Đề luyện tập môn Toán Lớp 12 - Học kì I

Nội dung text: Đề luyện tập môn Toán Lớp 12 - Học kì I

1. ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1 Câu 1. Đồ thị cho ở hình vẽ sau đây, là đồ thị của hàm số nào cho ở một trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây ? A. y x3 3x 4 B. y x 3 3x 2 4 C. y x 3 3x 4 D. y x 3 3x 2 4 Câu 2. Hàm số y x3 3x2 1 nghịch biến trên tập nào sau đây ? A. ;0 ; 2; B. C. 0D.;2 . 0;2 ¡ Câu 3. Cho hàm số f x x3 3x2 9x 11 . Chọn khẳng định đúng sau đây ? A. Nhận điểm x = -1 làm điểm cực tiểu B. Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại C. Nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại D. Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu. 1 3 Câu 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3 x2 2x 1 trên 0;3 lần lượt là : 3 2 5 11 5 5 11 A. và . B. và 1 . C. và 1 . D. và 1 . 2 6 2 3 6 2 x 1 HD TXĐ D ¡ , do đó h.số xác định và liên tục trên 0;3 f x x 3x 2 0 . x 2 5 11 5 11 Trên 0;3 ta có f 0 1; f 3 ; f 1 ; f 2 GTLN của h.số là , GTNN của h.số là 1 . 2 6 3 6 1 Câu 5. Nghiệm của phương trình 22 x 1 0 là : A. x 1. B. .x 2 C. . D.x 2 x 1. 8 29 25 11 Câu 6. Phương trình log 3x 2 3 có nghiệm là : A. . B. 87. C. . D. . 3 3 3 3 Câu 7. Cho hàm số f (x) x.ex . Chọn mệnh đề đúng sau đây ? A. f x dx x ex 1 C. B. f x dx x 1 ex C. C. f x dx x 1 ex C. D f x dx x 1 ex C HD . x exdx x d ex x ex exdx x.ex ex C x 1 ex C 2 dx 1 Câu 8. Biết ln b thì a2 b là : A 1 2 B. . 10 C. . 2 D. 14. 0 3x 1 a 2 2 dx 1 1 2 HD ln 3x 1 ln5 Vậy : a 3,b 5 . Nên a b 14 3x 1 3 3 0 0 Câu 9. Cho số phức z 7 i 5 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 5 .B. Phần thực bằng và phần 7 ảo bằng . 5 C. Phần thực bằng 7 và phần ảo bằng i 5 .D. Phần thực bằng và phần7 ảo bằng . 5 HD Ta có z 7 i 5 z 7 i 5 nên có phần thực và phần ảo lần lượt là 7 và 5 . 1 Câu 10. Tìm nghịch đảo của số phức z 5 i 3 . z 1 1 5 3 1 5 3 1 5 3 A. . 5 B.i 3 . C. i i . D. . i z z 22 22 z 28 28 z 28 28 1 1 5 3 HD i z 5 i 3 28 28 k 5 5 Câu 11. Tập xác định của h.số y tan 2x là : A. xB. x k C. x k D. x k 3 6 2 12 2 12 2 Câu 12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? 1
2. A. 120 B. 156 C.752 D. 540 3 HD Có tất cả A5 4.4.3.2 156 số Chọn B Câu 13. Cho cấp số cộng un , biết: u1 3,u2 1 . Lựa chọn đáp án đúng sau đây ? A. u3 2 .B. u3 5 .C. .D. u3 4 . u3 7 x3 5x2 3x 9 Câu 14. Tính I lim ta được : A. I 1 .B. I 2 .C. D. I 3 I 0 . x 3 x4 8x2 9 x3 5x2 3x 9 (x 3)2 (x 1) (x 3)(x 1) HD lim lim lim 0 x 3 x 4 8x2 9 x 3 (x2 1)(x2 9) x 3 (x2 1)(x 3) Câu 15. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a, SA vuông góc với mặt đáy 3a3 a3 a3 và SA = 3a. Thể tích khối chóp SABC là: A. B. a 3 C. D. . 2 6 2 Câu 16. Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 2a . Khi đó thể tích khối trụ là: 3 3 3 3 A. pa . B. 2pa . C. .D.8pa .4pa uur ur ur Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a 1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai ? ur ur uur ur uur ur A. b  c . B. a 2. C. b  a . D. c 3. r r r r HD Ta có b.c 1.1 1.1 0.1 2 0 b không vuông góc với c . Câu 18. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A 1;3; 2 và song song với mặt phẳng P : 2x y 3z 4 0 có phương trình là : A. 2x y 3z 7 0 . B. 2x y 3z 7 0 . C. 2x y 3z 7 0 . D. .2x y 3z 7 0 x 1 Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 3t ; t ¡ . Véctơ nào sau đây là véctơ chỉ z 5 t     phương của d ? A. u1 0 ; 3 ;1 . B. . u2 1;C.3 ; 1 u.3 1; D.3 ; . 1 u4 1;2;5 x 2 y 2 z 1 x y 4 z 2 Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : và d : . 3 1 2 6 2 4 Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. d //d . B. .d  d C. và d cắt nhau.d D. và d chéod nhau. HD Đg.thẳng d đi quaM 2; 2; 1 và có VTCP u 3;1; 2 . Đg.thẳng d đi qua N 0;4;2 và có 3 1 2 VTCP u 6; 2;4 . Ta có: nên u , u cg.phương. Mà M 2; 2; 1 d . Vậy d //d . 6 2 4 m 1 x 2 Câu 21. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y đồng biến trên từng khoảng xác định. x m m 1 m 1 A. . 2 m 1 B. . C. 2 m 1. D. . m 2 m 2 m 1 x 2 m m 1 2 m2 m 2 HD Ta có y có TXĐ D ¡ \ m . y x m x m 2 x m 2 Hàm số đg. biến trên từng KXĐ y 0 x D m2 m 2 0 2 m 1 mx 5 Câu 22. Giá trị tham số thực m , để hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng 7 là : x m A. m 2 . B. .m 0 C. m 1. D. m 5 . m2 5 HD TXĐ: D ¡ \ m . f x 0x D nên f x nghịch biến trên D x m 2 2
