB(2 m ;4 m 3 ) Trung điểm I của AB cĩ toạ độ: Imm( ;23 − 3 m − 1) Đường thẳng d: x+8 y − 74 = 0 cĩ một VTCP u =(8; − 1) .   3 I∈ d m+8(2 m − 3 m −−= 1) 74 0 A và B đối xứng với nhau qua d ⇔  ⇔  ⇔ m = 2 AB⊥ d AB. u = 0   HT 20. Cho hàm số y=−+ x33 mx 2 +− 3(1 mxmm 2 ) + 32 − (1). Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Giải • Tập xác định: D = ℝ y′=−3 x2 + 6 mx + 3(1 − m 2 ) . ′ ⇒ PT y = 0 cĩ ∆=1 > 0, ∀ m Đồ thị hàm số (1) luơn cĩ 2 điểm cực trị (xy11 ; ),( xy 22 ; ) . 1 m  Chia y cho y ′ ta được: y= x − y′ +−+2 xmm2 3 3  2 2 Khi đĩ: y1=2 x 1 − m + m ; y2=2 x 2 − m + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y=2 xm −2 + m . 3 2 HT 21. Cho hàm số y= x −3 x + mx + 2(). C m Tìm m để (Cm ) cĩ cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của hàm số cách đều đường thẳng d: x− y − 10. = Giải Ta cĩ : y'3= x2 −+ 6 xmy ;'0 =⇔ 3 x 2 −+= 6 xm 0(1). Hàm số (Cm ) cĩ cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔m < 3. C x x Giả sử Ax(;),11 y Bx( 22 ; y ) là hai điểm cực trị của hàm số (m ),(1 , 2 là 2 nghiệm của (1). BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
  16. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x1  m  m y y   x yx yx Ta cĩ : =' −+ 212  −  ++ và '()1= '( 2 ) = 0 333    3   m m Nên phương trình đường thẳng đi qua A, B là : d': y= 2 − 1 x ++ 2 .  3  3 Do đĩ, các điểm A, B cách đều đường thẳng (d) trong hai trường hợp sau :   m  9 Trường hợp 1 : (d’) cùng phương với (d) ⇔2 −=⇔ 1 1 m = (Khơng thỏa mãn)  3  2 Trường hợp 2 : Trung điểm I của A, B nằm trên (d). Do (I) là trung điểm của AB nên tọa độ (I)  x+ x x 1 2  = = 1 là :  2 Vì I nằm trên (d) nên ta cĩ 1−m −= 10 ⇔ m = 0 (thỏa mãn)  y+ y y=1 2 = m  2 KL :m = 0 3 2 HT 22. Cho hàm số y= x −3 x − mx + 2 (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m). Xác định m để (C m) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y= x − 1 . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ: y'= 3 x2 − 6 xm − . 2 Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔y'3 = x − 6 xm −= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 ⇔∆='93 +m > 0 ⇔ m >− 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A(x1;y1) ; B( x 2 ; y 2 )     ′ 1 1  2 m   m  Thực hiện phép chia y cho y ta được: yxy= −' −  + 2  x +−  2  333     3  2m m  2 m m y y x xy y x  x ⇒ 1==() 1−++−22; 1 2 ==() 2 −++−  22 2 3 3  3  3 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
  17. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899    ∆ 2m  m  ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là :y=− +2 x +−  2  3   3  Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y= x − 1 ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y= x − 1   2m  3 ⇔ − +2 =⇔ 1 m =− (thỏa mãn)  3  2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y= x − 1 y+y x + x 2m  m ⇔=−⇔y x 11 2 = 1 2 − 1 ⇔ − +2()xx ++−=+− 22   () xx 2 I I 2 2 312  3  12     2m  2 m ⇔ +3.2 =− 6 ⇔=m 0 3  3 3  Vậy các giá trị cần tìm của m là: m =0; −  2  HT 23. Cho hàm số y= x3 −3 x 2 + mx (1). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cĩ các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x –2 y –5= 0 . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ yx=−33 x 2 + mx ⇒= y '36 x 2 −+ xm Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu ⇔ y ′= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt ⇔∆=−′ 93m > 0 ⇔ m < 3    11′  2  1 Ta cĩ: y= x − y +  mxm −+2  33   3  3 Tại các điểm cực trị thì y ′= 0 , do đĩ tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:   2 1 y= m −2 x + m 3  3   ∆ 2 1 Như vậy đường thẳng đi qua các điểm cực trị cĩ phương trình y= m −2 x + m 3  3 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
  18. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 nên ∆ cĩ hệ số gĩc k= m − 2 . 1 3 1 5 1 d: x–2 y –5= 0 ⇔y = x − ⇒ d cĩ hệ số gĩc k = 2 2 2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải cĩ d ⊥ ∆ 1 2  ⇒ kk m m 1 2 =−⇔1 − 21 =−⇔ = 0 2 3  Với m = 0 thì đồ thị cĩ hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I ∈ d, do đĩ hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 3 2 HT 24. Cho hàm số yx=−3( m + 1) x ++− 9 xm 2 (1) cĩ đồ thị là (C m). Với giá trị nào của m thì 1 đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y= x . 2 Giải • Tập xác định: D = ℝ y'= 3 x2 − 6( m + 1) x + 9 Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔ ∆=' 9(m + 1)2 − 3.9 > 0 ⇔m ∈−∞−−( ;1 3)(1 ∪−+ 3; +∞ )   1m + 1  ′ 2 Ta cĩ y=− x ymmxm −2( +−++ 2 2) 4 1 3 3  Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là Ax(;11 y ), Bx ( 22 ; y ) , I là trung điểm của AB. 2 2 ⇒=−y12( m + 2 mx − 2) 1 + 4 m + 1 ; y2=−2( m + 2 mx − 2) 2 + 4 m + 1 x x m  1+ 2 =2( + 1) và:  x. x = 3  1 2 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y=−2( m2 + 2 m − 2) xm + 4 + 1  1 AB⊥ d A, B đối xứng qua (d): y= x ⇔  ⇔ m = 1. 2 I∈ d  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
  19. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 HT 25. Cho hàm số y= xmx3 −−( 1) 2 + 3( mx −+ 2) , với m là tham số thực. Xác định m để 3 3 hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x 2 sao cho x1+2 x 2 = 1 . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ: yx′=−2 2( m − 1) x + 3( m − 2) ⇔ ′ Hàm số cĩ cực đại và cực tiểu y = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x 2 ⇔ ∆>⇔′ 0m2 −5 m + 7 > 0 (luơn đúng với ∀m) x x m x=3 − 2 m  1+ 2 =2( − 1)  2 Khi đĩ ta cĩ:  ⇔  x x=3( m − 2) x1− 2 x = 3( m − 2)  1 2  2( 2 ) −4 ± 34 ⇔8m2 + 16 m −=⇔= 90 m . 4 HT 26. Cho hàm số yx=−33( m + 1) x 2 +− 9 xm , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x 2 sao cho x1− x 2 ≤ 2 . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ y'= 3 x2 − 6( m + 1) x + 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x 2 ⇔ PT y '= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x 2 2 ⇔ PT x−2( m + 1) x += 3 0 cĩ hai nghiệm phân biệt là x1, x 2 .  2 m > −1 + 3 ⇔∆=' (m + 1) −> 3 0 ⇔  (1) m < −1 − 3  + Theo định lý Viet ta cĩ xx12+=2( m + 1); xx 12 = 3. Khi đĩ: 2 2 xx12−≤⇔+2( xx 12) − 4 xx 12 ≤⇔ 441124( m +−≤) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
  20. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔(m + 1)2 ≤⇔−≤ 4 3 m ≤ 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là −3 ≤m . 1 2 1 2 3 Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ: yx'3=2 + 2 (21 − mx ) +− ( 2 m ) Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔y ' = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 (giả sử x1 ⇔∆=−' (1 2m )2 − 3(2 − mmm ) = 4 2 −−>⇔ 5 0  (*)  4 m ⇔()() xx− =+− xx4 xx > 123 12 1 2 12 9 3+ 29 3 − 29 ⇔−4(1 2)m2 −−>⇔ 4(2 m ) 1 16 mm 2 − 12 −>⇔> 5 0 m ∨ ∨ 3) 0 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
  21. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔−(m + 1)( m + 5) >⇔− 0, ∀ m hàm số luơn cĩ 2 cực trị x1, x 2 .   x1= − 4 x 2   m 9 Khi đĩ: x1+ x 2 = − ⇒m = ±  6 2  1 x x = −  1 2 4 Câu hỏi tương tự: 3 2 a) y= x +3 x + mx + 1 ; x1+ 2 x 2 = 3 ĐS: m = − 10 5 . 1 1 HT 30. Tìm các giá trị của m để hàm số y= x3 − mx 2 +( m 2 − 3) x cĩ cực đại x , cực tiểu x đồng 3 2 1 2 5 thời x ; x là độ dài các cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng cĩ độ dài cạnh huyền bằng 1 2 2 Giải Cách 1: Miền xác định: D = ℝ cĩ y'=− x2 mxm +− 2 3; y ' =⇔− 0 x 2 mxm + 2 = 0 Hàm số đạt cực đại tại x1 cực tiểu tại x2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn khi và chỉ khi pt y’= 0 cĩ hai nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đồi dấu qua hai nghiệm đĩ: BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
  22. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  2  ∆>04 −m > 0 − ⇔>0  0 ⇔>  0 ⇔ 0 m2 −3 > 0  m 3   x x m  1+ 2 = Theo Vi-ét ta cĩ:  x x= m 2 − 3  1 2 5 14 Mà xx22+=⇔2( xxxx + ) 2 − 4 ==⇔ 5 5 2 mm 22 − 4( −=⇔=± 3) 5 m 122 12 12 2 14 Đối chiếu điều kiện (*) ta được: m = 2 2 HT 31. Cho hàm số y= xmxm3 ++( 1) 2 + ( 2 +++ 4 mx 3) 1. Tìm m để hàm số cĩ cực trị. Tìm 3 x x giá trị lớn nhất của biểu thức A= xx12 −2( x 1 + x 2 ) với 1, 2 là các điểm cực trị cửa hàm số. Giải Ta cĩ: y'= 2 x2 + 2( m +++ 1) xm 2 4 m + 3 Hàm số cĩ cực trị ⇔y ' = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt. ⇔m2 +650 m +<⇔−< 5 m <− 1 x+ x =−1 − m  1 2 1 Khi đĩ ta cĩ:  ⇒=A m2 +8 m + 7  1 2 xx=( m + 4 m + 3) 2  1 2 2 1 9 Xét t=( m2 + 8 m + 7) trên (− 5; − 1) ⇒− ≤t < 0 2 2 9 Từ đĩ ta cĩ A ≤ khi m = − 4 2 HT 32. Cho hàm số yx=−33( m + 1) x 2 +− 9 xm (1) với m là tham số thực. Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại , cực tiểu sao cho yCD+ y CT = 2 Giải Ta cĩ: y'= 3 x2 − 6( m + 1) x + 9 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
  23. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x 2 ⇔ y ' = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 2 ⇔x −2( m + 1) x += 3 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x 2  2 m > −1 + 3 ⇔∆='(m + 1)30 −> ⇔  (*) m 2 Giải Ta có:y'=− x2 2 mx + ( m 2 − 1) 2 2 ∆'y ' =m − m +=> 110 x= m + 1 ⇒y ' = 0 ⇔  x= m − 1  ⇒ yCD+ y CT = y( m+ 1) + y ( m − 1) (m + 1)3 (m − 1) 3 =[ −++−+++mm( 1)2 ( mm 2 1)( 1) 1][ −−+−−+ mm ( 1)2 ( mm 2 1)( 1) 1] 3 3 −1 ⇔ 22 mm ( 2 −>⇔ 1)0  m > 1  −1 1  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
