Đề thi Olympic Toán sinh viên và học sinh - Bảng A - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề thi Olympic Toán sinh viên và học sinh - Bảng A - Năm học 2017-2018

1. HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN VÀ HỌC SINH NĂM 2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Giải tích (Đề thi có 02 trang) Thời gian làm bài: 180 phút Bảng A ∞ Bài A.1. Cho (xn)n=1 là dãy số được xác định bởi các điều kiện 1 2 2017 x1 = 2019, xn+1 = x + xn ∀n 1. 2018 n 2018 > ∞ 1. (2 điểm) Chứng minh rằng (xn)n=1 là một dãy số tăng ngặt và không bị chặn trên. 2. (2 điểm) Chứng minh rằng xn  1 1  = 2018 − ∀n > 1. xn+1 − 1 xn − 1 xn+1 − 1 3. (2 điểm) Tìm  x1 x2 xn  lim + + + . n→∞ x2 − 1 x3 − 1 xn+1 − 1 Bài A.2. (6 điểm) Giả sử f : [0, 1] → R là một hàm số khả vi sao cho Z 1 Z 1 f(x)dx = xf(x)dx. 0 0 Chứng minh rằng tồn tại số thực c ∈ (0, 1) sao cho Z c f(c) = 2018f 0(c) f(x)dx. 0 Bài A.3. (6 điểm) Cho hai số thực a < b. Giả sử f :[a, b] → R là một hàm số khả vi liên tục sao cho Z b f(x)dx = 0. a Chứng minh rằng Z x 2 (b − a) 0 max f(t)dt ≤ max |f (x)|. x∈[a,b] a 8 x∈[a,b] 1/2 (Xem tiếp trang sau)
2. Bài A.4. Một quan sát viên C đứng cách đường đua Ot một khoảng OC = 1 km (OC ⊥ Ot). Hai vận động viên điền kinh A, B xuất phát tại O và chạy cùng lúc (sang phải, như hình vẽ) trên đường đua. Góc θ = ∠(CA, CB) được gọi là góc nhìn từ C đến hai vận động viên. Giả sử B luôn chạy nhanh gấp bốn lần A. 1. (2 điểm) Tính tan θ theo x = OA (km). 2. (4 điểm) Xác định vị trí của hai vận động viên trên đường đua để góc nhìn θ từ C đến họ đạt giá trị lớn nhất. 0 Bài A.5. Giả sử f : [0, +∞) → R là một hàm số khả vi, với f dương và liên tục, sao cho 1 f(0) = 0 và lim = +∞. x→+∞ f 0(x)(1 + x2 + f(x)) 1. (3 điểm) Chứng minh rằng hàm f bị chặn trên. 0 2. (1,5 điểm) Hãy tìm ví dụ về một hàm f : [0, +∞) → R khả vi và bị chặn trên, với f dương và liên tục, f(0) = 0, sao cho giới hạn 1 lim x→+∞ f 0(x)(1 + x2 + f(x)) tồn tại và hữu hạn. 3. (1,5 điểm) Hãy tìm ví dụ về một hàm f thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài. HẾT Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm. 2/2