Đề kiểm tra kiến thức Lớp 12 Lần 1 môn Toán Lớp 12 - Trường THPT chuyên KHTN

Nội dung text: Đề kiểm tra kiến thức Lớp 12 Lần 1 môn Toán Lớp 12 - Trường THPT chuyên KHTN

1. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 – LẦN 1, NĂM 2018 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 90 phút) x 1 t Câu 1. [2H3-1] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 2t . Vectơ nào dưới đây là z 1 t vectơ chỉ phương của d ? A. .n 1; 2B.;1 . C. . n 1D.;2 ;.1 n 1; 2;1 n 1;2;1 Câu 2. [2D3-1] Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x sin 2x là 1 1 A. .x 2 B.c .o s 2C.x . CD. . x2 cos 2x C x2 2cos 2x C x2 2cos 2x C 2 2 Câu 3. [2H3-1] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 và B 2; 1; 1 . Độ dài đoạn AB bằng A. .2 B. . 6 C. . 2 D. . 6 Câu 4. [1D3-2] Cho cấp số cộng un , biết u2 3 và u4 7 . Giá trị của u15 bằng A. .2 7 B. . 31 C. . 35 D. . 29 x 2 2 Câu 5. [1D4-2] Giới hạn lim bằng x 2 x 2 1 1 A. . B. . C. . 0 D. . 1 2 4 Câu 6. [2D4-1] Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z 1 i 2 i ? A. .P B. . M C. . N D. . Q Câu 7. [2D2-2] Tập nghiệm của bất phương trình log2 x 1 3 là: A. . ;10 B. . 1;9 C. . D. 1.;10 ;9 Câu 8. [2H2-2] Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và đường sinh bằng 5 bằng A. .1 6 B. . 48 C. . 12 D. . 36 Câu 9. [1D5-1] Cho hàm số f x x3 2x , giá trị của f 1 bằng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 1/30
2. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại A. .6 B. . 8 C. . 3 D. . 2 Câu 10. [2H1-2] Cho khối lăng trụ ABCD.A B C D có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp A .BCO bằng A. .1 B. . 4 C. . 3 D. . 2 2 Câu 11. [2D2-1] Với a và b là các số thực dương. Biểu thức loga a b bằng A. .2 loga b B. . 2C. .l oga b D. . 1 2loga b 2loga b 2 2 Câu 12. [2D4-2] Tích phân dx bằng. 0 2x 1 1 A. .2 ln 5 B. . ln 5 C. . ln 5 D. . 4ln 5 2 Câu 13. [2D1-2] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x 0 2 y 0 0 3 y 1 Hàm số đã cho đạt cực đại tại: A. .2 B. . 1 C. . 0 D. 3 Câu 14. [2D1-2] Hàm số y x3 3x 1 nghịch biến trên khoảng A. . 0;2 B. . 1; C. . D. . ; 1 1;1 Câu 15. [2H3-1] Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng P : 2x y z 2 0 . A. .Q 1; 2;2 B. . C. .N 1; 1;D. 1 . P 2; 1; 1 M 1;1; 1 3 x a Câu 16. [2D3-2] Cho dx bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 0 4 2 x 1 3 a b c bằng A. .1 B. . 2 C. . 7 D. . 9 Câu 17. [2D1-2] Giá trị lớn nhất của hàm số y x3 2x2 4x 5 trên đoạn 1;3 bằng A. . 3 B. . 0 C. . 2 D. . 3 Câu 18. [2D4-3] Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z ;iz và z i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số phức z bằng A. .2 3 B. . 3 2 C. . 6 D. . 9 Câu 19. [2D2-2] Hàm số y log2 2x 1 có đạo hàm y bằng 2ln 2 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 2x 1 2x 1 ln 2 2x 1 log 2 2x 1 ln 2 Câu 20. [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2y 2z 6 0 và Q : x 2y 2z 3 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 2/30
3. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại A. .1 B. . 3 C. . 9 D. . 6 Câu 21. [1H3-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA a và vuông góc với mặt đáy ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng a 3 a 6 a a 6 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 6 Câu 22. [2D3-2] Họ nguyên hàm của hàm số f x x cos 2x là xsin 2x cos 2x cos 2x A. . C B. . xsin 2x C 2 4 2 cos 2x xsin 2x cos 2x C. .x sin 2x C D. . C 2 2 4 Câu 23. [2D4-2]. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 i 4 là đường tròn có tâmI và bán kính R lần lượt là: A. ;.I 2; 1 RB. ;.4 C.I ;.2; 1 R D.2 ;.I 2; 1 R 4 I 2; 1 I 2; 1 Câu 24. [2D1-3]. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số đểm hàm số y x3 mx2 m 6 x đồng 1 biến trên khoảng 0;4 là: A. . ;6 B. . ;C.3 . D. . ;3 3;6 Câu 25. [1D2-3] Cho tập hợp A 1,2,3, ,10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A . Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. .P B. . P C. . D. P. P 90 24 10 15 Câu 26. [2D2-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x m.2x 1 2m2 5 0 có hai nghiệm phân biệt ? A. .1 B. . 5 C. . 2 D. . 