  24. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 HT 34. Cho hàm số yx=−3( mx − 2) 2 − 3( mx −+ 1) 1 (1), m là tham số. Tìm m > 0 để đồ thị 2 hàm số (1) cĩ giá trị cực đại, cực tiểu lần lượt là yCD, y CT thỏa mãn: 2yCD+ y CT = 4 . Giải Ta cĩ: yx'= 32 − 3( mxm − 2) − 3( −∀∈ 1), x ℝ x= x = − 1 y'0=⇔ xmxm2 − (2) − −+=⇔ 10  1 x= x = m − 1  2 Chú ý rằng với m > 0 thì x1 0 ta cĩ giá trị của m là m=1, m = 2 HT 35. Cho hàm số y= x3– 3 x 2 + 2 (1). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y= 3 x − 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Giải • Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức gxy(,)3= x − y − 2 ta cĩ: gxy(,)3AA= xy AA −−=− 260 ⇒ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y=3 x − 2 . Do đĩ MA + MB nhỏ nhất ⇔ 3 điểm A, M, B thẳng hàng ⇔ M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y= −2 x + 2   4 y=3 x − 2 x =     5 4 2  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: ⇔  ⇒ M  ;  y= −2 x + 2  2 5 5     y =  5 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
  25. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 36. Cho hàm số yx=−33 mx 22 + 3( m −−+ 1) xm 3 m (1). Tìm m để hàm số (1) cĩ cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ y′=3 x2 − 6 mx + 3( m 2 − 1) Hàm số (1) cĩ cực trị thì PT y ′= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔x2 −2 mx + m 2 −= 1 0 cĩ 2 nhiệm phân biệt ⇔∆=1 > 0, ∀ m Khi đĩ: điểm cực đại A( m− 1;2 − 2 m ) và điểm cực tiểu B( m+ 1; − 2 − 2 m )  2 m = −3 + 2 2 Ta cĩ OA=2 OB ⇔ m + 610 m +=⇔  . m = −3 − 2 2  HT 37. Cho hàm số yx=−33( m + 1) x 2 + 3 mm ( +−+ 2) x 2 mC ( ) .Tìm m để đồ thị hàm số (C) cĩ cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) tới trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) tới trục Oy . Giải x= m Ta cĩ: y'=+ 3 x2 6( m ++ 1) xmm 3( + 2);' y =⇔ 0  x= m + 2  Hàm số cĩ cực trị với mọi m . Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là: Amm( ;32+ 3 m +− m 2), Bm ( + 2; m 32 + 3 m +− m 6) Ta cĩ hàm số là hàm bậc ba với hệ số a =1 > 0 ⇒ điểm cực đại nhỏ hơn điểm cực tiểu. Vậy A là điểm cực đại, B là điểm cực tiểu. Ta cĩ: dAOx(;)=++− m3 3 m m 2,(,) dBOy =+ m 2 m  = − 2 m 3  = − 1 Theo giả thiết ta cĩ: m+3 mm +−= 2 m + 2 ⇔  m = 1 m = 0  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
  26. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 2 HT 38. Cho hàm số y= x −3 x − mx + 2 cĩ đồ thị là (C m). Tìm m để (C m) cĩ các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y= − 4 x + 3 . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ: y'= 3 x2 − 6 xm − . 2 Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔y'3 = x − 6 xm −= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 ⇔∆='93 +m > 0 ⇔ m >− 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A(x1;y1) ; B( x 2 ; y 2 )     ′ 1 1  2 m   m  Thực hiện phép chia y cho y ta được: yxy= −' −  + 2  x +−  2  333     3  2m m  2 m m y y x xy y x  x ⇒ 1==() 1−++−22; 1 2 ==() 2 −++−  22 2 3 3  3  3    2m  m  ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y=− +2 x +−  2  3   3  Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y= −4 x + 3     2m  −  +2 =− 4   3   ⇔ ⇔m = 3 (thỏa mãn) m  2− ≠ 3   3  3 2 HT 39. Cho hàm số y= x −3 x − mx + 2 cĩ đồ thị là (C m). Tìm m để (C m) cĩ các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x+ 4–5 y = 0 một gĩc 45 0 . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta cĩ: y'= 3 x2 − 6 xm − . 2 Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔y'3 = x − 6 xm −= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
  27. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔∆='93 +m > 0 ⇔ m >− 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A(x1;y1) ; B( x 2 ; y 2 )     ′ 1 1  2 m   m  Thực hiện phép chia y cho y ta được: yxy= −' −  + 2  x +−  2  333     3  2m m  2 m m y y x xy y x  x ⇒ 1==() 1−++−22; 1 2 ==() 2 −++−  22 2 3 3  3  3    ∆ 2m  m  ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là :y=− +2 x +−  2  3   3    2m  1 Đặt k = − + 2. Đường thẳng d: x+4 y –5 = 0 cĩ hệ số gĩc bằng − .  3   4 1 1 1  3  39 k + k+=−1 kk  =  m =− 4    Ta cĩ: tan 45 =⇔44 ⇔⇔  5  10 1 11  5  1 1 − k k+=−+1 kk  =−  m =− 4 44  3  2 1 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = − 2 HT 40. Cho hàm số yx=3 +3 x 2 + m (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị A, B sao cho AOB = 120 0 . Giải • Tập xác định: D = ℝ x=−2 ⇒ y = m + 4 Ta cĩ: y′=3 x2 + 6 x ; y ′=0 ⇔  x=0 ⇒ y = m  Vậy hàm số cĩ hai điểm cực trị A(0 ; m) và B( −2 ; m + 4) 1 OA=(0; mOB ), =−+ ( 2; m 4) . Để AOB = 120 0 thì cos AOB = − 2 −4 <m < 0 m( m + 4) 1 2 2  ⇔ =−⇔m()4 ++=− ( m 4) 2 mm ( +⇔ 4)  2 2 2 2 3m+ 24 m + 44 = 0 m(4+ ( m + 4) )  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
  28. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  −4 0 ⇔∀m ∈ x= m + 1 y '= 0 ⇔  ⇒ Hai điểm cực trị: Am(−+ 1; m 1), Bm ( +− 1; m 3) x= m − 1  OA=−( m 1; m + 1), OB =+ ( m 1; m − 3). ∆OAB vuơng tại O khi O, A, B phân biệt và OAOB.= 0 m = − 1 ⇔2(m2 −−=⇔ m 2) 0  m = 2  3 2 2 3 HT 42. Cho hàm số yx=– 3 mx + 3( m – 1) xm – (C m). Chứng minh rằng (C m) luơn cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. Giải • Tập xác định: D = ℝ x= m + 1 y′=3 x2 − 6 mx + 3( m 2 − 1) ; y ′=0 ⇔  x= m − 1   x= −1 + t Điểm cực đại M( m –1;2–3 m ) chạy trên đường thẳng cố định:  y=2 − 3 t   x=1 + t Điểm cực tiểu N( m+ 1; − 2 – m ) chạy trên đường thẳng cố định:  y= −2 − 3 t  HT 43. Cho hàm số yx=+33( m + 1) x 2 + 3 mm ( +++ 2) xm 32 3 m . Chứng minh rằng với mọi m BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
  29. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 hàm số luơn cĩ 2 cực trị và khoảng cách giữa hai điểm này khơng phụ thuộc vào vị trí của m. Giải x= −2 − m Ta cĩ: y'=+ 3 x2 6( m ++ 1) xmm 6( + 2);' y =⇔ 0  x= − m  Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2 - m) và (-m;+ ∞), nghịch biến trên khoảng (-2 - m;-m) và xCD=−−2 my ; CD = 4; x CT =− my ; CT = 0 Khi đĩ, khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: (−−+ 2m m )2 +− (4 0) 2 = 2 5 ⇒ Điều phải chứng minh. HT 44. Cho hàm số y= x3 −3 x 2 − mx + 2 (1) với m là tham số thực. Định m để hàm số (1) cĩ cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Giải Ta cĩ: y'= 3 x2 − 6 xm − Hàm số cĩ cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔∆='93 +m > 0 ⇔ m >− 3 (1) Lấy y chia cho y’ ta được: 1 2 m m yxxmx=−33 2 − += 2 (1).'( xy − +− − 2) x +− 2 3 3 3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cĩ phương trình 2m m y=−( − 2) x +− 2 3 3    m−6  6 − m  Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai A;0 , B  0;  2(m + 3)   3  m−6 6 − m Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA= OB ⇒ = 2(m + 3) 3 9 3 ⇒m =6; m =− ; m =− 2 2 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
  30. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 Với m = 6 thì A≡ B ≡ O do đĩ so với điều kiện ta nhận m = − 2 1 1 HT 45. Cho hàm số y= x3 −( mxmx − 1) 2 +−+ ( 2) 1. Tìm m để đồ thị hàm số cĩ hai điểm 3 2    7 cực trị A, B đồng thời các điểm cực trị tạo với hai điểm D 3;  và gốc tọa độ O tạo thành hình  2  bình hành OADB . Giải x = 1 Ta cĩ: yx'=−2 ( m + 1) xm +− 2, y ' =⇔ 0  x= m − 2  Hàm số cĩ cực trị ⇔y ' = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt ⇔m −≠⇔2 1 m ≠ 3 Ta cĩ OADB là hình bình hành nên trung điểm của AB cũng chính là trung điểm của OD. x x x  A+ B D  = Từ đĩ, ta cĩ hệ:  2 2 y+ y y  A B= D  2 2 Giả sử: xA=1, x B = m − 2. Từ phương đầu tiên của hệ ta cĩ: m−=1 3 ⇔ m = 4.    11  5  Với m = 4 ta cĩ: A A1; ; B  2;  6   3  Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta thấy thỏa mãn. Kết hợp điều kiện m ≠ 3 ta đi đến kết luận: m = 4 là giá trị cần tìm. 4 2 2 HT 46. Cho hàm số yfxx=( ) =+ 2( m − 2) xm +−+ 5 m 5 (Cm ) . Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số cĩ các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuơng cân. Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 Ta cĩ fx′() =4 x3 + 4( m − 2) x =⇔ 0  x2 =2 − m  Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔ PT f′( x )= 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 2 (*) Khi đĩ toạ độ các điểm cực trị là: Amm(0;2 −+ 5 5,) B( 2 −− mmC ;1) ,( −−− 2 mm ;1 ) ⇒ AB=( 2; −−+− mm2 44, m) AC =−−−+−( 2; mm2 44 m ) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
  31. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Do ∆ABC luơn cân tại A, nên bài tốn thoả mãn khi ∆ABC vuơng tại A 3 ⇔ ABAC.0=⇔( m − 21) =−⇔ m = 1 (thoả (*)) 4 2 2 HT 47. Cho hàm số yx=+2( mxmm − 2) +− 5 + 5( C m ) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 Ta cĩ fx′() =4 x3 + 4( m − 2) x =⇔ 0  x2 =2 − m  Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔ PT f′( x )= 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 2 (*) Khi đĩ toạ độ các điểm cực trị là: Amm(0;2 −+ 5 5,) B( 2 −− mmC ;1) ,( −−− 2 mm ;1 ) ⇒ AB=( 2; −−+− mm2 44, m) AC =−−−+−( 2; mm2 44 m ) 1 Do ∆ABC luơn cân tại A, nên bài tốn thoả mãn khi A = 60 0 ⇔ cos A = 2 AB. AC 1 ⇔ = ⇔ m =2 − 3 3 . AB. AC 2 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: yx=−44( m − 1) x 2 + 2 m − 1 4 2 2 HT 48. Cho hàm số y=+ x2 mx + m + m cĩ đồ thị (C m) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) cĩ ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đĩ lập thành một tam giác cĩ một gĩc bằng 120 0 . Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 3 2  Ta cĩ y′ =4 x + 4 mx ; y′ =⇔0 4( xxm + )0 =⇔  (m < 0) x= ± − m  Khi đĩ các điểm cực trị là: Am(0;2 + mB ),( − mmC ;) ,( −− mm ; ) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
