Đề thi chọn học sinh giỏi năng khiếu Lớp 7 THCS môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi năng khiếu Lớp 7 THCS môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 THCS Đề chính thức NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có: 01 trang Câu 1 (3 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau: 25 9 125 27 a) A 4 25. : : 16 16 64 8 1 2 2 0 1 1 3 b) B 0,1 . 22 : 25 7 49 23 23 23 23 c)C 3.5 5.7 7.9 101.103 Câu 2 (5 điểm) a) Tìm x, biết: x 3 8 20 y z z b) Tìm các số x, y, z biết 2vàx x y 20 3 5 2 c) Tìm số nguyên tố p để p + 1 và p + 5 cũng là các số nguyên tố. Câu 3 (4 điểm) Cho hai đa thức: P(x) x5 2x3 3x4 9x2 11x 6 Q(x) 3x4 x5 2 x3 4 10x2 9x Đặt M(x) = P(x) - Q(x). a) Chứng minh đa thức M(x) không có nghiệm. b) Chứng tỏ rằng M(x) 2016 với x Z Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI; b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi; c) IM là phân giác của góc HIC. Câu 5 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2015 x 1 Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN Hướng dẫn chấm có: 03 trang A. Một số chú ý khi chấm bài. Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. B. Đáp án và thang điểm. Câu 1 (3 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau: 25 9 125 27 a) A 4 25. : : 16 16 64 8 1 2 2 0 1 1 3 b) B 0,1 . 22 : 25 7 49 23 23 23 23 c)C 3.5 5.7 7.9 101.103 25 9 125 27 25 36 8 a) A 4 25. : : 4 25. . 0,5đ 16 16 64 8 16 125 27 25 2 343 4 2 2 0,5đ 16 15 240 1 2 2 0 1 1 3 1 b) B 0,1 . 22 : 25 1 72. . 26 : 25 0,5đ 7 49 49 1 2 3 0,5đ 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) C 2 0,5đ 3.5 5.7 7.9 101.103 3.5 5.7 7.9 101.103 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 400 4 4 0,5đ 3 5 5 7 7 9 101 103 3 103 309 Câu 2 (5 điểm) a) Tìm x, biết: x 3 8 20 y z z b) Tìm các số x, y, z biết 2vàx x y 20 3 5 2 c) Tìm số nguyên tố p để p + 1 và p + 5 cũng là các số nguyên tố. x 3 8 20 a) Ta có: x 3 8 20 1,0đ x 3 8 20 x 3 28 x 25 - Với x 3 8 20 x 3 28 0,5đ x 3 28 x 31 - Với x 3 8 20 x 3 12 (Vô lí vì x 3 0 x ) 0,5đ
3. z y z x y 1,0đ b) Ta có 2x 2 3 5 0,5 3 2,5 Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có: z z x y x y 20 0,5đ 2 2 20 0,5 3 2,5 0,5 3 2,5 1 Suy ra: x = 0,5.(-20) = -10 y = 3.(-20) = -60 0,5đ z = 2,5.(-20).2 = -100 c) - Với p = 2 thì p + 1 = 3 và p + 5 = 7 đều là các số nguyên tố. 0,5đ - Với p > 2. Vì p là số nguyên tố nên p lẻ, khi đó p + 1 chẵn p 12 0,5đ Mà p + 1 > 2 nên p + 1 là hợp số. Vậy p = 2 là giá trị cần tìm. Câu 3 (4 điểm) Cho hai đa thức: P(x) x5 2x3 3x4 9x2 11x 6 Q(x) 3x4 x5 2 x3 4 10x2 9x Đặt M(x) = P(x) - Q(x). a) Chứng minh đa thức M(x) không có nghiệm. b) Chứng tỏ rằng M(x) 2016 với x Z a) Tính được M(x) = x2 2x 2 1,0đ Ta có x2 2x 2 x2 x x 1 1 x x 1 x 1 1 0,5đ 2 2 x 1 x 1 1 x 1 1 0 x (vì x 1 0 x ) 0,5đ Vậy đa thức M(x) không có nghiệm. b) Ta có M(x) = x2 2x 2 x x 2 2 0,5đ Nếu M(x) = 2016 thì x x 2 2 2016 x x 2 2014 0,5đ Mà x Z x; x 2 cùng chẵn x x 2 4 . 0,5đ Mặt khác 2014 không chia hết cho 4, do đó M(x) 2016 với x Z . 0,5đ Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI; b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi; c) IM là phân giác của góc HIC.
4. B H D M I N A C a) Ta có B· AH A· CI ( cùng phụ D· AC ) 1,0đ Chứng minh được BAH ACI (cạnh huyền - góc nhọn) BH = AI 1,5đ b) Tam giác ACI vuông tại I, theo định lí Py-ta-go ta có: AI2 CI2 AC2 0,5đ Mà AI = BH nên BH2 CI2 AC2 (không đổi) 0,5đ c) ABC vuông cân tại A AM  BC 0,5đ AMB vuông tại M có A· BM 450 nên AMB vuông cân tại M AM = MB Lại có BAH ACI A· BH C· AI . Mà A· BM C· AM 450 nên 0,5đ M· AI M· BH Mặt khác AI = BH nên MAI MBH c.g.c 0,5đ MI MH và 0,5đ A· MI B· MH I·MH I·MD B· MH I·MD A· MI A· MD 900 Suy ra MIH vuông cân tại M H· IM 450 . 0,5đ Vì H· IC 900 H· IM M· IC 450 IM là phân giác của góc HIC. Câu 5 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2015 x 1 Ta có A x 2015 x 1 x 2015 1 x x 2015 1 x 2016 0,75đ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: x 2015 1 x 0 0,5đ x 2015 0 x 2015 1 x 0 x 1 2015 x 1 0,5đ x 2015 0 x 2015 1 x 0 x 1 Vậy MinA 2016 2015 x 1 . 0,25đ Hết