Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 14 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 14 - Năm học 2017-2018

1. Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Số nghiệm thuộc đoạn 0;2017 của 1 cos x 1 cos x phương trình 4cos x là sin x A. B.12 8C3. 1285. 1284. D. 1287. Lời giải Chọn C Điều kiện sinx  0; sin x.cos x 0 1 cos x 1 cos x 4cos x 1 cos x 1 cos x 4sin xcos x sin x 2 2 1 cos x 1 cos x 16sin2 xcos2 x 1 sin x 8sin2 x 1 sin2 x 1 TH1: sin x 0 sin x 1 1 sin x 1 sin x 0 2 1 1 sin x 8sin3 x 8sin2 x 1 0 sin x 2 1 5 sin x 1 5 4 sin x 4 x k2 1 6 *sin x vì sin x.cos x 0 nên x k2 . 2 5 6 x k2 6 1 5 x arcsin k2 1 5 4 *sin x vì sin x.cos x 0 nên 4 1 5 x arcsin k2 4 1 5 x arcsin k2 . 4 TH2: sin x 0 sin x 1 1 sin x 1 sin x 0 2 1 1 sin x 8sin3 x 8sin2 x 1 0 sin x 2 1 5 sin x 1 5 4 sin x 4 x k2 1 6 7 *sin x vì sin x.cos x 0 nên x k2 . 2 7 6 x k2 6
2. 1 5 x arcsin k2 1 5 4 *sin x 4 1 5 x arcsin k2 4 1 5 vì sin x.cos x 0 nên x arcsin k2 . 4 Xét nghiệm thuộc đoạn :0;2017 *Với x k2 0 k2 2017 0 k 320 có 321 nghiệm. 6 6 1 5 3 3 *Với x arcsin k2 k2 0 k2 2017 0 k 320 có 321 4 10 10 nghiệm. 7 7 *Với x k2 0 k2 2017 0 k 320 có 321 nghiệm. 6 6 1 5 13 13 *Với x arcsin k2 k2 0 k2 2017 0 k 320 có 4 10 10 321 nghiệm. *Vậy có tổng cộng 321.4 1284 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin2018 x cos2018 x trên ¡ . Khi đó: 1 1 1 A. ,.M 2 m B. , M 1 .C.m , M .D. 1 m , 0 . M 1 m 21008 21009 21008 Lời giải Chọn D 1009 1009 Ta có: y sin2018 x cos2018 x sin2 x 1 sin2 x . Đặt t sin2 x , 0 t 1 thì hàm số đã cho trở thành y t1009 1 t 1009 . Xét hàm số f t t1009 1 t 1009 trên đoạn 0;1 . Ta có: f t 1009.t1008 1009. 1 t 1008 f t 0 1009t1008 1009 1 t 1008 0 1008 1 t 1 t 1 1 1 t t t 2 1 1 Mà f 1 f 0 1 , f 1008 . 2 2 1 1 Suy ra max f t f 0 f 1 1 , min f t f 1008 0;1 0;1 2 2 1 Vậy M 1 , m . 21008
3. Câu 3: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Tìm m để phương trình 2 2sin x 2m 1 sin x 2m 1 0 có nghiệm thuộc khoảng ;0 . 2 1 1 A. . B.1 . C.m .D . 0 0 m 1 1 m 2 m . 2 2 Lời giải Chọn.D. Đặt t sin x , t 1;0 , phương trình trở thành: 2t 2 (2m 1)t 2m 1 0 Theo yêu cầu bài toán ta tìm m để phương trình 2t 2 (2m 1)t 2m 1 0 có nghiệm t 1;0 2t 2 t 1 2t 1 2t 2 (2m 1)t 2m 1 0 2t 2 t 1 m 2t 2 0 m 2t 2 2 2t 1 1 1 Đặt f t , t 1;0 , f t là hàm đồng biến nên f 1 m f 0 m . 2 2 2 Câu 4: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho các số thực dương , x , y thỏaz 2 2 2x x 1 yz mãn x y xyz z . Giá trị lớn nhất của biểu thức P thuộc khoảng 3 2 x2 1 y z x 1 nào trong các khoảng sau: A. . B.1, 3.;C.1, 4.D . 