Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 15 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 15 - Năm học 2017-2018

1. Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin x 2 3 m sin x 2 có nghiệm. A. 2 .B. .C. .D. . 3 1 0 Lời giải Chọn A Ta có sin x 2 3 m sin x 2 . 2 u sin x 2 u sin x 2 Đặt 1 u 3 . Khi đó u2 v3 m 2 (*). 3 3 v m sin x v m sin x Ta lại có u v 2 v 2 u . 3 (*) trở thành u2 u 2 m 2 1 m u3 5u2 12u 10 f u , 1 u 3 . 7 13 Trên ¡ , ta có f ¢ u 3u2 14u 12 , f u 0 u 1; 3 3 Để phương trình đã cho có nghiệm thì 1 có nghiệm 1 u 3 hay 7 13 f m f 3 m 0;1 ) Vì m nguyên ). 3 Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa đề bài. Câu 2: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Số giá trị nguyên của tham số m để phương 3 trình sin 2x 2 sin x 2 m có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng 0; ? 4 4 A. .3B. 2 .C. .D. . 0 1 Lời giải Chọn B 3 Ta có x 0; x 0 sin x 1 0 2 sin x 2 . 4 4 4 4 4 Mặt khác 2 sin x sin x cos x . 4 2 2 2 2 Đặt sin x cos x t với t 0; 2 sin x cos x 2sin x.cos x t sin 2x t 1 . Phương trình đã cho trở thành t 2 1 t 2 m t 2 t 3 m * . 2 Xét f t t t 3 với t 0; 2 . 1 Ta có f t 2t 1 . Do đó f t 0 t (loại). 2 Bảng biến thiên
2. Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình * có nhiều nhất một nghiệm t . Do đó để phương 3 t 2 trình đã cho có đúng một nghiệm thực x thuộc khoảng 0; thì . 4 0 t 1 Với t 2 thay vào phương trình * : 2 2 3 m m 2 1 ¢ . Với 0 t 1 ta có bảng biến thiên Vậy 3 m 1 có 2 giá trị nguyên của m là 2 và 1 . 1 m Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y x 5 đồng biến trên 5; ? x 2 A. .1B.0 .C. .D. . 8 9 11 Câu 4: Cho hàm số y x3 3x2 có đồ thị C và điểm M m; 4 . Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  10;10 sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C . A. .2B.0 .C. .D. . 15 17 12 Câu 5: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của đểm 1 m hàm số y x 5 đồng biến trên 5; ? x 2 A. .1B0. 8 .C. .D. . 9 11 Lời giải Chọn B m 1 x2 4x m 3 Tập xác định: D ¡ \ 2 . Đạo hàm: y 1 . x 2 2 x 2 2 Xét hàm số f x x2 4x 3 trên 5; . Đạo hàm: f x 2x 4 . Xét f x 0 x 2 y 1 . Ta có: f 5 8 . Bảng biến thiên: x 2 5 y 0 0 y 8 1 Do x 2 2 0 với mọi x 5; nên y 0 , x 5; khi và chỉ khi f x m , x 5; . Dựa vào bảng biến thiên ta có: m 8 m 8 . Mà m nguyên âm nên ta có: m 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 .
3. 1 m Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số y x 5 đồng biến trên 5; . x 2 3 2 Câu 6: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y x 3 xcó đồ thị Cvà điểm M m; 4 . Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  10;10 sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C . A. .2B.0 .C. 15 17 .D. . 12 Lời giải Chọn C Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x2 6x . Ta nhận thấy các đường thẳng x a với a ¡ không phải là tiếp tuyến của C và một đường thẳng không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba tại hai điểm phân biệt. Giả sử phương trình đường thẳng đi qua M m; 4 là d : y k x m 4 với k ¡ là hệ số góc của đường thẳng. Qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C khi và chỉ khi hệ phương trình 2 k 3x 6x có ba nghiệm phân biệt 3 2 k x m 4 x 3x 3x2 6x x m x3 3x2 có ba nghiệm phân biệt 2x3 3 m 1 x2 6mx 0 có ba nghiệm phân biệt 2 x 2x 3 m 1 x 6m 0 có ba nghiệm phân biệt 2x2 3 m 1 x 6m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 1 2 2 m 9 m 1 48m 0 9m 30m 9 0 3 . m 3 m 0 m 0 m 0 m  10;10 Với điều kiện trên và với ta có m 10; 9; ; 1;4;5; ;10 . m ¢ Vậy có 17 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 7: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên m 3 để phương trình 8sin3 x m 162sin x 27m có nghiệm thỏa mãn 0 x ? 3 A. 2 .B. .C.Vô số. D. . 3 1 Lời giải Chọn A Đặt t 2sin x , với 0 x thì t 0; 3 . 3 3 Phương trình đã cho trở thành t3 m 81t 27m . Đặt u t3 m t3 u m .
4. u3 27 3t m 3 3 3 3 Khi đó ta được 3 u 3t 27 3t u u 27u 3t 27.3t * 3t 27 u m Xét hàm số f v v3 27v liên tục trên ¡ có nên hàm số đồng biến. Do đó * u 3t t3 3t m 1 Xét hàm số f t t3 3t trên khoảng 0; 3 . có f t 3t 2 3 ; f t 0 t 1 (vì t 0 ). Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 có nghiệm khi. Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.