Đề thi minh họa thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 124

Nội dung text: Đề thi minh họa thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 124

1. ĐỀ THI MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Đề số 124 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Hàm số y x3 3x2 9x+4 đồng biến trên khoảng A. B. 1C.;3 D. 3;1 ; 3 3; Câu 2: Hàm số y ' 4x3 6x x 4x2 6 có: A. Một cực đại và 2 cực tiểuB. Một cực tiểu và 2 cực đại C. Một cực đại duy nhất D. Một cực tiểu duy nhất 1 1 Câu 3: GTNN của hàm số y x 5 trên ;5 bằng x 2 5 1 A. B. C. -3D. -2 2 5 1 Câu 4: Cho hàm số y x3 2x2 3x 1 1 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 (1) song song với đường thẳng y 3x 1 có phương trình là 26 29 A. B.y C.3 xD. 1 y 3x y 3x 2 y 3x 3 3 Câu 5: Điểm nào sau đây là điểm uốn của đồ thị hàm số: y x3 3x 5 là: A. B. 0 ;C.5 D. Không có điểm 1uốn;3 1;1 Câu 6: Với tất cả giá trị nào của m thì hàm số y mx4 m 1 x2 1 2m chỉ có một cực trị A. B.m C.1 D. m 0 0 m 1 m 0  m 1 x2 3x Câu 7: Đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y tại mấy điểm: x 1 A. 1B. 2C. 3D. 0 m 1 x 2m 2 Câu 8: Với các giá trị nào của m thì hàm số y nghịch biến trên 1; x m A. B.m C.1 D. m 2 m 1 m 2 1 m 2 Câu 9: Cho các phát biểu sau: (1). Hàm số y x3 3x2 3x 1 có đồ thị là (C) không có cực trị. (2). Hàm số y x3 3x2 3x 1 có điểm uốn là U 1;0 3x 2 (3). Đồ thị hàm số y có dạng x 2
2. 2x 1 2x 1 2x 1 (4). Có dạng y có lim lim và lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Số các phát biểu đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 2x 3 Câu 10: Giá trị của m để đường thẳng d : x 3y m 0 cắt đồ thị hàm số y tại hai x 1 điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại điểm A 1;0 là: A. B.m C.6 D. m 4 m 6 m 4 1 Câu 11: Cho A log 6 log 81 log 27 81log5 3 2 4 2 Chọn nhận định đúng. log A 9 A. B.log C.A D.62 6 2 616 3 A 313 log2 A 1 log2 313 Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: 2log x 1 log 2x 1 2 là: 3 3 1 A. B.S C. 1 D.;2 S ;2 S 1;2 S 1;2 2 Câu 13: Cho log3 15 a,log3 10 b . Giá trị của biểu thức P log3 50 theo a và b là: A. B.P C.a D. b 1 P a b 1 P 2a b 1 P a 2b 1 Câu 14: Cho biểu thức Q log a b log a.4 b log b , biết rằng a, b là các số thực a a 3 b dương khác 1. Chọn nhận định chính xác nhất. Q Q 1 Q A. B.2 C. lD.og Q 16 2 log 1 2 logQ 15 Q 4 Q 16 Câu 15: Cho phương trình 3.25x 2.5x 1 7 0 và các phát biểu sau: (1) x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) Phương trình có nghiệm dương (3) Cả 2 nghiệm của phương trình đều nhỏ hơn 1. 3 (4) Phương trình trên có tổng 2 nghiệm là: log5 7 Số phát biểu đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 16: Nguyên hàm của f x cos 5x 2 là:
3. 1 A. B.s in 5x 2 C 5sin 5x 2 C 5 1 C. D. sin 5x 2 C 5sin 5x 2 C 5 3 8 dx Câu 17: Tích phân I bằng 2 2 sin x cos x 8 A. 2B. 4C. 1D. 3 1 Câu 18: Cho I 2x 1 x dx . Giá trị của I là: 0 A. B.I C.0 D. I 1 I 2 I 3 Câu 19: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y , y 0, x 0, x 2quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích). x 4 A. 2 (dvtt)B. (dvtt)C.4 (dvtt)D. (dvtt)6 8 Câu 20: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y x, y x 2, y 0 10 3 A. 3B. 10C. D. 3 10 Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn 1 i .z 14 2i . Tính tổng phần thực và phần ảo của z A. -4B. 14C. 4D. -14 Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z 1 i z . Môdun của số phức w 13z 2i có giá trị bằng: 26 4 A. -2B. C. D. 10 13 13 Câu 23: Cho số phức z 1 2i 4 3i 2 8i . Cho các phát biểu sau: (1). Modun của z là một số nguyên tố (2). z có phần thực và phần ảo đều âm (3). z là số thuần thực (4). Số phức liên hợp của z có phần ảo là 3i. Số phát biểu sai là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 i z 1 5 . Phát biểu nào sau đây là sai:
4. A. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I 1; 2 B. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính R 5 C. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn ć đường kính bằng 10 D. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là một hình tròn. Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2z 3 4i . Phát biểu nào sau đây là sai: 4 97 A. z có phần thực là -3B. có modun là z i 3 3 4 97 C. z có phần ảo là D. z có modun là 3 3 a a 3 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a với SA , SB , 2 2 BAD 600 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Thể tích tứ diện K.SDC có giá trị là: a3 a3 a3 a3 A. B.V C. D. V V V 4 16 8 32 Câu 27: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD 1200 và 7a AA' . Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC 2 và BD. Tính theo a thể tích khối chóp ABCD.A'B'C'D'. A. B.V C.1 2D.a3 V 3a3 V 9a3 V 6a3 Câu 28: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên 0 và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của điểm A lên mặt phẳng A1B1C1 thuộc đường thẳng B1C1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và BC1 theo a là: a 3 a 3 2a 4a A. B. C. D. 2 4 3 3 Câu 29: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0. Biết hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC a 3 2a 3 a 3 a 3 A. B.R C. D. R R R 9 3 3 6 Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB  ABCD . H là trung điểm của AB, SH HC, SA AB . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của tan là:
5. 1 2 1 A. B. C. D. 2 2 3 3 Câu 31: Đội tuyển học sinh giỏi của thầy Quang gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi thi quóc gia sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn: A. 48118B. 41181C. 41811D. 41818 Câu 32: Hưng và Hoàng cùng tham gia kì thi THPT Quốc gia, trong đó có hai môn trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho thí sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong hai môn thi đó Hưng và Hoàng có chung đúng một mã đề thi. 1 1 5 5 A. B. C. D. 9 18 18 36 5 10 3 2 Câu 33: Hệ số của x trong khai triển của biểu thức: 3x 2 x A. -162B. -810C. 810D. 162 2 2 Câu 34: Số nguyên n thỏa mãn biểu thức An 3Cn 15 5n là: A. 5B. 6C. A và B D. Không có giá trị thỏa mãn Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm M 0; 1;1 và có vectơ chỉ phương u 1;2;0 ; điểm A 1;2;3 . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n a;b;c a2 b2 c2 0 A. B.a C.2 bD. a 3b a 3b a 2b Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và cách điểm M 1;2; 1 một khoảng bằng 2 có dạng: Ax By Cz 0 A2 B2 C 2 0 A. B 0 hay B.3B 8C hay0 B 0 8B 3C 0 C. B 0 hay D.3B 8C hay0 B 0 3B 8C 0 Câu 37: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm M 3;1;1 , N 4;8; 3 , P 2;9; 7 và mặt phẳng Q : x 2y z 6 0 . Đường thẳng d đi qua G, vuông góc với (Q). Tìm giao điểm A của mặt phẳng (Q) và đường thẳng d. Biết G là trọng tâm của tam giác MNP. A. B.A C.1;2 D.;1 A 1; 2; 1 A 1; 2; 1 A 1;2; 1
6. Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD với điểm A 1;2;1 , B 2;3;2 . x 1 y z 2 Tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng d : . Tọa độ của đỉnh D là: 1 1 1 A. B.D C. 2 D.; 1;0 D 0;1;2 D 0; 1; 2 D 2;1;0 Câu 39: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;4;2 , B 1;2;4 và đường thẳng x 1 y 2 z : . Điểm M trên sao cho: MA2 MB2 28 là: 1 1 2 A. B.M C. 1D.;0 ;4 M 1;0;4 M 1;0; 4 M 1;0; 4 Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác MNP với M 1; 1 , N 3;1 , P 5; 5 . Tọa độ tâm I đường thẳng ngoại tiếp tam giác MNP là: A. B.I 4C.;2 D. I 4;2 I 4; 4 I 4; 2 2 2 Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy cho đường Cm : x y 2 m 2 x 4my 19m 6 0 . Với các giátrị nào của m sau đây thì Cm là một đường tròn ? A. B.1 m 2 và C. D. m 1 m 2 m 1 m 2 Câu 42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A 3;2 có tâm đường tròn ngoại tiếp là I 2; 1 và điểm B nằm trên đường thẳng d : x y 7 0 . Tọa độ đỉnh C a;b . Giá trị của S 2a 3b là: A. B.S C. 8D. S 28 S 18 S 8 Câu 43: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết AB AD 2;CD 4 , phương trình BD là x y 0 , C thuộc đường thẳng x 4y 1 0 . Tọa độ của A a;b biết điểm C có hoành độ dương. Tính S a b A. B.S C.3 D. S 1 S 2 S 6 Câu 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC. Biết M 3; 1 là trung điểm của cạnh BD, điểm C có tọa độ C 4; 2 . Điểm N 1; 3 nằm trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AD. Đường thẳng AD đi qua P 1;3 . Phương trình AB : ax y b 0 . Giá trị của biểu thức S a 2b là: A. B.S C. 5D. S 4 S 6 S 3 Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng x 7y 31 0 . Điểm N 7;7 thuộc đường thẳng AC, điểm M 2; 3 thuộc đường thẳng AB. A a;b , B c;d ,C e; f
7. Cho các mệnh đề sau: I a b c 2 II d f 1 III a c e IV b d 5 Số mệnh đề đúng là: A. 2B. 3C. 5D. 6 Câu 46: Cho hình thoi ABCD có BAC 600 và E là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Cho tam giác AEF có điện tích là S 30 3 , điểm A thuộc đường thẳng d :3x y 8 0 có G 0;2 là trực tâm. Phương trình EF : ax 3y b 0 . a Biết A có tung độ nguyên dương. Giá trị của biểu thức S b 1 1 1 1 A. B.S C. D. S S S 4 3 4 3 a 3 b Câu 47: Cho phương trình 2 x 1 x2 1 3x 3 có nghiệm vô tỉ x . Tính tổng 8 S a b A. 20B. 26C. 42D. 24 xy x 1 x3 y2 x y Câu 48: Cho hệ phương trình: . Với x, y là 3y 2 9x2 3 4y 2 1 x x2 1 0 nghiệm của hệ phương trình trên. Tính giá trị biểu thức 5x 10y : A. -1B. 1C. 3D. 5 Câu 49: Số giá trị nguyên của m để phương trình x x x 12 m 5 x 4 x có nghiệm là: A. 10B. 11C. 12D. 13 Câu 50: Cho a, b, c là các số thực 3 b c 4a 3c 12 b c Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là: 2a 3b 2a 3c 2 2 3 A. B. 5C. D. 3 5 2
8. Hướng dẫn giải Câu 1: Hàm số y x3 3x2 9x+4 đồng biến trên khoảng A. B. 1C.;3 D. 3;1 ; 3 3; Hướng dẫn giải. y x3 3x2 9x 4, D ¡ y ' 3x2 6x 9 2 x 1 y ' 0 3x 6x 9 0 x 3 y ' 0,x 1;3 => Hàm số đồng biến trên 1;3 Câu 2: Hàm số y ' 4x3 6x x 4x2 6 có: A. Một cực đại và 2 cực tiểuB. Một cực tiểu và 2 cực đại C. Một cực đại duy nhất D. Một cực tiểu duy nhất Hướng dẫn giải. y x4 3x2 1 y ' 4x3 6x x 4x2 6 y ' 0 x 0 và đổi dấu từ + sang – ( dựa vào bảng biến thiên). => Hàm số có 1 cực đại duy nhất. Đáp án C. 1 1 Câu 3: GTNN của hàm số y x 5 trên ;5 bằng x 2 5 1 A. B. C. -3D. -2 2 5 Hướng dẫn giải. 2 1 1 x 1 2 x 1 L y x 5 y ' 1 2 2 y ' 0 x 1 0 x x x x 1 1 5 1 Ta có: f 1 3; f ; f 5 2 2 5 Vậy GTNN của hàm số bằng 3 C 1 1 Cách giải khác: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: y x 5 2 x. 5 3 x x 1 Câu 4: Cho hàm số y x3 2x2 3x 1 1 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
9. (1) song song với đường thẳng y 3x 1 có phương trình là 26 29 A. B.y C.3 xD. 1 y 3x y 3x 2 y 3x 3 3 Hướng dẫn giải. 1 y x3 2x2 3x 1 y ' x2 4x 3 3 Đường thẳng y 3x 1 có hệ số góc là 3 x 0 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x 1 nên y ' x 3 x 4 x 0 y 1 suy ra phương trình tiếp tuyến: y 3x 1 7 29 x 4 y phương trình tiếp tuyến: y 3x 3 3 29 Thử lại, ta được y 3x thỏa yêu cầu bài toán 3 Câu 5: Điểm nào sau đây là điểm uốn của đồ thị hàm số: y x3 3x 5 là: A. B. 0 ;C.5 D. Không có điểm 1uốn;3 1;1 Hướng dẫn giải. y x3 3x 5 y ' 3x2 3 y '' 6x y '' 0 x 0 y 5 Điểm uốn I 0;5 Câu 6: Với tất cả giá trị nào của m thì hàm số y mx4 m 1 x2 1 2m chỉ có một cực trị A. B.m C.1 D. m 0 0 m 1 m 0  m 1 Hướng dẫn giải. y mx4 m 1 x2 1 2m y ' 4mx3 2 m 1 x 2x 2mx2 m 1 x 0 y ' 0 2 2mx m 1 0 2 Hàm số chỉ có một cực trị 2 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 2m m 1 0 m 0  m 1 x2 3x Câu 7: Đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y tại mấy điểm: x 1 A. 1B. 2C. 3D. 0 Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