3. m 5 Do đó min f x f 1 7 7 m 2 . 0;1 1 m x3 Câu 23. Gọi là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y 2x2 3x 5 . Chọn mệnh đề đúng sau ? 3 A. có hệ số góc âm B. song song với trục tung. C. song song với trục hoành. D. có hệ số góc dương. 2 Câu 24. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 3x 1 log x x . 1 1 A. S ; \ 1 . B. .S C. .; D. . S ; S ; 1  0 ; 3 3 1 1 3x 1 0 x x 1 HD PT log 3x 1 log x2 x x ( ; ) \{1} 2 3 3 x x 3x 1 2 3 x 2x 1 0 x 1 d d b Câu 25. Cho f x dx 5 ; f x dx 2 với a d b . Tính I f x dx. a b a A. I 3 . B. .I 0 C. I 7. D. I 3 b d b d d HD Ta có I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 5 2 3. a a d a b Câu 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường C : y 3x3 x2 4x , 1 C : y 2x3 x2 3x , 1 29 5 1 7 x 1 vàx 2. A. . B. . C. . D. . 12 12 2 12 HD PT h.độ g.điểm : 3x3 x2 4x 1 2x3 x2 3x 1 x3 2x2 x 2 0 x 1;1;2 . 2 2 D.tích h.phẳng S 3x3 x2 4x 1 2x3 x2 3x 1 dx x3 2x2 x 2 dx 1 1 2 2 4 3 2 3 2 x 2x x 5 x 2x x 2 dx 2x . 4 3 2 12 1 1 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 i z 3 2i z .i Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số 11 5 11 5 11 5 11 5 phức liên hợp với z . A. M ; . B. M ; . C. M ; . D. M ; . 8 8 8 8 8 8 8 8 HD Giả sử z x yi x; y ¡ . Ta có 2 2 i z 3 2i z i 2 2 i x yi 3 2i x yi i 2 2x 2yi xi y 3x 3yi 2xi 2y i. 11 x x y 2 8 11 5 11 5 x y 2 3x 5y 1 i 0 Vậy z i z i. 3x 5y 1 5 8 8 8 8 y 8 2 Câu 28. Để phương trình 3cos 2x 4sin x cosx m 0 có nghiệm trên 0 ; thì tập giá trị của m là : 4 10 10 10 A. ; B. ; 2 C. ; 2 D.  . 3 3 3 HD Đặt t sin 2x , t  0 ;1  . PT trở thành 3t2 2t 3 m . Lập BBT hàm số f t 3t2 2t 3 trên 10  0 ;1  .Suy ra m ; 2 . Chọn C. 3 3
4. Câu 29. Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (n ¥ * ,n 2 ). Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S, biết rằng xác suất chọn 1 được một tam giác vuông trong tập S là . Khi đó giá trị của n là : A. 18 . B. 20 . C. 24 . D. 16 13 3 3 HD Số phần tử của tập hợp S là: C2n . Số phần tử không gian mẫu: n  C2n Gọi A là biến cố: “ Chọn được tam giác vuông” . Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O. Mỗi tam giác vuông được tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm O và một đỉnh 1 1 trong 2n-2 đỉnh còn lại Số tam giác vuông được tạo thành: Cn .C2n 2 1 1 Cn .C2n 2 1 Theo bài ra ta có: P A 3 n 20 . C2n 13 7 Câu 30. Giới hạn nào sau đây cho kết quả bằng ? 12 x 1 2 1 x 3 8 x 3 x 7 5 x2 5 x3 3 x2 7 A. lim B. lim C. lim D. lim 2 x 1 x2 3 x2 3x x 0 x x 1 x 1 x 1 x 1 13 7 11 HD A. -2 ; B. ; C. ; D. . 12 12 24 Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng: 2a 15 3a a 15 a 15 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 3 a 3 HD Gọi M là tr.điểm BC, AM . Gọi H là hình chiếu của A lên SM, ta có AH  ABC tại H 2 (vìAH  SM , AH  BC ) Suy ra d A, SBC AH .Xét SAB vuông tại A có 1 1 1 1 4 5 a 15 SA AB tan 600 a 3 .Xét SAM vuông, ta có AH . AH 2 SA2 AM 2 3a2 3a2 3a2 5 x 1 y 2 z Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3;3; 2 và hai đường thẳng d : ; 1 1 3 1 x 1 y 1 z 2 d : . Đường thẳng d qua M cắt d ,d lần lượt A và B . Độ dài đoạn thẳng AB là : 2 1 2 4 1 2 A AB.B 2 AB 3 .C D AB 6 AB 5 HD Giả sử A 1 a;2 3a;a ; B 1 b;1 2b;2 4b ;   MA a 2;3a 1;a 2 ,MB b 4;2b 2;4b 4 a 2 k b 4 a kb 4k 2 a 0   Ta có MA kMB 3a 1 k 2b 2 3a 2kb 2k 1 b 0 AB 3 . a 2 k 4b 4 a 4kb 4k 2 1 k 2 Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 C 0;0;1 , D 1;1;1 . Mặt cầu ngoại tiếp 3 3 tứ diện ABCD có bán kính bằng bao nhiêu ? A. 2. B. . C. 3. D. . 2 4 HD Cách 1: PT của m.cầu là: S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 , với ĐK a2 b2 c2 d 0 . 4
5. Các điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 C 0;0;1 , D 1;1;1 cùng thuộc mặt cầu S nên ta có hệ: 1 a 2 2a d 1 1 2a d 1 b 2 2 2 1 1 1 3 2 S : x y z x y z 0 R 0 2a d 1 4 4 4 2 1 c 2a 2b 2c d 3 2 d 0 OA2 OB2 OC 2 3 Cách 2: OABC là tứ diện vuông tại O, nên có R 4 4 4 2  3  1 1 1 Cách 3: Gọi I là tâm m.cầu ng.tiếp tứ diện OABC . Ta có OI OG với G ; ; là trọng tâm 2 3 3 3 3 1 3 ABC . Suy ra: R OI . 