›
›
›

Đề thi thử đại học Lần 5 môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018

doc 32 trang nhatle22 1570
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi thử đại học Lần 5 môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_thu_dai_hoc_lan_5_mon_toan_lop_12_nam_hoc_2017_2018.doc

Nội dung text: Đề thi thử đại học Lần 5 môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018

  1. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại BÁO TOÁN HỌC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 5, NĂM HỌC 2017-2018 VÀ TUỔI TRẺ MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm bài 90 phút) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: .SBD: . Câu 1: [1D2-3] Từ các chữ số 2 , 3 , 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần? A. 1260.B. .C. .D. . 40320 120 1728 Câu 2: [1D1-2] Phương trình 3 cos x sin x 2 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn 0;4035  ? A. 2016 .B. 2017 .C. .D. . 2011 2018 Câu 3: [2D1-2] Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất ? 2x 1 1 x A. y .B. . C.y . D. . y 2x3 3x2 2 y x3 3x 2 x 3 1 x 3 14 4 7 Câu 4: [2D2-2] Cho các số thực a , b thỏa mãn a a , logb 2 a 1 logb a a 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a 1, b 1 .B. 0 a 1 b .C. 0 b 1 a .D. , . 0 a 1 0 b 1 Câu 5: [2D1-3] Một sợi dây kim loại dài a cm . Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài x cm được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thánh hình vuông a x 0 . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất. a 2a a 4a A. .xB. cm x cm .C. x cm .D. . x cm 4 4 4 4 Câu 6: [1D2-2]Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất một lần. Giả sử con xúc sắc xuất hiện mặt k chấm. Xét phương trình x3 3x2 x k . Tính xác suất để phương trình trên có ba nghiệm thực phân biệt. 1 1 2 1 A. .B. .C. .D. . 3 2 3 6 Câu 7: [2D2-3] Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg ) theo công thức kx P P0.e mmHg ,trong đó x là độ cao (đo bằng mét), P0 760 mmHg là áp suất không khí ở mức nước biển x 0 , k là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất không khí là 672,71 mmHg . Tính áp suất của không khí ở độ cao 3000 m . A. 527,06 mmHg .B. 530,23 mmHg .C. 530,73 mmHg .D. 545,01 mmHg . Câu 8: [2H2-3] Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r h 2r 0 . 4r 2h2 4r 2h2 4r 2h2 3r 2h2 A. .VB. V .C. V .D. . V 3 h 2r h 2r 3 h 2r 4 h 2r z 1 z 3i Câu 9: [2D4-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 ? z i z i A. 0 .B. 1.C. .D. . 2 4 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 1/32 - Mã đề thi
  2. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 1 Câu 10: [0D6-2] Cho số thực thỏa mãn sin . Tính sin 4 2sin 2 cos 4 25 1 255 225 A. .B. .C. .D. . 128 16 128 128 Câu 11: [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;3; 1 và mặt phẳng P : x 2y 2z 1 . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên P . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN . A. .x 2y 2z 3 0 B. . x 2y 2z 1 0 C. x 2y 2z 3 0 . D. .x 2y 2z 2 0 Câu 12: [2D1-3] Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y mx m 3 cắt đồ thị C : y 2x3 3x2 2 tại ba điểm phân biệt A , B , I 1; 3 mà tiếp tuyến với C tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S . A. 1.B. . 1C. . D.2 . 5 Câu 13: [2H1-3] Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A , B , C , D lần là trung điểm các cạnh SA ,SB ,SC ,SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A B C D và S.ABCD . 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 12 8 16 2 Câu 14: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y x4 m 1 x2 2m 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 . 2 2 A. m 1 .B. , . m 1 m 1 3 3 3 3 1 C. .mD. . m 1 3 3 Câu 15: [1D5-3] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên ¡ x 1 khi x 1 f x ln x x 1 2 m.e 1 2mx khi x 1 1 A. .mB. .C.1 m 1 m . D. m 0 . 2 x 1 Câu 16: [2D1-2] Trên đồ thị C : y có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với C tại M song x 2 song với đường thẳng d : x y 1 . A. 0 .B. 1.C. .D. . 2 4 x 2 t x 1 t Câu 17: [2H2-3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau 1 : y 2 2t , 2 : y t z 1 t z 2t t,t ¡ . Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 1 và 2 . x 1 y z x 1 y z x 1 y z A. .B. .C. .D. Cả A, B, C đều sai. 2 3 3 1 1 1 2 3 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 2/32 - Mã đề thi
  3. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 10 Câu 18: [1D2-3] Tìm hệ số của x7 trong khai triển f x 1 3x 2x3 thành đa thức. A. .2B.04 .1C.2 0 262440 4320 .D. 62640 . 1 n 2 2 In 1 Câu 19: [2D3-3] Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu In x 1 x dx . Tính lim . n 0 In A. 1.B. .C. .D. . 2 3 5 Câu 20: [1H3-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a,h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB , BC . ah ah ah ah A. .B. .C. .D. . a2 h2 5a2 h2 2a2 h2 a2 5h2 Câu 21: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I 2; 1 . Gọi C là đồ thị hàm số y sin 3x . Phép 1 vị tự tâm I 2; 1 , tỉ số k biến C thành C . Viết phương trình đường cong C . 2 3 1 3 1 A. .y sin 6x 18 B. . y sin 6x 18 2 2 2 2 3 1 3 1 C. y sin 6x 18 . D. y sin 6x 18 . 2 2 2 2 Câu 22: [2D1-2] Đường thẳng y m tiếp xúc với đồ thị C : y 2x4 4x2 1 tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ tiếp điểm. A. 1.B. .C. .D. . 1 0 3 Câu 23: [1D3-3] Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ? A. 20 .B. .C. .D. . 42 21 17 17 11 17 Câu 24: [2H3-1] Trong không gian Oxyz , cho hình nón đỉnh S ; ; có đường tròn đáy đi qua 18 9 18 ba điểm A 1;0;0 ,B 0; 2;0 ,C 0;0;1 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho. 86 194 94 5 2 A. l .B. . C.l . D. . l l 6 6 6 6 2018 Câu 25: [2D1-2] Cho hàm số f x có f x x2017 . x 1 . x 1 , x ¡ . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. .0B. 1.C. 2 .D. . 3 mx 1 Câu 26: [2D1-2] Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y cùng 2m 1 x với hai trụ tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 3 . Tìm m . 3 3 A. m 1; m . B. m 1; m . 2 2 3 C. m 1; m .D. ; . m 1 m 3 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 3/32 - Mã đề thi
