Đề kiểm tra môn Toán Lớp 10 - Học kì II - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Lớp 10 - Học kì II - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm

1. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Tổ Toán ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra: 26/04/2018 Học sinh làm 5 bài toán sau đây. Bài 1. ( 3 điểm ) a. Giải phương trình: (x + 3) 2x2 + 1 = x2 + x + 3. x2 xy y2 x 2y 0 b. Giải hệ phương trình: x, y ¡ . 2x xy y 2 Bài 2. ( 2 điểm) a. Tìm số dư khi chiaA = 12016 + 22016 + 32016 + ¼ + 20172016 + 20182016 cho 2017. b. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y sao cho y + 1 chia hết cho x và x + 1 chia hết choy . Bài 3. ( 1 điểm) Tìm tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình sau: x2 – 3xy + 2y2 + 6 = 0. Bài 4. ( 2 điểm) Cho x 0, y 0 và x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : S x3 (x 1) y3 (y 1) Bài 5. ( 2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H ( 1; 1) , đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y 1 0 . Hết Học sinh không được phép sử dụng tài liệu.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10. NGÀY 25/4/2017 Bài 1 a.Ta thấy x = - 3 không là nghiệm của phương trình x2 + x + 3 0,25 Xét x ¹ - 3 , phương trình Û 2x2 + 1 = x + 3 x2 2x2 x2 é x = 0 Û 2x2 + 1- 1 = Û = Û ê 2 ê 2 x + 3 2x + 1 + 1 x + 3 ë2(x + 3)= 2x + 1 + 1 (*) 0,25 Phương trình (*) Û 2x2 + 1 = 2x + 5 ì 5 ì 5 ï x ³ - ï x ³ - Û íï 2 Û íï 2 ï 2 2 ï 2 îï 2x + 1 = 4x + 25 + 20x îï x + 10x + 12 = 0 ì 5 ï x ³ - Û íï 2 Û x = 5 + 13 (thỏa mãn) 0,25 ï îï x = - 5 ± 13 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = - 5 + 13 x2 xy y2 x 2y 0 b. x, y ¡ 2x xy y 2 2x xy y 2 x 2 y y 2 0 x 1 2 y 0 x 1 y 2 0,5 Xét x 1 y2 3y 2 0 y 1 y 2 0,25 2 Xét y 2 x x 0 x 0  x 1 0,25 Hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;2 , 1;1 , 0;2  0,25 Bài 2 a. Áp dụng định lý Fermat nhỏ với 2017 là số nguyên tố ta có: 12016 º 1(mod2017) 0,25 22016 º 1(mod2017) 20172016 º 0(mod2017) 0,5 20182016 º 1(mod2017) ® A º 114+4414+4214+44.4.4.31 º 2017 º 0(mod2017) 0,25 2018 Vậy số dư cần tìm là 0. b. Từ điều kiện bài toán ta có éy = x + 1 ïì x + 1 ³ y ê 0,25 íï Þ x - 1 £ y £ x + 1 Þ êy = x îï y + 1 ³ x ê ëêy = x - 1 éx = 2 Þ y = 3 0,25 y = x + 1 Þ x | (x + 2)Þ x | 2 Þ ê ëêx = 1 Þ y = 2 ïì y | x y = x Þ íï Þ y | (x + 1- x)Þ y = 1 = x 0,25 îï y | (x + 1) ïì y | (x+ 1) éy = 2 Þ x = 3 y = x - 1 Þ íï Þ y | (x + 1- x + 1)Þ y | 2 Þ ê îï y | (x - 1) ëêy = 1 Þ x = 2 Vậy có 5 cặp số cần tìm là (2;3);(1;2);(3;2);(2;1);(1;1) 0,25
3. Bài 3 Ta thấy (x, y )= (0,0) không phải là nghiệm của phương trình 2 2 2 Ta coi phương trình x – 3xy + 2y + 6 = 0 ẩn x ta tính D = y – 24 0,25 Phương trình có nghiệm tự nhiên thì D là số chính phương 2 2 Þ y – 24 = k Û ( y – k )( y + k )= 24 (k Î N) 0,25 mà24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y + k và y – k cùng chẵn ïì y + k = 6 ïì y + k = 12 Þ íï Þ y = 5 hoặc Þ íï Þ y = 7 0,25 îï y - k = 4 îï y - k = 2 0,25 Thay vào ta tìm được (x, y )= (8,7);(13,7);(7,5);(8,5) Bài 4 Ta có : S x3 (x 1) y3 (y 1) 2x2 y2 7xy 2 (x y)2 1 1 Đặt t xy . Do x 0; y 0 nên 0 xy 0 t 4 4 4 0,5 1 Xét hàm số f (t) 2t 2 7t 2 với 0 t . 4 Bảng biến thiên 1 0,5 0 4 t 2 f(t) 3 8 0,5 Vậy : 1 3 1 min f (t) f ( ) khi x y 1 0; 4 8 2 4 0,5 Bài 5 Gọi d1 : x y 2 0 d2 : 4x 3y 1 0 Vì d1 là phân giác trong của góc A nên đường thẳng l qua H và vuông góc với d 1 cắt AC tại ’ điểm H đối xứng với H qua d1. Gọi I là giao ’ điểm của l và d 1, I là trung điểm của HH . Phương trình đường thẳng l : y 1 (x 1) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ : x y 2 0 I( 2;0) y 1 (x 1) a 1 2x1 4 ' Gọi tọa độ của H’(a;b) thì  H ( 3;1) 0,5 b 1 2y1 0  ’ Đường thẳng AC qua H (-3;1) và  d2: 4x 3y 1 0 nên AC có hệ số góc bằng
4. 3 3 3 13 k nên có phương trình là: y 1 (x 3) y x 0,5 4 4 4 4 x y 2 0 suy ra tọa độ của điểm A: 1 A(5;7) 0,5 y (3x 13) 4 CH qua H(-1;-1) có VPPT là HA(6;8) 2.(3;4) . Phương trình CH dạng: 3(x 1) 4(y 1) 0 3x 4y 7 0 C AC  CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ: 3x 4y 13 0 10 3 C( ; ) 0,5 3x 4y 7 0 3 4