2 3 2 Câu 34. Cho hàm số y x 4 2(m 2)x 2 m 2 5m 5 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm này tạo thành một tam giác đều A. m 2 3 3 B. 2 3 C. 3 D.2 3 3 2 x 0 Ta có: y ' 4x3 4(m 2)x ; y ' 0 2 x 2 m Hàm số có CĐ, CT PTf ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt m 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là:A 0,m2 5m 5 ,B 2 m;1 m ,C 2 m;1 m   AB 2 m; m2 4m 4 ; AC 2 m; m2 4m 4 Do ABC luôn cân tại A, nên   1 AB.AC YCBT thoả mãn khi µA 600 cos µA   0 m 2 3 3 2 AB AC Câu 35. Cho hàm số y x3 2x2 1 m x m có đồ thị C . Giá trị của m , để cho đồ thị C cắt 2 2 2 trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 sao cho x1 x2 x3 4 là : 1 m 1 1 1 A. m 1 B. 4 C. m 1 D. m 1 4 4 m 0 HD PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là x 1 x3 2x2 1 m x m 0 2 x x m 0 m 0 (C) và trục hoành cắt nhau tại 3 điểm phân biệt: 1 m 4 2 2 2 2 x1 x2 x3 4 x1 x2 2x1x2 1 4 1 2m 1 4 m 1 Câu 36. Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở hànhx 2 x khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là 3 (USD). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 40 A. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 45 hành khách. B. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135 (USD). C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách. D. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160 (USD). 2 x HD Số tiền thu được khi có x khách là f (x) x 3 40 5
6. 2 x 1 x x x x x 3x Ta có f '(x) 3 2. 3 x 3 3 3 3 40 40 40 40 40 20 40 40 x 3x x 120 f (40) 160 f '(x) 0 3 3 0 Vậy max f (x) f (40) 160 . 40 40 x 40 f (60) 135 x [0;60] 2 Câu 37. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2 2 x 4log2 2 x 5 63 63 A. S ;0  ;2 B. S ;0  ; C. 2; D. S ;0 32 32 x 2 x 2 2 x 0 log 2 x 1 2 x 2 HD BPT 2 2 log2 2 x 4log2 2 x 5 0 1 log 2 x 5 2 x 2 32 x 2 x 0 x 0 63 63 S ;0 ;2 63 x 2 32 x 32 32 ln 2 1 1 5 Câu 38. Biết x dx lna 2 b.ln 2 c.ln . Trong đó a,b,c ¢ . Khi đó S a b c bằng : x 0 2.e 1 2 3 A. .2 B. . 3 C. 4 . D. .5 ln 2 ln 2 1 ln 2 ln 2 1 ln 2 x2 ln2 2 HD x dx xdx dx . Tính xdx x x 0 2e 1 0 0 2e 1 0 2 0 2 ln 2 1 dt Tính dx Đặt t 2ex 1 dt 2exdx dx . Đổi cận : x ln 2 t 5, x 0 t 3 . x 0 2e 1 t 1 ln 2 5 5 1 dt 1 1 5 5 dx dt ln t 1 ln t ln 4 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln . x 3 0 2e 1 3 t t 1 3 t 1 t 3 ln 2 1 1 5 x dx ln2 2 ln 2 ln a 2,b 1,c 1. Vậy a b c 4 . x 0 2e 1 2 3 5 Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 3i z 1 9i . Số phức w có điểm biểu diễn là điểm iz nào trong các điểm A, B, C, D ở hình vẽ sau ? A. Điểm D . B. Điểm C . C. Điểm B . D. Điểm A . HD Gọi z a bi a,b ¡ z a bi Ta có z 2 3i z 1 9i a bi 2 3i a bi 1 9i a bi 2a 2bi 3ai 3b 1 9i a 3b 1 a 2 a 3b 3ai 3bi 1 9i z 2 i 3a 3b 9 b 1 5 5 Số phức w 1 2i Vậy điểm biểu diễn của số phức w là A 1; 2 . iz i 2 i Câu 40. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 ta lập các số gồm 4 chữ số khác nhau. Tổng của tất cả các số đó bằng : A. 66 660 B. 6 660 C. 3 660 D. 5 660 6
7. HD Có tất cả 4 ! = 24 số n abcd . Mỗi số n đều tồn tại duy nhất một số n1 sao cho n n1 5555 . Vậy tổng của 24 số là 12.5555 = 66 660 Chọn A Câu 41. Một tổ học sinh có 4 nam và 6 nữ. Xác suất chọn ra hai bạn nam trong tổ đi tập đá cầu là : 1 2 1 A. 1 B. C. D. 2 15 6 2 C 4 6 2 HD Ta có P 2 Chọn C C10 45 15 Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho các mặt phẳng P : x y 2z 1 0 và Q : 2x y z 1 0 . Gọi S là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời S cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và S cắt mặt phẳng Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r . Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu S thoả yêu cầu ? 3 7 A. .r 3 B. r . C. r 2 . D. .r 2 2 HD Gọi I, R lần lượt là tâm và b.kính của m.cầu S , ta có: R2 d 2 I; P 22 d 2 I; Q r 2 . 2 2 2 2 x 1 2x 1 2 x 2x 1 4x 4x 1 2 Gọi I x;0;0 Ta có 4 r 0 4 r 0 6 6 6 3x2 6x 1 4 r 2 0 x2 x 4 r 2 0 . Bài toán trờ thành tìm r 0 đề PT có duy nhất 1 6 2 3 nghiệm, tức là 0 1 2 4 r 2 0 r . 2 Câu 43. Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M 4;9;1 và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. A. .9 x 4y 19B.45 .z 2017 0 9x 4y 36z 36 0 C. 9x 4y 36z 108 0 . D. .9x 4y z 18 0 x y z HD Gọi A(a;0;0), B(0;b;0),C(0;0;c) . Suy ra PT mp : 1 (a,b,c 0) a b c 4 9 1 1 1 Mp đi qua M 4;9;1 nên 1 . V OA.OB.OC abc a b c OABC 6 6 4 9 1 Do a,b,c 0 . Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương , , ta được a b c 4 9 1 4 9 1 4 9 1 33 36 33 36 33 1 3 abc 33 36 abc 972 a b c a b c a b c 3 abc 3 abc a 12 4 9 1 1 VOABC 162 . Dấu " " xảy ra khi b 27 a b c 3 c 3 x y z Suy ra ptmp cần tìm là 1 9x 4y 36z 108 0 . 12 27 3 Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 0; 1;1 , C 2;1; 1 , D 3;1;4 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ? A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số.    HD Ta có AB 1;1;1 , AC 1;3; 1 , AD 2;3;4 .      Khi đó AB, AC 4;0; 4 suy ra AB, AC .AD 24 0 . Do đó A, B,C, D không đồng phẳng và là 4 đỉnh của một tứ diện. 7
8. Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện. Bao gồm: 4 mặt phẳng đi qua trung điểm của ba cạnh tứ diện và 3 mặt phẳng đi qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ). Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi là góc giữa hai mp(SAC) và mp(SBD) . Chọn đáp án đúng sau ? 1 3 1 1 A. cos B. tan C. cos D. tan 7 7 7 7 Câu 46. Tìm m để phương trình x6 6x4 m3 x3 15 3m2 x2 6mx 10 0 có đúng hai nghiệm phân 1 11 5 9 7 biệt thuộc ;2 . A. m 4. B. 2 m . C. 0 m . D. m 3. 2 5 2 4 5 3 HD Ta có x6 6x4 m3 x3 15 3m2 x2 6mx 10 0 x2 2 3 x2 2 mx 1 3 3 mx 1 f x2 2 f mx 1 (*) với f t t3 3t .Do f t 3t2 3 0,t ¡ h.số f t đg.biến trên ¡ . x2 1 Nên (*) x2 2 mx 1 x2 mx 1 0 m x x2 1 1 1 Xét hàm số g x trên ;2 . Ta có g x 1 g x 0 x 1 x 2 x2 Bảng biến thiên 1 5 Dựa và BBT suy ra PT đã cho có đúng 2 ng.ph.biệt thuộc ;2 2 m . 2 2 1 x2 Câu 47. Gọi D là miền phẳng giới hạn bởi các đường :y f (x) ; y g(x) .Tính thể tích T khối 1 x2 2 tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Biết T m 2 n ; m,n ¡ thì tổng giá trị 1 13 2 3 m n là ? A. B. C. D. 2 20 5 5 8
9. 1 x2 x 1 1 HD Xét PT : Thể tích cần tìm : V f 2 (x) g 2 (x)dx 2 1 x 2 x 1 1 1 1 1 2 x4 1 1 1 x4 1 1 x5 1 1 1 = V 2 dx 2 dx dx 2 dx 2 dx 1 x 4 2 4 2 20 2 10 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 1 2 V I với I 2 dx Tính I: Đặt x tan t,t ; ; dx 2 dt (1 tan t)dt 10 2 2 2 cos t 1 1 x 4 1 tan2 t 4 1 4 Ta có thể viết I lại dưới dạng I dt cos2 tdt (1 cos 2t)dt 2 2 2 1 tan t 4 4 4 1 1 1 2 2 1 2 13 I V nên m n . 4 2 4 2 10 4 5 4 5 20 Nhận xét: Đây là một BT khá khó, đòi hỏi HS phải biết đúng công thức và việc xử lí tích phân khéo. Câu 48. Chọn trong tập A 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ra 3 số x, y, z ( không nhất thiết khác nhau). Xác suất để 22 59 64 37 xy z là số chẵn bằng : A. B. C. D. 35 125 125 75 HD Để xy z chẵn thì xy và z cùng tính chẵn, lẻ 3 3 3 27 +TH1: xy và z cùng lẻ x, y, z lẻ Xác suất xảy ra TH1 : P . . 1 5 5 5 125 +TH2: xy và z cùng chẵn 3 3 16 3 3 Xác suất để xy chẵn là : 1 . ( vì xác suất để x, y lẻ là . ) Xác suất để z chẵn 5 5 25 5 5 2 là : 5 16 2 32 Xác suất để xy và z cùng chẵn là : P . 2 25 5 125 27 32 59 Do đó, xác suất để xy z chẵn là : Chọn B. 125 125 125 Câu 49. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân với AB = AC = a, B· AC 1200 , cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)? 3 3 7 1 A. cos . B. cos . C. cos .D. . cos 5 10 10 2 HD Ta có BC =a 3 . Áp dụng ĐL Pytago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I: 5 13 Suy ra AI = a , AB’ = 2a , B’I = a 2 2 Do đó AI2 + AB’2 = B’I2 Vậy tam giác AB’I vuông tại A 1 10 3 S AI.AB' a2 ,S a AB'I 2 4 ABC 4 Gọi là góc giữa hai mp (ABC) và (AB’I). Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I. Suy ra : 10 3 3 S .cos S .cos cos . AB'I ABC 4 4 10 9
10. Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA SB SC a , Cạnh SD thay đổi. a3 a3 3a3 a3 Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là : A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 HD Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC x . S Gọi O AC  BD .Vì SA SB SC nên chân đg.cao SH trùng với tâm đg.tròn ngoại tiếp tam giác ABC H BO . a a 2 2 2 2 2 2 x 4a x 4a x Ta có OB a A B 2 4 2 x a H 1 1 4a2 x2 x 4a2 x2 O S OB.AC x. ABC 2 2 2 4 D C a.a.x a2 x a2 HB R . 2 2 2 2 4SABC x 4a x 4a x 4. 4 4 2 2 2 2 2 a a 3a x SH SB BH a 2 2 4a x 4a2 x2 1 2 a 3a2 x2 x 4a2 x2 1 1 x2 3a2 x2 a3 V 2V 2. SH.S . . a x. 3a2 x2 a . S.ABCD S.ABC ABC 2 2 3 3 4a x 4 3 3 2 2 Hết ! ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 2 Câu 1. Hàm số y x3 5x2 7x 3 nghịch biến trên tập nào sau đây ? 7 7 A. ;1 ; ; B. 1; C.  5;7 D. 7;3 . 3 3 Câu 2. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của một trong các hàm số nào dưới đây ? A. y x 1 x 2 2 B. y x 1 2 x 2 C. D.y x 1 x 2 2 y x 1 2 x 2 HD Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 2;0 và tiếp xúc với tại điểm 1;0 Câu 3. Hoành độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y x3 3x 2 là : A. 1 . B. 3 . C. 1. D. .0 Câu 4. Cho hàm số y x3 3x2 4 . Chọn phương án đúng trong các phương án sau ? A. max y 4 B. min y 4 C. max y 2 D. min y 2 0; 2 0; 2  1; 1  1; 1 Câu 5. Nghiệm của phương trình log2 1 x 2 là : A. x 3. B. .x 4 C. . D.x . 2 x 5 1 Câu 6. Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình 2 x . 8 A. x 3 hoặc x 3 .B. 3 x 3.C D x 3 x 3 1 Câu 7. Cho hàm số f (x) . Chọn mệnh đề đúng sau đây ? sin2 x 10