  4. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại Câu 27: [2H1-2] Tính thể tích của một hình hộp chữ nhật biết rằng ba mặt của hình này có diện tích là 20cm2 ,10cm2 , 8cm2 . A. 40cm3 .B. .C. .D. . 1600cm3 80cm3 200cm3 Câu 28: [1D5-2] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t3 3t 2 9t , trong đó ttính bằng giây và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. A. 12m/ s .B. . C.0m ./ s D. . 11m/ s 6m/ s 8 Câu 29: [2D5-2] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x trên đoạn 1;2 lần 1 2x lượt là 11 7 11 18 13 7 18 3 A. ; .B. ; .C. ; .D. ; . 3 2 3 5 3 2 5 2 Câu 30: [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1;2; 2 . Mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng . A. .xB.2 y2 z2 81 x2 y2 z2 1.C. x2 y2 z2 9 .D. . x2 y2 z2 25 Câu 31: [1H3-2] Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC 1 , BC 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC . A. .4B.5 .C. 120 30 .D. 60 . Câu 32: [2D1-3] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số x2 2x 3 y . 2x 1 A. y 2x 2 .B. y x 1.C. .D. . y 2x 1 y 1 x x x x Câu 33: [2D2-2] Từ phương trình 3 2 2 2 2 1 3 đặt t 2 1 ta thu được phương trình nào sau đây? A. t3 3t 2 0 .B. 2t3 3t 2 1 0 .C. .D. . 2t3 3t 1 0 2t 2 3t 1 0 Câu 34: [2H1-3] Tính thể tích khối chóp S.ABC có AB a , AC 2a , B· AC 120 , SA  ABC , góc giữa SBC và ABC là 60 . 21a3 7 a3 3 21a3 7 a3 A. .B. .C. .D. . 14 14 14 7 Câu 35: [2D2-3] Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 812x x m có nghiệm. 1 1 A. m .B. .C. .D. . m 0 m 1 m 3 8 3 m 10 15 Câu 36: [2D3-3] Tìm tất cả các giá trị dương của m để x 3 x dx f , với f x ln x . 0 9 A. .mB. .C.20 m 4 m 5 .D. m 3 . Câu 37: [2D3-3] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị P : y x2 4x 5và các tiếp tuyến của P tại A 1;2 và B 4;5 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 4/32 - Mã đề thi
  5. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 9 4 9 5 A. .B. . C. . D. . 4 9 8 2 Câu 38: [1H2-3] Cho hình bình hành ABCD . Qua A , B , C , D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax , By , Cz , Dt ở cùng phía so với mặt phẳng ABCD , song song với nhau và không nằm trong ABCD . Một mặt phẳng P cắt Ax , By , Cz , Dt tương ứng tại A , B , C , D sao cho AA 3 , BB 5 , CC 4 . Tính DD . A. .4B. 6 .C. 2 .D. . 12 Câu 39: [1H3-3] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a . Tính khoảng cách giữa SC và AB biết rằng SO a và vuông góc với mặt đáy của hình chóp. a 5 2a 2a A. .aB. .C. .D. . 5 5 5 Câu 40: [2H2-3] Cho tam giác ABC vuông tại A , AH vuông góc với BC tại H , HB 3,6cm , HC 6,4cm . Quay miền tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được khối nón có thể tích bằng bao nhiêu? A. 205,89cm3 .B. . C.6 1. 7,66cm3 D. . 65,14cm3 65,54cm3 Câu 41: [2H2-4] Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết rằng AB CD a , BC AD b , AC BD c . A. . a2 b2 c2 B. . 2 a2 b2 c2 1 1 C. a2 b2 c2 .D. . a2 b2 c2 2 2 2 * Câu 42: [1D4-2] Cho dãy số un thỏa mãn un n 2018 n 2017,n ¥ . Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số un là dãy tăng.B. . lim un 0 n 1 * un 1 C. .0D. .un ,n ¥ lim 1 n 2 2018 un 2x 1 Câu 43: [2D1-2] Trên đồ thị hàm số y có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên? 3x 4 A. 1.B. 2.C. 0.D. 4. Câu 44: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình log 1 x m log5 2 x 0 có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con? 5 A. .1B. .C. 2 3 .D. 4 . Câu 45: Trong không gian Oxyz ,cho điểm M 2;0;1 . Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox và trên mặt phẳng Oyz . Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB . A. 4x 2z 3 0 .B. . C.4 x. 2yD. 3 . 0 4x 2z 3 0 4x 2z 3 0 0 Câu 46: Cho tích phân cos 2x cos 4xdx a b 3 , trong đó a,b là các hằng số hữu tỉ. Tính 3 a e log2 b . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 5/32 - Mã đề thi
  6. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 1 A. 2 .B. .C. .D. . 3 0 8 Câu 47: [2H3-4] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2z 1 0 và đường x y 2 z thẳng d : . Hai mặt phẳng P , P chứa d và tiếp xúc với S tại T và T . 1 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H của TT . 5 1 5 5 2 7 5 1 5 7 1 7 A. H ; ; .B. . C.H . ; D.; . H ; ; H ; ; 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Câu 48: [2D4-4] Cho các số phức z1 , z2 với z1 0 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z1.z z 2 là đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường nào sau đây? A. Đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng z1 . z 1 B. Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức 2 , bán kính bằng . z1 z1 1 C. Đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng . z1 z 1 D. Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức 2 , bán kính bằng . z1 z1 Câu 49: [1D5-3] Tính đạo hàm cấp n n * của hàm số y ln 2x 3 . n n n n 1 2 n 2 A. .y 1 nB. .1 ! y n 1 ! 2x 3 2x 3 n n n n 2 n n 1 1 C. y 1 n 1 ! . D. y 1 n 1 ! . 2x 3 2x 3 Câu 50: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 8cot x m 3 .2cot x 3m 2 (1) đồng biến trên ; . 4 A. . B.9 m 3 m 3 .C. m 9 .D. . m 9 HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 6/32 - Mã đề thi