10. x2 3x x m 2x2 m 4 x m 0 x 1 m 4 2 8m m2 16 0,m 2 nghiệm phân biệt Vậy d cắt (C) tại 2 điểm. m 1 x 2m 2 Câu 8: Với các giá trị nào của m thì hàm số y nghịch biến trên 1; x m A. B.m C.1 D. m 2 m 1 m 2 1 m 2 Hướng dẫn giải. m 1 x 2m 2 m 1 m 2m 2 m2 m 2 y y ' x m x m 2 x m 2 Hàm số nghịch biến trên 1; y ' 0x 1; m 1 m 1 1 m 2 2 m m 2 0 1 m 2 Câu 9: Cho các phát biểu sau: (1). Hàm số y x3 3x2 3x 1 có đồ thị là (C) không có cực trị. (2). Hàm số y x3 3x2 3x 1 có điểm uốn là U 1;0 3x 2 (3). Đồ thị hàm số y có dạng x 2 2x 1 2x 1 2x 1 (4). Có dạng y có lim lim và lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Số các phát biểu đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 2x 3 Câu 10: Giá trị của m để đường thẳng d : x 3y m 0 cắt đồ thị hàm số y tại hai x 1 điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại điểm A 1;0 là: A. B.m C.6 D. m 4 m 6 m 4 Hướng dẫn giải. 1 m Ta có: d : y x 3 3 Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình 2x 3 1 m x x2 m 5 x m 9 0, x 1 1 x 1 3 3 2 Ta có: m 7 12 0,m.M x1; y1 , N x2 ; y2
11.   Ta có: AM x1 1; y1 , AN x2 1; y2 . Tam giác AMN vuông tại A   AM.AN 0 x1 1 x2 1 y1 y2 0 2 10x1x2 m 9 x1 x2 m 9 0. 2 Áp dụng định lý Viet, ta có x1 x2 m 5, x1x2 m 9 10 m 9 m 9 m 5 m2 9 0 6m 36 0 m 6 1 Câu 11: Cho A log 6 log 81 log 27 81log5 3 2 4 2 Chọn nhận định đúng. log A 9 A. B.log C.A D.62 6 2 616 3 A 313 log2 A 1 log2 313 Hướng dẫn giải. 1 4 A log 6 log 81 log 27 81log5 3 log 6 log 9 log 27 3log3 5 2 4 2 2 2 2 6.9 log 54 1 625 626 2 27 log2 626 log2 2.313 1 log2 313 D Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: 2log x 1 log 2x 1 2 là: 3 3 1 A. B.S C. 1 D.;2 S ;2 S 1;2 S 1;2 2 Hướng dẫn giải. Điều kiện: x 1 2log x 1 log 2x 1 2 log x 1 2x 1 1 3 3 3 1 2x2 3x 2 0 x 2 2 Kết hợp điều kiện S 1;2 Câu 13: Cho log3 15 a,log3 10 b . Giá trị của biểu thức P log3 50 theo a và b là: A. B.P C.a D. b 1 P a b 1 P 2a b 1 P a 2b 1 Hướng dẫn giải. 150 log 50 log log 15 log 10 1 a b 1 3 3 3 3 3 Câu 14: Cho biểu thức Q log a b log a.4 b log b , biết rằng a, b là các số thực a a 3 b dương khác 1.
12. Chọn nhận định chính xác nhất. Q Q 1 Q A. B.2 C. lD.og Q 16 2 log 1 2 logQ 15 Q 4 Q 16 Hướng dẫn giải. 4 Ta có Q loga a b 2loga a. b 3logb b a b 1 log a b log a2. b 3 log 3 log 3 1 3 2 a a a 2 a a b a Câu 15: Cho phương trình 3.25x 2.5x 1 7 0 và các phát biểu sau: (1) x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) Phương trình có nghiệm dương (3) Cả 2 nghiệm của phương trình đều nhỏ hơn 1. 3 (4) Phương trình trên có tổng 2 nghiệm là: log5 7 Số phát biểu đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Hướng dẫn giải. Phương trình 3.25x 10.5x 7 0 . Đặt t 5x t 0 t 1 Phương trình có dạng: 3t 2 10t 7 0 7 t 3 (*) Với t 1 5x 1 x 0 7 x 7 7 (*) Với t 5 x log5 3 3 3 7  Vậy phương trình có tập nghiệm: S 0;log5  3  Câu 16: Nguyên hàm của f x cos 5x 2 là: 1 A. B.s in 5x 2 C 5sin 5x 2 C 5 1 C. D. sin 5x 2 C 5sin 5x 2 C 5 Hướng dẫn giải. 1 f x cos 5x 2 Nguyên hàm F x sin 5x 2 C 5
13. 3 8 dx Câu 17: Tích phân I bằng 2 2 sin x cos x 8 A. 2B. 4C. 1D. 3 Hướng dẫn giải. 3 3 8 dx 8 4 I dx 2 2 2 sin x cos x sin 2x 8 8 3 8 3 2cot 2 x 2cot 2cot 2 2 4 8 4 4 1 Câu 18: Cho I 2x 1 x dx . Giá trị của I là: 0 A. B.I C.0 D. I 1 I 2 I 3 Hướng dẫn giải. 1 I 2x 1 x dx 0 1 2 1 I 2x 1 x dx 2x 1 x dx 0 1 2 1 1 3x2 2 x2 3 1 1 1 1 x x 1 0 2 2 1 8 2 2 8 2 0 2 Câu 19: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y , y 0, x 0, x 2quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích). x 4 A. 2 (dvtt)B. (dvtt)C.4 (dvtt)D. (dvtt)6 8 Hướng dẫn giải. 2 16 Sử dụng Casio. Nhập vào máy dx 4 . Chú ý có dấu trị tuyệt đối trong tích phân! 2 0 x 4 Câu 20: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y x, y x 2, y 0 10 3 A. 3B. 10C. D. 3 10 Hướng dẫn giải. Bước 1 : Chuyển sang x theo y : y x, y x 2, y 0 x y3 , x y 2