4 e ln x Câu 27. [2D3-2] Với cách đổi biến u 1 3ln x thì tích phân dx trở thành 1 x 1 3ln x 2 2 2 2 2 2 2 u2 1 A. . u2 B.1 . du C. . D. u. 2 1 du 2 u2 1 du du 3 1 9 1 1 9 1 u Câu 28. [2H2-2] Cho mặt cầu S tâm O và các điểm A , B , C nằm trên mặt cầu S sao cho AB 3 , AC 4 , BC 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 1 . Thể tích của khối cầu S bằng 7 21 13 13 20 5 29 29 A. . B. . C. . D. . 2 6 3 6 x x 1 Câu 29. [2D1-2] Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là: x2 1 A. .2 B. . 1 C. . 3 D. . 0 Câu 30. [2D1-3] Cho hàm số H có bảng biến thiên như sau: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 3/30
4. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại x 0 2 y 0 2 y 1 Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x m 0 có ba nghiệm phân biệt là: A. . 2;1 B. .  1;2 C. . D. .1;2 2;1 Câu 31. [1D2-1] Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. P A 0,4 , P B 0,3 . Khi đó P AB bằng A. .0 ,58 B. . 0,7 C. . 0,1 D. . 0,12 Câu 32. [1H3-3] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A C . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B N bằng A. .2 a B. . a 3 C. . a D. . a 2 Câu 33. [2D1-3] Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m . Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ? Tòa nhà 2 m 2 m 5 13 A. . m B. . 4 2mC. . 6D.m . 3 5m 3 Câu 34. [2H3-1] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB a 2 . Biết SA  ABC và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. . 90 Câu 35. [2D1-4] Cho hàm số f x x3 3x2 m . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m m 10 để với mọi bộ ba số phân biệt a , b , c 1;3 thì f a ,f b ,f c là ba cạnh của một tam giác ? A. .1 B. . 3 C. . 1 D. . 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 4/30
5. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Câu 36. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 1 biết tiếp điểm có hoành độ bằng 1 . A. .y 8x B.6 . C. y. 8x D.6 . y 8x 10 y 8x 10 n 0 n 1 1 n 2 2 n n Câu 37. [1D2-3] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2048 . Hệ số của x10 trong khai triển x 2 n là: A. .1 1264 B. . 22 C. . 220 D. . 24 Câu 38. [2D2-3] Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x m.2x 1 3m 3 0 có hai nghiệm trái dấu. A. . ;2 B. . 1; C. . D. 1 ;.2 0;2 x 1 y 1 z 1 Câu 39. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 3 x 2 y z 9 d : . Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của d và 2 1 2 3 1 d2 có phương trình là: 2 2 2 2 16 2 2 8 1 2 A. . x B. .y z 14 3 x y z 7 12 3 3 3 3 2 2 2 2 8 1 2 16 2 2 C. . x D.y . z 7 3 x y z 14 12 3 3 3 3 x 1 y 2 z Câu 40. [2H3-2] Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : và cắt hai 1 1 1 x 1 y 1 z 2 x 1 y 2 z 3 đường thẳng d : ; d : là: 1 2 1 1 2 1 1 3 x 1 y 1 z 2 x 1 y z 1 A. . B. . 1 1 1 1 1 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y z 1 C. . D. . 1 1 1 1 1 1 x2 mx Câu 41. [2D1-3] Với tham số m , đồ thị của hàm số y có hai điểm cực trị A , B và AB 5 . x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. .m 2 B. . 0 mC. .1 D. . 1 m 2 m 0 Câu 42. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5;0;0 và B 3;4;0 . Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng 5 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 2 Câu 43. [1H3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 . Tam giác ASO cân tại S , mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 5/30
6. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại a 3 3a a 3a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 4 Câu 44. [1H3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 60 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Góc giữa mặt phẳng SAB và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng 21a 21a 3 7a 3 7a A. . B. . C. . D. . 14 7 14 7 Câu 45. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại C , ·ABC 60 , x 3 y 4 z 8 AB 3 2, đường thẳng AB có phương trình , đường thẳng AC nằm trên 1 1 4 mặt phẳng : x z 1 0 . Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi a;b;c là tọa độ điểm C , giá trị của a b c bằng A. .3 B. . 2 C. . 4 D. . 