Đề thi minh học kì thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán học - Đề số 1 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi minh học kì thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán học - Đề số 1 (Kèm đáp án)

1. ĐỀ THI MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Đề số 001 Câu 1: Hàm số y x3 3x2 3x 4 có bao nhiêu cực trị ? A. 0B. 1C. 2D. 3 4 Câu 2: Cho hàm số y x3 2x2 x 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? 3 1 A. Hàm số đã cho nghịch biến trên ; 2 1 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ; 2 1 1 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên ;  ; 2 2 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ Câu 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ? A. B.y C.ta D.n x y 2x4 x2 y x3 3x 1 y x3 2 Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ? 3 A. B.y 4x y 4x 3sin x cos x x C. D.y 3x3 x2 2x 7 y x3 x Câu 5: Cho hàm số y 1 x2 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đã cho đồng biến trên B.0 ;Hàm1 số đã cho đồng biến trên 0;1 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên D. 0 ;Hàm1 số đã cho nghịch biến trên 1;0 x2 5 Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;2 . x 3 5 1 A. B.m iC.n y D. min y min y 2 min y 10 x 0;2 3 x 0;2 3 x 0;2 x 0;2 Câu 7: Đồ thị hàm số y x3 3x2 2x 1 cắt đồ thị hàm số y x2 3x 1 tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó độ dài AB là bao nhiêu ? A. B.AB C. D.3 AB 2 2 AB 2 AB 1 Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số y x4 2mx2 2m m 4có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Trang 1
2. A. B.m C.0 D. m 3 3 m 3 3 m 3 x2 2 Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y có hai đường tiệm mx4 3 cận ngang. A. B.m C.0 D. m 0 m 0 m 3 3x 1 Câu 10: Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho x 3 khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. A. B.M 1 1; 1 ;M2 7;5 M1 1;1 ;M2 7;5 C. D.M 1 1;1 ;M2 7;5 M1 1;1 ;M2 7; 5 Câu 11: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16 m .3 Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. A. 0,8mB. 1,2mC. 2mD. 2,4m Câu 12: Cho số dương a, biểu thức a.3 a.6 a5 viết dưới dạng hữu tỷ là: 7 5 1 5 A. B.a 3 C. D. a 7 a 6 a 3 4 Câu 13: Hàm số y 4x2 1 có tập xác định là: 1 1  1 1 A. B.¡ C. D. 0;  ¡ \ ;  ; 2 2 2 2 Câu 14: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 2 tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 1 là: A. B.y C. D.x 1 y x 1 y x 1 y x 1 2 2 2 2 2 2 Câu 15: Cho hàm số y 2x 2x . Khẳng định nào sau đây sai. A. Đồ thị hàm số luôn cắt trục tung. B. Đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y 2 C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất lớn hơn -1. D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một điểm Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số y log x3 3x 2 A. B.D C. 2;1 D 2;D. D 1; D 2; \ 1 Trang 2
