›
›
›

Đề thi Hình học Lớp 9

doc 25 trang nhatle22 4260
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi Hình học Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_hinh_hoc_lop_9.doc

Nội dung text: Đề thi Hình học Lớp 9

  1. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M, N, P. A Chøng minh r»ng: N 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 1 2. Bèn ®iÓm B, C, E, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. E 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. P F 1 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 2 O 5. X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. H Lêi gi¶i: - 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: 1 ( B 0 D 2 ( C  CEH = 90 ( V× BE lµ ®­êng cao) -  CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao) 0 =>  CEH +  CDH = 180 M Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE  AC => BEC = 900. CF lµ ®­êng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh­ vËy E vµ F cïng nh×n BC d­íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®­¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C 1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E 1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. A 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 1 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 O 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 1 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. 2 E Lêi gi¶i: H 3 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao) B 1 D C  CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®­êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh­ vËy E vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 1
  2. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 4. V× O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mµ E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. y 2. Chøng minh COD = 900. x D AB2 / 3.Chøng minh AC. BD = . I 4 M / 4.Chøng minh OC // BM C 5.Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD. N 5.Chøng minh MN  AB. 6.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Lêi gi¶i: A O B 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, AB2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®­êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B I 0 Do ®ã BI  BK hayIBK = 90 . 1 0 1 T­¬ng tù ta còng cã ICK = 90 nh­ vËy B vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh IK do ®ã B, B 2 C C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. H o 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. 0 0 C2 + I1 = 90 (2) ( v× IHC = 90 ). K I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 0 Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 2
  3. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Bµi 5 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. d 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn . A 2 2 P 3. Chøng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA . K D 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. N 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. H 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d O M I Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm). C 2. V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®­êng kÝnh B Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh­ vËy K, A, B cïng nh×n OM d­íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®­êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. E D 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. Lêi gi¶i: (HD) A 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). I V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®­êng cao võa lµ ®­êng trung tuyÕn cña BEC => BEC lµ tam 1 gi¸c c©n. => B1 = B2 2 B H C 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh BM // OP. 3. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. 3
  4. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Lêi gi¶i: X N J 1. (HS tù lµm). P 2.Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m 1 AOM I ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t M 2 K AOM nhau ) =>  AOP = (2) 2 1 1 2 A ( ( B Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  AOP (3) O Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®­êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. X 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. I 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. F Lêi gi¶i: 1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) M => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). H E AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). K => KMF + KEF = 1800 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do 1 2 2 1 ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. A O B 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. 4
  5. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Bµi 9 Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®­êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l­ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Lêi gi¶i: X 1. C thuéc nöa ®­êng trßn nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BC  AE. E ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®­êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao ), mµ AB lµ ®­êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. 2. ADB cã ADB = 90 0 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ). C D F => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) A O B 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 180 0 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 180 0, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM SPA = 90 ; AMB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => 1 2 3 AMS = 900 . Nh­ vËy P vµ M cïng nh×n AS d­íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn 4 ( 1 1 ®­êng trßn ®­êng kÝnh AS. P ) ( ) 2 B VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 3 A H O V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®­êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®­êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) M' Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) 1 S' => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 2. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). 0 0 Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 90 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF Lêi gi¶i: 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD s® cung DF DEF => DF // BC. AB AC . 5