11. A. f x dx tanx C. B. f x dx cot x C. C. f x dx cot x C . D. . f x dx tan x C 1 2dx Câu 8. Tích phân ln a . Giá trị của a bằng : A. 1. B. 3 . C. 2 . D. .4 0 3 2x Câu 9. Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. Số phức z 5 3i có phần thực là 5 , phần ảo 3 . B. Điểm M 1;2 là điểm biểu diễn số phức z 1 2i . C. Mô đun của số phức z a bi a,b ¡ là a2 b2 . D. Số phức z 2i là số thuần ảo. Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 2 3i 2 i 3 2i . Tính môđun của z . A. 10 .B. . 3 C. . D.11 . 2 3 2 i 3 2i 2 3i HD Ta có z 1 3i | z | 10 1 i k k Câu 11. Tập xác định của h.số y tan 2x là : A. x B. x k C. x D. x k 4 2 2 4 2 4 Câu 12. Trong 12 bông hoa hồng có 6 bông màu đỏ và 6 bông màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 bông hoa hồng để cắm vào một lọ hoa, sao cho trong lọ có đúng hai bông hoa hồng màu vàng ? A. 990 B. 450 C. 300 D. 400. Câu 13. Cho cấp số nhân un , biết u1 3,u2 6 . Chọn đáp án đúng sau đây ? A.u3 12 .B. .C D u 3 12 u3 18 u3 18 2 x 3 1 1 2 2 Câu 14. Tính lim ta được : A. B. C. D. x 1 x2 1 8 8 3 3 2 x 3 4 (x 3) (x 1) 1 1 HD lim lim lim lim . x 1 x2 1 x 1 (x2 1)(2 x 3) x 1 (x 1)(x 1)(2 x 3) x 1 (x 1)(2 x 3) 8 Câu 15. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = 3a. Thể a3 3 a3 a3 3 tích khối chóp SABC là : A. B. a3 C. D. 4 6 2 Câu 16. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a, chiều cao là 4a. Thể tích của khối nón là : A. 12 a3 .B. . 36 a3 C. . 15 a3 D 12 a3   Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a 2;2; 4 , b 1;1; 2 . Mệnh đề nào sau đây sai ?           A. a , b 0 .B. a , b 0 .C. .D.a 2 a . a 2.b HD Nhận xét : hai đáp án A, B phủ định nhau, mà a 2b nên a,b 0 . Vậy đáp án sai là a,b 0 . Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3; 1; 2 , B 1; 5; 4 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn AB? A. x 2y z 7 0. B. C.x y z 8 0. D. x y z 2 0. 2x y z 3 0. HD Mphẳng trung trực P đi qua tr.điểm I 2;3;3 của đoạn thẳng AB và vg.góc với AB nên P  nhận véctơ AB 2;4;2 làm véctơ pháp tuyến. Vậy PT tổng quát của P là: 2 x 2 4 y 3 2 z 3 0 2x 4y 2z 14 0 hay x 2y z 7 0 . Câu 19. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A 1;2; 3 và B 3; 1;1 là : x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 x 3 y 1 z 1 x 1 y 2 z 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 1 1 1 2 3 2 3 4  x 1 y 2 z 3 HD Ta có AB 2; 3;4 nên PT chính tắc của đường thẳng AB là . 2 3 4 11
12. x 1 t x 1 y 2 z 3 Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và d2 : y 2 2t . Kết luận 2 3 4 z 3 2t gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên ? A. Cắt nhau nhưng không vuông góc. B. Không vuông góc và không cắt nhau. C. Vừa cắt nhau vừa vuông góc. D. Vuông góc nhưng không cắt nhau. HD Chọn M 1; 2;3 , N 0; 0;5 là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d1 và d2 Ta có ud1 2;3;4 và ud2 1;2; 2 nên ud1 .ud2 0 nên d1  d2 . Mặt khác, ta có  ud ;ud MN 0 nên d cắt d . Vậy hai đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt nhau. 1 1 1 2 1 Câu 21. Cho hàm số y x3 mx2 3m 2 x 1 . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ¡ . 3 m 1 m 1 A. . B. . C. 2 m 1. D. . 2 m 1 m 2 m 2 HD TXĐ: D = ¡ , y¢= - x2 + 2mx + 3m + 2 . ïì a = - 1< 0 Û ï Hàm số ng.biến trên ¡ y 0 , x ¡ í 2 Û - 2 £ m £ - 1 . îï D¢= m + 3m + 2 £ 0 mx 1 1 Câu 22. Giá trị tham số thực m , để hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng . x m 3 A. m 3. B. .m 2 C. m 1. D. m 3 . m2 1 HD TXĐ: D ¡ \ m . f x 0x D nên f x đg.biến trên D x m 2 1 1 1 Do đó min f x f 0 m 3 0 ;1 3 m 3 Câu 23. Đồ thị hàm số y x4 2x2 1 có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành ? A. 1. B. .2 C. . 3 D. . 0 4 2 3 x 0 y 1 HD y x 2x 1 y 4x 4x, y 0 có 1 tiếp tuyến // với trục hoành. x 1 y 0 1 2 1 Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 33x 2 là : A. 0 ;1 . B. 1;2 . C. . D. 2 ;3 . 27x 3 3 3x 3x 2 1 2 3 1 2 3x 2 3x 3x 2 1 HD Ta có 3 x 3x 3 6.3 9 0 3 3 0 x . 