Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục đào tạo Đắc Lắc

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục đào tạo Đắc Lắc

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐẮC LẮC LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 30/03/2021 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 1: (4 điểm) 9 2xx 5 1 1) Cho biểu thức A với x 0 và x 4. Tìm tất cả x x 2 x 1 x 2 các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A nhận giá trị nguyên 2) Cho phương trình x2 (2 m 3) x m 0với m là tham số. Tìm m để phương 22 trình có hai nghiệm phân biệt xx12; , sao cho xx12 9 Bài 2: (4 điểm) 1) Cho parabol P : yx 2 và đường thẳng d :y ax b. Tìm b để đường thẳng d 13 cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho IO (với I là trung điểm 2 của AB ). 2) Giải phương trình (x22 1)( x 1)( x 3) 15(2 x 1) Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y; thỏa mãn: x22 3 xy 2 y 6 0 2) Cho x y z , , là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: ()()()x y5 y z 5 z x 5 chia hết cho 5(x y )( y z )( z x ) Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh AF .AB =AE AC
2. 2) Chứng minh DH là tia phân giác của góc EDF 3) Giả sử góc ACB= 60°. Chứng minh 23FE FB CF Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có gócBAD=60°;góc BCD =120°, tia phân giác của góc BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của góc BCD cắt BD tại F. Chứng 1 1 1 1 3 1 minh rằng: AB CB CD AD AE CF Bài 6: (2 điểm) Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn xy 21. Tìm giá trị 1 1 3xy22 nhỏ nhất của biểu thức: P x22 4 y xy BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 9 2xx 5 1 1) Cho biểu thức A với x 0 và x 4. Tìm tất cả x x 2 x 1 x 2 các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A nhận giá trị nguyên 2) Cho phương trình x2 (2 m 3) x m 0với m là tham số. Tìm m để phương 22 trình có hai nghiệm phân biệt xx12; , sao cho xx12 9 BÀI GIẢI 9 2x 5 x 1 x 2 1)Ta có A 1 .Do đó A nhận x x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 giá trị nguyên với x nguyên khi x 2 Ư 2 1; 2  x 1; 3; 0; 4 x 1; 9; 0;16  (TMĐK).
3. 2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 (4m 1)2 8 0 luôn đúng với x12 x 23 m mọi m . Theo Vi ét, ta có: . Khi đó x12 x m m 0 22 x12 x 9 m (2 m 5) 0 5 . m 2 Bài 2: (4 điểm) 1) Cho parabol P : yx 2 và đường thẳng d :y ax b. Tìm b để đường thẳng d 13 cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho IO (với I là trung điểm 2 của AB ). 2) Giải phương trình (x22 1)( x 1)( x 3) 15(2 x 1) BÀI GIẢI 1)Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là x2 x b 0(*). Đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A B, * có hai nghiệm phân 1 xxAB 1 biệt 0 b .Theo Vi ét, ta có: . 4 xAB x b 1 x I 2 Vì I là trung điểm AB, nên có .Do đó 12 b y I 2 22 13 1 1 2b IO ( b 3)( b 2) 0 b 2 (theo điều kiện). 2 2 2
4. 2)Ta có (x2 1)( x 1)( x 3) 15(2 x 1) 2 x 4 4 x 3 56 x 2 56 x 12 0 x 5 19 1 22 x2 5 19 (x 10 x 6)( x 6 x 2) 0 . x3 3 11 x4 3 11 Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y; thỏa mãn: x22 3 xy 2 y 6 0 2) Cho x y z , , là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: ()()()x y5 y z 5 z x 5 chia hết cho 5(x y )( y z )( z x ) BÀI GIẢI 2 2 2 2 2 1.Ta có x 3 xy 2 y 60 x 3 yx 2 y 60(*) .Ta có x y 24 .Để * có nghiệm nguyên dương y22 24 k ; k ( y k )( y k ) 24. Vì y , k 0 ( y k ) ( y k ). Mặt khác 24 2 y k y k y k y k y y -k ;y +k cùng chẵn, nên có các trường hợp sau: y k 28 x TH1: y 7 y k 12 x 13 y k 48 x TH2: y 5 .Vậy các cặp số nguyên dương x y; cần tìm là: y k 67 x 8;7) , (13;7) ;(7;5) , (8;5 2)Đặt a x y;;() b y z z x a b .Ta có (xy )(5 yz )( 5 zx )5( 5 xyyzzxaabb )( )( )( 2 2 ) .Vì x, y, z đôi một khác nhau, nên (x y )( y z )( z x ) 0 Vậy chia hết cho 5 . Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H.