  6. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) A  BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn . 4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM BD BM D F = CBF => BDM  CBF => O CB CF I B M E C Bµi 12 Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®­êng trßn ë P. Chøng minh : C 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo. Lêi gi¶i: M O 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). A B Nh­ vËy M vµ N cïng nh×n OP d­íi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) N Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN A' P D B' => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC  NDC CM CO => => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN CD CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®­êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn . Lêi gi¶i: A 1. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) E 1 I CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 2 1( F => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) 1 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) )1 2 B O1 H O2 C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn (O1) vµ (O2) 0 => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 180 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) 6
  7. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 AE AF => AEF  ACB => => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. 0 0 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 90 => E1 + E2 = O1EF = 90 => O1E EF . Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). E 1.Chøng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn (I), (K). N 3.TÝnh MN. 3 1 4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn H 2 1 Lêi gi¶i: M 1. Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn t©m K) 1 2 1 A I C O K B => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) 0 0 Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 90 => N3 + N2 = MNK = 90 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm 2 2 2 2 2 2 Ta cã S(o) = .OA = 25 = 625 ; S(I) = . IA = .5 = 25 ; S(k) = .KB = . 20 = 400 . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng BM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. ®­êng th¼ng AD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Lêi gi¶i: 7
  8. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 C C 2 1 1 2 3 O O E D 3 S 2 1 1 2 2 M S M E D 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => CDB = 900 nh­ vËy D vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). ¼ ¼ D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®­êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh­ vËy BA, EM, CD lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. ¼ ¼ 4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®­êng trßn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => C»E C»S S¼M E¼M => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §­êng trßn ®­êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®­êng thẳng CD, AE lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : B 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®­êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. O Lêi gi¶i: E 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 1 F 1 0 G => DEB = BAC = 90 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB  CAB . D 0 0 0 2. Theo trªn DEB = 90 => DEC = 90 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 90 ( v× ABC vu«ng t¹i A) 1 hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp . S A C * BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) hay BFC = 900 nh­ vËy F vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) => AQM = 900 nh­ vËy P vµ Q cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp. 8
  9. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 * V× AM lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iÓm cña AM. A 1 2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®­êng cao => SABC = BC.AH. 2 1 Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®­êng cao => SABM = AB.MP O 2 P 1 1 2 Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®­êng cao => SACM = AC.MQ 2 Q B H M C 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2 Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH. 3. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng ph©n gi¸c => HAP = HAQ => H»P H¼Q ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®­êng cao => OH  PQ Bµi 18 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®­êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®­êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp . Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 1 => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). _ ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) C 1 K 2 => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 4 3 _ D => MCI + MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp. I 2. Theo trªn Ta cã BC  MA; AD  MB nªn BC vµ AD lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c 1 A MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH  O H B AB nªn MH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 . 0 0 0 Mµ A1 + M1 = 90 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 90 => C3 + C2 = 90 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 19. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . D 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). I 1 Lêi gi¶i: 3 2 0 0 1. BIC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BID = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE A / / 1 1 C  AB t¹i M => BMD = 900 M O 2 B O' => BID + BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) 1 E => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng . 9
  10. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 3. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AD  DC; theo trªn BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2). Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®­êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = 0 0 I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mµ I3 + I2 = BIC = 90 => I1 + I2 = 90 = MIO’ hay MI  O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 20. Cho ®­êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®­êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . D 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn 1 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. G 4. B, E, F th¼ng hµng 5. DF, EG, AB ®ång quy. M C A B 6. MF = 1/2 DE. O O' 1 2 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 1 3 Lêi gi¶i: 1 F 1. BGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) E Theo gi¶ thiÕt DE  AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BFD = 900; BMD = 900 (v× DE  AB t¹i M) nh­ vËy F vµ M cïng nh×n BD d­íi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn . 3. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng . 4. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AD  DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi => BE // AD mµ AD  DF nªn suy ra BE  DF . Theo trªn BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BF  DF mµ qua B chØ cã mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng hµng. 5. Theo trªn DF  BE; BM  DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®­êng cao => ECBD; theo trªn CGBD => E,C,G th¼ng hµng. VËy DF, EG, AB ®ång quy 6. Theo trªn DF  BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = 0 0 F3 + F2 . Mµ F3 + F2 = BFC = 90 => F1 + F2 = 90 = MFO’ hay MF  O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 21. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®­êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®­êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. Q 2. Chøng minh IP // OQ. 1 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. P 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 1 Lêi gi¶i: 1 1. Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh cña ®/ trßn (O) vµ ®­êng trßn (I) . A B I O VËy ®/ trßn (O) vµ ®­êng trßn (I) tiÕp xóc nhau t¹i A . H 2. OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ. 3. APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => OP  AQ => OP lµ ®­êng cao cña OAQ mµ OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®­êng trung tuyÕn => AP = PQ. 1 4. (HD) KÎ QH  AB ta cã SAQB = AB.QH. mµ AB lµ ®­êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt khi QH lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng 2 víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI  AO mµ theo trªn PI // QO => QO  AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB vµ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt. 10
  11. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®­êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®­êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. A B 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®­êng nµo? 1 Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH  DE t¹i H nªn BHD = 900 O H 0 E => nh­ vËy H vµ C cïng nh×n BD d­íi mét gãc b»ng 90 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®­êng 1 trßn ®­êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2 2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800. (1) BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2). ) 1 D C K Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 . 3. XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH => KHC  KDB => => KC. KD = KH.KB. KB KD 4. (HD) Ta lu«n cã BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E  B th× H  B; E  C th× H  C). Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. E 2. §­êng th¼ng HD c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i F, chøng minh M FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. 0 3. Cho biÕt ABC > 45 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm D b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. K 4. Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. A F Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 450 1. H B O C Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Ta cã BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1). FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng). => CFM + CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®­êng trßn suy ra CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450. Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng). Nh­ vËy K, E, M cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 4. CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC cã t©m O, ®­êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®­êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. D 1 F 3.Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ BDE. 2 O Lêi gi¶i: / _H 1. AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) K _ 1 => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450 1 / I => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. B E C 2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK  HE t¹i K (2). Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB. 11
  12. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9  ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BDH = 900 (kÒ bï ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => BH  AC t¹i F => AEB cã AFB = 900 . 0 Theo trªn ADC cã ADC = 90 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5). 0 0 Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 90 => D1 +IDH = 90 = IDO => OD  ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Bµi 25. Cho ®­êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC ABC c©n t¹i A. 2. Theo gi¶ thiÕt MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = 900. => MIB + MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp H K * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t­¬ng tù tø gi¸c BIMK ) M 1 0 3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 180 ; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => HMI + 1 0 P Q HCI = 180 . mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => KMI = HMI (1). 1 1 2 2 1 Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp B C ¼ I => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2). MI MK O Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => => MI2 = MH.MK MH MI 0 0 4. Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t­¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 180 => I1 + I2 + BMC = 180 hay 0 PIQ + PMQ = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI BC nªn suy ra IM  PQ. Bµi 26. Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD  AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : KC AC J 1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp C / KB AB M 4. Chøng minh ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M. K I _ Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña B»C => M»B M¼ C A B => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => H O KC AC ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) KB AB D 2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD  AB => A lµ trung ®iÓm cña C»D => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. 3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña B»C => OM  BC t¹i I => OIC = 900 ; CD  AB t¹i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp 4. KÎ MJ  AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM  BC => OM  MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M. Bµi 27 Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : 1. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i: 12