27 3 9 3 3 3 1 4 Câu 25. Cho f 4x dx 4 . Tính I f x dx . A. I 8 . B. . C.I 1 . D. I 4 I 16 . 0 0 HD Đặt t 4x dt 4dx . Đổi cận x 0 t 0; x 1 t 4 . 1 4 1 4 Khi đó f 4x dx 4 f t dt 4 f t dt 16 . 0 0 4 0 Câu 26. Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi hai đồ thị y 3x , y 4 x và trục tung. 9 2 9 3 7 3 7 2 A. S . B. C.S D. . S . S . 2 ln 3 2 ln 3 2 ln 3 2 ln 3 HD PT h.độ g.điểm 3x x 4 x 1 , do VT tổng hai hàm đg.biến là hàm đg.biến, VP là hằng số 1 1 x 2 x 3 x 3 7 1 7 2 nên x 1 là nghiệm d.nhất. S 3 x 4dx 4x . ln 3 2 ln 3 2 ln 3 2 ln 3 0 0 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2z 1 i là hình tròn có diện tích S là : 12
13. A. .S 9 B. . S C.12 S 16 . D. .S 25 w 1 i w 1 i HDw 2z 1 i z ; z 3 4i 2 3 4i 2 2 2 w 1 i 6 8i 4 w 7 9i 4 1 . Giả sử w x yi x, y ¡ , khi đó 1 x 7 2 y 9 2 16 . Suy ra tập hợp điểm b.diễn số phức w là h.tròn tâm I 7; 9 , b.kính r 4. nên diện tích là S .42 16 . Câu 28. Để phương trình sin4 x 2sin2 x m 2 , có nghiệm thì tập giá trị của m là : A. 0 m 1 B. 1 m 2 C. 1 m 1 D.1 m 3 HD Đặt t sin2 x , t  0 ;1  , lập BBT Chọn B. Câu 29. Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm 4 người để làm 3 nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ . 16 8 292 292 A. B. C. D. 55 55 1080 34650 4 4 HD Không gian mẫu C12.C8 .1 34650. Chỉ có 3 nữ và chia mỗi nhóm có đúng 1 nữ và 3 nam. 1 3 1 3 Nhóm 1 có C3.C9 252 cách. Lúc đó còn lại 2 nữ, 6 nam,nhóm thứ 2 có C2.C6 40 cách chọn. Cuối cùng còn 4 người là một nhóm: có 1 cách. Theo quy tắc nhân thì có: 252.40.1 10080 cách. 10080 16 Vậy xác suất cần tìm là P 34650 55 Câu 30. Giới hạn nào sau đây cho kết quả bằng 1 ? x3 3x2 4 1 x2 x3 3x2 5x 3 3x2 4x 1 A. lim B. lim C. lim D. lim x 2 x3 x2 8x 12 x 1 3x3 2x2 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 3 2 HD A. ; B. ; C. 1; D. 2 5 5 Câu 31. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC ' và CD ' là : a 3 a 2 A. .a 2 B. . C. .2 a D. . 3 3 A' D' O B' C' H A D B C HD Gọi O A'C ' B ' D ' và từ B ' kẽ B ' H  BO BB '.B 'O a 3 Ta có CD ' //(BA'C ') nên d(BC ';CD ') d(D ';(BA'C ')) d(B ';(BA'C ')) B ' H BO 3 Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 1 , B 2; 1;1 và mặt phẳng P : 2x y z 3 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa trong P sao cho mọi điểm thuộc cách đều hai điểm A, B . x 1 2t x 2t x 2 x t A. y t , t R. . B. y 1 t , t R . C. y 1 t , t R . D. y 1 3t , t R . z 3t z 2 3t z 3 2t z 2 2t   HD Cách 1. chứa trong P nP  u Loại C, D.  P mọi điểm thuộc đều P Loại A, vì M 1;0;0 thuộc nhưng không thuộc P . Chú ý + Do phương án nhiễu chưa hợp lý nên không cần sử dụng đến hai điểm A,B. + Phương pháp tổng quát Gọi Q là mặt phẳng trung trực của AB P  Q . 13
14. Cách 2.Gọi Q là mặt phẳng tr.trực của AB Q qua trung điểm I 1;0;0 của đoạn AB và nhận  AB 2; 2;2 làm VTPT .Q : x y z 1 0      Khi đó P  Q u n ,n (2; 1; 3) ;n 2;1;1 , n 1; 1;1 P Q P Q x 2t x y z 1 0 Tọa độ điểm A(0;1;2) thỏa mãn A Vậy : y 1 t . 2x y z 3 0 z 2 3t Câu 33. Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm thuộc mp Oxy và đi qua 3 điểm M 1;2; 4 , N 1; 3;1 , P 2;2;3 ? A. x2 y2 z2 4x 2y 21 0.B. x 2 2 . y 1 2 z2 16 C. .xD.2 y2 z2 4x 2y 6z 21 0 . x2 y2 z2 4x 2y 21 0 HD Giả sử PT mặt cầu cần tìm có dạng S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 tâm I a;b;c . Vì I Oxy c 0 (2) 12 22 4 2 2a.1 2b.2 2c. 4 d 0 2 2 2 Vì M , N, P S nên 1 3 1 2a.1 2b. 3 2c.1 d 0 (2) 22 22 32 2a.2 2b.2 2c.3 d 0 Từ (1) và (2) a 2 ; b 1 ; c 0 ; d 21 . Vậy PT mặt cầu : x2 y2 z2 4x 2y 21 0 . Câu 34. Tìm các giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số y x3 3x2 mx có2 điểm cực đại và điểm cực 9  9 tiểu cách đều đường thẳng d : y x 1 . A. m 0. B. m 0 ;  C.m 2. D. m . 2 2 HD PP trắc nghiệm y 3x2 6x m Hàm số có 2 cực trị m 3 , gọi x , x là hai nghiệm của PT 1 2 3 2 2 x 1 x i,m A 1000 y 0 , ta có: x1 x2 2 Bấm máy tính: x 3x mx 2 3x 6x m  3 3 994 2006 1000 6 2000 6 2m 6 m 6 i i x 3 3 3 3 3 3 2m 6 m 6 2m 6 m 6 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A x1; x1 ; B x2 ; x2 3 3 3 3 Gọi I là tr.điểm của AB I 1; m ; 2m 6 m 6 Đg.thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y x 3 3 2m 6 9 / /d or  d 1 m YCBT 3 2 Kết hợp với điều kiện thì m 0 I d m 1 1 m 0 3 2 3 2 3 Câu 35. Cho hàm số y x 3mx m có đồ thị Cm và đường thẳng d: y m x 2m , với m là tham số . Biết rằng m1,m2 m1 m2 là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt có 4 4 4 hoành độ x1 , x 2 , x 3 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x3 83 . Chọn mệnh đề đúng sau đây ? 2 2 A. m1 m2 0 . B. .m 1 C.2m .2 4D. . m2 2m1 4 m1 m2 0 HD PT y x3 3mx2 m3 m2 x 2m3 0 x m ;m ; 3m , với ĐK : m 0 ycbt x 4 x 4 x 4 83 m4 m4 81m4 83 m 1 m m 0 . 1 2 3 1 2 14
