Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục đào tạo Bình Định

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục đào tạo Bình Định

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 18/3/2021 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776. Bài 1(5,0 điểm). 1.Giải phương trình x x22 1 x x 1 2 2bc 2.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4 . Chứng minh rằng phương trình: 2 a ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. Bài 2(6,0 điểm). 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2 + y)(y2 + x) = (x - y)3. 2.Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100. Chứng minh rằng có thể chọn ra từ 69 số đó 4 số sao cho trong chúng có 1 số bằng tổng của 3 số còn lại. Bài 3(4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C sao cho cung BC nhỏ hơn cung AC, qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), Kẻ BK vuông góc với CD (K thuộc CD); CH cắt BK tại E. a.Chứng minh BK +BD< EC b. Chứng minh BH .AD =AH .BD Bài 4(3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm di động trên BC (M khác B, C). Hình chiếu của M lên AB, AC lần lượt là H và K. Gọi I là giao điểm của BK và CH. Chứng minh rằng đường thẳng IM luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5(2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của x để: 4 (2)(4)x x 44 x 2 4 x 63 x x x3 30 BÀI GIẢI Bài 1(5,0 điểm). 1.Giải phương trình x x22 1 x x 1 2
2. 2bc 2.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4 . Chứng minh rằng phương trình: 2 a ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. BÀI GIẢI x 2 10 x 0 1.Điều kiện xx 2 10 . Ta có xx 2 10 vô nghiệm.Do xx22 1 2 xx 10 đó có thể biết đổi phươngtrình như 1 sau: x x21 x x 2 1 2 x x 2 1 2 xx 2 1 22 2 2 2 x x 1 2 x x 1 1 0 x x 1 1 0 22 x 1 x x1 1 0 x x 1 1 22 x 1(thỏa x 1 x 2 x 1 ĐK) 2bc 2.Ta có b2 4 ac b 2 . ac ( b c ) 2 0 với mọi b, c.Vậy phương trình a đã cho luôn có nghiệm Bài 2(6,0 điểm). 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2 + y)(y2 + x) = (x - y)3. 2.Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100. Chứng minh rằng có thể chọn ra từ 69 số đó 4 số sao cho trong chúng có 1 số bằng tổng của 3 số còn lại. BÀI GIẢI 1.PT ⇔y{2 y2 +( x 2 −3x)y+(x+3 x 2 )}=0(*) Xét y=0 thì luôn đúng với mọi x (1) . Khi y≠0 khi đó (*) tương đương với 2 +( −3x)y+(x+3 x 2 )(2). Xem đây là pt bậc hai đối với biến y. Để phương trình có nghiệm nguyên thì Δ(2)=(x 1)2 x(x−8) phải là số chính phương tức là x(x−8)=a2 (a∈N) suy ra (x−4−a)(x−4+a)=16. Đến đây tìm được x,y . KL : (x,y)=(9,−6);(9,−21);(8,−10),(−1,−1) và (k,0) (với k thuộc Z) 2.Ký hiệu và xếp thứ tự 69 số đó là:1 a1 a 2 a 69 10. Theo gt ⇒a1 32 . Xét 2 dãy: 1 a1 a 2 a 1 a 3 a 69 a 1 132; 1 a3 a 4 a 4 a 2 a 69 a 2 100.Với 2 dãy trên gồm 134 mà số hạng ở mỗi dãy khác nhau. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 số ở 2 dãy bằng nhau ⇔ i,j ∈{3;4: ;69} sao cho: aaaai 1 j 2 aaaaaaa 2 i 1 j; 1 2 j
3. Bài 3(4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C sao cho cung BC nhỏ hơn cung AC, qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), Kẻ BK vuông góc với CD (K thuộc CD); CH cắt BK tại E. a.Chứng minh BK +BD< EC b. Chứng minh BH .AD =AH .BD BÀI GIẢI a)Tam giác CDE : BH vuông góc CE; EK vuông góc CD nên Blà trực tâm của tam giác CDE nên BC vuông góc ED (1).Ta có: gócHAC =gócHCB(cùng phụ gócABC).Và gócHAC=góc BCD(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung –góc nội tiếp chắn cùng cung BC).Do đó: gócBCD=góc HCB.Suy ra BClà tia phân giác của góc CDE (2).Từ (1)và (2) suy ra: tam giác CDE cân tạiC hay BClà đường trung trực của ED nên BE =BD.Khi đó: BK+ BD =BK+ BE =EK <EC(vì tam giác EKC vuông tại K). b)Gọi I là giao điểm của BCvà ED.Ta có:BH .AD= BH (AB +BD)= BH .AB+ BH BD.Ta có BH AB= BC2 (do tam giác ABC vuông tại C và CH là đường cao).Ta có .BH .BD =BI .BC(do tam giác BHC dồng dạng tam giác BID).Suy ra: BH .AD =BH .AB +BH. BD= BC2 +BI .BC= BC. (BC +BI ) =CB.CI(3).Ta có: . .AH .BD =AC .ID(do tam giác AHC đồng dạng tam giác BID(4).Ta có AC. ID =CB.CI(do tam giác ABC đồng dạng tam giácCDI)(5).Từ (3) ,(4)và (5)suy ra: . BH .AD =AH. BD Bài 4(3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm di động trên BC (M khác B, C). Hình chiếu của M lên AB, AC lần lượt là H và K. Gọi I là giao điểm của BK và CH. Chứng minh rằng đường thẳng IM luôn đi qua một điểm cố định. BÀI GIẢI Dựng hình vuông ABCD.Gọi Elà giao điểm của HM và CD; F là giao điểm của DMvà AC.Vì tam giác BHM vuông cân tại H; tam giác MKCvuông cân tại Kvà tứ giác AHMKlà hình chữ nhật nên:BH =HM =AKvà CK=MK= AH.Chứng minh được:tam giác BDH =tam giác ABK(c –g –c), suy ra gócBHD =gócAKB.Lạicó 0 0 gócAKB +gócABK=90 , nên gócBHD + gócABK=90 hay BK vuông góc HD(1). Tương tự, chứng minh được: CH vuông góc DK(2).Từ (1) và (2) suy ra: I là trực tâm của tam giác DHK hay DI vuông góc HK(*).Ta có: ME //ACnên gócDME =gócDFC(so le trong) (3).Vì AHMK là hình chữ nhật, CEMK là hình vuông nên HA =MK= ME= CK= CE. Lại có: CD =CA nên CA -CK =CD =CE hay AK= DE.Khi đó: tam giácAHK=tam giác EMD(c–g –c) nên gócAHK =gócDME(4).Từ (3)và (4) suy ra: gócAHK =gócDFC mà gócAHK+góc AKH= nên gócDKC +góc AKH= .Do đó DM vuông góc HK( ).Từ (*)và ( ) suy ra: D, I, M
4. thẳng hàng; mà D là điểm cố định.Do đó đường thẳng IMluôn đi qua một điểm cố định Bài 5(2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của x để: 4 (2)(4)x x 44 x 2 4 x 63 x x x3 30 Điều kiện: 24 x .Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta xx 24 có 4 (x 2)(4 x ) x 2. 4 x 1; 2 xx 17 44x 2 ;4 x ;63227. x x x33 27 x .Cộng vế theo vế ta 44 được .Do đó bất phương trình đã cho luôn đúng với .Vậy nghiệm của bất phương trình là: .