  32. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 AB=( − m ; − m 2 ) ; AC=−( − mm ; − 2 ) . ∆ABC cân tại A nên gĩc 120 chính là A . 1.1ABAC−− mmm . − + 4 1 A = 120 ⇔cos A =−⇔ =−⇔ =− 4 2AB. AC 2m− m 2 m= 0 ( loại ) m+ m 4 1  ⇔ =−⇒+22m m4 =−⇔ mm 4 3 m 4 +=⇔ m 0  1 4 2 m = − m− m  3  3 1 Vậy m = − . 3 3 4 2 HT 49. Cho hàm số y= x −2 mx +− m 1 cĩ đồ thị (C m) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) cĩ ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đĩ lập thành một tam giác cĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1. Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 Ta cĩ y′=4 x3 − 4 mx = 4( xx 2 −=⇔ m )0  x2 = m  Hàm số đã cho cĩ ba điểm cực trị ⇔ PT y ′= 0 cĩ ba nghiệm phân biệt và y ′ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đĩ ⇔m > 0 . Khi đĩ ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: Am(0;− 1), B( −−+− mmm ;2 1) , Cmmm( ; −+− 2 1 ) 1 S= yyxx −. −= mm2 ; AB== AC m4 + mBC, = 2 m △ABC2 B A C B m = 1 ABACBC. . ( m4 + m )2 m  R = =⇔1 =⇔−+=⇔ 1m3 210 m  4S 2  5− 1 △ABC 4m m m =  2 Câu hỏi tương tự: −1 + 5 a) y= x4 −2 mx 2 + 1 ĐS: m=1, m = 2 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
  33. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 2 4 HT 50. Cho hàm số y=− x2 mx + 2 m + m cĩ đồ thị (C m) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) cĩ ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đĩ lập thành một tam giác cĩ diện tích bằng 4. Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 Ta cĩ y'4= x3 − 4 mx =⇔ 0  gx( )= x2 − m = 0  Hàm số cĩ 3 cực trị ⇔y ' = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt ⇔∆=g m >0 ⇔ m > 0 (*) ′ Với điều kiện (*), phương trình y = 0 cĩ 3 nghiệm x1=− mx; 2 = 0; x 3 = m . Hàm số đạt 4 42 42 cực trị tại x1; x 2 ; x 3 . Gọi A(0;2 mmBmm+ );( ; −+ m 2 mC) ;( − mm ; −+ m 2 m ) là 3 điểm cực trị của (C m) . Ta cĩ: AB2= AC 24 =+ m m; BC 2 =⇒∆ 4 m ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC ⇒Mm(0;42 −+⇒== m 2 m ) AM m 22 m Vì ∆ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đĩ: 5 1 1 S= AMBCmm. = 442 =⇔=⇔=⇔= m2 4 m5 16 m 5 16 ∆ABC 2 2 Vậy m = 5 16 . Câu hỏi tương tự: a) y= x4 −2 mx 2 2 + 1 , S = 32 ĐS: m = ± 2 4 2 HT 51. Cho hàm số x−2 mx + 2 cĩ đồ thị (Cm ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị   3 9  (Cm ) cĩ ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cĩ đường trịn ngoại tiếp đi qua điểm D  ;  5 5   Giải x = 0 3  y'44=−=⇔ x mx 0 (0) m > Vậy các điểm thuộc đường trịn (P) ngoại tiếp các điểm x= ± m  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
  34. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   2 2 3 9  cực trị là: A (0;2); Bmm(−−+ ; 2); Cmm ( ; −+ 2); D  ;  . Gọi I(x;y) là tâm đường trịn (P) 5 5      2 2 3x− y + 1 = 0  IA= ID  x = 0    IBIC2=⇔=− 2 2 xmxm 2 ⇔= y 1    IB2= IA 2 (xm+ )2 ++ ( ym 222 − 2) =+− xy ( 2) 2  m= 0( l )     m= 1( t / m )  Kết luận: m = 1 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
  35. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN 3: SỰ TƯƠNG GIAO HT 52. Cho hàm số yx=3 −6 x 2 + 9 x − 6 cĩ đồ thị là (C). Định m để đường thẳng ():d y= mx − 2 m − 4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Giải • PT hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x3−696 x 2 +−= x mx − 24 m − x = 2 ⇔ (x− 2)( x2 − 4 x +− 1 m ) = 0 ⇔  gx()= x2 − 41 x +− m = 0  (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt ⇔ PT g( x )= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ m > − 3 3 2 HT 53. Cho hàm số y= x −3 mx − 2 m (C m). Tìm m để (C m) và trục hồnh cĩ đúng 2 điểm chung phân biệt. Giải x = 0 Ta cĩ: y'3= x2 − 6 mx ⇒=⇔ y '0  x= 2 m   y có CĐ, CT (C m) và Ox cĩ đúng 2 điểm chung phân biệt ⇔  y=0 hoặc y = 0  CĐ CT Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu ⇔ 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 x = 0 Ta cĩ: yy.=⇔− 0 2(8 mmmm3 − 6 3 − 2)0 =⇔  CD CT x = ± 1  Kết hợp điểu kiện ta cĩ: m = ± 1 HT 54. Cho hàm số y=−2 x3 + 6 x 2 + 1 . Tìm m để đường thẳng y= mx + 1cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho A(0;1) và B là trung điểm của AC. Giải Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng y= mx + 1với đồ thị (C): x = 0 −2x3 + 6 x 2 += 1 mx +⇔ 1(26 xx 2 −+=⇔ xm )0  2x2 − 6 x + m = 0  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
  36. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Với x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ A(0;1) Đường thẳng y= mx + 1cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C ⇔ 2 2x− 6 x + m = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0     9 ∆>'0  92 −m > 0 m 0, x > 0  CĐ CT a. y (0) 1 0 0, ∀ m y ′ x= m −1 = x + y ′=0 ⇔  CĐ x= m +1 = x  CT m −1 > 0  m +1 > 0 Suy ra: (*) ⇔ ⇔<<+3m 1 2 (m2− 1)( m 2 − 3)( mm 2 −−< 2 1) 0  −(m2 − 1) < 0  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
  37. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2 HT 56. Cho hàm số y= x3 − mx 2 −++ x m có đo thị (C ) . Tı̀m m đe (C ) cat trục hoành tại 3 3 3 m m điem phân biệt có tong bı̀nh phương các hoành độ lớn hơn 15. Giải 1 2 • YCBT ⇔ x3− mx 2 −+ x m += 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x2+ x 2 + x 2 > 15 . 3 3 1 2 3 x = 1 Ta cĩ: (*) ⇔−(x 1)( x2 +− (1 3 mx ) −− 2 3 m ) = 0 ⇔  gxx()=2 +− (13) mx −− 23 m = 0  ⇔ 2 2 Do đĩ: YCBT g( x )= 0 có 2 nghiệm x1, x 2 phân biệt khác 1 và thỏa x1+ x 2 > 14 . ⇔m > 1 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y=− x33 mx 2 −+ 33 x m + 2 HT 57. Cho hàm số yx=3 −3 x 2 − 9 xm + , trong đĩ m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng. Giải • Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình x3−3 x 2 − 9 xm + = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình x3−3 x 2 − 9 x =− m cĩ 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Đường thẳng y= − m đi qua điểm uốn của đồ thị (C) ⇔−m =−11 ⇔ m = 11. 3 2 HT 58. Cho hàm số y=− x3 mx +− 9 x 7 cĩ đồ thị (C m), trong đĩ m là tham số thực. Tìm m để (C m) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng. Giải • Hồnh độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x3−3 mx 2 + 970 x −= (1) Gọi hồnh độ các giao điểm lần lượt là x1; x 2 ; x 3 ta cĩ: x1+ x 2 + x 3 = 3 m BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
  38. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Để x1; x 2 ; x 3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1)  m = 1   3  −1 + 15 ⇒ −2m + 9 m −= 70 ⇔ m =  2  −1 − 15 m =  2 −1 − 15 Thử lại ta cĩ m = là giá trị cần tìm. 2 3 2 HT 59. Cho hàm số y= x −3 mx − mx cĩ đồ thị (C m), trong đĩ m là tham số thực. Tìm m để (C m) cắt đường thẳng d: y= x + 2 tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số nhân. Giải • Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (C m) và d: x3−3 mx 2 −=+⇔ mxx 2 gx( ) =− x3 3 mx 2 −+−=( m 120) x Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1; x 2 ; x 3 lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đĩ ta cĩ: gx( ) =−( xxxxxx1)( − 2)( − 3 ) x+ x + x = 3 m  1 2 3 Suy ra: xx+ xx + xx =−− m 1  12 23 13 x x x = 2  1 2 3 2 3 3 3 5 Vì xxx132= ⇒ x 2 =⇒2 x 2 = 2 nên ta cĩ: −−=+m1 4 2.3 m ⇔ m =− 33 2+ 1 5 Đk đủ: Với m = − , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. 33 2+ 1 5 Vậy m = − 33 2+ 1 HT 60. Cho hàm số: y=2 x3 − 3 x 2 + 1 (1) . Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 8. Giải BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
  39. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Giả sử M (x 0; y 0) ∈(C) ⇒ y0 = 2x 03 - 3x 02 + 1 Ta cĩ : y'= 3 x2 − 6 x Tiếp tuyến ( ∆) của (C) tại M: y = (6x 02 - 6x 0) (x - x0) + 2x 03 - 3x 02 + 1 (∆) đi qua điểm P(0 ; 8) ⇔ 8 = -4x 03 + 3x 02 + 1 ⇔ (x 0 + 1) (4x 02 - 7x 0 + 7) = 0 ⇔ x0 = -1 ; (4x 02 - 7x 0 + 7 > 0, ∀ x0) Vậy, cĩ duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm. 3 2 HT 61. Cho hàm sốy=+ x2 mx ++ ( m 3) x + 4 cĩ đồ thị là (C m) (m là tham số). Cho đường thẳng (d): y= x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C m) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC cĩ diện tích bằng 8 2 . Giải • Phương trình hồnh độ giao điểm của (C m) và d là: x3+2 mx 2 ++ (3)4 m x +=+⇔ x 4( xx2 + 2 mxm ++= 2)0 x=0 ( y = 4) ⇔  g( x )= x2 + 2 mx ++= m 2 0 (1)  (d) cắt (C m) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C ⇔ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 0.  / 2  ∆=m − m −>2 0 m≤−1 ∨ m ≥ 2 ⇔ ⇔  (*) g(0)= m + 2 ≠ 0  m ≠ − 2    Khi đĩ: xBC+=− x2;. mxx BC =+ m 2 . 1− 3 + 4 Mặt khác: d(,) K d = = 2 . Do đĩ: 2 1 S=⇔82 BCdKd .(,)82 =⇔=⇔= BC 16 BC 2 256 ∆KBC 2 2 2 2 2 ⇔(xxBC − )( +− yy BC ) = 256 ⇔(xxBC − ) + (( x B +−+ 4)( x C 4)) = 256 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
  40. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 ⇔2(xxBC −=⇔+− ) 256 ( xx BC ) 4 xx BC = 128 1± 137 ⇔4mm2 − 4( += 2)128 ⇔ mm 2 −−=⇔= 340 m (thỏa (*)). 2 1± 137 Vậy m = . 2 3 2 HT 62. Cho hàm số y= x −3 x + 4 cĩ đồ thị là (C). Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(− 1;0) với hệ số gĩc k (k ∈ ℝ ) . Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 1. Giải • ⇔ Ta cĩ: dk : y= kx + k kx− y + k = 0 Phương trình hồnh độ giao điểm của (C m) và d là: 3 2 2  2 xx−34 += kxkx +⇔+ (1)(2) x − −=⇔=− k  0 x 1 hoặc (x− 2) = k  k > 0 d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔  k k ≠ 9  Khi đĩ các giao điểm là A(1;0),− B( 2 −− kkkkC ;3) ,( 2 ++ kkkk ;3 ). 2 k BC=+2 k 1 k ,(, dOBC ) == dOd (,)k 1 + k 2 1 k 2 3 S∆OBC =. .2.1 kkkkkk +=⇔ 1 =⇔=⇔= 1 1 1 2 1 + k 2 HT 63. Cho hàm số y= x3 −3 x 2 + 2 cĩ đồ thị là (C). Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 . Giải • Ta cĩ: E(1; 0). PT đường thẳng ∆ qua E cĩ dạng y= k( x − 1) . PT hồnh độ giao điểm của (C) và ∆: (x− 1)( x2 − 2 x −−= 2 k ) 0 ∆ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ PT x2 −2 x − 2 − k = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