3. Câu 17: Đồ thị hình bên của hàm số nào: A. B.y 2x y 3x C. D.y x2 1 y 2x 3 1 x Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số y 2x ln 2 x 1 1 x 2 2 x ln 2 x 1 1 A. B.y' C. D. 2 y' x y' x y' x 2x 2 2 2 Câu 19: Đặt a log3 5;b log4 5 . Hãy biểu diễn log15 20 theo a và b. a 1 a b 1 a A. B.log 20 log 20 15 b a b 15 a 1 b b 1 b a 1 b C. D.log 20 log 20 15 a 1 a 15 b 1 a Câu 20: Cho các số t hực a, b thỏa 1 a b . Khẳng định nào sau đây đúng 1 1 1 1 A. B. 1 1 loga b logb a loga b logb a 1 1 1 l C. D.1 1 loga b logb a logb a loga b Câu 21: Ông Bách thanh toán tiền mua xe bằng các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị chiếc xe ông Bách mua là bao nhiêu ? A. 32.412.582 đồngB. 35.412.582 đồngC. 33.412.582 đồngD. 34.412.582 đồng Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2x 1 2 1 2 A. B.f x dx 2x 1 C f x dx 2x 1 C 4 1 2 2 C. D.f x dx 2x 1 C f x dx 2 2x 1 C 2 Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f x ln 4x x x A.f x dx ln 4x 1 C B. f x dx ln 4x 1 C 4 2 Trang 3
4. C. D. f x dx x ln 4x 1 C f x dx 2x ln 4x 1 C Câu 24: Khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm x m so với độ dài tự nhiên là 0.15m của lò xo thì chiếc lò xo trì lại (chống lại) với một lực f x 800x . Hãy tìm công W sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 0,15m đến 0,18m. A. B.W C. 3 D.6. 10 2 J W 72.10 2 J W 36J W 72J a x Câu 25: Tìm a sao cho I x.e 2 dx 4 , chọn đáp án đúng 0 A. 1B. 0C. 4D. 2 x 1 Câu 26: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các trục tọa độ. x 2 Chọn kết quả đúng: 3 3 3 5 A. B.2l nC. D. 1 5ln 1 3ln 1 3ln 1 2 2 2 2 Câu 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x2 2x 1; y 2x2 4x 1. A. 5B. 4C. 8D. 10 1 Câu 28: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0, x 0, x 1 quay 1 4 3x xung quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 3 3 3 A. B. C.4l nD. 1 6ln 1 9ln 1 6ln 1 6 2 4 2 6 2 9 2 Câu 29: Cho hai số phức z1 1 2i;z2 2 3i . Tổng của hai số phức là A. B.3 C.i D. 3 i 3 5i 3 5i 1 i 2 i Câu 30: Môđun của số phức z là: 1 2i A. 2B. 3C. D. 2 3 2 Câu 31: Phần ảo của số phức z biết z 2 i . 1 2i là: A. B.2 C. 5D. 3 2 1 Câu 32: Cho số phức z 1 i . Tính số phức w iz 3z . 3 8 10 8 10 A. B.w C. D. w w i w i 3 3 3 3 Trang 4
5. Câu 33: Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b'i . Điều kiện giữa a,b,a’,b’ để z.z ' là một số thực là: A. B.aa C.' b D.b' 0 aa ' bb' 0 ab' a'b 0 ab' a'b 0 Câu 34: Cho số phức z thỏa z 3 . Biết rằng tập hợp số phức w z ilà một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. B.I 0C.;1 D. I 0; 1 I 1;0 I 1;0 Câu 35: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật S cạnh AB a,AD a 2 , SA  ABCD góc giữa SC và đáy 0 bằng 60 . Thể tích hình chóp S.ABCD bằng: M A A. B.2 a3 3 2a3 D 3 3 C. D.3a 6a B C Câu 36: Khối đa diện đều loại 5;3 có tên gọi là: A. Khối lập phươngB. Khối bát diện đều C. Khối mười hai mặt đềuD. Khối hai mươi mặt đều. Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, 1 AB BC AD a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính 2 thể tích khối chóp S.ACD. a3 a3 a3 2 a3 3 A. B.V C. D. V V V S.ACD 3 S.ACD 2 S.ACD 6 S.ACD 6 Câu 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tất cả các cạnh bằng a và có tâm là O gọi M là trung điểm của OA. Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD). a 6 a 6 a 6 A. B.d C. D. d d d a 6 6 4 2 Câu 39: Cho hình lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 450. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A 'B'C' bằng: a3 3a3 3a3 3a3 A. B. C. D. 2 4 8 2 Câu 40: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V m3 , hệ số k cho trước (k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Gọi x, y,h 0lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định x, y,h 0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x,y,h lần lượt là Trang 5
