Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng Giáo dục và đào tạo Yên Định

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng Giáo dục và đào tạo Yên Định

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM YÊN ĐỊNH Năm học 2020 - 2021 Môn: Toán 7 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I: (5,0 điểm) 7 3 3 2 9 3 .57 : 5 4 16 1. Thực hiện phép tính: A . 27.52 512 x 16 y 25 z 9 2. Cho và 2x 3 5 11. Tính B x y z 2021. 9 16 25 x y z t 3. Cho biểu thức M với x, y, z, t là các số xyzxyt yztxzt tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10 1025 . Câu II: (5,0 điểm) 2 2 2 2 2013 1. Tìm x, biết: . 2.3 3.4 4.5 x x 1 2015 z x y 2. Cho x, y, z 0 và x y z 0 . Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 . x y z 3. Tìm số tự nhiên n để phân số 7n 8 có giá trị lớn nhất. 2n 3 Câu III: (4,0điểm) 1. Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. n n 1 2. Tìm các số nguyên dương n và các số nguyên tố p sao cho p 1. 2 Câu IV: (5,0 điểm) . Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AM sao cho AM vuông góc với AB và AM = AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN sao cho AN vuông góc với AC và AN = AC. a) Chứng minh rằng: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Kẻ AH  BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: a100 b100 a101 b101 a102 b102 Hãy tính giá trị của biểu thức: P a 2014 b 2015 . Hết Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM YÊN ĐỊNH Năm học 2020 - 2021 Môn: Toán Hướng dẫn chấm Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Câu Nội dung Điểm 7 3 3 7 3 2 9 3 2 9 3 .57 : .5 : 5 4 16 5 4 16 27 123 26 2 33 1 2.0 1. A . 27.52 512 27.52 27.22 27.52 27.22 27 52 22 2 2. Ta có: 2x3 – 5 = 11 x3 = 8 x = 2 0,5 2 16 y 25 z 9 y 25 z 9 Do đó: 2 9 16 25 16 25 I 0,75 (5đ) y = 16.2 + 25 = 57; z = 25.2 – 9 = 41 Vậy B = 2 – 57 + 41 + 2021 = 2007. 0,25 x x y y z z t t 0.5 3. + Ta có: ; ; ; xyz xy xyt xy yzt zt xzt zt x y z t M M 0) mà 2 = 1024 < 1025 0.25 Vậy M10 < 1025 2 2 2 2 2013 1. 2.3 3.4 4.5 x x 1 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 2013 1,0 2 2 3 3 4 4 5 x x 1 2015 1 1 2013 2 2013 2 2 2 1 x 2014. 2 x 1 2015 x 1 2015 x 1 2015 1.0 z x y x z y x z y 0,5 2. Ta có: P 1 1 1 . . x y z x y z II Từ x y z 0 x z y; y x z; z y x 0,5 (5đ) y z x Suy ra: P . . 1 (vì x, y, z 0) x y z 0,5 7n 8 2 7n 8 7 2n 3 5 7 5 3. Ta có: . 2n 3 2 2n 3 2 2n 3 2 2 2n 3 0,5 5 Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. 0,5 2 2n 3 Từ đó suy ra: 2n-3=1 n 2. Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 0,5 khi n 2. III (4,0đ) 2
3. 1. Theo bài toán ta có: N = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) Để N là một số chính phương ta phải có:100a + b = 99a + (a + b) = 11t2 (t N) 1,0 2 Mà 99a  11 nên a + b  11 => a + b = 11. Vậy 99a + 11 = 11(9a + 1) = 11t => 9a + 1 = t2 (1) 1,0 Cho a từ 1 đến 9 chỉ có a = 7 thoã mãn (1); Từ đó suy ra b = 4 . Số phải tìm là 7744 = 882 0.5 2. Với n = 1 thì p = 0, không là số nguyên tố. Với n = 2 thì p = 2, là số nguyên tố. 0,25 Với n = 3 thì p = 5, là số nguyên tố. 0,25 2 0,25 n n 2 n 1 n 2 Với n 4, ta viết p dưới dạng: p 2 2 Ta xét hai trường hợp: n 1 0,25 Nếu n lẻ (n 5) thì p . n 2 , là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 2 nên p là hợp số. n 2 0,25 Nếu n chẵn (n 4) thì p n 1 . , là tích của hai số nguyên lớn hơn 2 1 nên p là hợp số. 0,25 Đáp số: n 2; p 2 và n 3; p 5. F N D M E A I K IV B H C (5,0đ) a) (2đ) Xét AMC và ABN, có: AM = AB (gt) AC = AN (gt) 2,0  MAC =  NAC ( = 900 +  BAC) Suy ra AMC = ABN (c - g - c) b) (2đ) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét KIC và AIN, có: 1.5  ANI =  KCI ( AMC = ABN)  AIN =  KIC (đối đỉnh) 0,5  IKC =  NAI = 900, do đó: MC  BN 3
4. c) (1đ) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900) Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:  AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) ME = AH - Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA FN = AH 0.5 Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có: ME = NF (= AH)  EMD =  FND(phụ với  MDE và  FDN, mà  MDE =  FDN) MED = NFD BD = ND. Vậy AH đi qua trung điểm của MN. 0.5 Ta có đẳng thức: a102 b102 a101 b101 a b ab a100 b100 với mọi a, b. 0,5 Kết hợp với: a100 b100 a101 b101 a102 b102 V Suy ra: 1 a b ab a 1 b 1 0. 0,5 (1,5đ) a 1 1 b100 1 b101 1 b102 b 1 0,25 b 1 1 a100 1 a101 1 a102 a 1 0.25 Do đó P a 2014 b 2015 12014 12015 2. Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 4