  7. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B A C C A A C B D C A B A D B A D A D D A A A C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C A A A C D B B B A D A C D A C A B D A A A B D C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: [1D2-3] Từ các chữ số 2 , 3 , 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần? A. 1260.B. .C. .D. . 40320 120 1728 Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1: dùng tổ hợp 2 Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có C9 cách. 3 Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có C7 cách. 4 Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có C4 cách. 2 3 4 Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là C9 C7 C4 1260 số. Cách 2: dùng hoán vị lặp 9! Số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là 1260 số. 2!3!4! Câu 2: [1D1-2] Phương trình 3 cos x sin x 2 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn 0;4035  ? A. 2016 .B. 2017 .C. .D. . 2011 2018 Hướng dẫn giải Chọn B. 3 1 Ta có 3 cos x sin x 2 cos x sin x 1 sin x 1 2 2 3 3 7 x k2 k ¢ x k2 k ¢ . 3 2 6 Trên đoạn 0;4035  , các giá trị k ¢ thỏa bài toán thuộc tập 0;1;2;;2016 . Do đó có 2017 nghiệm của phương trình thuộc đoạn 0;4035  . Câu 3: [2D1-2] Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất ? 2x 1 1 x A. y .B. . C.y . D. . y 2x3 3x2 2 y x3 3x 2 x 3 1 x Hướng dẫn giải Chọn A. Ta đã biết đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị, đối với hàm bậc ba thì điềm uốn chính là tâm đối xứng của đồ thị. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu A: I A 3;2 . Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu B: IB 1; 1 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 7/32 - Mã đề thi
  8. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 1 5 Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu C: IC ; . 2 2 Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu D: ID 0; 2 . 13 Ta có OI 13 ; OI 2 ; OI ; OI 2 ; A B C 2 D Suy ra I A cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. 3 14 4 7 Câu 4: [2D2-2] Cho các số thực a , b thỏa mãn a a , logb 2 a 1 logb a a 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a 1, b 1 .B. 0 a 1 b .C. 0 b 1 a .D. , . 0 a 1 0 b 1 Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: a 0 , 0 b 1 . 14 7 Ta có 3 a14 4 a7 a 3 a 4 . 14 7 Mà nên a 1 . 3 4 Giả sử 2 a 1 a a 2 4 a 1 a 2 a a 2 a 2 a 1 a a 2 a2 2a 1 a2 2a 1 0 (vô lý). Vậy 2 a 1 a a 2 . Mà logb 2 a 1 logb a a 2 nên 0 b 1 . Câu 5: [2D1-3] Một sợi dây kim loại dài a cm . Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài x cm được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thánh hình vuông a x 0 . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất. a 2a a 4a A. .xB. cm x cm .C. x cm .D. . x cm 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C. Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn 0 x a . Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a x . x Chu vi đường tròn: 2 r x r . 2 x2 Diện tích hình tròn: S .r 2 . 1 4 2 a x Diện tích hình vuông: S2 . 4 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 8/32 - Mã đề thi
  9. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 2 x2 a x 4 .x2 2a x a2 Tổng diện tích hai hình: S . 4 4 16 4 .x a a Đạo hàm: S ; S 0 x . 8 4 a x 0 4 a S' – 0 + S yCT a Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x . 4 a Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x . 4 Câu 6: [1D2-2]Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất một lần. Giả sử con xúc sắc xuất hiện mặt k chấm. Xét phương trình x3 3x2 x k . Tính xác suất để phương trình trên có ba nghiệm thực phân biệt. 1 1 2 1 A. .B. .C. .D. . 3 2 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A. Số phần tử không gian mẫu là: n  6 . Xét hàm số f x x3 3x2 x . Số nghiệm của phương trình x3 3x2 x k là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x x3 3x2 x và đường thẳng y k . Ta có: f x 3x2 6x 1 . 3 6 9 4 6 x y 2 3 9 f x 0 3x 6x 1 0 . 3 6 9 4 6 x y 3 9 9 4 6 9 4 6 Phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt khi k . 9 9 k 1;2. Gọi A là biến cố “Con xúc sắc xuất hiện mặt k chấm để phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt”. n A 2 . n A 2 1 P A . n  6 3 Câu 7: [2D2-3] Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg ) theo công thức kx P P0.e mmHg ,trong đó x là độ cao (đo bằng mét), P0 760 mmHg là áp suất không TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 9/32 - Mã đề thi
