Đề thi Olympic môn Toán Lớp 11 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic môn Toán Lớp 11 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Kèm đáp án)

1. www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018 Môn thi : TOÁN - Lớp: 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (3,0 điểm). 2 a. Tính tổng các nghiệm của phương trình: sin56cosxx trên đoạn ; . 2 b. Giải phương trình: 31cosxcosxsinx 4 33. 3 Câu 2 (4,0 điểm). a. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy un biết: 1 1 1 u (n N*) . n n 1 n 2 2 n n b. Cho dãy un biết u1 2 và uunn 1 34 với nN * un Tìm số hạng tổng quát của dãy un . Tính l im . un 1 Câu 3 (4,0 điểm). a. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác nhau ) được thành lập từ các chữ số 2 ,0 ,1 ,8. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập X . Tính xác suất để phần tử được chọn là số chia hết cho 3 . b. Trên 2 đường thẳng song song và d , ta lần lượt gắn vào đó m điểm và n điểm sao cho mn 17 ( mnN,* ). Tìm m , n để số các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 17 điểm phân biệt ở trên là lớn nhất. 6 xx2 khi x 2 Câu 4 (2,0 điểm). Cho hàm số fx |2x | 52khix Xét tính liên tục của hàm số fx tại điểm x 2 . Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn Cxyxy : 244022 và điểm A() 3, 1 . Gọi I là tâm của đường tròn C . M là điểm thay đổi trên C sao cho ba điểm AMI,, không thẳng hàng. Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM tại N . Gọi K là tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên C . Viết phương trình đường K . Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BD a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a . a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD . www.thuvienhoclieu.com Page 1
2. www.thuvienhoclieu.com b. Gọi () là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng () bằng 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng () . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng () và hình chóp S AB. CD . ––––––––––– Hết –––––––––––– Họ và tên thí sinh: .; Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018 QUẢNG NAM Môn thi: TOÁN Lớp : 11 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Đáp án gồm 05 trang () Câu Nội dung Điểm 1 2 1,5 a. Tính tổng các nghiệm của phương trình: sinxx 5 6cos trên đoạn ; . 2 sin56cos6ssin10xxinxx 22 0.25 11 sinx;sinx 0.25 23 1 sinx ( x [,] ) x = 0.25 2 2 6 1 1 1 sinx ( x [ , ] ) x = a r c sin , x = a r c sin 3 2 3 3 0.25 1 1 5 Tổng các nghiệm phương trình trên [ , ] là + a r c sin + a r c sin = 2 6 3 3 6 0.5 b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4cos3x 3 sin3x. 1,5 3cosx 1 = 4cos3x 3 sin3x 1 = 4cos3x 3cosx 3 sin3x 0.25 0.25 1 = cos3x 3 sin3x 3 sin3x cos3x =1 1 sin ( 3x ) = sin ( 3x ) = sin 0.25 6 2 6 6 5 3x = + k2 hoặc 3x = + k2 ( k ) 0.25 6 6 6 6 +0,5 2 1 1 1 a. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy (u ) biết u . n n 1.5 n 1 n 2 2 n 1 1 1 1 n Ta có: 0 < u = 1,  n N* n 0,25 n 1 n 2 n 3 2 n n 1 + 0,25 (un) bị chặn. 0.25 02.5 www.thuvienhoclieu.com Page 2
3. www.thuvienhoclieu.com 111111111 uu ( ) nn 1 nnnnnnnnn 23221221232 11111 0.25 0 212(1)1212(1)nnnnn 0.25 (un) là dãy tăng. n b. Cho dãy (un) biết u1 = 2 và uunn 1 34 với n N*. un Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) . Tính l im . 2,5 un 1 . + Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) Ta có: uu 34n (1) nn 1 nn 1 0.5 Tìm số α : uu .43.(.4) (2) nn 1 0.25 nnn 1 (1),(2)(3.44)41 nn 1 (2) viết lại: uunn 1 43.(4) 0.25 n 0.5 Xét dãy (vn) với v1= 2, vn+1= 3vn ( n 1) - ở đây vn =un 4 . n 1 n n 1 n n 1 0.5 Khi đó vn = 2. 3 un 4 = 2. 3 un = 4 2. 3 u + Tính l im n . un 1 u 42.341nnn 1 n 0.5 limlimlim nnn 11 un 1 42.344 3 a. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác 2,0 nhau ) được thành lập từ các chữ số 2 ,0 ,1 ,8. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập X . Tính xác suất để phần tử được chọn là số chia hết cho 3 . Gọi số được chọn là aaaa1231 (0) 0.5 Tính số phần tử của không gian mẫu: n  3.4.448 Gọi A là biến cố: ‘‘ số được chọn là số chia hết cho 3 ’’ 0.5 a123 a a chia hết cho 3 khi: aaa123 chia hết cho 3. Liệt kê các số gồm: 111,222,888, và hoán vị của các bộ số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ;(1;8;0) . (Lưu y, chữ số a1 0 ) . 0.5 Do đó số kết quả thuận lợi để có A là nA 17 n(A) 17 Vậy xác suất cần tìm: PA 0.5 n( ) 48 b. Trên 2 đường thẳng song song và d , ta lần lượt gắn vào đó m điểm và n 2.0 điểm sao cho mn 17 ( m,* n N ). Tìm m , n để số các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 17 điểm phân biệt đã cho là lớn nhất. Mỗi tam giác cần xác lập có 1 đỉnh nằm trên một đường thẳng và 2 đỉnh nằm trên đường thẳng còn lại. Trường hợp 1: Một trong hai số m hoặc n là bằng 1 chẳng hạn m =1, khi đó n =16 và www.thuvienhoclieu.com Page 3