  41. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ k > − 3 k = − 1 1 ⇒ ⇔  SOAB = dO(,). ∆ AB = kk + 3 k k +3 = 2  ∆ 2 k = −1 ± 3  Vậy cĩ 3 đường thẳng thoả YCBT: yxy=−+1; =−±( 1 3) ( x − 1) . 4 1 HT 64. Cho hàm số y= x3 −(2 mxmx + 1) 2 +++ ( 2) cĩ đồ thị (C ), m là tham số. Gọi A là 3 3 m giao điểm của (Cm ) với trục tung. Tìm m sao cho tiếp tuyến của (Cm ) tại A tạo với hai trục tọa độ 1 một tam giác cĩ diện tích bằng . 3 Giải 1  Ta cĩ: A0;  và y'= 4 x2 − 2(2 m + 1) xm ++ 2. Suy ra y'(0)= m + 2 3    1  −1  Tiếp tuyến của đồ thị tại A là dy:= ( m + 2) x + . Đường thẳng d cắt Ox tại B  ;0  3 3m + 6   Khi đĩ diện tích tam giác tạo bởi d với hai trục tọa độ là: 1 111− 1 S= OAOB. = . . = 2 233m + 6 18m + 2  13 m = − 1 1 1  Theo giả thiết ta cĩ: = ⇔m +2 = ⇔  6 18m + 2 3 6  11 m = −  6 3 HT 65. Cho hàm số y= x + mx + 2 cĩ đồ thị (C m). Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất. Giải • Phương trình hồnh độ giao điểm của (C m) với trục hồnh: 2 x3 + mx +2 = 0 ⇔m =−− x2 ( x ≠ 0) x 2 222−x 3 + Xét hàm số: fx( )=−−⇒ x2 fx '( ) =− 2 x + = x x2 x 2 Ta cĩ bảng biến thiên: BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41
  42. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 −∞ +∞ f′( x ) +∞ f( x ) −∞ −∞ −∞ Đồ thị (C m) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất ⇔m > − 3 . 3 2 HT 66. Cho hàm số y=2 x − 3( m + 1) x + 6 mx − 2 cĩ đồ thị (C m). Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất. Giải • Tập xác định: D = ℝ y'= 6 x2 − 6( m + 1) xm + 6 2 2 ∆='y ' 9(m +− 1) 36 m = 9( m − 1) Th1: m = 1 ⇒ hàm số đồng biến trên ℝ ⇒ đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 1 điểm duy nhất. ⇒ m = 1(thỏa mãn) ⇒⇒⇒ Th2: m ≠ 1 Hàm số cĩ cực đại và cực tiểu. Gọi x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số ⇒ x1 , x2 là các nghiệm của phương trình y’ = 0 x x m  1+ 2 = + 1 Theo Viet ta cĩ:  x. x= m  1 2 x m + 1 Lấy y chia cho y’ ta được: y=−( )'( ymx −− 1)2 −+ 2 mm ( + 1) 3 6 ⇒ Phương trình đi qua điểm cực đại và cực tiểu của hàm số y=−−( m 1)2 x −+ 2 mm ( + 1) ⇔ Để hàm số cắt trục hồnh tại 1 điểm duy nhất yCD. y CT < 0 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 42
  43. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 [−−(m 1) x1 −+ 2 mm ( +−− 1) ][ ( m 1) x2 −+ 2 mm ( +> 1) ] 0 4 22 22 ⇔−(m 1) xxm1 2 −− ( 1) ( mm +− 2)( xx1 +++−> 2 ) ( mm 2) 0 ⇔−(m 1)4 mm −− ( 1) 22 ( mm +− 2)( m ++ 1) ( mm 22 +−> 2) 0 ⇔−(m 1)2[ ( mmmm − 1) 2 −+− ( 2 2)( m +++> 1) ( m 2)2 ] 0 ⇔mmmmmm32 −2 +−− 32 2 +++ 2 m 2 + 440( m +> Vmì ≠ 1) ⇔m2 −2 m − 0 8m + 5 > 0 m =    2 f (2)= 0 −2m + 1 = 0   5 1 Vậy: m = − ; m = . 8 2 HT 68. Cho hàm số yx=3 −6 x 2 + 9 x (1). Tìm m để đường thẳng (d): y= mx cắt (C) tại ba điểm O (0;0), A và B. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn AB luơn nằm trên một đường thẳng song song với Oy. Giải Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) với đồ thị (C) là: BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 43
  44. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x = 0 x3−+=6 x 2 9 x mx (1) ⇔  x2 −6 x +− 9 m = 0 (2)  (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0;0), A, B ⇔ (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác x ≠ 0  ∆' > 0 ⇔  ⇔0 ∀ 90, m ⇒ ∀m (2) luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 ⇔ (1) cĩ 2 nghiệm lớn hơn 1 1<xx12 < ⇔< 011 x 1 −< x 2 − BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 44
  45. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đặt t = x - 1 ⇔ x = t + 1 ⇒ (2) ⇔ (t+ 1)2 +− (1 3 mt )( +− 1) 2 m −= 2 0 ⇔ t2 +3(1 − mt ) − 5 m = 0 (3) ⇔ (2) cĩ 2 nghiệm thỏa mãn: 1 0  ⇔ S=3( m − 1) >⇔ 0 vn  p= −5 m > 0  Kết luận: khơng cĩ giá trị m HT 70. Cho hàm số y= x3 −3 x + 2 (C). Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho xA = 2 và BC = 2 2 Giải Với xA=2 ⇒ y A = 4 Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;4) là: y= kxx( −A ) +⇒ y A dy : = kx (2)4 −+ Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) với đường thẳng (d) xx3 −+=3 2 kx ( −+⇔− 2)4 ( xxxk 2)(2 +−+= 2 1)0 x = 2 ⇔  gx()= x2 + 2 xk −+ 1    ∆' > 0k > 0 Điều kiện để cĩ BC:  ⇔  g(2)≠ 0 k ≠ 9    Khi đĩ. Tọa độ của Bx(11 ; y ); Cx ( 22 ; y ) thỏa mãn hệ phương trình:  2 x+2 x − k + 1 = 0 (1)  y= kx −2 k + 4 (2)  (1)⇔x − x = 2 ∆= ' 2 k Ta cĩ: 2 1 (2)⇔y21 −= y kx ( 21 −= x 2 kk Theo giả thiết ta cĩ: BC = 2 2 ⇔ 44kk+3 = 224 ⇔ kk 3 +−=⇔= 480 k 1 Vậy: d: y= x + 2 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 45
  46. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 71. Cho hàm số y=4 x3 − 6 mx 2 + 1 (C), m là tham số. Tìm m để đường thẳng d: y= − x + 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A(0;1), B, C với B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Giải Giao của (C) và (d) cĩ hồnh độ là nghiệm của phương trình: 4x3− 6 mx 2 +=−+⇔ 1 x 1 x (4 x 2 − 6 mx += 1)0 Để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt thì 4x2 − 6 mx + 10 = cĩ hai nghiệm phân biệt. 2− 2 ⇒ ∆='9m2 −>⇔> 40 m ; m < 3 3 GọiBx(11 ;−+ x 1), Cx ( 22 ; −+ x 1) Để B, C đối xứng qua đường phân giác thứ nhất thì: xy  x x 12=  1 =−+ 2 1 3 2 ⇔  ⇔+=⇔xx1 m =⇔= 1 m yx=  x =−+ x 1 1 2 2 3 12  2 1 So sánh điều kiện ta thấy khơng cĩ giá trị m thỏa mãn. HT 72. Cho hàm số y= x3 +3 x 2 + mx + 1 (m là tham số) (1). Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuơng gĩc với nhau. Giải • PT hồnh độ giao điểm của (1) và d: x3+3 xmx 2 + +=⇔ 11(3 xx 2 ++ xm )0 = 9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C ⇔ m<, m ≠ 0 4 2 ⇒ Khi đĩ: xB, x C là các nghiệm của PT: x+3 x + m = 0 xxB+ C =−3; xx BC . = m 2 2 Hệ số gĩc của tiếp tuyến tại B là k1 =3 xB + 6 x B + m và tại C là k2 =3 xC + 6 x C + m ⇔ ⇔ 2 Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuơng gĩc với nhau k1. k 2 = − 1 4m− 9 m + 10 = 9− 65 9 + 65 ⇔ m= ∨ m = 8 8 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 46
  47. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 73. Cho hàm số y= x3 – 3 x + 1 cĩ đồ thị (C) và đường thẳng (d): y= mx + m + 3 . Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuơng gĩc với nhau. Giải • Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x3 –( m+ 3)– xm –2 = 0 x= −1 ( y = 3) ⇔ (x+ 1)( x2 – xm – – 2) = 0 ⇔  gx()= x2 −− x m −= 20  9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P ⇔ m> −, m ≠ 0 4 2 ⇒ Khi đĩ: xN, x P là các nghiệm của PT: x− x − m −2 = 0 xN+ x P =1; xx NP . =−− m 2 2 2 Hệ số gĩc của tiếp tuyến tại N là k1 =3 x N − 3 và tại P là k2 =3 x P − 3 ⇔ ⇔ 2 Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuơng gĩc với nhau k1. k 2 = − 1 9m+ 18 m + 10 = ⇔ −+322 −− 322 m= ∨ m = 3 3 HT 74. Cho hàm số y= x3 −3 x 2 + 4 (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) cĩ hệ số gĩc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuơng gĩc với nhau. Giải • PT đường thẳng (d): y= k( x − 2) + PT hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x3−3 x 2 += 4 kx ( − 2) x=2 = x ⇔ (x− 2)( xx2 −−− 2 k )0 = ⇔  A gx()= x2 − x −− 2 k = 0  + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N ⇔ PT g( x )= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt, khác 2  ∆ > 0 9 ⇔  ⇔− <k ≠ 0 (*) f (2)≠ 0 4  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 47
  48. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x x  M+ N = 1 + Theo định lí Viet ta cĩ:  x x= − k − 2  M N ′ ′ + Các tiếp tuyến tại M và N vuơng gĩc với nhau ⇔ yx(M ). yx ( N )= − 1 −3 ± 2 2 ⇔ (3x2− 6 x )(3 x 2 − 6 x ) =− 1 ⇔ 9k2 + 18 k + 1 = 0 ⇔k = (thoả (*)) M M N N 3 HT 75. Cho hàm số y= x3 − 3 x (C). Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y= m( x + 1) + 2 luơn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuơng gĩc với nhau. Giải x +1 = 0 • PT hồnh độ giao điểm (x+ 1)( xx2 −−− 2 m ) = 0 (1) ⇔  x2 − x −2 − m = 0 (2)  (1) luơn cĩ 1 nghiệm x = − 1 (y = 2 ) ⇒ (d) luơn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).  9 m > − (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt, khác –1 ⇔  4 (*) m ≠ 0 −3 ± 2 2 Tiếp tuyến tại N, P vuơng gĩc ⇔ yx'( ). yx '( )= − 1 ⇔ m = (thoả (*)) N P 3 3 HT 76. Cho hàm số y= x − mx + m − 1 ( C m ). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm x = − 1 cắt đường trịn (C): (x− 2)2 + ( y − 3) 2 = 4 theo một dây cung cĩ độ dài nhỏ nhất. Giải 2 ⇒ Cách 1: Ta cĩ: y'= 3 x − m y'(− 1) = 1 − m Phương tình tiếp tuyến tại điểm cĩ hồnh độ x = -1 là: y=−(3) mxm ++⇔− 1(3) mxym −++ 1() d BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 48
  49. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4−m 1 + (3 − m ) 2 (3−m )2 + 1 d I,( d )  = = ≤ = 2   (3−+m )2 1 (3 −+ m ) 2 1 (3 −+ m ) 2 1 Tiếp tuyến cắt đường trịn tại hai điểm A, B sao cho AB min ⇔ d(I,(d)) max. Dấu = xảy ra khi m = 2. Khi đĩ, phương trình tiếp tuyến là x - y + 3 = 0 Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = -1 là: y = (3 - m)x + m + 1 ⇒ Tiếp tuyến luơn đi qua điểm cố định là M(1;4) Ta cĩ đường trịn cĩ tâm I(2;3), bán kính R = 2 ⇒ IM = 2 0 1 Vì y= x.'2 y − mx + 2 nên đường thẳng ∆ đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cĩ phương 3 trình là y= −2 mx + 2 2m − 1 Ta cĩ d() I,∆= 0), chứng tỏ đường thẳng ∆ luơn cắt đường trịn tâm 4m2 + 1 I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 49