14. Lập phương trình ẩn y: y2 y 2 y 2, y 1 (loại) 2 2 10 Bước 2: S y2 y 2 dy y2 y 2 dy 0 0 3 Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn 1 i .z 14 2i . Tính tổng phần thực và phần ảo của z A. -4B. 14C. 4D. -14 Hướng dẫn giải. 14 2i Ta có: 1 i .z 14 2i z 6 8i z 6 8i 1 i Vậy tổng phần thực và phần ảo của z 14 Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z 1 i z . Môdun của số phức w 13z 2i có giá trị bằng: 26 4 A. -2B. C. D. 10 13 13 Hướng dẫn giải. 1 i 1 i 2 3i Ta có: 1 3i z 1 i 5 z 2 3i z 1 i z 2 3i 22 3 2 2 3i 2i 3i2 1 5i z w 13z 2i 1 3i w 1 9 10 13 13 Câu 23: Cho số phức z 1 2i 4 3i 2 8i . Cho các phát biểu sau: (1). Modun của z là một số nguyên tố (2). z có phần thực và phần ảo đều âm (3). z là số thuần thực (4). Số phức liên hợp của z có phần ảo là 3i. Số phát biểu sai là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Hướng dẫn giải. Ta có: z 1 2i 4 3i 2 8i 4 3i . Phần thực: –4, phần ảo: –3 z 4 2 3 2 5 . Ta soi lại các đáp án nhé ! Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 i z 1 5 . Phát biểu nào sau đây là sai: A. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I 1; 2 B. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính R 5
15. C. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn ć đường kính bằng 10 D. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là một hình tròn. Hướng dẫn giải. Gọi z x yi, x, y ¡ . Ta có: zi 2 i 2 y 2 x 1 i 5 x 1 2 y 2 2 25 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I 1; 2 và bán kính R 5 Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2z 3 4i . Phát biểu nào sau đây là sai: 4 97 A. z có phần thực là -3B. có modun là z i 3 3 4 97 C. z có phần ảo là D. z có modun là 3 3 Hướng dẫn giải. Đặt z x yi, x, y ¡ z x yi 2z 2x 2yi x 3 x 3 x yi 2x 2yi 3 4i x 3yi 3 4i 4 3y 4 y 3 2 4 2 4 97 97 Vậy z 3 i z 3 3 3 9 3 a a 3 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a với SA , SB , 2 2 BAD 600 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Thể tích tứ diện K.SDC có giá trị là: a3 a3 a3 a3 A. B.V C. D. V V V 4 16 8 32 Hướng dẫn giải. S a a 3 Từ giả thiết ta có AB a, SA , SB 2 2 AB Nên ASB vuông tại S SH SAH đều 2 Gọi M là trung điểm của AH thì SM  AB C Do SAB  ABCD SM  ABCD B K 1 1 1 H Vậy V V .SM.S .SM. S M KSDC S.KCD 3 KCD 3 2 BAD A D
16. 1 a 3 1 a.a 3 a3 . . . (đvtt) 3 4 2 2.2 32 Câu 27: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD 1200 và 7a AA' . Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC 2 và BD. Tính theo a thể tích khối chóp ABCD.A'B'C'D'. A. B.V C.1 2D.a3 V 3a3 V 9a3 V 6a3 Hướng dẫn giải. Gọi O AC  BD Từ giả thuyết suy ra A'O  ABCD a2 3 S BC.CD.sin1200 ABCD 2 Vì B· CD 1200 nên ·ABC 600 ABC đều 49a2 a2 AC a A'O A' A2 AO2 2 3a 4 4 3 Suy ra VABCD.A'B'C 'D' 3a Câu 28: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên 0 và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của điểm A lên mặt phẳng A1B1C1 thuộc đường thẳng B1C1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và BC1 theo a là: a 3 a 3 2a 4a A. B. C. D. 2 4 3 3 Hướng dẫn giải. Do AH  A1B1C1 nên góc AA1H là góc giữa AA1 và A1B1C1 theo giả thiết thì góc AA1H bằng 300. a Xét tam giác vuông AHA có AA a, AA H 300 AH 1 1 1 2 a 3 Xét AHA có AA a góc AA H 300 A H 1 1 1 1 2 a 3 Do A1B1C1 đều cạnh a, H thuộc B1C1 và A H 1 2 Suy ra A1H vuông góc B1C1. AH  B1C1 nên B1C1  AA1H HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1 . Ta có