15. Câu 36. Một xe buýt của hãng xe A có sức chứa tối đa là 50 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở x hành 2 x khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là 20 3 (nghìn đồng). Khẳng định đúng là : 40 A. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất bằng 3.200.000 (đồng). B. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất khi có 45 hành khách. C. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất bằng 2.700.000 (đồng). D. Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất khi có 50 hành khách. HD Số tiền của chuyến xe buýt chở x hành khách là 2 x 3x2 x3 f x 20x. 3 20 9x (0 x 50 ) 40 20 1600 3x 3x2 x 40 f x 20 9 f x 0 10 1600 x 120 x 0 40 50 y' + 0 - 3200000 y KL: Một chuyến xe buyt thu được lợi nhuận cao nhất bằng: 3.200.000 (đồng) Câu 37. Bất phương trình 2.5x 2 5.2x 2 133. 10x có tập nghiệm là S a;b thì b 2a bằng : A. 6. B. 10. C. 12. D. 16. HD Ta có: 2.5x 2 5.2x 2 133. 10x 50.5x 20.2x 133 10x chia hai vế BPT cho 5x ta được : x x 20.2x 133 10x 2 2 50 50 20. 133. (1) x x 5 5 5 5 x 2 2 2 25 Đặt t ,(t 0) PT (1) trở thành: 20t 133t 50 0 t 5 5 4 x 2 x 4 2 2 25 2 2 2 Khi đó 4 x 2 nên a 4,b 2 . Vậy b 2a 10 . 5 5 4 5 5 5 1 2017 b b Câu 38. Biết tích phân x.ln 2x 1 dx a ln 3 . Với phân số tối giản. Chọn mệnh đề đúng sau đây ? 0 c c A. B.b c 6057. b c 6059. C. D.b c 6058. b c 6056. 2 1 1 du dx 2017 u ln 2x 1 2x 1 HD Ta có I x.ln 2x 1 dx 2017 x.ln 2x 1 dx . Đặt dv xdx x2 1 0 0 v 2 8 1 1 1 x2 1 1 x2 1 2 3 x2 x 3 Do đó x.ln 2x 1 dx ln 2x 1 dx ln 3 ln 3 2 8 2 8 2x 1 8 4 8 0 0 0 0 1 2017 3 6051 I x.ln 2x 1 dx 2017 ln 3 ln 3 . Khi đó b c 6059. 0 8 8 Câu 39. Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ 0xy sao cho 2z z 3 , và 3 3 số phức z có phần ảo không âm. Diện tích hình (H) là : A. 3 . B. . C. . D. .6 4 2 HD Gọi z x yi, x, y ¡ . x2 y2 Ta có 2 x yi x yi 3 x2 9y2 3 x2 9y2 9 1 . 9 1 15
16. x2 y2 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip 1 .Ta có a 3, b 1 , nên 9 1 1 1 3 diện tích hình H cần tìm bằng diện tích Elip S .a.b . Vậy S . .a.b . 2 elip 2 2 Câu 40. Với các chữ số 2, 3, 4,5,6 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau ? A. 120 B. 96 C. 48 D. 72 HD Số các số có 5 ch.số khác nhau lập từ 5 chữ số 2, 3, 4,5,6 là : 5 ! = 120 số , trong đó có 4!.2! 48 số có 5 chữ số khác nhau mà hai ch.số 2 và 3 đứng cạnh nhau. Suy ra có : 5! 48 72 số mà 2 ch.số 2, 3 không đứng cạnh nhau Câu 41. Một tổ học sinh có 4 nam và 6 nữ. Xác suất chọn ra hai bạn cùng giới trong tổ đi tập đá cầu là : 1 2 7 A. 1 B. C. D. 2 15 15 2 2 C 4 C6 6 15 7 HD Ta có P 2 Chọn D. C10 45 15 Câu 42. Trong không gian Oxyz, xét các điểm A 0;0;1 , B m;0;0 , C 0;n;0 , D 1;1;1 với m 0;n 0 và m n 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mp ABC và đi qua d . 2 3 3 Tính bán kính R của mặt cầu đó ? A. R 1. B. R . C. R . D. .R 2 2 2 HD Gọi I 1;1;0 là hình chiếu vuông góc của D lên mp(Oxy) Ta có: PT theo đoạn chắn của mp x y (ABC) là: z 1 . Suy ra PT mp(ABC) là nx my mnz mn 0 . Mặt khác m n 1 mn 1 mn d I; ABC 1 (vì m n 1 ) và ID 1 d( I; ABC . Nên tồn tại 2 2 2 2 2 m n m n 1 mn m.cầu tâm I ( là h.chiếu vg.góc của D lên mpOxy ) tiếp xúc với (ABC) và đi qua D . Khi đó R 1 . Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho điểm E(8;1;1) . Phương trình mặt phẳng ( ) qua E và cắt nửa trục dương Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC là : A. x y 2z 11 0 . B. 8x y z 66=0 . C. 2x y z 18 0 . D. x 2y 2z 12 0. 11 11 11 11 121 HD Cách 1 : Với đáp án A: A(11;0;0);B(0;11;0);C(0;0; ) G( ; ; ) OG2 2 3 3 6 4 33 11 15609 Với đáp án B: A( ;0;0);B(0;66;0);C(0;0;66) G( ;22;22) OG2 4 4 16 18 18 Với đáp án C: A(9;0;0);B(0;18;0);C(0;0;18) G(3; ; ) OG2 81 3 3 Với đáp án D: A( 12;0;0);B(0;6;0);C(0;0;6) G( 4;2;2) OG2 24 8 1 1 Cách 2 : Gọi A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c với a,b,c 0 . Ta có : 1 . Cần tìm GTNN của a b c a2 b2 c2 . Ta có a2 b2 c2 4 1 1 a.2 b.1 c.1 2 6. a2 b2 c2 2a b c 2 2 2 2 8 1 1 2 Mặt khác a b c 4 1 1 a.2 b.1 c.1 2a b c 4 1 1 36 a b c a2 Suy ra a2 b2 c2 63 . Dấu '' '' xảy ra khi b2 c2 a 2b 2c. Vậy a2 b2 c2 đạt GTNN 4 x y z bằng 216 khi a 12,b c 6 . Vậy PT mp( ) là : 1 hay x 2y 2z 12 0 . 12 6 6 16