  10. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại khí ở mức nước biển x 0 , k là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất không khí là 672,71 mmHg . Tính áp suất của không khí ở độ cao 3000 m . A. 527,06 mmHg .B. 530,23 mmHg .C. 530,73 mmHg .D. 545,01 mmHg . Hướng dẫn giải Chọn A. Ở độ cao 1000 m áp suất không khí là 672,71 mmHg . Nên ta có: 672,71 760e1000k 672,71 e1000k 760 1 672,71 k ln . 1000 760 1 672,71 3000. ln Áp suất ở độ cao 3000 m là P 760e3000k 760e 1000 760 527,06 mmHg . Câu 8: [2H2-3] Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r h 2r 0 . 4r 2h2 4r 2h2 4r 2h2 3r 2h2 A. .VB. V .C. V .D. . V 3 h 2r h 2r 3 h 2r 4 h 2r Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác SMM ' . Nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMM ' . Mặt khác, do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. S I A D M’ O x M B C Xét SMO có MI là đường phân giác ta có: SM SI h2 x2 h r hr 2 hr 2 (với).x MO x2 AB2 4 MO IO x r h 2r h 2r 1 4h2r 2 Vậy thể tích cần tìm là V h.4.x2 . 3 3 h 2r z 1 z 3i Câu 9: [2D4-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 ? z i z i A. 0 .B. 1.C. .D. . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi z a bi a,b ¡ . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 10/32 - Mã đề thi
  11. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại Ta có: 2 2 2 2 z 1 z i a 1 b a b 1 2a 1 2b 1 a 1 . z 3i z i 2 2 2 2 6b 9 2b 1 b 1 a b 3 a b 1 Vậy có một số phức thỏa mãn là z 1 i . 1 Câu 10: [0D6-2] Cho số thực thỏa mãn sin . Tính sin 4 2sin 2 cos 4 25 1 255 225 A. .B. .C. .D. . 128 16 128 128 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có sin 4 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2 1 cos 4sin cos 1 2sin2 1 cos 2 2 2 2 2 1 1 225 4sin 1 sin 2 2sin 8 1 sin sin 8 1 . . 16 4 128 Câu 11: [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;3; 1 và mặt phẳng P : x 2y 2z 1 . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên P . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN . A. .x 2y 2z 3 0 B. . x 2y 2z 1 0 C. x 2y 2z 3 0 . D. .x 2y 2z 2 0 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n 1; 2;2 . Phương trình đường thẳng đi qua M 1;3; 1 và vuông góc với mặt phẳng P là x 1 t y 3 2t . z 1 2t Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên P ta có N 1 t;3 2t; 1 2t . 8 17 11 1 Thay N vào phương trình mặt phẳng P ta được 9t 8 0 t N ; ; 9 9 9 9 13 19 1 Gọi I là trung điểm của MN khi đó ta có I ; ; . 9 9 9 Do mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng P nên véc tơ pháp tuyến của P cúng là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn MN . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 11/32 - Mã đề thi
  12. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 13 19 1 Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua I ; ; và có một véc tơ 9 9 9 pháp tuyến là n 1; 2;2 là x 2y 2z 3 0 . Câu 12: [2D1-3] Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y mx m 3 cắt đồ thị C : y 2x3 3x2 2 tại ba điểm phân biệt A , B , I 1; 3 mà tiếp tuyến với C tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S . A. 1.B. . 1C. . D.2 . 5 Hướng dẫn giải Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d : 2x3 3x2 2 mx m 3 x 1 2x2 x m 1 0 (*) Để đường thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt 2x2 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 . 9 0 m . 2 8 2.1 1 m 1 0 m 0 Do tiếp tuyến với C tại A và tại B vuông góc với nhau nên k1.k2 1 . Với k1 là hệ số góc tiếp tuyến với C tại A , k2 là hệ số góc tiếp tuyến với C tại B . 2 2 2 Ta có y 6x 6x k1 6x1 6x1 ; k2 6x2 6x2 . 2 2 2 Do k1.k2 1 nên 6x1 6x1 6x2 6x2 1 36 x1x2 36x1x2 x1 x2 36x1x2 1 0 . 1 x x 1 2 2 Theo định lý vi-et ta có m 1 x x 1 2 2 2 m 1 m 1 1 m 1 khi đó ta có 36 36 36 1 0 2 2 2 2 3 5 m 2 6 3 5 3 5 9m 9m 1 0 . Vậy S 1 . 3 5 6 6 m 6 Câu 13: [2H1-3] Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A , B , C , D lần là trung điểm các cạnh SA ,SB ,SC ,SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A B C D và S.ABCD . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 12/32 - Mã đề thi
  13. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 12 8 16 2 Hướng dẫn giải Chọn B. S A' D' B' C' A D B C V SA SB SC 1 V SA SD SC 1 Ta có SA B C . . , SA C D . . VSABC SA SB SC 8 VSACD SA SD SC 8 V V V V 1 Suy ra S.A B C D SA B C SA B C SA C D . VS.ABCD VSABC VSABC VSACD 8 V 1 Vậy SA B C D . VSABCD 8 Câu 14: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y x4 m 1 x2 2m 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 . 2 2 A. m 1 .B. , . m 1 m 1 3 3 3 3 1 C. .mD. . m 1 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có y 4x3 2 m 1 x 2x 2x2 m 1 . x 0 y 0 2 2x m 1 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1 . Khi đó 2 2 m 1 m 1 m 1 m 1 A 0; 2m 1 , B ; 2m 1 , C ; 2m 1 , là các 2 4 2 4 điểm cực trị của đồ thị. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 13/32 - Mã đề thi
  14. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 4 m 1 m 1 Ta thấy AB AC nên tam giác ABC cân tại A . 2 16 Từ giả thiết suy ra A 120 . m 1 2 Gọi H là trung điểm BC , ta có H 0; 2m 1 4 2 m 1 m 1 BH AH tan 60 . 3 4 2 4 3 m 1 m 1 3 2 3 m 1 8 m 1 . 16 2 3 3 Câu 15: [1D5-3] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên ¡ x 1 khi x 1 f x ln x x 1 2 m.e 1 2mx khi x 1 1 A. .mB. .C.1 m 1 m . D. m 0 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Tập xác định D ¡ , f 1 1 m . Ta thấy hàm số f x liên tục trên các khoảng ;1 và 1; . x 1 lim f x lim 1, lim f x lim m.ex 1 1 2mx2 1 m . x 1 x 1 ln x x 1 x 1 Hàm số f x liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số f x liên tục tại x 1 lim f x lim f x f 1 . x 1 x 1 1 m 1 m 0 . x 1 Câu 16: [2D1-2] Trên đồ thị C : y có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với C tại M song x 2 song với đường thẳng d : x y 1 . A. 0 .B. 1.C. .D. . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 y . x 2 2 Gọi M x0 ; y0 C . 1 Hệ số góc của tiếp tuyến với C tại M là: y x0 2 . x0 1 Vì tiếp tuyến song song với d : y x 1 nên: 1 x0 1 y0 0 M 1;0 d y x 1 1 . 0 2 x 3 y 2 M 3;2 d x0 2 0 0 Vậy có 1 điểm M 3;2 thoả mãn yêu cầu bài toán. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 14/32 - Mã đề thi