  13. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B I I B H M M H O O A A K C C K 1.(HS tù gi¶i) 2. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO =  BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). 3. Theo gi¶ thiÕt MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t­¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® B¼M ) => HKM = MHI (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2). Tõ (1) vµ (2) => HIM  KHM. MI MH 4. Theo trªn HIM  KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. A 2. E, F n»m trªn ®­êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. = B' Lêi gi¶i: O 1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE C' H G => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng . = 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ / B / / C BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => A' I / BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 E F => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC  HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE  HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Theo trªn F (O) vµ FEA =900 => AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phô ACB) (5). Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6). Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n. 4. Theo trªn AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI  BC ( Quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => OIG = HAG (v× so le trong); l¹i cã OGI =  GI OI 1 HGA (®èi ®Ønh) => OGI  HGA => mµ OI = AH GA HA 2 GI 1 => mµ AI lµ trung tuyÕn cña ∆ ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña ∆ ABC. GA 2 Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®­êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H. 1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC. tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. Lêi gi¶i: (HD) 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó ACB (cïng bï BFE) 13
  14. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF  ABC. A 2. VÏ ®­êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®­êng trung b×nh cña AHK => AH = 2OA’ = E A1 O F H = / B / / D A' / C K 3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã : R AA' AEF  ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp AEF; AA’ R ' AA1 lµ trung tuyÕn cña ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña AEF. Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp AEF AH 2A'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 2 2 VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB. 1 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA AA AA EF Theo (2) => OA’ = R . 1 mµ 1 lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC nªn 1 = . T­¬ng tù ta AA' AA' AA' BC FD ED cã : OB’ = R . ; OC’ = R . Thay vµo (3) ta ®­îc AC AB EF FD ED 2SABC = R (.BC .AC .AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC. 1 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC. 2 Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®­êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. A 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. D 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: a)B vµ C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) O 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => B¼M C¼M => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC; Theo gi¶ thiÕt AH  BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => HAM = OAM => B H C AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH. M 2. VÏ d©y BD  OA => »AB »AD => ABD = ACB. Ta cã OAH =  DBC ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C. 14
  15. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 3. a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 . B C 1200 B 700 => 0 0 B C 20 C 50 .R2.1202 1 R .R2 R2. 3 R2.(4 3 3) b) Svp = SqBOC - SV BOC = R. 3. = 3600 2 2 3 4 12 Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600. 1. TÝnh sè ®o gãc BOC vµ ®é dµi BC theo R. A 2. VÏ ®­êng kÝnh CD cña (O; R); gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH. D 3. TÝnh AH theo R. Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => s®B»C =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) H O => BOC = 1200 ( t/c gãc ë t©m) . * Theo trªn s®B»C =1200 => BC lµ c¹nh cña mét tam gi¸c ®Òu néi tiÕp (O; R) => BC = R3 . B M C 2. CD lµ ®­êng kÝnh => DBC = 900 hay DB  BC; theo gi¶ thiÕt AH lµ ®­êng cao => AH  BC => BD // AH. Chøng minh t­¬ng tù ta còng ®­îc AD // BH. 3. Theo trªn DBC = 900 => DBC vu«ng t¹i B cã BC = R3 ; CD = 2R. => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R3 )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R. Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH lµ h×nh b×nh hµnh => AH = BD => AH = R. Bµi 32 Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB. 1. Chøng minh khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh. N 2. Tõ A kÎ Ax  MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c CMBN lµ h×nh b×nh hµnh. 3. Chøng minh C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. K D 4. Khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®­êng nµo. C I 5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R . TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c 3 H A B AMN. O Lêi gi¶i: (HD) 1. I lµ trung ®iÓm cña MN => OI  MN t¹i I ( quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) = > OIH = M 900 . OH cè ®Þmh nªn khi MN di ®éng th× I còng di ®éng nh­ng lu«n nh×n OH cè ®Þnh d­íi mét gãc 900 do ®ã I di ®éng trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OH. VËy khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh. 2. Theo gi¶ thiÕt Ax  MN; theo trªn OI  MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mµ O lµ trung ®iÓm cña AB => I lµ trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I lµ trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN lµ h×nh b×nh hµnh ( V× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng ). 3. CMBN lµ h×nh b×nh hµnh => MC // BN mµ BN  AN ( v× ANB = 900 do lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => MC  AN; theo trªn AC  MN => C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Ta cã H lµ trung ®iÓm cña OB; I lµ trung ®iÓm cña BC => IH lµ ®­êng tung b×nh cña OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax  MN hay IH  Ax => OC  Ax t¹i C => OCA = 900 => C thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OA cè ®Þnh. VËy khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OA cè ®Þnh. 5. Ta cã AM. AN = 3R2 , AN = R3 . => AM =AN = R3 => AMN c©n t¹i A. (1) XÐt ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R3 => BN = R => ABN = 600 . ABN = AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => AMN = 600 (2). 3R2 3 Tõ (1) vµ (2) => AMN lµ tam gi¸c ®Òu => S AMN = . 4 2 2 2 3R 3 R (4 3 3 => S = S(O) - S AMN = R - = 4 4 Bµi 33 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®­êng trßn t¹i M. 15
