Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN LỚP 11 - NĂM HỌC 2020-2021 Môn: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: . Số báo danh: Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 3 sin 2x 3 6sin x 3 cos x 0 3x 2sin2 ( ) 3 cos3 x(1 3tan2 x) 2) 2 4 1 2sin x 1 3) x2 x 2 x 2 3 3sin 2x 2cos2 x Câu 2 (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y sin 2x 2cos 2x 4 Câu 3 (4 điểm): 1 1 1 1) Tính tổng S 2 2  2  A2 A3 A2020 2) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 11 đồng thời tổng của 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11. Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD, hình chiếu của điểm D lên AB, BC lần lượt là M(-2;2), N(2;-2). Biết rằng đường thẳng DB có phương trình là 3x - 5y + 1 = 0 và hoành độ điểm B lớn hơn 0. Tìm tọa độ điểm B. Câu 5 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SA và E là trung điểm của SB; P thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SP. 1) Dựng giao điểm của DB với mặt phẳng (MPE). 2) Gọi N là một điểm thuộc cạnh SB, mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. SB SD Chứng minh 5 SN SQ Câu 6 (2 điểm): Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3 a b c 3 Chứng minh rằng P = ab 3c bc 3a ca 3b 4 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên, Chữ kí của cán bộ coi thi:
2. ĐÁP ÁP ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 11- LẦN1- NĂM HỌC 2020-2021 Câu Đáp án Điểm 1) Biến đổi thành (2sin x 1)( 3 cos x 3) 0 1 1 5 giải ta được x= k2 ; x= k2 ( 3 cos x 3 0 vô nghiệm) 6 6 1 1 2)Điều kiện sinx và cos x 0 Biến đổi thành 2 sin(3x ) sinx 3 1 x k 6 k 1 x 3 2 7 Đói chiếu đk pt có nghiệm x k2 , x k2 , x k 6 6 3 3)Đk x 2 Bpt đưa về 2 ( x x 2 2) ( x 2 1) 0 1 (x 3)(x 2) x 3 0 x2 x 2 2 x 2 1 1 x 3 Từ gt ta có (y 3)sin 2x (2y 1)cos 2x 1 4y 9 6 5 9 6 5 0,5 Pt trên có nghiệm cho ta y 2 11 11 1,25 kết luận GTLN của y bằng 9 6 5 11 0,25 GTNN của y bằng 9 6 5 11 1 1 1 1 1) Ta có 2 Ak k(k 1) k 1 k 1 1 1 1 1 1 2019 Cho k 2,3, ,2020 S 1  .= 3 2 2 3 2019 2020 2020 1 2) Gọi số cần tìm là abcd (a c) (b d)11 suy ra a+c và b+d đều chia hết cho 11 (a c) (b d)11 1 Có 2+9=3+8=4+7=5+6 nên có 4.2.3.2=48 số 1 Gọi I(x;y) là tâm hình bình hành ABCD, do IM=IN nên x=y có I thuộc BD nên 3x-5y+1=0 từ đó suy ra x=y= 0,5 0,75
3. 34 có IB=ID=IM= do đó D,B thuộc đường tròn dường kính BD 2 1 1 17 có pt là (x )2 (y )2 (1). 2 2 2 4 Lại có tọa độ B,D thỏa mãn 3x-5y+1=0 (2) 0,75 Giải hệ (1),(2) vói hoành độ điểm B lớn hơn 0 ta được B(3;2) 0,5 1) Gọi O là tâm của đáy ,SO cắt MP tại I,IE cắt DB tại J là điểm càn dựng 2 2)Ta c/m bổ đề :cho tam giác SAB ,O là trung điểm của AB.Một SA SB SO đt cắt SA,SO ,SB tại M,N,P CMR 2 (1) 5 SM SP SN CM : kẻ AH//MN ,BK//MN ( H,K thuộc SO) ta có SA SH SB SK , ,OH OK SM SN SP SN (1) 1 SB SD SA SC 2SO Áp dụng bổ đề trên ta được ( ) =5 1 SN SQ SM SP SI a b c 1) (1điểm) ta có P= (a c)(b c) (b c)(b a) (c a)(c b) a a(a c) a(b c) 3a 1 ,tương tự và cộng laị ta được P (a b)(a c) 8 8 4 9 (a b c)2 ab ac bc 6 4 8 9 (a b c)2 1 3 (a b c)2 4 8 24 4 (a b c)2 (Do ab bc ca ) 3 1 Dấu bằng khi a=b=c=1