Đề kiểm tra môn Toán Lớp 10 - Học kì I - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Lớp 10 - Học kì I - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN NBK ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ HỌC KÌ 1 TỔ TOÁN MÔN TOÁN KHỐI 10. THỜI GIAN: 120 phút Ngày 23/11/2017 Học sinh làm 5 bài toán sau đây Bài 1. ( 1,5 điểm) Chứng minh với mọi số tự nhiên n 2 ta có 2n 1 2n 3 . Bài 2. ( 2,0 điểm) Tìm một đa thức P(x) có bậc 3, có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: P(x) có nghiệm là 2 , P(x) 2 chia hết cho x và P(x) chia cho (x 3) thì có dư là 13. Bài 3. ( 2,5 điểm) 1) Cho 0o x·Ay 180o . Trên tiaAx lấy 6 điểm khácA , trên tia Ay lấy 5 điểm khác A . Trong 12 điểm nói trên (kể cả điểm A ), hai điểm nào cũng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy? k k 1 k * 2) a) Chứng minh rằng k 1 Cn n.Cn 1 Cn , k 1,2, ,n,n ¥ 0 1 2 2016 b) Tính tổng S C2016 2C2016 3C2016 2017C2016 . Bài 4. ( 2,0 điểm) 1) Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 1 và hai điểm A, B bất kì. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đỉnh của hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ đỉnh đó đến A và B luôn lớn hơn 1,3. 2) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số tự nhiên trong 2018 số 3,33,333,3333,33333,333333, ,333 33 chia hết cho 2017. 2018 so 3 Bài 5. ( 2,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C thay đổi trên đường thẳng AB . Gọi (I ) là đường tròn thay đổi đi qua A và C , (J ) là đường tròn đường kính BC ; M , N lần lượt là giao điểm thứ hai của (I ) và (O),(J ) . Chứng minh rằng giao điểm K của AM và CN luôn thuộc một đường thẳng cố định. 2) Cho tam giácABC . Một đường tròn cắt cạnh BC tại A1, A2 , cắt cạnh CA tại B1, B2 , cắt cạnh AB tại C1, C2 . Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy khi và chỉ khi AA2 , BB2 , CC2 đồng quy. HẾT Học sinh không được phép sử dụng tài liệu; Giáo viên coi kiểm tra không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 10 – HỌC KÌ 1 - NĂM 2017 – 2018 Bài Nội dung Điểm Bài 1 Với n 2,VT 8 VP 7 nên bất đẳng thức đúng. 0,25 1,5đ Giả sử bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n k , k 2 , ta có 2k 1 2k 3 (1) 0,25 Ta chứng minh bất đẳng thức với n k 1 , tức là 2k 2 2k 5 . Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được 2k 2 4k 6 2k 5 2k 1 2k 5 , vì 2k 1 0,k ¥ . 0,25x2 Do đó bất đẳng thức đã cho đúng với n k 1 . 0,25 Vậy với mọi số tự nhiên n 2 ta có 2n 1 2n 3 . 0,25 Bài 2 Theo đề bài ta có P(x) x3 ax2 bx c 0,25 2,0đ P(2) 0 P(2) 0 4a 2b c 8 P(x) 2 x.R(x) P(0) 2 c 2 0,25x5 P(x) (x 3).S(x) 13 P(3) 13 9a 3b c 14 a 1,b 1,c 2 0,25 3 2 Vậy P(x) x x x 2 . 0,25 3 Bài 3 Số cách chọn 3 điểm bất kì trong 12 điểm ấy là 220 0,25 1) C 12 3 Số bộ ba điểm thẳng hàng trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 35 1,0đ C 7 0,25 3 Số bộ ba điểm thẳng hàng trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 20 C 6 0,25 Số tam giác tạo thành thoả yêu cầu bài toán: 220 35 20 165 0,25 2) n! a) k 1 C k k.C k C k k. C k 1,5đ n n n k! n k ! n 0,25 n.(n 1)! C k n.C k 1 C k , k 1, 2, , 2016. 0,25x2 k 1 ! n 1 (k 1) ! n n 1 n b) 0 1 2 2016 S C2016 2C2016 3C2016 2017C2016 0,25 0 0 1 1 2 2015 2016 C2016 2016C2015 C2016 2016C2015 C2016 2016C2015 C2016 0 1 2016 0 1 2015 C2016 C2016 C2016 2016 C2015 C2015 C2015 0,25 0,25 22016 2016.22015 1009.22016 Bài 4 Giả sử mọi đỉnh của hình vuông đều có tổng các khoảng cách đến A và B không 0,25 1) lớn hơn 13, xét tại điểm M ta có MA MB 1,3 . 1,0đ NA NB 1,3 M 0,25 Khi đó MA MB NA NB 2,6 (1). B Mặt khác, ta lại có AM AN MN . 0,25 BM BN MN A suy ra AM AN BM BN 2MN 2 2 2,6 (2). N 0,25
3. Vì (2) mâu thuẫn với (1) nên ta có điều phải chứng minh. 2) Xét 2018 số có dạng 3; 33; 333; ; 333 33 (số cuối cùng gồm 2018 chữ số 3). 1,0đ Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2017. 0,25 Ta gọi 2 số đó là X 33 3 (k chữ số 3) và Y 333 3 (m chữ số 3), với k, m là 0,25 số tự nhiên và m k . 0,25 Khi đó Y X 33 3.10k (m – k chữ số 3) là số chia hết cho 2017. k Mà (10 ,2017) 1 nên số Z 33 3 (m – k chữ số 3) chia hết cho 2017. 0,25 Bài 5 Vì AM là trục đẳng phương của (I ) và (O) , K 1) CN là trục đẳng phương của (I ) và (J ) nên giao điểm K của 1,0đ 0,25 AM và CN có cùng phương tích đối với cả ba đường (I) tròn (O),(I),(J ) . M Mặt khác, do (O) và (J ) tiếp xúc nhau tại B nên trục 0,25 N đẳng phương của chúng chính là tiếp tuyến chung tại B , ta gọi tiếp tuyến này là d . C A B Vì các điểm A, B cố định, d đi qua B và vuông góc với O 0,25 AB nên d cố định. (J) 0,25 Vậy K luôn thuộc đường thẳng d cố định. 2) 1,0đ AC1.AC2 AB1.AB2 0,25 BA1.BA2 BC1.BC2 A1B.B1C.C1A.A2B.B2C.C2A A1C.B1A.C1B.A2C.B2A.C2B CB .CB CA .CA 0,25x2 1 2 1 2 A B B C C A A C B A C B 1 . 1 . 1 2 . 2 . 2 0,25 A1C B1A C1B A2B B2C C2A Suy ra điều phải chứng minh.