  50. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 1 1 Với m ≠ , đường thẳng ∆ khơng đi qua I, ta cĩ: S= IAIB. .sin AIB ≤ R 2 = 2 ∆ABI 2 2 2 Nên S∆IAB đạt giá trị lớn nhất bằng ½ khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuơng cân tại I R 1 2m − 1 1 2± 3 ⇔IH = = (H là trung điểm của AB) ⇔ =⇔=m 2 2 4m2 + 1 2 2 4 2 HT 78. Cho hàm số y= x − mx +− m 1 cĩ đồ thị là (Cm ) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục trục hồnh tại bốn điểm phân biệt. Giải • Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hồnh: x4− mx 2 + m −=1 0 (1) t = 1 Đặt: t = x 2 (t ≥ 0) ⇒ (1) ⇔ t2 − mt + m −=1 0 ⇔  t= m − 1  Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt  m > 1 ⇔ 0 < m - 1 ≠ 1⇔  m ≠ 2  4 2 HT 79. Cho hàm số yx=−2( m + 1) x + 2 m + 1 ( C m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m ∈ ℝ để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt A, B , C , D lần lượt cĩ hồnh độ x1, x 2 , x 3 , x 4 (x1< x 2 < x 3 < x 4 ) sao cho tam giác ACK cĩ diện tích bằng 4 biết K(3;− 2). Giải Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm ) với trục hồnh: x4−2( m + 1) x 2 + 2 m += 1 0 (1) Đặt: t= x2 ( t ≥ 0) Khi đĩ: (1)⇔−t2 2( m + 1) t + 2 m += 1 0 (2). Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 50
  51. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ Phương trình (2) cĩ nghiệm dương phân biệt ∆' = (m + 1)2 − (2 m + 1) > 0   m ≠ 0   ⇔=+>S2( m 1) 0 ⇔  1   m > − P=2 m + 1 > 0    2 1 Với − t 2 1 Theo giả thiết: S= ACdKAC. ( ; ) (3) với dKAC( ; ) = y ACK 2 K Khi đĩ: (3)⇔t1 + t 2 =⇔++ 4 tt 12 2 tt 12 = 16 Theo Viet ta cĩ: 2(m++ 1)22 m +=⇔ 1 16 2 m +=− 1 7 m  7−m ≥ 0 ⇔ ⇔m = 4 m2 −16 m + 48 = 0  4 2 HT 80. Cho hàm số yx=−2( m + 1) x + 21 m + cĩ đồ thị là (Cm ). Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng. Giải • Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4−2( m + 1) x 2 + 2 m += 10 (1) Đặt t= x2, t ≥ 0 thì (1) trở thành: ft()=− t2 2( m + 1) t + 2 m += 10 . Để (C m) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f( t )= 0 phải cĩ 2 nghiệm dương phân biệt ∆' =m2 > 0    1   m > − ⇔S =2 m +>⇔ 1 0  2 (*) ()  P=2 m + 1 > 0  m ≠ 0   Với (*), gọi t1< t 2 là 2 nghiệm của f( t )= 0 , khi đĩ hồnh độ giao điểm của (C m) với Ox lần lượt là: x1=− tx 22; =− tx 13 ; = tx 14 ; = t 2 x1, x 2 , x 3 , x 4 lập thành cấp số cộng ⇔xxxxxx2132 −=−= 43 − ⇔= t 29 t 1 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 51
  52. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   m m m = 4 5= 4 + 4  ⇔++=+−⇔m1 mm 91() m 541 mm =+⇔()  ⇔  4 −5m = 4 m + 4 m = −   9 4  Vậy m =4; −  9  13 Câu hỏi tương tự đối với hàm số y=−+ x42( m + 2) x 2 − 2 m − 3 ĐS: m=3, m = − . 9 4 2 HT 81. Cho hàm số yx=– (3 m + 2) x + 3 m cĩ đồ thị là (C m), m là tham số. Tìm m để đường thẳng y = − 1 cắt đồ thị (C m) tại 4 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2. Giải • Phương trình hồnh độ giao điểm của (C m) và đường thẳng y = − 1: x = ± 1 x4– (3 m+ 2) x 2 + 3 m =− 1 ⇔ x4– (3 m+ 2) x 2 + 3 m += 1 0 ⇔  x2 =3 m + 1 (*)  Đường thẳng y = − 1cắt (C m) tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2  1 03<m + 14 <  m  − < < 1 ⇔  ⇔  3  m  3+ 1 ≠ 1 m ≠ 0   4 2 2 2 HT 82. Cho hàm số yxm=−( + 2) xm + + 1 ( Cm ) . Tìm các giá trị của m để (Cm ) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi(Cm ) với trục hồnh phần phía 96 trên Ox cĩ diện tích bằng . 15 Giải Cĩ yxm=−4222( + 2) xm ++=− 1 ( x 2 1)( xm 22 −− 1) . Phương trình y=⇔0 ( x2 − 1)( xm 2 − 2 −= 1) 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt là ±1; ±m2 + 1 khi m ≠ 0 . Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (Cm ) với trục hồnh phần phía trên trục hồnh là: BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52
  53. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 20m2 + 16 96 S=2 xmxmdx4 −+++ ( 2 2) 2 2 1 = =⇔=± m 2 ∫ () 15 15 0 Vậy m = ± 2 là giá trị cần tìm HT 83. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 3m + 4 đồ thị là ( C m). Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C m) và trục hồnh cĩ phần nằm phía trên trục hồnh bằng phần nằm phía dưới trục hồnh Hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng  Có hai cực trị ⇒ ycbt ⇔  Điểm uốn thuộc trục Ox  *Hàm số cĩ cực trị khi phương trình y' = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt 3x 2-6x+3m=0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ∆=' 9(1 −m ) >⇔ 0 m x = 1 => y = 6m + 2 => đồ thị hàm số nhận điểm U(1; 6m+2) làm điểm uốn −1 Điểm uốn thuộc Ox khi y U = 0 6m+2 = 0 m = 3 −1 Vậy m = là giá trị cần tìm 3 4 2 HT 84. Cho hàm số yx=−2( m + 1) x + 21 m + cĩ đồ thị là (C m), m là tham số. Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 3. Giải • Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4−2( m + 1) x 2 + 2 m += 10 (1) Đặt t= x2, t ≥ 0 thì (1) trở thành: ft()=− t2 2( m + 1) t + 2 m += 10 . (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ nhỏ hơn 3 0=t < t < 3 ⇔ f t cĩ 2 nghiệm phân biệt t, t sao cho:  1 2 ( ) 1 2 0<t < 3 ≤ t  1 2 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 53
  54. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ∆' =m2 > 0  2  ∆' =m > 0   f()3= 44 − m ≤ 0 1 ⇔fm(0) =+= 2 1 0  ⇔=−∨≥ mm 1   S=2() m + 1 > 0 2 S=2() m + 1 0  1 Vậy: m=− ∨ m ≥ 1. 2 HT 85. Cho hàm số yx=−42 mx 22 + m 4 + 2 m (1), với m là tham số. Chứng minh đồ thị hàm số (1) luơn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m 0 và S=2 m 2 > 0 với mọi m > 0 . Nên (2) cĩ nghiệm dương ⇒ (1) cĩ ít nhất 2 nghiệm phân biệt ⇒ đồ thị hàm số (1) luơn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt. HT 86. Cho hàm số: y= x4 −5 x 2 + 4 . Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. Giải Gọi Mmm(;4− 5 m 2 + 4)() ∈ C Phương trình tiếp tuyến của (C) tại My:= (4 m3 − 10)( mxmm −+−+ ) 4 5 m 2 4() d Hồnh độ giao điểm của (d ) và (C ) là nghiệm của phương trình: xx42−+=5 4(4 m 3 − 10)( mxmmm −+− ) 42 5 + 4() d ⇔−(x m )2 ( x 2 + 2 mx + 3 m 2 −= 5) 0 (1)  2 5− 2m > 0 Yêu cầu bài tốn ⇔+x22 mx + 3 m 2 −= 50 cĩ hai nghiệm phân biệt khác m ⇔  6m2 − 5 ≠ 0  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 54
  55. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   10 10 − 0 và f(−=− 2) ( 2)2 +− (4 m ).( −+− 2) 1 2 mm =−≠ 3 0, ∀ nên đường thẳng d luơn luơn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. 2 2 22 Ta cĩ: yA=− mxy AB; =− mx B nên AB=−( xxB A ) +− ( yy BA ) = 2( m + 12) Suy ra AB ngắn nhất ⇔ AB 2 nhỏ nhất ⇔ m = 0 . Khi đĩ: AB = 24 . Câu hỏi tương tự đối với hàm số: x − 2 x − 1 1 a) y = ĐS: m = 2 b) y = ĐS: m = x − 1 2x 2 x − 3 HT 88. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I(− 1;1) và cắt đồ thị x + 1 (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Giải • Phương trình đường thẳng d: y= kx( + 1) + 1 x − 3 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N ⇔ =kx ++ k 1 cĩ 2 nghiệm phân biệt khác −1 . x + 1 ⇔ f() x= kx2 + 2 kx ++= k 40 cĩ 2 nghiệm phân biệt khác −1 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 55
  56. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 k ≠ 0  ⇔ ∆=−4k > 0 ⇔ k < 0  f (− 1) = 4 ≠ 0  Mặt khác: xM+ x N =−=2 2 x I ⇔ I là trung điểm MN với ∀k < 0 . Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y= kx + k + 1 với k < 0 . 2x + 4 HT 89. Cho hàm số y = (C). Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và cĩ hệ số gĩc k. Tìm k để 1 − x (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN = 3 10 . • Phương trình đường thẳng ():d y= kx ( − 1) + 1. Bài tốn trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau cĩ hai nghiệm (xy11 ; ),( xy 22 ; ) phân biệt sao 2 2 cho (xx21−) +( yy 21 −) = 90 (a)  2x + 4  2  =k( x − 1) + 1 kx−(2 k − 3) x ++= k 3 0 −x + 1 (I). Ta cĩ: (I ) ⇔     y= k( x − 1) + 1  y= k( x − 1) + 1   (I) cĩ hai nghiệm phân biệt ⇔ PT kx2 −(2 k − 3) x ++= k 3 0 ( b ) cĩ hai nghiệm phân biệt. 3 ⇔ k≠0, k < . 8 2 2  Ta biến đổi (a) trở thành: (1+kxx2 ) −=⇔+ 90 (1 kxx2 ) +− 4 xx  = 90 (c) ( 21) ( 2121)  2k− 3 k + 3 Theo định lí Viet cho (b) ta cĩ: xx+ =, xx = , thế vào (c) ta cĩ phương 12k 12 k trình: 8kkk3+ 27 2 +−=⇔+ 8 3 0 ( kkk 3)(82 +−= 3 1) 0 −+3 41 −− 3 41 ⇔=−=k3; k ; k = . 16 16 Kết luận: Vậy cĩ 3 giá trị của k thoả mãn như trên. 2x − 2 HT 90. Cho hàm số y = (C). Tìm m để đường thẳng (d): y=2 x + m cắt (C) tại hai điểm x + 1 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 56
  57. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 phân biệt A, B sao cho AB = 5 . Giải 2x − 2 • PT hồnh độ giao điểm: =2x + m ⇔ 2x2 + mx ++= m20( x ≠− 1) (1) x + 1 ⇔ d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 khác –1 ⇔ m2 −8 m − 16 > 0 (2)  m x+ x = −  1 2 Khi đĩ ta cĩ:  2 . Gọi Axx( ;2+ m) , Bxx( ;2 + m ).  m + 2 11 22 x x =  1 2 2 2 ⇔ 2 2 ⇔ 2 ⇔ 2 AB = 5 (xx12− ) + 4( xx 12 − ) = 5 (x1+ x 2 )4 −x 12 x = 1 m−8 m − 20 = 0 m = 10 ⇔  (thoả (2)) m = − 2  Vậy: m=10; m = − 2 . x − 1 HT 91. Cho hàm số y = (1). Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): x+ m y= x + 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2 . Giải  x −1 x≠ − m • PT hồnh độ giao điểm: =x +2 ⇔  x+ m x2 +( m + 1) x + 2 m += 10 (*)  d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (*) cĩ hai nghiệm phân biệt khác −m   2  ∆ > 0 m−6 m − 3 > 0 m + 323 ⇔ ⇔  ⇔  ( ) x≠ − m m ≠ − 1  m ≠ − 1    x x m  1+ 2 =−( + 1) Khi đĩ gọi x, x là các nghiệm của (*), ta cĩ  1 2 x. x= 2 m + 1  1 2 Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là Axx(11 ; + 2), Bxx ( 22 ; + 2) . BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 57