  15. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại x 2 t x 1 t Câu 17: [2H2-3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau 1 : y 2 2t , 2 : y t z 1 t z 2t t,t ¡ . Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 1 và 2 . x 1 y z x 1 y z x 1 y z A. .B. .C. .D. Cả A, B, C đều sai. 2 3 3 1 1 1 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. I 1;0;0 1  2 .   1 và 2 có VTCP lần lượt là u1 1;2; 1 và u2 1; 1;2 .     u .u 5   Ta có: cos u ;u  1 2 0 u ;u là góc tù. 1 2 6 1 2 u1 . u2    Gọi u là véc tơ đối của u2 u 1;1; 2 .    Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 1 và 2 có VTCP u u1 u 2;3; 3 . x 1 y z Vậy phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi và có dạng: . 1 2 2 3 3 10 Câu 18: [1D2-3] Tìm hệ số của x7 trong khai triển f x 1 3x 2x3 thành đa thức. A. .2B.04 .1C.2 0 262440 4320 .D. 62640 . Hướng dẫn giải Chọn D. 10 10 10 k 3 10 k 10 k 3 k k i i 3 k f x 1 3x 2x C10 1 3x . 2x   C10C10 k 3x . 2x . k 0 k 0 i 0 10 10 k k i i k i 3k   C10C10 k 3 .2 .x i,k ¥ ,0 k 10,0 i 10 k . k 0 i 0 Số hạng chứa x7 ứng với i 3k 7 . i 1 2 3 4 5 6 7 k 2 5 4 1 2 1 0 3 3 3 3 T/m Không t/m Không t/m T/m Không t/m Không t/m T/m 7 2 1 2 1 4 4 0 7 7 Vậy hệ số của x là: C10.C8. 3 .2 C10.C9 . 3 .2 C10.C10. 3 62640 . 1 n 2 2 In 1 Câu 19: [2D3-3] Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu In x 1 x dx . Tính lim . n 0 In A. 1.B. .C. .D. . 2 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A. du dx 1 n u x 2 2 2 n 1 Xét In x 1 x dx . Đặt n 1 x . dv x 1 x2 dx 0 v 2 n 1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 15/32 - Mã đề thi
  16. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại n 1 1 2 1 1 x 1 x 1 n 1 1 n 1 I 1 x2 dx 1 x2 dx n n 1 2 n 1 0 2 n 1 0 0 1 1 n 1 I 1 x2 1 x2 dx n 1 2 n 2 0 1 1 1 n 1 n 1 I 1 x2 dx x2 1 x2 dx n 1 2 n 2 0 0 1 In 1 2n 1 In 1 In 1 2 n 1 In In 1 lim 1. n 2 n 2 In 2n 5 In Câu 20: [1H3-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a,h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB , BC . ah ah ah ah A. .B. .C. .D. . a2 h2 5a2 h2 2a2 h2 a2 5h2 Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1. Dựng hình bình hành A B C E . Khi đó EC vừa song song vừa bằng với AB A B nên ABC E là hình bình hành. Suy ra AE//BC hay BC // AB E chứa AB . Ta có: d AB , BC d BC , AB E d C , AB E . Do A C cắt AB E tại trung điểm của A C nên d C , AB E d A , AB E . Dựng A H  B E tại H và A K  AH tại K . Ta chứng minh được A K  AB E . Suy ra d AB , BC A K . 1 1 1 5 1 1 1 5 1 Ta có: 2 2 2 2 và 2 2 2 2 2 A H 1 A B a A K A H A A a h A C 2 a2h2 ah Vậy A K 2 2 . a 5h a2 5h2 Cách 2. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 16/32 - Mã đề thi
  17. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó: A 0;0;0 , B a;0;0 , C 0;a;0 , A 0;0;h , B a;0;h , C 0;a;h .    Ta có: AB a;0; h , BC a;a; h , B C a;a;0 .   2 Suy ra: AB , BC ah;2ah;a    2 AB , BC .B C a h ah Do đó: d AB , BC   . 2 2 2 2 4 2 2 AB , BC a h 4a h a a 5h Câu 21: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I 2; 1 . Gọi C là đồ thị hàm số y sin 3x . Phép 1 vị tự tâm I 2; 1 , tỉ số k biến C thành C . Viết phương trình đường cong C . 2 3 1 3 1 A. .y sin 6x 18 B. . y sin 6x 18 2 2 2 2 3 1 3 1 C. y sin 6x 18 . D. y sin 6x 18 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D.   xN xI k xM xI Ta có: M C :V I ,k M N C IN k IM yN yI k yM yI 1 xN 2 xM 2 2 xM 2xN 6 M 2xN 6; 2yN 3 C 1 y 2y 3 y 1 y 1 M N N 2 M Thay tọa độ M vào hàm số y sin 3x ta có: 2yN 3 sin 3 2xN 6 3 1 y sin 6x 18 N 2 2 N 3 1 y sin 6x 18 . N 2 2 N TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 17/32 - Mã đề thi
  18. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 3 1 Vậy đường cong C có phương trình là y sin 6x 18 . 2 2 Câu 22: [2D1-2] Đường thẳng y m tiếp xúc với đồ thị C : y 2x4 4x2 1 tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ tiếp điểm. A. 1.B. .C. .D. . 1 0 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Để đường thẳng y m tiếp xúc với đường cong C : y 2x4 4x2 1 khi hệ sau có nghiệm. 4 2 2x 4x 1 m 1 3 8x 8x 0 2 x 0 2 x 1 x 1 Với x 0 thay vào 1 ta được m 1 . Với x 1 thay vào 1 ta được m 1 . Với x 1 thay vào 1 ta được m 1 . Do đó đường thẳng y m tiếp xúc với đồ thị C : y 2x4 4x2 1 tại hai điểm phân biệt khi m 1 . Hay tung độ tiếp điểm bằng 1 . Câu 23: [1D3-3] Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ? A. 20 .B. .C. .D. . 42 21 17 Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi ba số đó là x , y , z . Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên ta có: x ; y x 7d ; z x 42d (với d là công sai của cấp số cộng). Theo giả thiết, ta có: x y z x x 7d x 42d 3x 49d 217 . Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên: 2 2 d 0 y xz x 7d x x 42d d 4x 7d 0 4x 7d 0 217 217 2460 Với d 0 , ta có: x y z . Suy ra n 820 : N . 3 3 217 4x 7d 0 x 7 Với 4x 7d 0 , ta có: . Suy ra u1 7 4 3 . 3x 49d 217 d 4 n 20 2u n 1 d n 1 2.3 4 n 1 n Do đó, Sn 820 820 820 41 2 2 n 2 Vậy n 20 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 18/32 - Mã đề thi
