Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Nga Thuy

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Nga Thuy

1. PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2020- 2021 TRƯỜNGTHCS NGA THỦY Môn thi: TOÁN 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4,5 điểm) 1.Tính hợp lí giá trị các biểu thức sau: 5 7 9 11 13 15 17 19 A = 2 3 6 10 15 21 28 36 45 2 2 1 1 0,4 0,25 2020 B = 9 11 3 5 : 7 7 1 2021 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 1 1 1 1 c a b 2. Cho a + b + c = 2021 và = . Tính C = a b b c c a 90 a b b c c a Câu 2.(3,5 điểm) Tìm x biết: a. (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n là số tự nhiên b. 2019 x 2020 x 2021 x 2 Câu 3.(4 điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy - 5 = x2 + 2y b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3). Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho 3. Câu 4.(6 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh: a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM EF 3 8 15 n 2 1 Câu 5.(2 điểm).Chứng tỏ rằng S = không là số tự nhiên với mọi n N 4 9 16 n 2 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRƯỜNGTHCS NGA THỦY NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Toán 7 Câu Ý Nội dung Điểm 5 7 9 11 13 15 17 19 A = 2 = 3 6 10 15 21 28 36 45 5 7 9 11 13 15 17 19 0,5đ 1.a 2 1 = 2 (1,5) 6 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1đ 2 2 2 2 3 3 4 8 9 9 10 2 10 5 2 2 1 1 0,4 0,25 2020 B= 9 11 3 5 : = 7 7 1 2021 1,4 1 0,875 0,7 1.b 9 11 6 1,5đ 1 (1,5) 2 2 2 1 1 1 (4,5đ) 5 9 11 3 4 5 2020 2 2 2020 : = : 0 7 7 7 7 7 7 2021 7 7 2021 5 9 11 6 8 10 Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c); 0,5đ c = 2021-(a+b) c a b 1 1 1 0,5đ 2 (1,5) => C = = 2021( ) - 3 a b b c c a a b b c c a = 2021. 1 - 3 = 1751 0,5đ 90 90 n+1 n+11 n 1 10 a a. (x +2) = (x + 2) Suy ra: x 2 1 x 2  0 Từ đó tìm 1,5đ (1,5) được x = -2; x= -1; x = -3 b. 2019 x 2020 x 2021 x 2 Ta có 2020 x 0 ; 2019 x 2021 x x 2019 2021 x 2 Do đó 1đ b (x 2019)(2021 x) 0 2 (2đ) để 2019 x 2020 x 2021 x 2 thì (3,5) 2020 x 0 1đ Suy ra x = 2020 a. 3xy - 5 = x2 + 2y 0.5 a y(3x - 2) = x2 + 5 (1) (2,0đ) Do x, y nguyên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x - 2 9(x2 + 5) chia 0.5 hết cho 3x - 2 9x2 -6x + 6x - 4 +49 chia hết cho 3x - 2 0,5 3 49 chia hết cho 3x - 2 3x - 2 49; 7; 1;1;7;49 x 1,3,17 0,5 (4đ) thay vào (1) được y 6;2;6 . Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); (17;6)
3. b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3) a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3 1đ Mà 3c3 - 15d3 chia hết cho 3 nên a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho 3 (1) 3 b Lại có a  a (mod3) 0,5 2,0 b b 3(mod3); c  c3(mod3); d  d3(mod3) suy ra a + b+ c +d  a3 + b3 +c3 + d3 (mod3) (2) Từ (1) và (2) suy ra a +b +c + d chia hết cho 3 0,5 Vẽ hình chính xác và viết đúng GT,KL A A E F 0,5 C B M A K a 1 (1,5đ) ∆ABF = ∆AEC (c-g-c) FB = EC 0,5 4 Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho AK = 2AM . Ta có (6đ) ∆ABM = ∆KCM (c-g-c) => CK//AB 0,5 =>ACK + CAB = EAF + CAB = 1800 0,5 b =>ACK = EAF 0,5 (2đ) Xét tam giác ∆EAF và ∆KCA có AE = AB = CK, ACK = EAF , AF = AC => ∆EAF = ∆KCA (c.g.c) 0,5 => EF = AK = 2AM Từ ∆EAF = ∆KCA =>CAK = AFE 1đ c =>CAK + FAK = AEF + FAK =900 (2,0đ) => AK EF 1đ 3 8 15 n 2 1 22 1 32 1 42 1 n 2 1 S = = 4 9 16 n 2 22 32 42 n 2 0,5 1 1 1 1 = (n - 1) - ( ) 22 32 42 n 2 0,5 5 => S S > n- 1 - 1 = n - 2 (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra S không là số nguyên