  58. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Suy ra AB2=−=2( xx ) 2 2 ( xx +− ) 2 4 xx  = 2( m 2 −− 6 m 3) 12 12 12  m = − 1 Theo giả thiết ta được 2(mm2− 6 −=⇔ 3) 8 mm 2 − 6 −=⇔ 7 0  m = 7  Kết hợp với điều kiện ( ) ta được m = 7 là giá trị cần tìm. x + 2 HT 92. Cho hàm số y= ( C ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m ∈ ℝ để đường thẳng 2x − 2 37 dy: = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2+ OB 2 = 2 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C) là : x + 2 =+⇔xmgx( ) = 2 x2 + (2 mxm −− 3) 2( += 1) 0, x ≠ 1 2x − 2  2 ∆=4m + 4 m + 25 > 0 Vì  g ∀m ∈ ℝ nên d cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọim ∈ ℝ. g(1)= 3 ≠ 0  Gọi Axx(;11+ mBxx ),(; 22 + m ) là tọa độ giao điểm của d và (C). 2m − 3 Theo định lý Viet ta cĩ : xx+=−; xx =−+ ( m 1) 122 12 222 22 2 2 2 Ta cĩ : OA+ OB =++ x11( x m ) +++ x 22 ( x m ) =+−2(xx12 )4 xx 12 + 2( mxx 12 ++ )2 m 2  23m−  23 m −  2 1 2 =−2 +++− 4(1)2m m   += 2 mmm (4 ++ 217) 2  2  2 371 37 Giả thiết : OAOB2+ 2 =⇔(4 m 2 ++= 2 m 17) 2 2 2 5 ⇔2m2 +− m 100 =⇔ m =− hoặc m = 2 2 5 Kết luận : m=− ∨ m = 2 2 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 58
  59. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x HT 93. Cho hàm số y= ( C ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m ∈ ℝ để đường thẳng 1 − x d: y= mx − m − 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MA2+ MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Với M(− 1;1) Giải x Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C) là : =mx − m − 1 (1) 1 − x Với điều kiện x ≠ 1 thì ta cĩ : (1)⇔=x ( mxm −− 1)(1 − x ) ⇔mx2 −2 mx ++= m 1 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 1. Đặt : f() x= mx2 − 2 mx ++ m 1 m ≠ 0 m ≠ 0    2 2 ⇔ ∆' > 0 ⇔mmm −−>0 ⇔< m 0   f (1)≠ 0 m−2 m + m +≠ 1 0   Khi đĩ, tọa độ hai điểm Axmx( 11;−− m 1;;) Bxmx( 22 −− m 1 ) Với x1, x 2 là 2 nghiệm của (2) 2 2 2 2 2 2 Ta cĩ : MA=( x1 + 1) + ( mx 1 −− m 2) ; MB=( x2 + 1) + ( mx 2 −− m 2) 222 22 2 ⇒MAMB + =++( x1 1) ( mxm 1 −−+++ 2) ( x 2 1) ( mxm 2 −− 2) 2 22 22 22 2 =+++xx12 1 1 mxm 1 − 2( +++++++ 2) ( m 2) xx2 2 2 1 mxm 2 − 2( +++ 2) ( m 2) 2 2 2 2 =+(m 1)( xx1212 +++− )2( xx )2( mm + 2)( xx 12 ++++ )2( m 2) 2 =+(m2 1) ( xx +− ) 2 2 xx  ++− 2( xx ) 2 mm ( + 2)( xx ++++ ) 2( m 2)2 2 12 12  12 12 m + 1 Theo Viet ta cĩ : x+ x =∨2 xx = 1 2 12 m 2 ⇒MA2 + MB 2 =−−16 2 m m 2 Xét hàm số : f()16 m= − − 2 m trên (−∞ ;0) m BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 59
  60. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Ta được : minf ( m )= 20 tại m = − 1 Kết luận : m = − 1 x − 2 HT 94. Cho hàm số y= ( C ) . Tìm giá trị của m để đường thẳng dy: = − x + m cắt đồ thị (C) x − 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho : OA2+ OB 2 + AB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (O là gốc tọa độ) Giải Hồnh độ giao điểm của d và (C) là nghiệm phương trình : x − 2 =−+x m; x ≠ 1 x −1 ⇔gx( ) = x2 − mx +−= m 2 0 (1) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 1  2 ∆=m −4 m +> 8 0 ⇔ ⇔ ∀ m g(1)= − 1 ≠ 0  Vậy d∩ ( C ) tại hai điểm phân biệt với ∀m Gọi các giao điểm lần lượt là : Ax(;11−+ x mBx ),(; 22 −+ x m ) với x1, x 2 là các nghiệm của phương trình (1) 2222 22 2 2 2 Ta cĩ : OAOBABx+ + =+−+11( xm ) ++−+ x 22 ( xm )()() +− xx 1212 +− xx 2 2 =+−4(xx12 )12 xx 12 − 2( mxx 12 ++ )2 m =4mm2 − 12 += 24 (2 m −+≥∀ 3) 2 15 15 m 3 Vậy, OA2+ OB 2 + AB 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 15 khi m = 2 x + 1 HT 95. Cho hàm số y= ( C ). Gọi d là đường thẳng qua M(2;0) và cĩ hệ số gĩc là k . Tìm k x − 2 để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho : MA= − 2 MB Giải Phương trình đường thẳng d: y= kx − 2 k x + 1 Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C) là : =kx − 2 k (1) x − 2 Với x ≠ 2 thì (1) ⇔fx( ) = kx2 − (4 k + 1) x +−= 4 k 1 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) cĩ hai nghiệm phân biệt. ⇔ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 2. BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 60
  61. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 k ≠0   k ≠ 0   ⇔∆=12k +> 1 0 ⇔  1 (*)   k > − f(2)= − 3 ≠ 0    12 Đặt Ax(11 ; y ), Bx ( 22 ; y ) với x1, x 2 là hai nghiệm của (2) và y1= kx 1 −2; ky 2 = 2 x 2 − 2 k x x  1−2 =− 2( 2 − 2) Khi đĩ : MA=−⇔2. MB ⇔+= x 2 x 6 (3) y−2 =− 2( y − 2) 1 2  1 2  4k + 1 x+ x = (4)  1 2 Theo định lý Viet ta cĩ :  k  4k − 1 x x = (5)  1 2 k 22k+ 41 k − Từ (3) và (4) suy ra : x=; x = (6) 1k 2 k 222141k+ k − k − 2 Từ (5) và (6) ta được : . = ⇔k = thỏa mãn (*) k k k 3 2 KL : k = 3 x + 3 HT 96. Cho hàm số y = cĩ đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d :y = 2x + 3m cắt (H) tại hai x + 2 điểm phân biệt sao cho OAOB.= − 4 với O là gốc tọa độ. Giải Phương trình hồnh độ giao điểm của (H) với (d) : x + 3 =+⇒2xmx 3 22 ++ 3(1 mxm ) +−= 6 3 0 (1)( x ≠− 2) x + 2 (H) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A và B ⇔ (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khác -2  2 ∆=9m − 30 m + 33 > 0 ⇔  ⇔ ∀ m 8− 6(1 +m ) + 6 m −≠ 3 0  Gọi 2 nghiệm của pt (1) là x1 ;x2 thì A( x1 ;2 x1 +3m) ; B( x2 ;2 x2 +3m) 1215m − 7 Cĩ : OAOB.= − 4 ⇒ x x +(2 x +3m)(2 x +3m) = - 4 ⇒ =−4 ⇒m = 1 2 1 2 2 12 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 61
  62. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 −x + 1 HT 97. Tìm trên (H) : y = các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường x − 2 thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng y= x . Giải Do AB ⊥ d : y = x ⇒ pt AB: y = -x + m Phương trình hồnh độ giao điểm của (H) với đường thẳng AB : −x + 1 =−+⇔xmgxxm( ) =−+2 ( 3) xm + 2 += 1 0 ( x ≠ 2) (1) x − 2 Để tồn tại 2 điểm A, B thì pt (1) cần cĩ hai nghiệm phân biệt xA; x B và khác 2   2 ∆g( x ) > 0 (m+ 3) − 4(2 m +> 1) 0 2 ⇔ ⇔  ⇔−+>∀(m 1) 4 0; m g(2)≠ 0  4− (m + 3).2 + 2 m +≠ 1 0  x x m  A+ B = + 3 Theo Viets ta cĩ :  Mặt khác : y=− x + my; =− x + m x. x= 2 m + 1 A A B B  A B 2 22 2 MàAB:=⇔ 4 AB =⇔− 16( xxBA )( +− yy BA )16( =⇔+ xx BA )4. − xx AB = 8 m = − 1 ⇔(m + 3)2 − 4(2 m +=⇔ 1) 0 mm 2 − 2 −=⇔ 3 0  m = 3  +) Với m = 3 thay vào pt (1) ta cĩ : xx2 −670 +=⇔=± x 32 ⇒=± y 2 ⇒ A(3+− 2; 2);(3 B − 2;2) hoặcA (3 +− 2; 2);(3 B − 2;2) +) Với m = -1 thay vào (1) ta cĩ : xx2 −210 −=⇔ x =± 12 ⇒=−± y 22 ⇒ A(1+−− 2;2 2);(1 B −−+ 2;2 2) hoặcA (1 −−+ 2;2 2);(1 B +−− 2;2 2) Kết luận: 2x − 3 HT 98. Cho hàm số y= ( C ). Tìm m để đường thẳng d: 2 x− y + m = 0 cắt đồ thị (C) tại x + 1 hai điểm phân biệt cĩ tung độ dương. Giải Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d là: 2x − 3 =2x +⇔ m 2 x2 + mx ++= m 3 0 (1) x + 1 Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi: (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khác -1 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 62
  63. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  2  ∆=m −8 m − 24 > 0 m >4 + 40 ⇔ ⇔  2−m + m + 3 ≠ 0 m 0 21+ + 2 2 + > 0  1 2 ⇔  (2x+ m )(2 x + m ) > 0  4xx+ 2( mx ++> x ) m 2 0 1 2  12 1 2  m − +m > 0  ⇔  2 ⇔m > 0.  m 2 2(m++ 3) 2 m ( − ) + m > 0  2 Kết hợp điều kiện ta cĩ: m >4 + 40 x + 3 HT 99. Cho hàm số y = cĩ đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng dy:=− x + m + 1 tại hai điểm x − 2 phân biệt A, B sao cho AOB nhọn. Giải Phương trình hồnh độ giao điểm của (H) với d : x + 3 =−++⇔xm1 xmxm2 − ( + 2) + 2 += 50( x ≠ 2) x − 2 Để phương trình trên cĩ hai nghiệm phân biệt thì :  2 m−4 m + 16 > 0 ∆>≠⇔0;x 2  ⇔∀ m 22 − 2(m ++ 2) 2 m +≠ 5 0  Gọi Ax(11 ;−++ x m 1); Bx ( 22 ; −++ x m 1) là 2 giao điểm của (H) và d 222 2 2 2 Để AOB nhọn thì ABOAAB − m 3 Kết luận : m > -3 3x + 2 HT 100. Cho hàm sốy= ( C ) . Đường thẳng y= x cắt (C) tại hai điểm x + 2 A, B. Tìm m để đường thẳng y= x + m cắt (C) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành. Giải BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 63
  64. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Hồnh độ điểm A, B là nghiệm của phương trình: 3x + 2 x = − 1 =⇔x ⇒−− A( 1; 1); B (2;2) ⇒= AB 3 2 x + 2 x = 2  Ta cĩ: C, D thuộc đường thẳng y = x + m và C D AB nên m ≠ 0 và CD = AB = 3 2 Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C): 3x + 2 =+⇔xm x2 +( m − 1) x + 2 m −= 2 0 (*) x + 2 m > 9 Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt phải cĩ: ∆=m2 −10 m +>⇔ 9 0  m 5 0, ∀∈ mR và (*) khơng cĩ nghiệm x = 1. x x m  A+ B =3 − ⇒ (*) luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt là x, x . Theo định lí Viét:  A B x. x= 1 − m  A B Khi đĩ: Ax( AA; x+ mBx) , ( BB ; x + m ) ∆OAB vuơng tại O thì OAOB.=⇔ 0 xxAB ++( x A mx)( B += m ) 0 2 ⇔2xxAB + mx( A + x B ) +=⇔=− m 0 m 2 Vậy: m = –2. BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 64
  65. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + 2 HT 102. Cho hàm số: y = . Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) x − 2 x y m  A− A + = 0 luơn cĩ cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) và thỏa  . x− y + m = 0  B B Giải xym  yxm AA−+=0  AA =+ • Ta cĩ: ⇔  ⇒∈AB, (): d y =+ x m xym−+=0  yxm =+ BB  BB ⇒ A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x + 2 xm+= ⇔ fxxmxm( ) =+−−2 ( 3) (2 += 2) 0 ( x ≠ 2) (*). x − 2 (*) cĩ ∆=m2 +2 m + 17 > 0, ∀ m ⇒ (d) luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Và 1.f (2)=− 0  ⇔ 1  2 ⇔∀≠m 0 f − = +≠1 0    2  m  m BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 65