17. A1H.AH a 3 AA1.HK A1H.AH HK AA1 4 Câu 29: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0. Biết hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC a 3 2a 3 a 3 a 3 A. B.R C. D. R R R 9 3 3 6 Hướng dẫn giải. Tìm bán kính mặt cầu : Ngoại tiếp tứ diện A'.ABC * Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng d || A' H cắt AA' tại E. * Gọi F là trung điểm AA', trong mặt phẳng (AA'H) kẻ đường thẳng trung trực của AA' cắt (d) tại I => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC và bán kính R IA 1 a Ta có: Góc AEI bằng 600, EF AA' 6 6 a 3 IF EF.tan 600 6 a 3 R AF 2 FI 2 3 Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB  ABCD . H là trung điểm của AB, SH HC, SA AB . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của tan là: 1 2 1 A. B. C. D. 2 2 3 3 Hướng dẫn giải. 1 a Ta có AH AB 2 2 SA AB a a 5 SH HC BH 2 BC 2 2 5a2 Có SA2 AH 2 AH 2 SAH SA  AB SA  ABCD và 4
18. AC hc SC; ABCD 1 Ta có: SC; ABCD SCA, tan SCA 2 Câu 31: Đội tuyển học sinh giỏi của thầy Quang gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi thi quóc gia sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn: A. 48118B. 41181C. 41811D. 41818 Hướng dẫn giải. 8 Số cách chọn 8 học sinh từ 18 học sinh của đội tuyển là: C18 43758 cách 8 Số cách chọn 8 học sinh khối 12 và 11 là C13 8 Số cách chọn 8 học sinh khối 11 và 10 là C11 8 Số cách chọn 8 học sinh khối 12 và 10 là C12 8 8 8 Suy ra số cách chọn theo yêu cầu bài toán là: 43758 C13 C11 C12 41811 cách Câu 32: Hưng và Hoàng cùng tham gia kì thi THPT Quốc gia, trong đó có hai môn trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho thí sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong hai môn thi đó Hưng và Hoàng có chung đúng một mã đề thi. 1 1 5 5 A. B. C. D. 9 18 18 36 Hướng dẫn giải. Số cách nhận mã đề hai môn Hưng là 6.6 = 36 Số cách nhận mã đề hai môn Hoàng là 6.6 = 36 Số phần tử của không gian mẫu  36.36 1296 Gọi A là biến cố”Hưng và Hoàng có chung đúng một mã đề thi” Khả năng 1: có cùng mã đề Vật lí Điệp có 6.6 cách nhận mã đề hai môn, khi đó Hoàng có 1.5 cách nhận mã đề Do đó có 36.5=180 cách Khả năng 2: Tương tự có cùng mã đề Hóa học có 180 cách 360 5  360. Vậy P A A 1296 18 5 10 3 2 Câu 33: Hệ số của x trong khai triển của biểu thức: 3x 2 x A. -162B. -810C. 810D. 162
19. Hướng dẫn giải. 5 10 3 2 Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức: 3x 2 x 5 5 k 5 2 5 k 2 k 3x3 C k 3x3 . C k 1 35 k.2k.x15 5k 2  5 2  5 x k 0 x k 0 10 k k 5 k k Hệ số của của số hạng chứa x là C5 1 3 2 , với 15 5k 10 k 1 10 1 1 4 1 Vậy hệ số của x là: C5 1 3 2 810 2 2 Câu 34: Số nguyên n thỏa mãn biểu thức An 3Cn 15 5n là: A. 5B. 6C. A và B D. Không có giá trị thỏa mãn Hướng dẫn giải. Điều kiện: n ¥ ,n 2 3.n! A2 3C 2 15 5n n n 1 15 5n n n 2! n 1 ! 2 n 5 n 11n 30 0 n 6 Vậy có 2 đáp án thỏa mãn là A và B. Suy ra đáp án C. Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm M 0; 1;1 và có vectơ chỉ phương u 1;2;0 ; điểm A 1;2;3 . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n a;b;c a2 b2 c2 0 A. B.a C.2 bD. a 3b a 3b a 2b Hướng dẫn giải. Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1;1 và có vec tơ chỉ phương u 1;2;0 Gọi n a;b;c a2 b2 c2 0 là vectơ pháp tuyến của (P). Do (P) chứa d nên u.n 0 a 2b 0 a 2b Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và cách điểm M 1;2; 1 một khoảng bằng 2 có dạng: Ax By Cz 0 A2 B2 C 2 0 A. B 0 hay B.3B 8C hay0 B 0 8B 3C 0 C. B 0 hay D.3B 8C hay0 B 0 3B 8C 0 Hướng dẫn giải.