  16. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 ( 1. Chøng minh OM  BC. 1 P 2. Chøng minh MC2 = MI.MA. 3. KÎ ®­êng kÝnh MN, c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ C c¾t ®­êng th¼ng AN N t¹i P vµ Q. Chøng minh bèn ®iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®­êng trßn . A Lêi gi¶i: 2 Q 1 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => B¼M C¼M => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC 1 O 2. XÐt MCI vµ MAC cã MCI =MAC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng K nhau); M lµ gãc chung 1 2 2 1 ( MC MI B I C => MCI  MAC => => MC2 = MI.MA. MA MC M 0 0 3. (HD) MAN = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => P1 = 90 – K1 mµ K1 lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c AKB nªn K1 = A1 + B1 A B A B 0 = (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) => P1 = 90 – ( ).(1) 2 2 2 2 C 1 A B 0 0 CQ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB => C1 = = (180 - A - B) = 90 – ( ). (2). 2 2 2 2 0 Tõ (1) vµ (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mµ P vµ C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt ph¼ng bê BQ nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 90 – A B ( ) dùng trªn BQ. 2 2 VËy bèn ®iÓm P, C, B, Q cïng thuéc mét ®­êng trßn . Bµi 34 Cho tam gi¸c ABC c©n ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiÒu cao AH = 4 Cm, néi tiÕp ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AA’. 1. TÝnh b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (O). A 2. KÎ ®­êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ lµ h×nh g×? T¹i sao? 3. KÎ AK  CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao? 1 2 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: C' 1. (HD) V× ABC c©n t¹i A nªn ®­êng kÝnh AA’ cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp vµ ®­êng cao AH K 1 O xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A trïng nhau, tøc lµ AA’®i qua H. => ACA’ vu«ng t¹i C cã ®­êng cao CH = 1 2 2 2 B 1 C BC 6 CH 3 9 H = 3cm; AH = 4cm => CH2 = AH.A’H => A’H = 2,5 => AA’ 2 2 AH 4 4 A' => AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) . 2. V× AA’ vµ CC’ lµ hai ®­êng kÝnh nªn c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®­êng => ACA’C’ lµ h×nh b×nh hµnh. L¹i cã ACA’ = 90 0 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) nªn suy ra tø gi¸c ACA’C’ lµ h×nh ch÷ nhËt. 3. Theo gi¶ thiÕt AH  BC; AK  CC’ => K vµ H cïng nh×n AC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp (1) => C2 = H1 (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ; AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => C2 = A2 => A2 = H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang (2).Tõ (1) vµ (2) suy ra tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang c©n. Bµi 35 Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . M 2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. O 4. Chøng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . 1 C E 5. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. A B Lêi gi¶i: I O 1. Theo gi¶ thiÕt MN AB t¹i I => EIB = 900;  ACB néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn nªn ACB = 900 hay ECB = 900 => EIB + ECB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c IECB nªn tø gi¸c IECB lµ tø gi¸c néi tiÕp . N 16
  17. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 2. Theo gi¶ thiÕt MN AB => A lµ trung ®iÓm cña cung MN => AMN = ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay AME = ACM. L¹i thÊy CAM lµ gãc chung cña hai tam gi¸c AME vµ AMC do ®ã tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. AM AE 3. Theo trªn AME  ACM => => AM2 = AE.AC AC AM 4. AMB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ); MN AB t¹i I => AMB vu«ng t¹i M cã MI lµ ®­êng cao => MI2 = AI.BI ( hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng) . ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c AIM vu«ng t¹i I ta cã AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 0 5. Theo trªn AMN = ACM => AM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ECM; Nèi MB ta cã AMB = 90 , do ®ã t©m O1 cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ECM ph¶i n»m trªn BM. Ta thÊy NO1 nhá nhÊt khi NO1 lµ kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn BM => NO1 BM. Gäi O1 lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ N ®Õn BM ta ®­îc O1 lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ECM cã b¸n kÝnh lµ O1M. Do ®ã ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt th× C ph¶i lµ giao ®iÓm cña ®­êng trßn t©m O1 b¸n kÝnh O1M víi ®­êng trßn (O) trong ®ã O1 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn BM. Bµi 36 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ c¸c ®­êng cao AD, BE, CF. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn l­ît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt. A 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . 3. Hai tam gi¸c HNP vµ HCB ®ång d¹ng. E 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng. F Lêi gi¶i: 1. & 2. (HS tù lµm) H P Q 3. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => N2 = D4 (néi tiÕp cïng ch¾n cung HP); 1 1 HDC cã HDC = 900 (do AH lµ ®­êng cao) HDP cã HPD = 900 (do DP  HC) => N 2 M 1 C1= D4 (cïng phô víi DHC)=>C1=N2 (1) chøng minh t­¬ng tù ta cã B1=P1 (2) 3 4 Tõ (1) vµ (2) => HNP  HCB 1 1 1 B D C 4. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => N1 = D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3) DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) => C1= D1 ( hai gãc ®ång vÞ).(4) Theo chøng minh trªn C1 = N2 (5) Tõ (3), (4), (5) => N1 = N2 mµ B, N, H th¼ng hµng => M, N, P th¼ng hµng. (6) Chøng minh t­¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng hµng . (7) Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng Bµi 37 Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B (O), C (O’) . TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I. 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp . B 0 I 2. Chøng minh  BAC = 90 . C 3. TÝnh sè ®o gãc OIO’. 4. TÝnh ®é dµi BC biÕt OA = 9cm, O’A = 4cm. Lêi gi¶i: 9 4 1. ( HS tù lµm) O A O' 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IB = IA , IA = IC 1 ABC cã AI = BC => ABC vu«ng t¹i A hay BAC =900 2 3. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IO lµ tia ph©n gi¸c BIA; I0’lµ tia ph©n gi¸c CIA . mµ hai gãc BIA vµ CIA lµ hai gãc kÒ bï => I0  I0’=> 0I0’= 900 4. Theo trªn ta cã 0I0’ vu«ng t¹i I cã IA lµ ®­êng cao (do AI lµ tiÕp tuyÕn chung nªn AI OO’) => IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm) Bµi 38 Cho hai ®­êng trßn (O) ; (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi, B (O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC. Chøng minh : 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp . B 2. Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt. M 1 C 3. ME.MO = MF.MO’. 2 3 4 4. OO’ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. E F 5. BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’. Lêi gi¶i: O A O' 1. ( HS tù lµm) 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã MA = MB 17