  66. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 Mặt khác, ta cĩ : x. x = nên A, B luơn nằm trên một đường (H) cố định. A B 2 −2m ⊥ ⇒ ∈ ⇒ Kẻ OH AB OH =d(O , d ) = . Lại cĩ A, B d 5 2x + 1 HT 104. Cho hàm số (C). Tìm trên hai nhánh của đồ thị điểm M và N sao x −1 cho tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang. Giải Gọi M, N là 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại hai điểm C, D Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng : fx()= f '(()m xm − ) + f () m    2m + 4  ⇒ Tọa độ điểm A1; , B() 2 m − 1;2  m − 1      2n + 1  Tương tự ta cĩ: C1; , D() 2 n − 1;2 n − 1   −3 6(2m + 4)(2 n − 1) Phương trình đương thẳng AD: y= x + (mn−− 1)( 1) (2 mn −− 2)( 1) −3 AD cĩ hệ số gĩc: k = (m− 1)( n − 1) −3 Tương tự ta cũng cĩ BC cĩ hệ số gĩc: k = (m− 1)( n − 1) ⇒ BC AD ⇒ Mọi điểm M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị đều thỏa mãn yêu cầu bài tốn. mx−4 m + 3 HT 105. Cho hàm số: y = . Chứng tỏ rằng với mọi m ≠ 1, đồ thị hàm số luơn đi qua x− m điểm cố định A và B . Từ hai điểm A và B hãy lập phương trình của hai đường thẳng cĩ hệ số gĩc bằng 1,5. Tính diện tích hình thang giới hạn bởi AB , hai đường thẳng này và trục Ox . Giải BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 66
  67. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Gọi (x0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số ⇒ phương trình: (xy00+− 4) m +− 3 xy 00 = 0 đúng với ∀m ≠ 1 x = 1  0  x+ y −4 = 0 x+ y −4 = 0 y = 3  0 0  0 0  ∆ ⇔ ⇔  ⇔  3−x y = 0  x2 x x 0 0  0−4 0 + 3 = 0  0 = 3    y = 1  0 Vậy đồ thị cĩ hai điểm cố định là: A(1;3), B (3;1). 3 3 3 3 Phương trình đường thẳng đi qua A cĩ hệ số gĩc bằng là y−=3 ( x −⇔= 1) yxd + ( ) 2 2 2 2 1 3 Phương trình đường thẳng qua B cĩ hệ số gĩc là là: 2 3 3 7 y−=1 ( x −⇔= 3) yxd − ( ) 2 2 2 2 7  d d D   Giao điểm của (1 ) với Ox là C(− 1;0), của (2 ) với Ox là  ;0  3   Khoảng cách giữa (d1 ),( d 2 ) cũng chính là chiều cao của hình thang   3 7  10 − −  2 2   10 h = =2 =   2 13 3 3 1 +   3 2    h  13 5 4 5 20 S AC BD   Vậy diện tích hình thang phải tìm là: =+=+( ) 13 . = . 13. = 2 3  13 3 13 3 2x − 1 HT 106. Cho hàm số y= ( C ). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Với giá trị nào của x −1 m thì đường thẳng y= − x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác IAB đều. Giải Đường thẳng y= − x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau cĩ BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 67
  68. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  2x − 1 x≠ 1 2 nghiệm phân biệt: =−x + m ⇔  x − 1 x2 +−(1 mxm ) + −= 1 0   2  ∆=−(1m ) − 4( m −> 1) 0 m > 5 ⇔ ⇔  (*) 11+−m + m −≠ 10 m < 1   Ta cĩ: I(1;2), xxm12+=− 1 & xxm 12 =− 1 Gọi Ax(11 ; y ), Bx ( 22 ; y ) và H là trung điểm của AB. Khi đĩ: y1=− x 1 + my; 2 =− x 2 + m và mm−+11  mm −− 33  H IH   ABxxxx ;;=  ;;(;)  2 − 11 − 2 22   22  IA= IB IA2= IB 2   ∆IAB đều ⇔ ⇔  ( ) 3  23 2 IH= AB  IH= AB  2  4 Ta cĩ: IA2= IB 2 ⇔−( x xx ) +−−= x ( m 1)  0 1 21 2  Do x1+ x 2 = m − 1 nên đẳng thức này đúng với mọi m thỏa mãn (*) (m − 3)2 3 Ta cĩ: ( )⇔ = (xx −− )2 4 xx  =−−− 3 ( m 1) 2 4( m 1)  2 2 2 1 12   ⇔m2 −630 m +=⇔ m =± 36 Các giá trị này thỏa mãn (*) KL: m =3 ± 6 x HT 107. Cho hàm số y= ( C ) . Tìm các giá trị của m để đường thẳng y= − x + m cắt đồ thị x −1 (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA, OB bằng 600 . Với O là gốc tọa độ. Giải x Phương trình hồnh độ giao điểm: =−+x m ⇔ gx( ) = x2 − mx + m = 0 (1) với x ≠ 1 x −1 Đường thẳng y= − x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt: ⇔ Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 68
  69. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 m 0  m 4 ⇔  (*) g(1)≠ 0   m > 4   1 ≠ 0   x+ x = m  1 2 Gọi x, x là hai nghiệm của (¡), ta cĩ: x. x= m ( ) 1 2  1 2 gx()= gx () = 0  1 2  OA=( x ; − x + m )  1 1 Các giao điểm là Ax(;11−+ x mBx ),(; 22 −+ x m ) và  OB=( x ; − x + m )  2 2 xx+−( x + m )( − x + m ) Khi đĩ: cos 600 = cos(OA ; OB = 12 1 2 2 22 2 22x1− mx 1 + m 22 x 2 − mx 2 + m xxmxx m2 xxmxx m 2 1 2()12−++ 12 2() 12 −++ 12 2m ⇔ = = = 2 2 2 22 m2 − 2 m 2()gx1+− m 22() mgx 2 +− m 2 m m − 2 mm − 2 m m = − 2 m2 −2 m = 4 m  ⇔ ⇔m = 0  2  m−2 m = − 4 m   m = 6  Kết hợp điều kiện (*) ta cĩ: m=−2 ∨ m = 6 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 69
  70. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN 4: TIẾP TUYẾN HT 108. Cho hàm số yx=3 −3 x 2 + 1(). C Chứng minh rằng mỗi tiếp tuyến của (C) chỉ tiếp xúc với (C) tại đúng một điểm. Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai điểm Mx(;00 y ), Mxy 111 (; ) Khi đĩ, phương trình tiếp tuyến là: 2 3 2 2 3 2 y=(3 x0 − 6) xxx 0 −++ 2 0 3 x 0 1 và y=(3 x1 − 6) xxx 1 −++ 2 1 3 x 1 1 Hai phương trình trên cùng là phương trình của 1 tiếp tuyến nên:  2 2 3x− 6 x = 3 x − 6 x  0 0 1 1 −2xx32 + 3 +=− 12 xx 32 + 3 + 1  00 11 Giải hệ trên ta được: x0= x 1 Suy ra điều phải chứng minh. 2x − 1 HT 109. Cho hàm so y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm x −1 I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Giải • Tiếp tuyến của (C) tại điểm Mxfx(0 ;( 0 ))∈ () C cĩ phương trình: ⇔ 2 2 y= fxxx'(0 )( − 0 ) + fx ( 0 ) xx+(0 − 1) yx − 2 0 + 2 x 0 −= 10 (*) 2− 2 x x = 0 Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 ⇔0 = 2 ⇔  0 4 x  0 = 2 1+ (x0 − 1)  Các tiếp tuyến cần tìm : x+ y −1 = 0 và x+ y −5 = 0 HT 110. Cho hàm số yx=+−3(1 2 mx ) 2 +− (2 mxm ) ++ 2 (1) (m là tham số). Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) cĩ tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x+ y +7 = 0 gĩc α , biết 1 cos α = . 26 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 70
  71. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Giải • Gọi k là hệ số gĩc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến cĩ VTPT n1 =( k ; − 1) Đường thẳng d cĩ VTPT n2 = (1;1) .  3 n. n k = 1 2 1k − 1 2  Ta cĩ cos α = ⇔= ⇔−+=⇔12k 26 k 12 0  2 n. n 26 2  2 1 2 2k + 1 k =  3 YCBT thoả mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình sau cĩ nghiệm:   3 2 3 y ′= 3x+ 2(1 − 2 mx ) +−= 2 m ∆/ ≥ 0 8m2 − 2 m − 10 ≥  2 ⇔  2 ⇔  1 ⇔     /  2  2  2 2 ∆ ≥ 0 4m− m − 3 ≥ 0 y ′= 3x+ 2(1 − 2 mx ) +−= 2 m  2   3  3  1 1 m≤ −; m ≥  1 1 ⇔  4 2 ⇔ m ≤ − hoặc m ≥  3 4 2 m≤ −; m ≥ 1  4 HT 111. Cho hàm số y=− x3 +2 x 2 − xC (). Tìm tọa độ các điểm trên trục hồnh sao cho qua điểm đĩ kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và gĩc giữa hai tiếp tuyến này bằng 450 . Giải Qua điểm M trên Ox, ta luơn kẻ được tiếp tuyến với (C) là y = 0. Gĩc của hai tiếp tuyến là 450 , mà y = 0 cĩ hệ số gĩc là 0 nên hệ số gĩc của tiếp tuyến d cịn lại cĩ hệ số gĩc bằng -1 hoặc 1. x  0 = 0 M x y 2  Gọi (0 ; 0 ) là tiếp điểm của d và (C) ⇒y' =− 3 x0 + 4 x 0 −=±⇔ 1 1  4 x =  0 3 Khi x0=⇒0 y 0 =⇒ 0 dyxMO : =−⇒ ≡ 4 4 4 32  32 x y dyx x M   Khi 0= ⇒ 0 =− ⇒: =−− =−+ ⇒  ;0  3 27 3 27  27  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 71
  72. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 112. Cho hàm số y= x3 −3 x 2 + 1 cĩ đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . Giải • Giả sử Aaa(;32−+ 3 a 1),(; Bbb 32 −+ 3 b 1) thuộc (C), với a≠ b . Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: ya′()= yb ′ () ⇔ 3a2−= 636 ab 2 −⇔−− bab 22 2( ab −=⇔− )0( abab )( +−= 2)0 ⇔ ab+−2 = 0 ⇔ b = 2 − a . Vì a≠ b nên a≠2 − a ⇔ a ≠ 1 Ta cĩ: AB =()(31babb −+−+−+232 aa 322 31) −= ()( bababa −+−− 233222 3( − )) 2 2 3  =(ba −+−+ ) ( ba ) 3( abba −−− )3( baba )( + )  2 2 2 2  =(ba −+− ) ( baba )( −+ ) 3 ab − 3.2  2 2 2 2  =(ba −+− )( ba )( ba +−− ) ab 6  =(ba − )2 +− ( ba )(2 2 −− ab ) 2 2 2 2  22 2  AB =−(ba )1(2 +−− ab )  =− (22)1( a +−− aa 2 2)  2  2 2  242  =−4(a 1) 1 +−−=− ( a 1) 3  4( aaa 1) ( −−−+ 1) 6( 1) 10  =4(a −− 1)6 24( a −+ 1) 4 40( a − 1) 2 Mà AB = 4 2 nên 4(a−− 1)6 24( a −+ 1) 4 40( a −= 1) 2 32 ⇔−−(a 1)6 6( a − 1) 4 + 10( a −−= 1) 2 8 0 (*) Đặt t=( a − 1)2 , t > 0 . Khi đĩ (*) trở thành: ttt3−6 2 + 10 −=⇔− 8 0 ( ttt 4)(2 −+=⇔= 2 2) 0 t 4 ⇒ a=3 ⇒ b =− 1 (a − 1)2 = 4 ⇔  a=−1 ⇒ b = 3  Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B (− 1; − 3) . BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 72
  73. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + 1 HT 113. Cho hàm số y = (C). Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đĩ kẻ được duy nhất một tiếp x − 1 tuyến tới (C). Giải • Gọi M(0; y o ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M cĩ dạng: y= kx + y o (d)  x + 1  2  =kx + y (yo− 1) x − 2( y o + 1) xy ++= o 1 0 (1) x −1 o  (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ ⇔  −2 (*) −2  x≠1; = k = k  2 2  (x − 1) (x − 1)  YCBT ⇔ hệ (*) cĩ 1nghiệm⇔ (1) cĩ 1 nghiệm khác 1 y = 1  1  o y ≠ 1    o x=; yo =⇒ 1 k =− 8 ⇔ ∨  ⇔  2 1  y2 y y  x =  ∆=' (o + 1) − ( o − 1)( o += 1) 0 x=0; y =−⇒ 1 k =− 2  2   o Vậy cĩ 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1). HT 114. Cho hàm số y=3 x − x 3 (C). Tìm trên đường thẳng d: y= − x các điểm mà từ đĩ kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Giải • Gọi Mm(;− m ) ∈ () d . PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M và cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng : y= kx( − m ) − m  3 3x− x = kx ( − m ) − m (1) ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau cĩ nghiệm  (*). 3− 3x2 = k (2)  3xx−−−3 (33)( xxmm 2 −+= ) 0 Thay (2) và (1) ta được: ⇔2x3 − 3 mx 2 + 4 m = 0 2x 3 ⇔m = ( ) 3x 2 − 4 2x 3 23 23 Xét hàm số : f( x ) = . Tập xác định : D = ℝ \ { ;− } 3x 2 − 4 3 3 6x4− 24 x 2 x = 0 Cĩ: f’(x) = ; f’(x) = 0 ⇔  2 x = ± 2 3x − 4  BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 73