  19. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 17 11 17 Câu 24: [2H3-1] Trong không gian Oxyz , cho hình nón đỉnh S ; ; có đường tròn đáy đi qua 18 9 18 ba điểm A 1;0;0 ,B 0; 2;0 ,C 0;0;1 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho. 86 194 94 5 2 A. l .B. . C.l . D. . l l 6 6 6 6 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2 2 17 11 17 86 l SA 1 . 18 9 18 6 2018 Câu 25: [2D1-2] Cho hàm số f x có f x x2017 . x 1 . x 1 , x ¡ . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. .0B. 1.C. 2 .D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn C. x 0 2017 2018 f x 0 x . x 1 . x 1 0 x 1 . x 1 Lập bảng biến thiên Vậy hàm số chỉ có hai điểm cực trị. mx 1 Câu 26: [2D1-2] Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y cùng 2m 1 x với hai trụ tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 3 . Tìm m . 3 3 A. m 1; m . B. m 1; m . 2 2 3 C. m 1; m .D. ; . m 1 m 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C. mx 1 mx 1 m 2m 1 1 2m2 m 1 Ta có lim m ; lim lim lim x 2m 1 x x 2m 1 2m 1 x x 2m 1 2m 1 x x 2m 1 2m 1 x lim 2m2 m 1 2m2 m 1 0; lim 2m 1 x 0 và 2m 1 x 0x 2m 1 . x 2m 1 x 2m 1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 19/32 - Mã đề thi
  20. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại mx 1 lim . x 2m 1 2m 1 x Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận x 2m 1 và y m . Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 3suy ra 2 m 1 2m m 3 2m 1 . m 3 2m2 m 3 0 . 2 3 2m m 3 PTVN m 2 Câu 27: [2H1-2] Tính thể tích của một hình hộp chữ nhật biết rằng ba mặt của hình này có diện tích là 20cm2 ,10cm2 , 8cm2 . A. 40cm3 .B. .C. .D. . 1600cm3 80cm3 200cm3 Hướng dẫn giải Chọn A. Giả sử hình chữ nhật có ba kích thước là a , b , c . Ta có a.b 20 2 2 2 a.c 10 a .b .c 1600 a.b.c 40 . b.c 8 Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là 40cm3 . Câu 28: [1D5-2] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t3 3t 2 9t , trong đó ttính bằng giây và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. A. 12m/ s .B. . C.0m ./ s D. . 11m/ s 6m/ s Hướng dẫn giải Chọn A. Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v S 3t 2 6t 9 Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường: a S 6t 6 Gia tốc triệt tiêu khi S 0 t 1 . Khi đó vận tốc của chuyển động là S 1 12m/ s . 8 Câu 29: [2D5-2] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x trên đoạn 1;2 lần 1 2x lượt là 11 7 11 18 13 7 18 3 A. ; .B. ; .C. ; .D. ; . 3 2 3 5 3 2 5 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 1;2 16 Ta có f x 1 1 2x 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 20/32 - Mã đề thi
  21. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 3 x 1;2 2 f x 0 . 5 x 1;2 2 11 3 7 18 Khi đó f 1 ; f ; f 2 . 3 2 2 5 11 3 7 Vậy max f x f 1 ; min f x f . 1;2 3 1;2 2 2 Câu 30: [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1;2; 2 . Mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng . A. .xB.2 y2 z2 81 x2 y2 z2 1.C. x2 y2 z2 9 .D. . x2 y2 z2 25 Hướng dẫn giải Chọn C. z C H O B y K A x Ta có H là trực tâm tam giác ABC OH  ABC . Thật vậy : OC  OA OC  AB (1) OC  OB Mà CH  AB (vì H là trực tâm tam giác ABC ) (2) Từ (1) và (2) suy ra AB  OHC AB  OH (*) Tương tự BC  OAH BC  OH . ( ) Từ (*) và ( ) suy ra OH  ABC . Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng ABC có bán kính R OH 3 . Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng là S : x2 y2 z2 9 . Câu 31: [1H3-2] Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC 1 , BC 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC . A. .4B.5 .C. 120 30 .D. 60 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 21/32 - Mã đề thi
  22. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại Hướng dẫn giải Chọn D. S B C H A Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB AC 1 , BC 2 và SB SC 1, BC 2 .          1 Ta có SC.AB SC SB SA SC.SB SC.SA 0 SC.SB.cos60 . 2     SC.AB 1 Suy ra cos SC; AB cos SC; AB . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB , SC.AB 2 SC bằng 60 . Câu 32: [2D1-3] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số x2 2x 3 y . 2x 1 A. y 2x 2 .B. y x 1.C. .D. . y 2x 1 y 1 x Hướng dẫn giải Chọn B. 1  Tập xác định D ¡ \  . 2 2 2x 2x 4 2 x 1 y 2 y 2 , y 0 2x 2x 4 0 . 2x 1 x 2 y 1 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M 1;2 và N 2; 1 . Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M , N của đồ thị hàm số đã cho là: y x 1. Cách khác: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 22/32 - Mã đề thi
  23. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại u x Áp dụng tính chất: Nếu x là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ y thì giá trị cực trị 0 v x u x0 u x0 tương ứng của hàm số là y0 . Suy ra với bài toán trên ta có phương trình v x0 v x0 x2 2x 3 đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y x 1 . 2x 1 x x x Câu 33: [2D2-2] Từ phương trình 3 2 2 2 2 1 3 đặt t 2 1 ta thu được phương trình nào sau đây? A. t3 3t 2 0 .B. 2t3 3t 2 1 0 .C. .D. . 2t3 3t 1 0 2t 2 3t 1 0 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Nhận xét: 2 1 2 1 1 và 2 1 3 2 2 . x x 2x 1 1 Đặt t 2 1 , t 0 . Suy ra 3 2 2 2 1 . 2x 2 2 1 t 1 Phương trình đã cho được viết lại: 2t 3 2t3 3t 2 1 0 . t 2 Câu 34: [2H1-3] Tính thể tích khối chóp S.ABC có AB a , AC 2a , B· AC 120 , SA  ABC , góc giữa SBC và ABC là 60 . 21a3 7 a3 3 21a3 7 a3 A. .B. .C. .D. . 14 14 14 7 Hướng dẫn giải Chọn B. S A 2a o 120 o C a 60 H B 1 1 3 3 + Diện tích đáy S AB.AC.sin120 .a.2a. a2 ABC 2 2 2 2 + Tính chiều cao SA : Dựng AH  BC (với H BC ) suy ra SH  BC , do đó góc ·SBC , ABC S· HA 60 , suy ra SA AH.tan 60 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 23/32 - Mã đề thi