5. 1) Chứng minh AF .AB =AE AC 2) Chứng minh DH là tia phân giác của góc EDF 3) Giả sử góc ACB= 60°. Chứng minh 23FE FB CF BÀI GIẢI 1) Chứng minh AF .AB =AE AC  Xét ABE và ACF: góc AEB=góc AFC=90° góc BAE (góc chung). Vậy ABE đồng dạng ACF (g.g) AF .AB =AE AC (đpcm) 2) Chứng minh DH là tia phân giác của góc EDF . Tứ giác BDHF có: gócBDH =gócBFH gócBDH +góc BFH =180°.Vậy tứ giác BDHF nội tiếp gócHDF =gócHBF a . Tứ giác CDHE có: gócCDH =góc CEH suy ra gócCDH+góc CEH 180°.Vậy tứ giác CDHE nội tiếp gócHDE =góc HCE b . Lại có ABE đồng dạng ACF gócHBF =gócHCE c .Từ a), b), c) gócHDF =gócHDE. Vậy DH là tia phân giác của góc EDF 3) Giả sử gócACB 60° . Chứng minh . Tứ giác AEHF có: gócAEH =gócAFH suy ra góc AEH +gócAFH 180° .Vậy tứ giác AEHF nội tiếp góc EFC=góc EAD (góc nội tiếp cùng chắn cung HE ) . Xét EFC và EAD: góc EFC=góc EAD (cmt ; gócECF=góc EDA (tứ giác CDHE nội tiếp). FE AE Vậy EFC đồng dạng EAD (g.g) ()d .Xét AEH và ADC: góc CF AD AEH =góc ADC= 90° ; góc EAH (góc chung). Vậy AEH đồng dạng ADC HE AE (g.g) ()e .Mặt khác AEH: góc AEH=90°; gócAHE=gócACB = 60° (tứ CD AD giác CDHE nội tiếp) .Vậy AEH là nửa tam giác đều cạnh AH AH =2HE f Xét BFC và HDC: gócBFC =góc HDC 90° ; gócBCF (góc chung). Vậy FB HD BFC đồng dạng HDC (g.g) ()g .Lại có ACD: CF CD
6. AD ADC 900 tan  ACD 3( h ) .Từ d), e), f), g), h) ta có: CD FE BF AH HD AD 2. 3 23FE FB CF (đpcm) CF CF CD CD CD Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có gócBAD=60°;góc BCD =120°, tia phân giác của góc BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của góc BCD cắt BD tại F. Chứng 1 1 1 1 3 1 minh rằng: AB CB CD AD AE CF BÀI GIẢI Ta có 1 1 1 S S S AB. DA .sin  BAD AB . EA .sin  BAE AE . DA .sin  DAE ABD ABE ADE 2 2 2 3AB DA 1 1 (1) . AE AB. DA AB AD Ta có 1 1 1 S S S CB. DC .sin  BCD CB . CF .sin  BCF CF . DC .sin  DCF BCD CBF DCF 2 2 2 1CB DC 1 1 (2). Từ 1), 2) suy ra CF CB. DC BC CD (đpcm). Bài 6: (2 điểm) Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn xy 21. Tìm giá trị 1 1 3xy22 nhỏ nhất của biểu thức: P x22 4 y xy BÀI GIẢI 1 1 3xy22 1 1 1 Ta có P 3 16 xy 45 xy .Ta có 2 2 2 2 x 4 y xy x 4 y 4 xy 4 xy 1 1 4 4 ; x2 4 y 2 4 xy ( x 2 y ) 2
7. 1 45 16xy 12;1 2 x y 2 2 xy 45 xy .Do đó 48xy 1 x 1 1 3xy22 83 2 P . x22 48 y xy 1 y 4