4. www.thuvienhoclieu.com 2 số các tam giác có được từ 17 điểm này là 1.C 1216 0 0.5 Trường hợp 2: m, n đều lớn hơn 1. Số các tam giác có được từ 17 điểm này là (n 1) n ( m 1) m m C22 nC m n nm 22 0.5 mn 15 .(m n 2) mn 22 15 15 .4mn .[( m n )22 ( m n ) ] 88 0,25 15 .[1722 (mn ) ] 8 15 15 (1722 1 ) .288 540. 88 0.25 Dấu bằng xảy ra khi |m n| =1, m,n N* 0.25 m=9 , n=8 hoặc ngược lại. Kết luận : Số tam giác là lớn nhất khi m=9, n=8 hoặc ngược lại. 0.25 4 6 xx2 2,0 khix 2 Cho hàm số fx |2x | 52khix Xét tính liên tục của hàm số fx tại điểm x 2 . 66 xxxx 22 0.25 lim(fx )limlim xxx 222 |2xx |2 (2)(3)xx lim 0.25 x 2 (2)x lim(3)5 x 0.25 x 2 66 x x22 x x 0.25 limfx ( ) lim lim x 2 x 2 |xx 2 | x 2 2 (xx 2)( 3) lim 0.25 x 2 2 x lim(x 3) 5 0.25 x 2 Vì lim()lim()fxfx nên hàm số không có giới hạn tại x=2 nên không thể liên tục tại 0.5 xx 22 x=2. 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn Cxyxy : 244022 và điểm A() 3, 1 . 3,0 Gọi I là tâm của đường tròn C . M là điểm thay đổi trên C sao cho 3 điểm AMI,, không thẳng hàng. Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM tại N . Gọi K là tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên C . Viết phương trình đường K . Hình vẽ: www.thuvienhoclieu.com Page 4
5. www.thuvienhoclieu.com M N I A (C) có tâm I(1, 2) và bán kính R =3 . Tính được IA = 5. 0.5 M N I M 3 MNANAM 358 Vì IN là tia phân giác của góc AIM nên A N I A 5 ANAN 55 5 A N A M (*) (do N nằm giữa A và M ) 8 0.5 5 Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số k biến điểm M thành điểm N. 0.25 8 0.25 Gọi P,Q là 2 giao điểm của đường thẳng IA và (C). Do đó khi M chạy khắp đường tròn (C) ( M P, M Q) thì N chạy khắp (K) với (K) 5 đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số k ( trừ 2 điểm 8 0.5 là ảnh của P,Q qua phép vị tự trên). Viết phương trình đường tròn (C’). 5 17 0.5 Gọi I’ là tâm đường tròn (C’), ta có: AIAI' I '; 8 28 515 R’ là bán kính đường tròn (C’), ta có: R’ = R . 0.25 88 2 2 2 0.25 1 7 15 Vậy phương trình đường tròn (C’) : xy 2 8 8 6 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , biết BDa ; cạnh bên 4.0 SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a . a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD . b. Gọi () là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng () bằng 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng () . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng () và hình chóp S. ABCD . Hình vẽ: ( Phục vụ câu a :0.25 điểm và câu b 0.25 điểm) 0.5 www.thuvienhoclieu.com Page 5
6. www.thuvienhoclieu.com S a M E F I a A B a a O D C a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD . 1.5 Tính góc SBC . 0.25 SAB vuông cân tại A SB = a 2 . 0.25 Gọi O là tâm hình thoi ABCD. AC = 2 AO = a 3 0.25 SA =a, AC = a 3 SC = 2a Ta có: SC2 = SB2+BC2 2SB.BC . cos B 1 4a2 = 2a2+ a2 2.a2 2 cos B cosB = 22 0.5 1 Gọi  là góc giữa SB và BC , ta có: cos = 0.25 22 b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng () và hình chóp SABCD. . 2.0 Ta có: AC = a 3 và SA =a SC =2a. 11a d(C, α) = 3 d(S, α) SM = CMSC 0.25 342 Gọi I là giao điểm của SO và AM. Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD tại E và F. 0.5 Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AEMF. 0.25 Ta có BD  (SAC) EF  (SAC) EF  AM ( SAEMF = ½ AM. EF.) Tính AM, EF 3 Xét SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta được AM = a 0.25 2 3 (có thể kiểm chứng AM  SC AM = a ) 2 Xét SAC – Kẻ ON // AM. O là trung điểm AC N là trung điểm CM. www.thuvienhoclieu.com Page 6
7. www.thuvienhoclieu.com S M I N 0.25 / / C A O 0.25 1 1 3 3 13 5 MN = CM = . SC SC SN = SI+MN = S C S C = SC 2 2 4 8 48 8 1 SC 0.25 SISM 2 ON // AM 4 5 SOSN SC 5 8 EF2 SESI 22a Xét SBD, EF // BD EF = BD BDSCSO 5 55 1 1323 a2 SAEMF = AM. EF= aa . 2 22510 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm. www.thuvienhoclieu.com Page 7