17. Câu 44. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P đi qua điểm A 1;2;5 và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại M , N, P khác gốc tọa độ thỏa mãn thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất. Mặt phẳng P đi qua điểm nào dưới đây ? A. B.T C. 3 ;6;6 . T 3; 6;6 . T 1;6;5 . D. T 1; 6;5 . x y z HD Giả sử M m;0;0 , N 0;n;0 , P 0;0; p , m, n, p 0 P : 1. m n p 1 2 5 1 1 1 1 Điểm A 1;2;5 P 1. Ta có V OM.S OM. ON.OP mnp. m n p OMNP 3 ONP 3 2 6 1 2 5 1 2 5 10 1 1 Áp dụng BĐT : 1 33 . . mnp 270 V mnp 45. m n p m n p mnp 27 OMNP 6 m 3 1 2 5 1 x y z Dấu " " xảy ra n 6 . Khi đó P : 1 P qua T 1;6;5 . m n p 3 3 6 15 p 15 Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi là góc giữa hai mp(SAC) và mp(SBD). Ta có tan bằng : A. 4 3 B. 4 3 C. 2 3 D. 2 3 8 4a 2b c 0 Câu 46. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn . Số giao điểm của đồ thị hàm số 8 4a 2b c 0 y x3 ax2 bx c và trục Ox là : A 0B C 1 D. 2 3 . HD Ta có hàm số y x3 ax2 bx c xác định và liên tục trên ¡ . Mà lim y nên tồn tại số M 2 sao cho y M 0 ; lim y nên tồn tại số m 2 sao cho x x y m 0 ; y 2 8 4a 2b c 0 và y 2 8 4a 2b c 0 . Do y m .y 2 0 suy ra PTy 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng m; 2 . y 2 .y 2 0 suy ra PT y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2;2 . y 2 .y M 0 suy ra PT y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2;M . Vậy đồ thị hàm số y x3 ax2 bx c và trục Ox có 3 điểm chung. Câu 47. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên ¡ và đồ thị của hàm số f x trên đoạn  2;6 như hình vẽ sau. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. max f x f 2 . B. max f x f 2 . C. max f x f 6 . D. max f x f 1 .  2;6  2;6  2;6  2;6 HD Từ đồ thị hàm số ta lập được BBT như sau: x 2 1 2 6 y 1 0 0 y + Do vậy hàm số đạt GTLN chỉ có thể tại x 1 hoặc x 6 . 17
18. + Gọi S1 là diện tích h.phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục Ox 1 x 2 , S là2 diện tích h.phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục Ox 2 x 6 . Ta có S1 S2 2 6 f x dx f x dx f 2 f 1 f 6 f 2 f 1 f 6 . KL: max f x f 6 . 1 2 x  2;6 Câu 48. Gọi M là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ ( các chữ số liền trước và liền sau của 5 7 11 13 chữ số 0 là các số lẻ) A. .B. .C. . D. . 54 54 54 54 8 HD Xét các số có 9 chữ số khác nhau: Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên. Có A9 cách chọn 8 chữ 8 số tiếp theo . Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9.A9 = 3265920 4 Xét các số thỏa mãn đề bài: Có C5 cách chọn 4 chữ số lẻ. Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách xếp. 2 Tiếp theo ta cóA4 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0. Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại. 302400 5 Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( A) C 4 .7.A 2 .6! 302400. Đáp số :P(A) . 5 4 3265920 54 Câu 49. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a; BC 4a, SBC  ABC . Biết SB 6a; S· BC 60. Tính khoảng cách từ B đến SAC . 17a 57 16a 57 6a 57 19a 57 A. . B. . C. . D. . 57 57 19 57 HD S L K C G A H B Gọi H là h.chiếu của S lên BC . Gọi K;G lần lượt là hình chiếu của B; H lên CA . Gọi L là d B, SAC BC BC h.chiếu của H lên SG . Lúc đó SH  ABC . d B, SAC HL . Xét d H, SAC HC HC SH.HG SH.HG SHG vuông tại H , ta có: HL . Xét ABC vuông tại B , ta có: SG SH 2 HG2 BC.BA 4a.3a 12a BK . Xét SHB vuông tại H , ta có BC 2 BA2 16a2 9a2 5 BH 1 SH 3 cos60 BH 6a. 3a và sin 60 SH 6a 3 3a . SB 2 SB 2 HG CH 12a a 3 Khi đó CH BC BH a ; HG a . BK CB 5 4a 5 3a 3 3a. BC SH.HG 4a 6 57 Vậy d B, SAC . . 5 a . HC 2 2 a 9 19 SH HG 27a2 a2 25 18
19. Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt thuộc các đoạn AB AD thẳng AB và AD (M và N không trùng với A ) sao cho 2 4. Kí hiệu V , V lần lượt là thể tích AM AN 1 V của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số 1 . V 2 3 17 1 A. . B. . C. . D. . 3 4 14 6 HD AB AD Đặt xta có , y Từ giả, thiếtx , y 1. x 2y 4 1 x 2. AM AN V2 VA.SMN VA.SMN VA.SMN 1 AS.AM.AN 1 Đặt V2 VS.AMN V V1 V2 , ta có V VS.ABCD 2VS.ABD 2VA.SBD 2 AS.AB.AM 2xy V V 1 V 1 1 1 3 V 3 1 1 1 1 1 . Dấu bằng xảy ra x 2 max 1 . V 2xy V 2xy x2 4x x 2 2 4 4 V 4 Hết ! 19