  74. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ∞ ∞ x - -2 0 - 2 + f’(x) + 0 - - 0 - - 2 + -2 +∞ +∞ +∞ f(x) -∞ ∞ 2 - -∞ Từ M kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số ⇔ ( ) cĩ hai nghiệm phân biệt. m = 2 Dựa vào bảng biến thiên ta cĩ: ( ) cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔  m = − 2  ⇒ Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2). HT 115. Cho hàm số: y= x3 −3 x + 2 . Tìm tất cả điểm trên đường thẳng y = 4 , sao cho từ đĩ kẻ được đúng 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C). Giải Gọi M(x 0 ;4) là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng (d) qua M với hệ số gĩc k là: y=k(x-xo)+4 (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ⇔ hệ sau cĩ nghiệm:  3 kxx(− ) += 4 x − 3 x + 2 (1)  0 k=3 x 2 − 3 (2)  Thay (2) vào (1) ta được: 2 3 (3x− 3)( xx −o ) += 4 xx −+ 3 2 3 2 3 ⇔33x − xxo −+ 33 x x o =−+ x 32 x 3 2 ⇔2x − 3 xxo + 3 x o −= 20 ⇔+x1 2 x2 − (3 x ++ 2) xx 3 += 2  0(3) ()0 0  Để kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số khi và chỉ khi (3) cĩ đúng 2 nghiệm. BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 74
  75. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ 2 ⇔2x − (3 x0 + 2) xx + 3 0 += 2 0 cĩ : +)2 nghiệm trong đĩ 1 nghiệm bằng-1; +)Cĩ nghiệm kép khác -1. Giải tìm đúng 3 điểm: (-1;4);(-2/3;4);(2;4) HT 116. Cho hàm số y=− x3 +3 x 2 − 2 (C). Tìm trên đường thẳng d: y = 2 các điểm mà từ đĩ kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Giải • Gọi M( m ;2)∈ ( d ) . PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M và cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng : y= kx( − m ) + 2  3 2 −+x3 x −= 2 kxm ( − ) + 2 (1) ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau cĩ nghiệm  (*). −3x2 + 6 x = k (2)  3 2 2  Thay (2) và (1) ta được: 2xmxmx− 3( + 1) + 6 −=⇔− 4 0 ( x 2) 2 xmx − (3 −+= 1) 2  0 x = 2 ⇔  fx( )= 2 x2 − (3 m − 1) x += 2 0 (3)  Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) cĩ 3 nghiệm x phân biệt    5 ∆ > 0 m ⇔ (3) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ ⇔  3 . f (2)≠ 0  m ≠ 2     5 m Vậy từ các điểm M(m; 2) ∈ (d): y = 2 với  3 cĩ thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ m ≠ 2  thị (C). 2 2 HT 117. Cho hàm số y=( x +1) .( x − 1 ) (C). Cho điểm A( a ;0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Giải • Ta cĩ y= x4 −2 x 2 + 1 . Phương trình đường thẳng d đi qua A( a ;0) và cĩ hệ số gĩc k : y= kx( − a ) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 75
  76. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  4 2 x−2 x += 1( kxa − ) d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau cĩ nghiệm: (I )   4x3 − 4 x = k  k  2  = 0 4x ( x− 1) = k Ta cĩ: ()I⇔  () A hoặc  (B ) x 2 −1 = 0 fx( )= 3 x2 − 4 ax += 1 0 (1)   + Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 . + Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện can và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt (x ; k ) với x ≠ ± 1 , tức là phương trı̀nh (1) phải cĩ 2 nghiệm phân biệt khác  2 ∆=′ 4a − 3 > 0 3 3 ±1 ⇔  ⇔ −≠ a f (± 1) ≠ 0 2 2  HT 118. Cho hàm số y= x3 −3 x 2 + 2. Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm mà từ đĩ cĩ thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số và 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau. Giải Gọi điểm cần tìm là M( m ;2). Nhận xét: đường thẳng x= m đi qua M cắt đường cong và song song với trục tung và nĩ khơng thể là tiếp tuyến nên mọi tiếp tuyến qua M đều cĩ dạng: y= kx( − m ) + 2. Vậy, hệ sau phải cĩ nghiệm:  3 2 x−3 x += 2 kxm ( − )2 +  ⇒−x33 x 2 +=− 2( xmx )(3 2 −+ 6)2 x 3x2 − 6 x = k  x=0 ⇒ k = 0 ⇔2x3 − (3 m − 3) x 2 + 6 mx =⇔ 0  2x2 − 3( m + 1) x + 6 m = 0 (1)  Trường hợp 1: k = 0 Tiếp tuyến là y = 2, đường thẳng vuơng gĩc với nĩ cĩ dạng: x= c . Vậy khơng cĩ tiếp tuyến nào của đường cong vuơng gĩc với tiếp tuyến này. Vậy, để đường cong cĩ hai tiếp tuyến vuơng gĩc thì phương trình (1) phải cĩ 2 nghiệm x1, x 2 sao cho: y'( x1 ). y '( x 2 )= − 1(2). Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 m > 3 2 2  ⇔9mm + 18 +− 948 m >⇔ 09 mm − 30 +>⇔ 90 1 (2) m <  3 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 76
  77. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3m + 3 Theo định lý Viet ta cĩ: xx+ =; xx . = 3 m 122 12 3 3 Ta cĩ: 3xx2−= 6 2 x 2 −+++ 3( mxm 1) 6  (3 mxm −− 1) 9 2  2 3 3 ⇒yx'()3 =−= xx2 6 (3 mxmyx −− 1) 9,'()3 =−= xx2 6 (3 mxm −− 1) 9 1112 1 1222 2 3  3  (2)⇔yxyx '( ). '( ) =−⇔ 1 (3 mxmmxm −− 1) 9  (3 −−=− 1) 9  1 12 1  2  2  2  9 27 ⇔(3m − 1)2 xx − mm (3 − 1).( xx ++ ) 81 m 2 =− 1 412 2 12 9 27 3m + 3 ⇔(3mmmm − 1)2 .3 − (3 − 1). +=− 81 m 2 1 4 2 2 1 ⇔27m +=⇔ 1 0 m =− (thỏa mãn điều kiện (2)) 27    1  KL: M 2; −   27   1 3 2 HT 119. Cho hàm số yfx=() = mx +−+− ( m 1) x (43) mx + 1 cĩ đồ thị là (C m). Tìm các giá trị 3 m sao cho trên đồ thị (C m) tồn tại một điểm duy nhất cĩ hồnh độ âm mà tiếp tuyến tại đĩ vuơng gĩc với đường thẳng d: x+ 2 y − 30 = . Giải 1 • (d) cĩ hệ số gĩc − ⇒ tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k = 2 . Gọi x là hồnh độ tiếp điểm thì: 2 fx'()2=⇔ mx2 + 2( mx −+− 1) (43)2 m =⇔ mx2 + 2( mx −+−= 1) 23 m 0 (1) YCBT ⇔ (1) cĩ đúng một nghiệm âm. + Nếu m = 0 thì (1) ⇔−2x =− 2 ⇔ x = 1 (loại) 2− 3 m + Nếu m ≠ 0 thì dễ thấy phương trình (1) cĩ 2 nghiệm là x = 1 hay x= m BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 77
  78. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 m  3 2 Vậy m . 3 HT 120. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị 1 (C ) :y= mx3 +−( m 1) x 2 + (4 m −+ 3) x 1 tồn tại đúng hai điểm cĩ hồnh độ dương mà tiếp m 3 tuyến tại đĩ vuơng gĩc với đường thẳng (L): x+2 y − 3 = 0 Giải Cách 1: Cĩ y’ = mx2 +2( m − 1) x +− 4 3 m    1 Từ yêu cầu bài tốn ta cĩ: y '.− = − 1 cĩ đúng hai nghiệm dương phân biệt  2  ⇔ mx2 +2( m − 1) x +− 2 3 m = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt.   m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0    4m2 − 4 m +> 10  1 1   m≠0 0    ⇔⇔ m − 1 ⇔  2 ⇔  2 S>0 > 0  0112 0 2− 3 m  2  2 3  > 0  0 <m < m   3    1  1 2  Vậy m ∈0; ∪  ;  là các giá trị cần tìm 2   2 3  Cách 2: Cĩ y'= mx2 + 2( m − 1) x +− 4 3 m    1 Từ yêu cầu bài tốn ta cĩ: y '.− = − 1 cĩ đúng hai nghiệm dương phân biệt  2  ⇔ mx2 +2( m − 1) x +− 2 3 m = 0 (1) cĩ hai nghiệm phân biệt. +) TH1: m = 0 từ (1) ta cĩ: x = -1 (loại) 1 +) TH2: m = từ (1) ta cĩ x = ± 1(loại) 2 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 78
  79. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2− 3 m +) Th3: m≠0; m ≠ Từ pt (1) cĩ 2 nghiệm x=1 ∨ x = 2 m 2− 3m 2 Điều kiện bài tốn ⇒ >0 ⇔ 0 <m < m 3    1  1 2  Kết hợp cả 3 trường hợp trên ta cĩ giá trị của m cần tìm là: m ∈0; ∪  ;  2   2 3  HT 121. Cho hàm số y= fx( ) = x4 − 2 x 2 . Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B cĩ hồnh độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. Giải • Ta cĩ: fx'()= 4 x3 − 4 x 3 3 Hệ số gĩc tiếp tuyến của (C) tại A và B là kA= fa'() =− 4 a 4, ak B = fb '() =− 4 b 4 b Tiếp tuyến tại A, B lần lượt cĩ phương trình là: y= faxa′()( −+⇔= ) fa () y faxfa ′ () +− ()af ′ () a y= fbxb′()( −+⇔= ) fb () y fbx ′ () +− fb () bbf ′ () Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: 3 3 2 2 kkA=⇔− B 44a a = 4b −⇔− 4()( babaabb ++−= 1)0 (1) Vì A và B phân biệt nên a≠ b , do đĩ (1) ⇔ a2+ ab + b 2 −=1 0 (2) Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:  2 2  2 2 a+ ab + b −=1 0 a+ ab + b −=1 0 ⇔ (a ≠ b ) ⇔  fa()− af′ () a = fb () − bfb ′ ()  −3a4 + 2 a 2 =− 3 b 4 + 2 b 2   Giải hệ này ta được nghiệm là (a ; b )= ( − 1;1) hoặc (a ; b )= (1; − 1) , hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (− 1; − 1) và (1;− 1) Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là: BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 79
  80. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  2 2 a+ ab + b −=1 0  a≠ ±1; a ≠ b  2x HT 122. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng x + 2 cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Giải • Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M cĩ hồnh độ a ≠ − 2 thuộc (C) cĩ phương trình: 4 2 a y=() xa −+ ⇔−++= 4(2)2 xaya2 2 0 (a + 2) 2 a + 2 Tâm đối xứng của (C) là I (−2;2 ). Ta cĩ: 82a+ 82 a + 82 a + d(,) I d = ≤ == 2 2 16+ (a + 2)4 2.4.( a + 2) 2 2 2a + 2 a = 0 d( I , d ) lớn nhất khi (a + 2)2 = 4 ⇔  . a = − 4  Từ đĩ suy ra cĩ hai tiếp tuyến y= x và y= x + 8 . x + 2 HT 123. Cho hàm số y = (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp 2x + 3 tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Giải −1 • Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ y′( x )= < 0 0 0 0 2 (2x0 + 3) ∆OAB cân tại O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y= − x (vì tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc x=−1 ⇒ y = 1 ′ −1 ⇒  0 0 âm). Nghĩa là: y( x 0 )= = − 1  (2x + 3) 2 x=−2 ⇒ y = 0 0  0 0 ⇒ ∆ + Với x0= −1; y 0 = 1 : y−1 =− ( x + 1) ⇔ yx =− (loại) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 80