  24. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 1 2.S Tính AH : ta có diện tích S AH.BC AH ABC mà theo định lý hàm côsin thì ABC 2 BC 1 BC 2 AB2 AC 2 2.AB.AC.cos A a2 4a2 2.a.2a. 7a2 BC a 7 , suy ra 2 3 2. a2 21 AH 2 a . a 7 7 1 1 3 21 7 + KL: Thể tích khối chóp S.ABC là V S .SA . a2. a a3 (đvtt). 3 ABC 3 2 7 14 Câu 35: [2D2-3] Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 812x x m có nghiệm. 1 1 A. m .B. .C. .D. . m 0 m 1 m 3 8 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 * Đặt t x (t 0 ) t 2 x . PT trở thành 812t t m . 2 Ta có PT 812x x m có nghiệm khi và chỉ khi PT 812t t m có nghiệm t 0 . 2 2 + Khảo sát f t 812t t (với t 0 ) ta có: f t 812t t. 4t 1 . Lập bảng biến thiên ta được: 1 t 0 4 y 0 1 y 1 3 2 1 * KL: PT 812t t m có nghiệm t 0 khi và chỉ khi m . 3 3 m 10 15 Câu 36: [2D3-3] Tìm tất cả các giá trị dương của m để x 3 x dx f , với f x ln x . 0 9 A. .mB. .C.20 m 4 m 5 .D. m 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. 14 15 15x 15 15 10 243 + Từ f x ln x f x f x do đó f . x15 x x2 9 20 3 + Tính tích phân I x 3 x m dx : 0 x 0 3 Đặt t 3 x x 3 t , dx dt , t 3 0 3 0 3 3t m 1 t m 2 3m 2 Do đó I 3 t t m dt 3t m t m 1 dt 3 0 m 1 m 2 0 m 1 m 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 24/32 - Mã đề thi
  25. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 3 m 2 m 2 5 m 10 3 243 3 3 + Ta có x 3 x dx f 0 9 m 1 m 2 20 m 1 m 2 4.5 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m 3 . 3m 2 35 (Ghi chú: để giải PT rất khó và nhiều thời gian, nên chọn PP này để m 1 m 2 4.5 làm trắc nghiệm cho nhanh và chọn đúng đáp án) Câu 37: [2D3-3] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị P : y x2 4x 5và các tiếp tuyến của P tại A 1;2 và B 4;5 . 9 4 9 5 A. .B. . C. . D. . 4 9 8 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có y 2x 4 . Tiếp tuyến của P tại A và B lần lượt là y 2x 4 ; y 4x 11 . 5 Giao điểm của hai tiếp tuyến là M ; 1 . 2 Khi đó, dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là: 5 2 4 9 S x2 4x 5 2x 4 dx x2 4x 5 4x 11 dx . 1 5 4 2 Câu 38: [1H2-3] Cho hình bình hành ABCD . Qua A , B , C , D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax , By , Cz , Dt ở cùng phía so với mặt phẳng ABCD , song song với nhau và không nằm trong ABCD . Một mặt phẳng P cắt Ax , By , Cz , Dt tương ứng tại A , B , C , D sao cho AA 3 , BB 5 , CC 4 . Tính DD . A. .4B. 6 .C. 2 .D. . 12 Hướng dẫn giải Chọn C. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 25/32 - Mã đề thi
  26. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại Do P cắt mặt phẳng Ax, By theo giao tuyến A B ; cắt mặt phẳng Cz, Dt theo giao tuyến C D , mà hai mặt phẳng Ax, By và Cz, Dt song song nên A B //C D . Tương tự có A D //B C nên A B C D là hình bình hành. Gọi O , O lần lượt là tâm ABCD và A B C D . Dễ dàng có OO là đường trung bình của hai AA CC BB DD hình thang AA C C và BB D D nên OO . 2 2 Từ đó ta có DD 2 . Câu 39: [1H3-3] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a . Tính khoảng cách giữa SC và AB biết rằng SO a và vuông góc với mặt đáy của hình chóp. a 5 2a 2a A. .aB. .C. .D. . 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D. S H B C O M A D Từ giả thiết suy ra hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Ta có AB//CD AB// SCD nên d SC; AB d AB;mp SCD d A;mp SCD . Mặt khác O là trung điểm AC nên d A;mp SCD 2d O;mp SCD . Như vậy d SC; AB 2d O;mp SCD . a Gọi M là trung điểm CD , ta có OM  CD và OM . Kẻ OH  SM , với H SM , thì 2 OH  mp SCD . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 26/32 - Mã đề thi
  27. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại 1 1 1 1 1 5 Xét tam giác SOM vuông tại O , ta có 2 2 2 2 2 2 . OH SO OM a a a 2 a Từ đó OH . 5 2a Vậy d SC; AB 2d O;mp SCD 2.OH . 5 Câu 40: [2H2-3] Cho tam giác ABC vuông tại A , AH vuông góc với BC tại H , HB 3,6cm , HC 6,4cm . Quay miền tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được khối nón có thể tích bằng bao nhiêu? A. 205,89cm3 .B. . C.6 1. 7,66cm3 D. . 65,14cm3 65,54cm3 Hướng dẫn giải Chọn A. A 3,6 cm 6,4 cm B H C Ta có AH 2 HB.HC 3,6.6,4 23,04 nên AH 4,8cm . Quay miền tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được khối nón có bán kính đáy r HC 6,4cm , chiều cao h AH 4,8cm . 1 1 Thể tích của khối nón tạo thành là V r 2h . .6,42.4,8 205,89 cm3 . 3 3 Câu 41: [2H2-4] Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết rằng AB CD a , BC AD b , AC BD c . A. . a2 b2 c2 B. . 2 a2 b2 c2 1 1 C. a2 b2 c2 .D. . a2 b2 c2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Dựng hình hộp AB CD .A BC D B' C A D' B C' A' D TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 27/32 - Mã đề thi