6. 2k 1 V 2kV k 2k 1 V 3 3 A. x 2 ; y 3 ;h 4k2 2k 1 2 4 2k 1 V 2kV k 2k 1 V 3 3 B. x ; y 3 ;h 2 4k2 2k 1 2 4 2k 1 V 2kV k 2k 1 V 3 3 C. x ; y 2 3 ;h 4k2 2k 1 2 4 2k 1 V 2kV k 2k 1 V 3 3 D. x ; y 6 3 ;h 4k2 2k 1 2 4 Câu 41: Cho hình đa diện đều loại 4;3 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. Hình đa diện đều loại 4;3 là hình lập phương. B. Hình đa diện đều loại 4;3 là hình hộp chữ nhật. C. Hình đa diện đều loại 4;3 thì mỗi mặt của hình đa diện là một tứ giác. D. Hình đa diện đều loại 4;3 là hình tứ diện đều. Câu 42: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC a,A· CB 600 . Đuòng chéo B’C của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a. a3 15 a3 15 a3 15 A. B. C. D. a3 6 3 12 24 Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 3y 4z 2016 . Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ? A. B.n C. D.2; 3;4 n 2;3;4 n 2;3; 4 n 2;3; 4 Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 8x 10y 6z 49 0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). A. I 4;5; 3 và B.R 7 và I 4; 5;3 R 7 C. I 4;5; 3 vàD.R 1 và I 4; 5;3 R 1 Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x 3y z 1 0 . Tính khoảng cách d từ điểm M 1;2;1 đến mặt phẳng (P). 15 12 5 3 4 3 A. B.d C. D. d d d 3 3 3 3 Trang 6
7. x 1 1 y 2 z Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : và 1 2 m 3 x 3 y z 1 d : . Tìm tất cả giá trị thức của m để d  d . 2 1 1 1 1 2 A. B.m C.5 D. m 1 m 5 m 1 Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 3;2; 3 và hai đường thẳng x 1 y 2 z 3 x 3 y 1 z 5 d : và d : . Phương trình mặt phẳng chứa d 1 và d2 1 1 1 1 2 1 2 3 có dạng: A. B.5x 4y z 16 0 5x 4y z 16 0 C. D.5x 4y z 16 0 5x 4y z 16 0 Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương x 3 y 1 z trình d : , P : x 3y 2z 6 0 . 2 1 1 Phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là: x 1 31t x 1 31t x 1 31t x 1 31t A. B. y C. 1 D. 5t y 1 5t y 3 5t y 1 5t z 2 8t z 2 8t z 2 8t z 2 8t Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 1;3; 2 và đường thẳng x 4 y 4 z 3 : . Phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm 1 2 1 phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 có phương trình là: A. B. S : x 1 2 y 3 2 z2 9 S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 9 C. D. S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 9 S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 9 Câu 50: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M 1; 1;2 và vuông góc với mp  : 2x y 3z 19 0 là: x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 A. B. 2 1 3 2 1 3 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 C. D. 2 1 3 2 1 3 Trang 7
8. Đáp án đề 001 1-A 2-D 3-D 4-A 5-C 6-A 7-D 8-B 9-C 10-C 11-C 12-D 13-C 14-B 15-D 16-D 17-A 18-D 19-D 20-D 21-A 22-B 23-C 24-A 25-D 26-C 27-B 28-D 29-A 30-C 31-B 32-A 33-C 34-A 35-A 36-C 37-D 38-B 39-C 40-C 41-A 42-B 43-C 44-D 45-C 46-D 47-B 48-A 49-C 50-A Trang 8
9. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A 2 y' 3x2 6x 3 3 x 1 0,x ¡ Do đó hàm số luôn đồng biến trên tập xác định dẫn tới không có cực trị. Câu 2: Đáp án D y' 4x3 4x 1 2x 1 2 0,x Do đó hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định Câu 3: Đáp án D y' 3x2 0, x Nên hàm số y x3 2 luôn đồng biến trên R. Câu 4: Đáp án A 3 Dễ thấy hàm số y 4x bị gián đoạn tại x 1 x Câu 5: Đáp án C Tập xác định D  1;1 x Ta có: y' 0 0 x 0 , dấu đạo hàm phụ thuộc vào tử, ta thấy tử âm trên 1 x2 0;1 nên hàm số nghịch biến trên 0;1 Câu 6: Đáp án A x2 5 Hàm số y xác định và liên tục trên 0;2 x 3 x2 5 4 4 x 1 y y x 3 y' 1 2 , y' 0 x 3 x 3 x 3 x 5 5 1 5 Ta có y 0 , y 2 . Vậy min y 3 5 x 0;2 3 Câu 7: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 2 3 2 x 1 x 3x 2x 1 x 3x 1 x 1 x 1 x 2  Khi đó tọa độ các giao điểm là: A 1; 1 ,B 2; 1 AB 1;0 . Vậy AB 1 Câu 8: Đáp án B Trang 9
10. x 0 3 TXĐ: D ¡ .y' 4x 4mx, y' 0 2 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và x m * chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 0 . Khi đó tọa độ các điểm cực trị là: A 0;m4 2m , B m;m4 m2 2m ,C m;m4 m2 2m AB AC 2 2 4 Theo YCBT, A, B, C lập thành tam giác đều AB BC m m 4m AB BC m m3 3 0 m 3 3 (vì m 0 ) Câu 9: Đáp án C x2 2 Đồ thị hàm số y có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn mx4 3 lim y a a ¡ , lim y b b ¡ tồn tại. Ta có: x x + với m 0 ta nhận thấy lim y , lim y suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận x x ngang. 3 3 + Với m 0 , khi đó hàm số có TXĐ D 4 ; 4 , khi đó lim y, lim y không tồn x x m m tại suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. 2 2 2 x 1 2 1 x 2 1 + Với m 0 , khi đó hàm số có TXĐ D ¡ suy ra lim , lim x x 3 x 3 m x2 m x2 m x2 x4 suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang. Vậy m 0 thỏa YCBT. Câu 10: Đáp án C Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: 1 : x 3 0 và tiệm cận ngang 2 : y 3 0 3x0 1 Gọi M x0 ; y0 C với y0 x0 3 . Ta có: x0 3 d M, 1 2.d M, 2 x0 3 2. y0 3 x 1 3x0 1 2 0 x0 3 2. 3 x0 3 16 x0 3 x0 7 Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là M1 1;1 và M2 7;5 Câu 11: Đáp án C Trang 10
11. 16 Gọi x m là bán kính của hình trụ x 0 . Ta có: V x2.h h r2 32 Diện tích toàn phần của hình trụ là: S x 2 x2 2 xh 2 x2 , x 0 x 32 Khi đó: S' x 4 x , cho S' x 0 x 2 x2 Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x 2 m nghĩa là bán kính là 2m Câu 12: Đáp án D 1 1 5 5 a 2 3 6 a 3 Câu 13: Đáp án C 1 Điều kiện xác định: 4x2 1 0 x 2 Câu 14: Đáp án B Phương trình tiếp tuyến có dạng: y y' x0 x x0 y0 1 Trong đó: y' x 2 2 x 1 y 1; y' 1 0 0 2 Câu 15: Đáp án D Ta biểu diễn hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ Tọa độ các điểm đặc biệt x -1 0 1 2 3 y 5 1 0 0 2 2 Dựa vào đồ thị ta thấy đáp án D sai. Câu 16: Đáp án D 3 2 x 1 Hàm số đã cho xác định x 3x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 Câu 17: Đáp án A Đồ thị đi qua các điểm 0; 1 , 1; 2 chỉ có A, C thỏa mãn. Tuy nhiên đồ thị nhận Ox làm tiếp cận nên đáp án là A. Câu 18: Đáp án D Trang 11