  18. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 => MAB c©n t¹i M. L¹i cã ME lµ tia ph©n gi¸c => ME  AB (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã MF  AC (2). Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta còng cã MO vµ MO’ lµ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï BMA vµ CMA => MO  MO’ (3). Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra tø gi¸c MEAF lµ h×nh ch÷ nhËt 3. Theo gi¶ thiÕt AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn => MA  OO’=> MAO vu«ng t¹i A cã AE  MO ( theo trªn ME  AB) MA2 = ME. MO (4) T­¬ng tù ta cã tam gi¸c vu«ng MAO’ cã AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5) Tõ (4) vµ (5) ME.MO = MF. MO’ 4. §­êng trßn ®­êng kÝnh BC cã t©m lµ M v× theo trªn MB = MC = MA, ®­êng trßn nµy ®i qua Avµ co MA lµ b¸n kÝnh . Theo trªn OO’  MA t¹i A OO’ lµ tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. 5. (HD) Gäi I lµ trung ®iÓm cña OO’ ta cã IM lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang BCO’O => IMBC t¹i M (*) .Ta cung chøng minh ®­îc OMO’ vu«ng nªn M thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ => IM lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ ( ) Tõ (*) vµ ( ) => BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ Bµi 39 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh BC, dÊy AD vu«ng gãc víi BC t¹i H. Gäi E, F theo thø tù lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ H ®Õn AB, AC. Gäi ( I ), (K) theo thø tù lµ c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HBE, HCF. 1. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña c¸c ®­êng trßn (I) vµ (O); (K) vµ (O); (I) vµ (K). 2. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao?. A 3. Chøng minh AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn (I) vµ (K). F 5. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt. G 1 2 Lêi gi¶i: E 1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiÕp xóc (O) 1 B 2 C OK = OC – KC => (K) tiÕp xóc (O) I H O K IK = IH + KH => (I) tiÕp xóc (K) 2. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) D BAC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn hay EAF = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 3. Theo gi¶ thiÕt ADBC t¹i H nªn AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC (theo trªn CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC ( = AH2) 4. Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt, gäi G lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo AH vµ EF ta cã GF = GH (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) => GFH c©n t¹i G => F1 = H1 . KFH c©n t¹i K (v× cã KF vµ KH cïng lµ b¸n kÝnh) => F2 = H2. 0 0 => F1 + F2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHC = 90 => F1 + F2 = KFE = 90 => KF EF . Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã IE  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn (I) vµ (K). e) Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => EF = AH OA (OA lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) cã ®é dµi kh«ng ®æi) nªn EF = OA AH = OA H trïng víi O. VËy khi H trïng víi O tóc lµ d©y AD vu«ng gãc víi BC t¹i O th× EF cã ®é dµi lín nhÊt. Bµi 40 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Trªn Ax lÊy ®iÓm M råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N. y 1. Chøng minh tam gi¸c MON ®ång d¹ng víi tam gi¸c APB. x N 2. Chøng minh AM. BN = R2. / S R 3. TÝnh tØ sè MON khi AM = . P S APB 2 / M 4. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh do nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh ra. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOP ; ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOP, mµ A O B AOP vµ BOP lµ hai gãc kÒ bï => MON = 900. hay tam gi¸c MON vu«ng t¹i O. APB = 900((néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn) hay tam gi¸c APB vu«ng t¹i P. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã NB  OB => OBN = 900; NP  OP => OPN = 900 =>OBN+OPN =1800 mµ OBN vµ OPN lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OBNP néi tiÕp =>OBP = PNO XÐt hai tam gi¸c vu«ng APB vµ MON cã APB =  MON = 900; OBP = PNO => APB  MON 18
  19. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 2. Theo trªn MON vu«ng t¹i O cã OP  MN ( OP lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OP2 = PM. PM Mµ OP = R; AM = PM; BN = NP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => AM. BN = R2 R R R 3. Theo trªn OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mµ PM = AM = => PM = => PN = R2: = 2R 2 2 2 R 5R MN 5R 5 => MN = MP + NP = + 2R = Theo trªn APB  MON => = : 2R = = k (k lµ tØ sè ®ång d¹ng).V× tØ sè diÖn tich gi÷a 2 2 AB 2 4 hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph­¬ng tØ sè ®ång d¹ng nªn ta cã: 2 S MON S MON 5 25 = k2 => = S APB S APB 4 16 Bµi 41 Cho tam gi¸c ®Òu ABC , O lµ trung ®iÓn cña BC. Trªn c¸c c¹nh AB, AC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho  DOE = 600 . 1)Chøng minh tÝch BD. CE kh«ng ®æi. A 2)Chøng minh hai tam gi¸c BOD; OED ®ång d¹ng. Tõ ®ã suy ra tia DO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE 3)VÏ ®­êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB. Chøng minh r»ng ®­êng trßn nµy lu«n tiÕp xóc víi DE. K E Lêi gi¶i: D 1. Tam gi¸c ABC ®Òu => ABC =  ACB = 600 (1);  DOE = 600 (gt) =>DOB + EOC = 1200 (2). H DBO cã DOB = 600 => BDO + BOD = 1200 (3) . B C Tõ (2) vµ (3) => BDO =  COE (4) O BD BO Tõ (2) vµ (4) => BOD  CEO => => BD.CE = BO.CO mµ OB = OC = R kh«ng CO CE ®æi => BD.CE = R2 kh«ng ®æi. BD OD BD OD BD BO 2. Theo trªn BOD  CEO => mµ CO = BO => (5) CO OE BO OE OD OE L¹i cã DBO = DOE = 600 (6). Tõ (5) vµ (6) => DBO  DOE => BDO = ODE => DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE. 3. Theo trªn DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE => O c¸ch ®Òu DB vµ DE => O lµ t©m ®­êng trßn tiÕp xóc víi DB vµ DE. VËy ®­êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB lu«n tiÕp xóc víi DE Bµi 42 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. cã c¹nh ®¸y nhá h¬n c¹nh bªn, néi tiÕp ®­êng trßn (O). TiÕp tuyÕn t¹i B vµ C lÇn l­ît c¾t AC, AB ë D vµ E. Chøng minh : 1. BD2 = AD.CD. A 2. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp . 3. BC song song víi DE. Lêi gi¶i: O 1. XÐt hai tam gi¸c BCD vµ ABD ta cã CBD = BAD ( V× lµ gãc néi tiÕp vµ gãc gi÷a tiÕp BD CD tuyÕn víi mét d©y cïng ch¾n mét cung), l¹i cã D chung => BCD  ABD => => B C AD BD BD2 = AD.CD. 2. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A => ABC = ACB => EBC = DCB mµ CBD = BCD (gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi mét d©y cïng ch¾n mét cung) => EBD = DCE => B vµ C nh×n DE d­íi cïng E D mét gãc do ®ã B vµ C cïng n»m trªn cung trßn dùng trªn DE => Tø gi¸c BCDE néi tiÕp 3. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp => BCE = BDE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung BE) mµ BCE = CBD (theo trªn ) => CBD = BDE mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra BC // DE. Bµi 43 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB, ®iÓm M thuéc ®­êng trßn . VÏ ®iÓm N ®èi xøng víi A qua M, BN c¾t (O) t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM. 1. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp . 2. Chøng minh NE  AB. 19