20. A B C 0 P  Q Từ giả thiết ta có: A 2B C d M ; Q 2 2 2 2 2 A B C A B C B 2C 2 * 2B2 2C 2 2BC * B 0 hoặc 3B 8C 0 Câu 37: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm M 3;1;1 , N 4;8; 3 , P 2;9; 7 và mặt phẳng Q : x 2y z 6 0 . Đường thẳng d đi qua G, vuông góc với (Q). Tìm giao điểm A của mặt phẳng (Q) và đường thẳng d. Biết G là trọng tâm của tam giác MNP. A. B.A C.1;2 D.;1 A 1; 2; 1 A 1; 2; 1 A 1;2; 1 Hướng dẫn giải. Tam giác MNP có trọng tâm G 3;6; 3 x 3 t Đường thẳng d qua G, vuông góc với Q : y 6 2t z 3 t x 3 t y 6 2t Đường thẳng d cắt (Q) tại A: A 1;2; 1 z 3 t x 2y z 6 0 Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD với điểm A 1;2;1 , B 2;3;2 . x 1 y z 2 Tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng d : . Tọa độ của đỉnh D là: 1 1 1 A. B.D C. 2 D.; 1;0 D 0;1;2 D 0; 1; 2 D 2;1;0 Hướng dẫn giải.   Gọi I 1 t; t 2;2 t d . Ta có IA t;t 2; t 1 , IB t 3;t 3; t   Do ABCD là hình thoi nên IA.IB 0 3t 2 9t 6 0 t 1;t 2 Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên t 1 I 0;1;1 C 1;0;1 , D 2; 1;0 t 2 I 1;2;0 C 3;2; 1 , D 0;1; 2
21. Câu 39: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;4;2 , B 1;2;4 và đường thẳng x 1 y 2 z : . Điểm M trên sao cho: MA2 MB2 28 là: 1 1 2 A. B.M C. 1D.;0 ;4 M 1;0;4 M 1;0; 4 M 1;0; 4 Hướng dẫn giải. x 1 t Phương trình tham số đường thẳng : y 2 t M 1 t; 2 t;2 t z 2t Ta có: MA2 MB2 28 12t 2 48t 48 0 t 2 Từ đó suy ra: M 1;0;4 Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác MNP với M 1; 1 , N 3;1 , P 5; 5 . Tọa độ tâm I đường thẳng ngoại tiếp tam giác MNP là: A. B.I 4C.;2 D. I 4;2 I 4; 4 I 4; 2 Hướng dẫn giải. I x; y là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP 2 2 2 2 MI 2 NI 2 x 1 y 1 x 3 y 1 2 2 2 2 2 2 MI PI x 1 y 1 x 5 y 5 x y 2 x 4 I 4; 2 x y 6 y 2 2 2 Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy cho đường Cm : x y 2 m 2 x 4my 19m 6 0 . Với các giátrị nào của m sau đây thì Cm là một đường tròn ? A. B.1 m 2 và C. D. m 1 m 2 m 1 m 2 Hướng dẫn giải. 2 2 Cm : x y 2 m 2 x 4my 19m 6 0 a m 2;b 2m;c 19m 6 2 2 Để Cm là đường tròn a b c 0 m 2 2 4m2 19m 6 0 5m2 15m 10 0 m 1 m 2
22. Câu 42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A 3;2 có tâm đường tròn ngoại tiếp là I 2; 1 và điểm B nằm trên đường thẳng d : x y 7 0 . Tọa độ đỉnh C a;b . Giá trị của S 2a 3b là: A. B.S C. 8D. S 28 S 18 S 8 Hướng dẫn giải.  Ta có: IA 1;3 IA 10  4a 3b 3 Giả sử cos HPN cos u, PH 5 a2 b2 5 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA IB IA2 IB2 b 5 B 5; 2 10 2b2 16b 40 b2 8b 15 0 b 3 B 3;4 Do tam giác ABC vuông tại A I 2; 1 là trung điểm của BC (*) Với B 5; 2 C 1;0 (*) Với B 3; 4 C 1;2 Vậy tọa độ đỉnh B, C là: B 5;2 ,C 1;0 và B 3; 4 ,C 1;2 . Chỉ có đáp án D thỏa mãn. Câu 43: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết AB AD 2;CD 4 , phương trình BD là x y 0 , C thuộc đường thẳng x 4y 1 0 . Tọa độ của A a;b biết điểm C có hoành độ dương. Tính S a b A. B.S C.3 D. S 1 S 2 S 6 Hướng dẫn giải. Từ giả thiết chứng minh được DB vuông góc với BC và suy ra CB 2 2 d C, BD c 1 4c 1 c 3c 1 4 C 4c 1;c 2 2 3c 1 4 5 C 5;1 1 1 3c 1 4 c L 3 B là hình chiếu của C lên đường thẳng BD B 3;3 Mà AB 2 nên A thuộc đường tròn có PT x 3 2 y 3 2 4 1 Tam giác ABD vuông cân tại A => Góc ABD 450 PT của AB là x 3 hoặc y 3
23. * Với x 3 thế vào (1) giải ra y 1 hoặc y 5 A 3;1 thử lại không thỏa; A 3;5 thỏa * Với y 3 thế vào (1) giải ra x 1 hoặc x 5 A 1;3 thử lại thỏa; A 5;3 không thỏa Câu 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC. Biết M 3; 1 là trung điểm của cạnh BD, điểm C có tọa độ C 4; 2 . Điểm N 1; 3 nằm trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AD. Đường thẳng AD đi qua P 1;3 . Phương trình AB : ax y b 0 . Giá trị của biểu thức S a 2b là: A. B.S C. 5D. S 4 S 6 S 3 Hướng dẫn giải. Giả sử D a;b . Vì M là trung điểm của BD nên B 6 a;2 b   AD  DC BN / /CD BN,CD cùng phương   BN a 7;b 1 ,CD a 4;b 2 a 7 b 2 a 4 b 1 b a 6 1   PD a 1;b 3 ,CD a 4;b 2   PD  CD a 1 a 4 b 3 b 2 0 2 2 a 5 Thế (1) vào (2) ta được 2a 18a 40 0 a 4 Với a 4 b 2 D 4; 2 loại vì D trùng C. Với a 5 b 1 D 5; 1 và B 1; 1 Đường thẳng AD qua P 1;3 , D 5; 1 AD : x y 4 0 AB  BC và đi qua B 1; 1 AB :3x y 4 0 S a 2b 3 8 5 A Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng x 7y 31 0 . Điểm N 7;7 thuộc đường thẳng AC, điểm M 2; 3 thuộc đường thẳng AB. A a;b , B c;d ,C e; f Cho các mệnh đề sau: I a b c 2 II d f 1 III a c e IV b d 5 Số mệnh đề đúng là: A. 2B. 3C. 5D. 6