12. x x 1 x 1 x '.2 2 '. 1 x ln 2 x 1 1 y x y' 2 x 2 2x 2 Câu 19: Đáp án D log3 20 log3 4 log3 5 a 1 b Ta có: log15 20 log3 15 1 log3 5 b 1 a Câu 20: Đáp án D Chỉ cần cho a 2,b 3 rồi dùng MTCT kiểm tra từng đáp án. Câu 21: Đáp án A Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua là 5.000.000 đồng, qua năm 2 sẽ thanh toán 6.000.000 đồng, năm 3: 10.000.000 đồng và năm 4:20.000.000 đồng. Các khoản tiền này đã có lãi trong đó. Do đó giá trị chiếc xe phải bằng tổng các khoản tiền lúc chưa có lãi. Gọi V0 là tiền ban đầu mua chiếc xe. Giá trị của chiếc xe là: 1 2 3 4 V0 5.1,08 6.1,08 10.1,08 20.1,08 32.412.582 đồng Câu 22: Đáp án B 1 2 f x dx 2x 1 dx 2x 1 C 4 Câu 23: Đáp án C f x dx ln 4x.dx dx u ln 4x du Đặt x . Khi đó f x dx x.ln 4x dx x ln 4x 1 C dv dx v x Câu 24: Đáp án A Công được sinh ra khi kéo căng lò xo từ 0,15m đến 0,18m là: 0,03 0,03 W 800xdx 400x2 36.10 2 J 0 0 Chú ý: Nếu lực là một giá trị biến thiên (như nén lò xo) và được xác định bởi hàm F(x) thì b công sinh ra theo trục Ox từ a tới b là A F x dx a Câu 25: Đáp án D a x u x du dx 2 Ta có: I x.e dx . Đặt x x 0 dv e 2 dx v 2.e 2 Trang 12
13. x a a x a x a a I 2x.e 2 2 e 2 dx 2ae 2 4.e 2 2 a 2 e 2 4 0 0 0 a Theo đề ra ta có: I 4 2 a 2 e 2 4 4 a 2 Câu 26: Đáp án C x 1 Phương trình hoành độ giao điểm y 0 x 1 x 2 0 0 0 x 1 x 1 3 0 2 3 S dx dx 1 dx x 3ln x 2 1 3ln 3ln 1 1 1 x 2 1 x 2 1 x 2 3 2 Câu 27: Đáp án B Phương trình hoành độ giao điểm x2 2x 1 2x2 4x 1 3x2 6x 0 x 0 hoặc x 2 Diện tích cần tìm là: 2 2 2 S x2 2x 1 2x2 4x 1 dx 3x2 6x dx 3x2 6x dx 0 0 0 2 2 3x2 6x dx x3 3x2 23 3.22 8 12 4 0 0 Câu 28: Đáp án D 1 dx Thể tích cần tìm: V 2 0 1 4 3x 3 2 Đặt t 4 3x dt dx dx tdt x 0 t 2;x 1 t 1 2 4 3x 3 2 2 2 t 2 2 1 1 2 1 3 Khi đó: V 2 dt 2 dt ln 1 t 6ln 1 3 3 1 t 3 1 t 9 2 1 1 t 1 1 t 1 Câu 29: Đáp án A z1 z2 1 2i 2 3i 3 i Câu 30: Đáp án C 1 i 2 i Mô đun của số phức z 1 i z 2 1 2i Câu 31: Đáp án B 2 z 2 i . 1 2i 5 2i z 5 2i Vậy phần ảo của z là: 2 Trang 13
14. Câu 32: Đáp án A 1 1 iz i 8 z 1 i 3 w 3 3 3z 3 i Câu 33: Đáp án C z.z ' a bi a ' b'i aa ' bb' ab' a 'b i z.z’ là số thực khi ab' a 'b 0 Câu 34: Đáp án A Đặt w x yi, x, y ¡ suy ra z x y 1 i z x y 1 i . Theo đề suy ra x y 1 i 3 x2 y 1 2 9 Vậy tập số phức cần tìm nằm trên đường tròn có tâm I 0;1 Câu 35: Đáp án A Theo bài ra ta có, SA  ABCD , nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD). S·C, ABCD S·C,AC S· CA 600 Xét ABC vuông tại B, có AC AB2 BC2 a 2 2a 2 a 3 Xét SAC vuông tại A, có SA  ABCD SA  AC SA Ta có: tanS· CA SA AC.tanS· CA AC.tan 600 a 3. 3 3a AC Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là: 1 1 V .SA.S .3a.a.a 2 a3 2 S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 36: Đáp án C Dễ nhận biết khối đa diện đều loại 5;3 là khối mười hai mặt đều. Câu 37: Đáp án D S Ta chứng minh được tam giác ACD vuông cân tại C 2 và CA CD a 2 , suy ra S ACD a Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, suy ra C a 3 a3 3 B D SH  ABCD và SH . Vậy S . 2 S.ACD 6 H A Câu 38: Đáp án B K B Trang 14 M O C A H D