  20. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 3. Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi E qua M. Chøng minh FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O). N 4. Chøng minh FN lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (B; BA). Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm) F _ 2. (HD) DÔ thÊy E lµ trùc t©m cña tam gi¸c NAB => NE  AB. / M 3.Theo gi¶ thiÕt A vµ N ®èi xøng nhau qua M nªn M lµ trung ®iÓm cña AN; F vµ E xøng nhau qua M nªn / C M lµ trung ®iÓm cña EF => AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FA // NE mµ NE  AB => FA  AB t¹i A => FA _ lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A. E B 4. Theo trªn tø gi¸c AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FN // AE hay FN // AC mµ AC  BN => FN  BN t¹i N A O H BAN cã BM lµ ®­êng cao ®ång thêi lµ ®­êng trung tuyÕn ( do M lµ trung ®iÓm cña AN) nªn BAN c©n t¹i B => BA = BN => BN lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (B; BA) => FN lµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (B; BA). Bµi 44 AB vµ AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ( B, C lµ tiÕp ®iÓm ). VÏ CH vu«ng gãc AB t¹i H, c¾t (O) t¹i E vµ c¾t OA t¹i D. 1. Chøng minh CO = CD. B 2. Chøng minh tø gi¸c OBCD lµ h×nh thoi. H 3. Gäi M lµ trung ®iÓm cña CE, Bm c¾t OH t¹i I. Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña I OH. E 4. TiÕp tuyÕn t¹i E víi (O) c¾t AC t¹i K. Chøng minh ba ®iÓm O, M, K th¼ng hµng. O D Lêi gi¶i: A M 1. Theo gi¶ thiÕt AB vµ AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t©m O => OA lµ tia ph©n gi¸c K cña BOC => BOA = COA (1) C OB  AB ( AB lµ tiÕp tuyÕn ); CH  AB (gt) => OB // CH => BOA = CDO (2) Tõ (1) vµ (2) => COD c©n t¹i C => CO = CD.(3) 2. theo trªn ta cã CO = CD mµ CO = BO (= R) => CD = BO (4) l¹i cã OB // CH hay OB // CD (5) Tõ (4) vµ (5) => BOCD lµ h×nh b×nh hµnh (6) . Tõ (6) vµ (3) => BOCD lµ h×nh thoi. 3. M lµ trung ®iÓm cña CE => OM  CE ( quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => OMH = 900. theo trªn ta còng cã OBH =900; BHM =900 => tø gi¸c OBHM lµ h×nh ch÷ nhËt => I lµ trung ®iÓm cña OH. 4. M lµ trung ®iÓm cña CE; KE vµ KC lµ hai tiÕp tuyÕn => O, M, K th¼ng hµng. Bµi 45 Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC) néi tiÕp ®­êng trßn (O). Gäi D lµ trung ®iÓm cña AC; tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i A c¾t tia BD t¹i E. Tia CE c¾t (O) t¹i F. 1. Chøng minh BC // AE. A E 2. Chøng minh ABCE lµ h×nh b×nh hµnh. 1 2 3. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CF vµ G lµ giao ®iÓm cña BC vµ OI. _ So s¸nh BAC vµ BGO. 2 K O 1 D F 1. (HS tù lµm) _ Lêi gi¶i: I _ 2).XÐt hai tam gi¸c ADE vµ CDB ta cã EAD = BCD (v× so le trong ) _ 1 B AD = CD (gt); ADE = CDB (®èi ®Ønh) => ADE = CDB => AE = CB (1) H C G Theo trªn AE // CB (2) .Tõ (1) vµ (2) => AECB lµ h×nh b×nh hµnh. . 3) I lµ trung ®iÓm cña CF => OI  CF (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung). Theo trªn AECB lµ h×nh b×nh hµnh => AB // EC => OI  AB t¹i K, => BKG vu«ng t¹i K. Ta cung cã BHA vu«ng t¹i H 1 => BGK = BAH ( cung phô víi ABH) mµ BAH = BAC (do ABC c©n nªn AH lµ ph©n gi¸c) => BAC = 2BGO. 2 Bài 46: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C A). Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. a. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD. b. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. B HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vì: B· EA chung E · · EAB = EBD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) O EB ED P EB2 = EA.ED (1) D EA EB C · · · · * EPD = PCA (s.l.t) ; EAP = PCA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) A 20
  21. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 E· PD = E· AP ; P· EA chung ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) EP ED EP2 = EA.ED (2)Từ 1 & 2 EB2 = EP2 EB = EP AE là trung tuyến ∆ PAB. EA EP Bài 47: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD. a. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. b. Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh FD vuông góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE. d. Cho A· BC = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) C b) tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp (Quĩ tích cung chứa góc 900) E c) Chứng minh D là trực tâm ∆ CBF. K 3 D 2a d) AC = BC.sinA· BC = 2a.sin600 = 2a . = a 3 2 a H 1 600 AB = BC.cosA· BC = 2a.cos600 = 2a. = a 2 F A B 3 AH = AB.sinA· BC = a.sin600 = a ; ∆ FKB vuông tại K , có A· BC = 60 0 B· FK = 300 AD = 2 FD.sinB· FK AD = FD.sin300 a = FD.0,5 FD = a : 0,5 = 2a. Bài 48: Cho ∆ABC vuông ( A· BC = 900; BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây cung BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn đường kính EC cắt BC tại I (I C). CI CE a. Chứng minh CB CA B b. Chứng minh D; E; I thẳng hàng. I c. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. HD; a) AB // EI (cùng  BC) H CI CE A C (đ/lí Ta-lét) O E O’ CB CA b) chứng minh ABED là hình thoi DE // AB mà EI //AB D, E, I cùng nằm trên đường thẳng đi qua E // AB D, E, I thẳng hàng. D · · c) EIO' = IEO' ( vì ∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R(O’)) I·EO' = H· ED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH là trung tuyến ∆HID cân H· IE = H· DI Mà H· DI + H· ED = 900 đpcm. Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH  (d) (H d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn. b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP P c. Giả sử P· MQ = 600. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ. HD: a) 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) K O IO IQ M b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) IH.IO = IQ.IP I IP IH PQ PQ 3 Q c) ∆v MKQ có : MK = KQ.tgM· QK = KQ.tg600 = 3 . 2 2 H 3 PQ 3 PQ 3 ∆v OKQ có: OK = KQ.tgO· QK = KQ.tg300 = KQ. . 3 2 3 6 21
  22. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 S PQ 3 PQ 3 MPQ = : = 3 SOPQ 2 6 Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. DM CM b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra . DE CE D c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. 1 d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. M e. Đặt A· OC = α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD. C Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R, N không phụ thuộc vào α. 2 3 HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) 1 4 b) AC // BD (cùng  EB) ∆EAC ~ ∆EBD E A O B CE AC CE CM DM CM (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) DE BD DE DM DE CE NC AC NC CM c) AC // BD (cmt) ∆NAC ~ ∆NBD (3) .Từ 1; 2; 3 MN // BD NB BD NB DM ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 d) O1 = O2 ; O3 = O4 mà O1 + O2 + O3 + O4 = 180 O2 + O3 = 90 ; O4 + D1 = 90 ( ) OB R R ¶D = ¶O = ¶O = α . Vậy: DB = = ; Lại có: AC = OA.tgα = R.tgα AC.DB = R.tgα. 1 2 1 tg tg tg AC.DB = R2 (Đpcm) Bài 51: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1. a. Chứng minh tứ giác HA1BC1 nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ấy. · b. Chứng minh A1A là phân giác của B1A1C1 . c. Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1C1. A MH 1 d. Trên đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho . MC 3 So sánh diện tích của 2 tam giác: ∆HAC và ∆HJM. B1 HD: a) HA BC nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) 1 1 C1 J Tâm I là trung điểm BH. H b) C/m: ·HA C = ·HBC ; ·HA B = ·HCB ; 1 1 1 1 1 1 M ·HBC = ·HCB ·HA C = ·HA B đpcm. K 1 1 1 1 1 1 I 12 c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 ỊJ là trung trực của A1C1. B A1 C 1 1 d) S HJM = HM.JK ; SHAC = HC.AC1 2 2 HC.AC1 MH 1 HC HM+MC MC AC1 SHAC : S HJM = mà 1 1 3 4 ; 2 (JK// AC1 HM.JK MC 3 HM HM HM JK SHAC : S HJM = 8 Bài 52: Cho điểm C cố định trên một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy và lấy trên đó 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B). M là một điểm di động trên xy. Đường vuông góc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. a. Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp được và tâm O của đường tròn này nằm trên một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. b. Kẻ PI  Cz. Chứng minh I là một điểm cố định. c. BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH  PM. d. Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh các điểm N; L; O thẳng hàng. HD: a) MABP nội tiếp đ/tròn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 900 ) OA = OB = R(O) O thuộc đường trung trực AB đi qua L 22
  23. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 là trung điểm AB b) IP // CM ( Cz) MPIC là hình thang. IL = LC không đổi vì A,B,C cố định. I cố định. c) PA  KM ; PK  MB H là trực tâm ∆ PKM KH  PM d) AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc ) N là tâm đ/tròn ngoại tiếp NE = NA = R(N) N thuộc đường trung trực AB O,L,N thẳng hàng. Bài 53: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. a. So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM. b. Chứng minh: ∆KMN vuông cân. c. Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao? HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c) U b) HS tự c/m. ∆ KMN vuông cân. K c) ∆ KMN vuông KN KM mà KM // BP KN  BP P A· PB = 900 (góc nội tiếp ) AP  BP KN // AP ( BP) M · · 0 KM // BP KMN PAT 45 T = P¼KM // N Mà P· AM P· KU 450 2 A O B P· KN 450 ; K· NM 450 PK // AN . Vậy ANPK là hình bình hành. Bài 54: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. a. Chứng minh: tia MD là phân giác của góc AMB. b. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi. c. Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONMA, I di động như thế nào? HD: a) A· MD D· MB 450 (chắn cung ¼ đ/tròn) C MD là tia phân giác A· MB M F b) ∆ OMB cân vì OM = OB = R(O) ∆ NAB cân có NO vừa là đ/cao vừa là đường trung tuyến. N ∆ OMB ~ ∆ NAB I A B BM BO E O BM.BN = BO.BA = 2R2 không đổi. BA BN c) ONMA nội tiếp đ/tròn đ/k AN. Gọi I là tâm đ/tròn ngoại tiếp I cách đều A và O cố định I thuộc đường trung trực OA Gọi E và F là trung điểm của AO; AC Vì M chạy trên cung nhỏ AC nên tập hợp I là đoạn EF D Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F. a. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. b. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao? c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sánh B· GO với B· AC . d. Cho biết DF // BC. Tính cosA· BC . A E HD:a) Gọi H là trung điểm BC AH BC (∆ ABC cân tại A) lập luận chỉ ra AH AE BC // AE. (1) b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) AE = BC (2) N M D Từ 1 và 2 ABCE là hình bình hành. F O _ I 23 B H C G
  24. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 c) Theo c.m.t AB // CF GO AB. 1 B· GO = 900 – A· BC = B· AH = B· AC 2 d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) tại N.; DF // BC và AH là trục đối xứng cuarBC và đ/tròn (O) nên F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH. 1 1 FD = MN = MD = BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) DF.DN = DA.DC 2 2 1 2 BH 2 2BH2 = AC2 BH = AC cos A· BC = = . 4 4 AB 4 Bài 56: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F. a. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng. E b. Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được. c. Chứng minh: A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. D d. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). A HD: a) C· BA = 900 = F· BA (góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn) O O’ C· BA + F· BA = 1800 C, B, F thẳng hàng. b) C· DF = 900 = C· EF CDEF nội tiếp (quĩ tích ) F C B c) CDEF nội tiếp A· DE = E· CB (cùng chắn cung EF) Xét (O) có: A· DB = E· CB (cùng chắn cung AB) A· DE = A· DB DA là tia phân giác B· DE . Tương tự EA là tia phân giác D· EB Vậy A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE d) ODEO’ nội tiếp. Thực vậy : D· OA = 2D· CA ; E· O'A = 2E· FA mà D· CA = E· FA (góc nội tiếp chắn cung DE) D· OA = E· O'A ; mặt khác: D· AO = E· AO' (đ/đ) O· DO' = O· 'EO ODEO’ nội tiếp. Nếu DE tiếp xúc với (O) và (O’) thì ODEO’ là hình chữ nhật AO = AO’ = AB. Đảo lại : AO = AO’ = AB cũng kết luận được DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Kết luận : Điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) là : AO = AO’ = AB. Bài 57: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định AB  CD. a) Chứng minh: ACBD là hình vuông. b). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E B; E C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phân giác của A· EB và ED // MB. c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R. HD: a) AB  CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O) ACBD là hình vuông. M 1 1 C E b) A· ED = A· OD = 450 ; D· EB = D· OB = 450 // 2 2 = · · · AED = DEB ED là tia phân giác của AEB . A B A· ED = 450 ; E· MB = 450 (∆ EMB vuông cân tại E) O A· ED = E· MB (2 góc đồng vị) ED // MB. c) ∆ EMB vuông cân tại E và CE  DE ; ED // BM CE  BM CE là đường trung trực BM. D d) Vì CE là đường trung trực BM nên CM = CB = R 2 Vậy M chạy trên đường tròn (C ; R’ = R2 ) Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phía ngoài của tam giác, tạo với cạnh AC một góc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kéo dài ở D. Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuông góc với CD tại O cắt AD ở M. a. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xác định tâm I của đường tròn đó. b. Chứng minh: CA = CM. 24
  25. TuyÓn tËp 60 bµi to¸n h×nh häc líp 9 c. Đường thẳng HE cắt đường tròn tâm O ở K, đường thẳng HI cắt đường tròn tâm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp. Bài 59: BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong ∆ABC. Các đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. a. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. b. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O. c. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’. d. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC. Suy ra vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN. Bài 60: Cho đường tròn tâm (O; R) có AB là đường kính cố định còn CD là đường kính thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường tròn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P. a. Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp được. b. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuông góc với DC. c. Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp ∆CPD. 25