24. Hướng dẫn giải. Đường thẳng AB có phương trình a x 2 b y 3 0 a2 b2 0 Do góc ABC bằng 450 nên ta có: 0 1 a 7b 2 2 3a 4b cos 45 12a 7ab 12b 0 2 50. a2 b2 4a 3b Với 3a 4b , ta chọn a 4 suy ra b 3 . Vì AC vuông AB nên AC :3x 4y 7 0 A 1;1 B 4;5 C 3;4 Với 4a 3b , ta chọn a 3;b 4 , loại do hệ số góc dương Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là A 1;1 , B 4;5 ,C 3;4 Câu 46: Cho hình thoi ABCD có BAC 600 và E là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Cho tam giác AEF có điện tích là S 30 3 , điểm A thuộc đường thẳng d :3x y 8 0 có G 0;2 là trực tâm. Phương trình EF : ax 3y b 0 . a Biết A có tung độ nguyên dương. Giá trị của biểu thức S b 1 1 1 1 A. B.S C. D. S S S 4 3 4 3 Hướng dẫn giải. FBA 1800 ABC 600 Ta có: AB là phân giác của FBE. Do FA  BF, AE  BE 0 ABE 60 Nên AF AE AEF cân tại A. Lại có: FAE BAE FAB 600 AEF đều Xét tam giác AEF: S 30 3 nên độ dài cạnh tam giác đều: a 2 30; R 2 10 Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF : x2 y 2 2 40 A là giao của đường tròn và đường thẳng 3x y 8 0 A 2;8 Phương trình EF , đi qua M là trung điểm của EF , điểm M được tìm từ tỉ lệ vecto :   a 1 AG 2GM M 1; 1 . Phương trình EF khi đó: x 3y 4 0 S b 4
25. a 3 b Câu 47: Cho phương trình 2 x 1 x2 1 3x 3 có nghiệm vô tỉ x . Tính tổng 8 S a b A. 20B. 26C. 42D. 24 Hướng dẫn giải. Điều kiện: x 1 Phương trình đã cho tương đương x 1 0 x 1 2 x 1 x 1 x 1 3 x 1 2 x 1 3 x 1 * Phương trình (*) tương đương 4 4 x 1 x 1 9 x 1 4 x 1 8x 14 7 11 7 x x x 4 15 3 5 8 4 x  2 2 15 3 5 15 3 5 8 4 x 1 8x 11 16 x 1 8x 14 x ;  8 8  a 15 Từ đó suy ra: S a b 20 b 5 xy x 1 x3 y2 x y Câu 48: Cho hệ phương trình: . Với x, y là 3y 2 9x2 3 4y 2 1 x x2 1 0 nghiệm của hệ phương trình trên. Tính giá trị biểu thức 5x 10y : A. -1B. 1C. 3D. 5 Hướng dẫn giải. y x Phương trình 1 x y x2 y 1 0 2 y x 1 * Thế vào PT (2) ta được: 3x 2 9x2 3 4x 2 1 x x2 1 0 2x 1 2x 1 2 3 2 3x 2 3x 2 3 f 2x 1 f 3x Xét f t t t 2 3 2 có f ' t 0,t ¡ 1 1 Suy ra f(t) là hàm số đồng biến nên: 2x 1 3x x y 5 5 Đến đây coi như ta đã tìm được đáp án ! Nhưng ta cũng nên xét đến trường hợp còn lại.
26. * Trường hợp y x2 1 thế vào phương trình (2) ta được : 3 x2 1 2 9x2 3 4x2 1 2 1 x x2 1 0 Vế trái luôn dương => phương trình vô nghiệm. 1 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ; 5 5 Từ đó suy ra S 5a 10b 1 2 1 Câu 49: Số giá trị nguyên của m để phương trình x x x 12 m 5 x 4 x có nghiệm là: A. 10B. 11C. 12D. 13 Hướng dẫn giải. Điều kiện: x 0;4 . Khi đó phương trình tương đương với: x x x 12 5 x 4 x m Xét hàm số f x x x x 12 5 x 4 x liên tục trên đoạn 0;4 Ta xét riêng như sau: 2 ' 3x 1 g1 x x x x 12 g1 x 0 2 x3 2 x 12 Suy ra hàm số g1(x) đồng biến trên đoạn 0;4 5 x 4 x g x 5 x 4 x g ' x 2 2 2 5 x 4 x 5 x 4 x Với x 0;4 5 x 4 x g ' x 0 2 2 5 x 4 x Suy ra hàm số g2 x đồng biến trên đoạn 0;4 Từ đó suy ra f x g1 x .g2 x luôn đồng biến trên đoạn 0;4 Suy ra phương trình có nghiệm khi chỉ khi f 0 m f 4 2 3 5 2 m 12 Từ đó suy ra có 12 giá trị nguyên của m thỏa mãn Câu 50: Cho a, b, c là các số thực
27. 3 b c 4a 3c 12 b c Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là: 2a 3b 2a 3c 2 2 3 A. B. 5C. D. 3 5 2 Hướng dẫn giải. 3 b c 4a 3c 12 b c 1 1 4 Ta có: P 11 2 1 4a 3b 3c 2a 3b 2a 3c 2a 3b 2a 3c Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có 16 P 11 4a 3b 3c 16 P 15 4a 3b 3c 2 Đẳng thức xảy ra khi b c a 3