15. Kẻ OH  CD H CD , kẻ OK  SH K SH . Ta chứng minh được rằng OK  SCD MO 3 3 3 Vì d d OK MC 2 M, SCD 2 O, SCD 2 OH2.OS2 a 6 Trong tam giác SOH ta có: OK OH2 OS2 6 3 a 6 Vậy d OK M, SCD 2 4 Câu 39: Đáp án C Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm các đoạn AB, AC, AM Theo giả thiết, A 'H  ABC ,BM  AC . Do IH là đường trung bình tam giác ABM nên IH / /BM IH  AC A' B' Ta có: AC  IH,AC  A 'H AC  IA ' · 0 Suy ra góc giữa (ABC) và (ACC’A’) là A 'IH 45 C' 1 a 3 A 'H IH.tan 450 IH MB 2 4 H Thể tích lăng trụ là: A B I 1 1 a 3 a 3 3a3 a V B.h BM.AC.A 'H . .a. M 2 2 2 2 8 C Câu 40: Đáp án C Gọi x, y,h x, y,h 0 lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. h V V Ta có: k h kx và V xyh y . x xh kx2 Nên diện tích toàn phần của hố ga là: 2k 1 V S xy 2yh 2xh 2kx2 h kx y 2k 1 V Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi x 3 x 4k2 2kV k 2k 1 V 3 Khi đó y 2 3 ,h 2k 1 2 4 Câu 41: Đáp án A A' B' Hình đa diện đều loại m;n với m 2,n 2 và m,n ¥ , C' thì mỗi mặt là một đa giác đều m cạnh, mỗi đỉnh là điểm chung của n mặt. Trang 15 A B C
16. Câu 42: Đáp án B Vì A 'B'  ACC' suy ra B· 'CA ' 300 chính là góc tạo bởi đường chéo BC’ của mặt bên a 3 (BB’C’C) và mặt phẳng (AA’C’C). Trong tam giác ABC ta có AB ABsin 600 2 Mà AB A 'B' A'B' a 3 A 'B Trong tam giác vuông A’B’C’ ta có: A 'C 3a . tan 300 Trong tam giác vuông A’AC ta có: AA ' A 'C2 AC2 2a 2 a 2 3 Vậy V AA '.S 2a 2. a3 6 LT ABC 2 Câu 43: Đáp án C Nếu mặt phẳng có dạng ax by cz d 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến có tọa độ là a;b;c , như vậy ở đây một vectơ pháp tuyến là 2; 3;4 , vectơ ở đáp án C là n 2;3; 4 song song với 2; 3;4 . Nên cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Chú ý: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ có phuong vuông góc với mặt phẳng đó. Câu 44: Đáp án D Phương trình mặt cầu được viết lại S : x 4 2 y 5 2 z 3 2 1 , nên tâm và bán kính cần tìm là I 4; 5;3 và R 1 Câu 45: Đáp án C 1 6 1 1 5 3 d 3 3 Câu 46: Đáp án D Đường thẳng d1 , d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là:     u1 2; m; 3 và u2 1;1;1 , d1  d2 u1.u2 0 m 1 Câu 47: Đáp án B  d1 đi qua điểm M1 1; 2;3 và có vtcp u1 1;1; 1  d2 đi qua điểm M2 3;1;5 và có vtctp u2 1;2;3   1 1 1 1 1 1  ta có u ,u ; ; 5; 4;1 và M M 2;3;2 1 2 1 2 2 3 3 1 1 2    suy ra u ,u M M 5.2 4.3 1.2 0 , do đó d và d cắt nhau 1 2 1 2 1 2 Trang 16
17. Mặt phẳng (P) chứa d1 và d2. Điểm trên (P) M1 1; 2;3   Vtpt của (P): n u ,u 5; 4;1 1 2 Vậy, PTTQ của mp(P) là: 5 x 1 4 y 2 1 z 3 0 5x 4y z 16 0 Câu 48: Đáp án A Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P)   (Q) có vectơ pháp tuyến nQ u ,u 1; 5; 7 d P Đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q). Do đó. Điểm trên : A 1;1; 2 Vectơ chỉ phương của :   3 2 2 1 1 3 u n ,n ; ; 31;5; 8 P Q 5 7 7 1 1 5 x 1 31t PTTS của : y 1 5t t ¡ z 2 8t Câu 49: Đáp án C Giả sử mặt cầu (S) cắt tại 2 điểm A, B sao cho AB 4 => (S) có bán kính R IA Gọi H là trung điểm đoạn AB, khi đó: IH  AB IHA vuông tại H Ta có, HA 2;IH d I, 5 2 R IA2 IH2 HA2 5 22 9 I Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: B S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 9 C H Câu 50: Đáp án A A Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  : 2x y 3z 19 0 là n 2;1;3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  là đường thẳng nhận n làm vectơ chỉ phương. Kết hợp với đi qua điểm M 1; 1;2 ta có phương trình chính tắc của đường thẳng cần tìm là: x 1 y 1 z 2 2 1 3 Trang 17