  28. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại Xét mặt bên CD DC là hình bình hành có CD AB C D nên mặt bên CD DC là hình chữ nhật. Tương tự ta có tất cả các mặt bên của hình hộp AB CD .A BC D đều là các hình chữ nhật. Do đó AB CD .A BC D là hình hộp chữ nhật. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Kí hiệu AB x, AD y, AA z thì ta có x2 z2 a2 , x2 y2 c2 , z2 y2 b2 . a2 b2 c2 Suy ra x2 y2 z2 . 2 AC 1 Do đó: R a2 b2 c2 . 2 2 2 * Câu 42: [1D4-2] Cho dãy số un thỏa mãn un n 2018 n 2017,n ¥ . Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số un là dãy tăng.B. . lim un 0 n 1 * un 1 C. .0D. .un ,n ¥ lim 1 n 2 2018 un Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Ta có: u n 2018 n 2017 . Do đó, dãy số u giảm. n n 2018 n 2017 n 2x 1 Câu 43: [2D1-2] Trên đồ thị hàm số y có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên? 3x 4 A. 1.B. 2.C. 0.D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. 2x 1 2 11 11 Ta có: y 3y 2 . 3x 4 3 3 3x 4 3x 4 x 1 y 3 3x 4 1 5 x l 3x 4 1 3 Để y ¢ thì 3x 4 11 7 x l 3x 4 11 3 x 5 y 1 Câu 44: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình log 1 x m log5 2 x 0 có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con? 5 A. .1B. .C. 2 3 .D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: 2 x 0 log 1 x m log5 2 x 0 x m 0 5 log5 2 x log5 x m TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 28/32 - Mã đề thi
  29. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại x 2 x 2 x m x m . 2 x x m 2 m x 2 Phương trình có nghiệm khi m 2 m 2 . Khi đó ta có S 1;0 . Do đó số tập con của S bằng 22 4 . Câu 45: Trong không gian Oxyz ,cho điểm M 2;0;1 . Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox và trên mặt phẳng Oyz . Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB . A. 4x 2z 3 0 .B. . C.4 x. 2yD. 3 . 0 4x 2z 3 0 4x 2z 3 0 Hướng dẫn giải Chọn A. A là hình chiếu của M 2;0;1 trên trục Ox nên ta có A 2;0;0 . B là hình chiếu của M 2;0;1 trên mặt phẳng Oyz nên ta có B 0;0;1 . 1 Gọi I là trung điểm AB . Ta có I 1;0; . 2  Mặt trung trực đoạn AB đi qua I và nhận BA 2;0; 1 làm véc tơ pháp tuyến nên có 1 phương trình 2 x 1 1 z 0 4x 2z 3 0 . 2 0 Câu 46: Cho tích phân cos 2x cos 4xdx a b 3 , trong đó a,b là các hằng số hữu tỉ. Tính 3 a e log2 b . 1 A. 2 .B. .C. .D. . 3 0 8 Hướng dẫn giải Chọn A. 0 0 1 0 1 1 1 1 Ta có: cos 2x cos 4xdx cos6x cos 2x dx sin 6x sin 2x 3 . 3 2 3 2 6 2 8 3 1 1 Do đó ta có a 0 ,b . Vậy ea log b e0 log 2 . 8 2 2 8 Câu 47: [2H3-4] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2z 1 0 và đường x y 2 z thẳng d : . Hai mặt phẳng P , P chứa d và tiếp xúc với S tại T và T . 1 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H của TT . 5 1 5 5 2 7 5 1 5 7 1 7 A. H ; ; .B. . C.H . ; D.; . H ; ; H ; ; 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 29/32 - Mã đề thi
  30. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại P T H O K T P d S có tâm mặt cầu I 1; 0; 1 , bán kính R 1 . d  IT Gọi K d  ITT . Ta có d  ITT nên K là hình chiếu vuông góc của I trên d  IT d . Ta có K 0; 2; 0 2 IH IH.IK R2 1 1 Ta có 2 2 . IK IK IK 6 6 5x x 5 x O K H 5 1 6     1 5yO yK 2 5 1 5 OH OK 5HO HK 0 yH H ; ; . 6 5 1 6 6 3 6 5zO zK 5 zH 5 1 6 Câu 48: [2D4-4] Cho các số phức z1 , z2 với z1 0 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z1.z z 2 là đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường nào sau đây? A. Đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng z1 . z 1 B. Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức 2 , bán kính bằng . z1 z1 1 C. Đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng . z1 z 1 D. Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức 2 , bán kính bằng . z1 z1 Hướng dẫn giải Chọn B. z2 z2 1 w z1.z z2 1 z1 z z z1 z1 z1 z 1 Nên tập hợp điểm là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức 2 , bán kính bằng . z1 z1 Câu 49: [1D5-3] Tính đạo hàm cấp n n * của hàm số y ln 2x 3 . n n n n 1 2 n 2 A. .y 1 nB. .1 ! y n 1 ! 2x 3 2x 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 30/32 - Mã đề thi
  31. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại n n n n 2 n n 1 1 C. y 1 n 1 ! . D. y 1 n 1 ! . 2x 3 2x 3 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 Ta có: y ln 2x 3 y 2x 3 1 .1 y 22. . 2x 3 2 n 2 1.2 n 1 2 3 y 2 . 1 . 3 1 n 1 ! . 2x 3 2x 3 n n n 1 2 Giả sử y 1 . n 1 ! 1 . Ta chứng minh công thức 1 đúng. Thật vậy: 2x 3 2 Với n 1 ta có: y . 2x 3 k * k k 1 2 Giả sử 1 đúng đến n k , 2 k  tức là y 1 . k 1 ! . 2x 3 k 1 k 1 k 2 Ta phải chứng minh 1 đúng đến n k 1 , tức là chứng minh y 1 .k! . 2x 3 k k 1 k 1 k k 1 2 k 1 1 2k 2x 3 Ta có: y y 1 . k 1 ! 1 . k 1 !.2k. 2k 2x 3 2x 3 k 1 k 1 k 2 k 2 1 .k!. k 1 1 .k! . 2x 3 2x 3 n n n 1 2 Vậy y 1 . n 1 ! . 2x 3 Câu 50: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 8cot x m 3 .2cot x 3m 2 (1) đồng biến trên ; . 4 A. . B.9 m 3 m 3 .C. m 9 .D. . m 9 Hướng dẫn giải Chọn C. cot x 3 Đặt 2 t vì x ; nên 0 t 2 . Khi đó ta có hàm số: y t m 3 t 3m 2 (2). 4 y 3t 2 m 3. Để hàm số (1) đồng biến trên ; thì hàm số (2) phải nghịch biến trên 0;2 hay 4 3t 2 m 3 0,t 0;2 m 3 3t 2 ,t 0;2. Xét hàm số: f t 3 3t 2 , t 0;2 f t 6t . f t 0 t 0 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 31/32 - Mã đề thi
  32. Cạp nhạt đạ thi mại nhạt tại Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 9 f t 3,t 0;2 . Vậy hàm số (1) đồng biến trên ; khi m 9 . 4 HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NA.M sưu tạm và biên tạp Trang 32/32 - Mã đề thi