0,8;0,9 1,7;1,8 1,4;1,5 . Lời giải Chọn D 1 1 Từ giả thiết x y xyz z x. y. xy 1 . z z A B 1 C Đặt x tan , y tan và tan thay vào hệ thức trên ta được 2 2 z 2 A B B C C A tan tan tan tan tan tan 1, suy ra A , B , C là ba góc của tam giác. 2 2 2 2 2 2 2x A A x2 A Từ đó ta có 2sin cos2 và sin2 . 3 2 x2 1 2 2 x 1 2 2 C B B C B C B C 2 tan tan cos cos tan tan 2 tan tan 1 yz 2 2 2 2 2 2 2 2 y z B C B C B C tan tan 1 cos cos tan tan 1 2 2 2 2 2 2 B C A 1 sin sin Bsin C cos cos B C cos B C 2 2 2 B C B C cos cos 2 2 A B C A A A cos cos2 1 cos2 cos 1 1 cos2 A 2 2 2 2 2 2cos . B C cos 1 2 2
4. A 2 A 2 A A A A A Vậy P 2sin cos 2sin cos sin A sin cos 2 sin A.sin 2 . 2 2 2 2 2 2 2 4 B C A x 1 2 Dấu bằng đạt được khi sin A 1 y 2 1 . A B C z 2 1 sin 1 4 2 4 Câu 5: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Số các giá trị nguyên của m để phương trình cos2 x cos x m m có nghiệm là: A. .4B. .C. .D. . 2 3 5 Lời giải Chọn A Ta có: cos2 x cos x m m suy ra m 0 . cos2 x t m Đặt cos x m t , t 0 . Phương trình trở thành: 2 t cos x m 2 2 cos x t cos x t t cos x 0 cos x t cos x t 1 0 . cos x t 1 0 cos x 0 Trường hợp 1 : cos x t cos x m cos x . 2 cos x cos x m Đặt u cos x 1 u 0 . 1 Xét f u u2 u , ta có f u 2u 1 ; f u 0 u . 2 Do đó với 1 u 0 suy ra f u 0 với mọi u  1;0 . Suy ra f 1 f u f 0 2 f u 0 . Để phương trình có nghiệm thì m 0;2 . Vì m ¢ nên m 0;1;2 . Trường hợp 2 : cos x t 1 0 cos x m 1 cos x cos2 x cos x 1 m . 1 Đặt v cos x , 1 v 1 . Ta có m v2 v 1 g v , g v 2v 1 0 v . 2 Vẽ bảng biến thiên ta được: 1 v 1 1 2 g v 0 1 3 g v 3 4 3 Để phương trình có nghiệm thì m ;3 . Vì m ¢ nên m 1;2;3 . 4 Vậy có tất cả 4 số nguyên m thỏa mãn bài toán. Câu 6: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Số nghiệm của phương trình: sin2015 x cos2016 x 2 sin2017 x cos2018 x cos 2x trên  10;30 là:
5. A. .4B.6 .C. .D. 51 50 44 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: sin2015 x cos2016 x 2 sin2017 x cos2018 x cos 2x sin2015 x 1 2sin2 x cos2016 x 2cos2 x 1 cos 2x cos 2x 0 sin2015 x.cos 2x cos2016 x.cos 2x cos 2x . 2015 2016 sin x cos x 1 Với cos 2x 0 x k ,k ¢ 4 2 20 1 60 1 Vì x  10;30 10 k 30 k 6 k 18 . 4 2 2 2 Với sin2015 x cos2016 x 1 . Ta có sin2015 x sin2 x;cos2016 x cos2 x . 2015 2016 2 2 sin x 0,cos x 1 Do đó 1 sin x cos x sin x cos x 1 suy ra . sin x 1,cos x 0 Nếu sin x 0 x k ,k ¢ . 10 30 Vì x  10;30 10 k 30 3 k 9 . Nếu sin x 1 x k2 ,k ¢ . 2 5 1 15 1 Vì x  10;30 10 k2 30 k 1 k 4 . 2 4 4 Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: 13 6 25 44 .