7 Câu 46. [2H1-3] Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD 3a , hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng A B C D trùng với trung điểm của A C . Gọi là 21 góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và CDD C , cos . Thể tích khối hộp 7 ABCD.A B C D bằng 3a3 9a3 3 9a3 3a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Câu 47. [2D1-2] Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số 2x 1 y tại hai điểm phân biệt A , B và AB 4 ? x 1 A. .7 B. . 6 C. . 1 D. . 2 Câu 48. [2D2-4] Cho các số a , b 1 thỏa mãn log2 a log3 b 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P log3 a log2 b bằng: A. . log2 3 log3 2 B. . log3 2 log2 3 1 2 C. . log2 3 log3 2 D. . 2 log2 3 log3 2 x 2 Câu 49. [2D1-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến đó cắt trục tung 2x 3 và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB cân là A. .y x 2 B. . C.y . x 2 D. . y x 2 y x 2 Câu 50. [2D1-4] Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị C , biết rằng C đi qua điểm A 1;0 , tiếp tuyến d tại A của C cắt C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 6/30
7. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại 28 phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C và hai đường thẳng x 0 ; x 2 có diện tích bằng (phần 5 tô màu trong hình vẽ). y 1 O 2 x Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và hai đường thẳng x 1 ; x 0 có diện tích bằng 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 4 9 5 BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D A B D B D B C A A B C C D B A C C B B D D A C D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B D B A D A B B C B B C C B B A D C B C C A A D HƯỚNG DẪN GIẢI x 1 t Câu 1: [2H3-1] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 2t . Vectơ nào dưới đây là z 1 t vectơ chỉ phương của d ? A. .n 1; 2B.;1 . C. n 1;2;1 n 1; 2;1 . D. n 1;2;1 . Lời giải Chọn D. Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d ta có vectơ chỉ phương của d là n 1;2;1 . Câu 2: [2D3-1] Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x sin 2x là 1 1 A. x2 cos 2x C . B. .x 2 C. .c osD.2x . C x2 2cos 2x C x2 2cos 2x C 2 2 Lời giải Chọn A. 1 Ta có f x dx 2x sin 2x dx x2 cos 2x C . 2 Câu 3: [2H3-1] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 và B 2; 1; 1 . Độ dài đoạn AB bằng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 7/30
8. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại A. 2 . B. 6 . C. . 2 D. . 6 Lời giải Chọn B.  2 Ta có: AB AB 2 1 2 1 1 1 2 2 6 . Câu 4: [1D3-2] Cho cấp số cộng un , biết u2 3 và u4 7 . Giá trị của u15 bằng A. .2 7 B. . 31 C. 35 . D. 29 . Lời giải Chọn D. u1 d 3 u1 1 Từ giả thiết u2 3 và u4 7 suy ra ta có hệ phương trình: . u1 3d 7 d 2 Vậy u15 u1 14d 29 . x 2 2 Câu 5: [1D4-2] Giới hạn lim bằng x 2 x 2 1 1 A. . B. . C. .0 D. . 1 2 4 Lời giải Chọn B. x 2 2 x 2 1 1 lim lim lim . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 4 Câu 6: [2D4-1] Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z 1 i 2 i ? A. .P B. . M C. N . D. Q . Lời giải Chọn D. Ta có z 1 i 2 i z 3 i . Điểm biểu diễn của số phức z là Q 3;1 . Câu 7: [2D2-2] Tập nghiệm của bất phương trình log2 x 1 3 là: A. ;10 . B. 1;9 . C. . 1;10 D. . ;9 Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 8/30
9. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Chọn B. Điều kiện: x 1 0 x 1 . Ta có: log2 x 1 3 x 1 8 x 9 . Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1;9 . Câu 8: [2H2-2] Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và đường sinh bằng 5 bằng A. .1 6 B. 48 . C. 12 . D. .36 Lời giải Chọn C. Giả sử khối nón đề cho có hình vẽ như sau: S 5 4 R A O Bán kính đường tròn đáy là: R SA2 SO2 52 42 3 . 1 1 Vậy thể tích khối nón cần tìm là: V R2.SO .9.4 12 . 3 3 Câu 9: [1D5-1] Cho hàm số f x x3 2x , giá trị của f 1 bằng A. 6 . B. .8 C. . 3 D. . 2 Lời giải Chọn A. f x 3x2 2 , f x 6x f 1 6 . Câu 10: [2H1-2] Cho khối lăng trụ ABCD.A B C D có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp A .BCO bằng A. 1. B. .4 C. . 3 D. . 2 Lời giải Chọn A. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 9/30
10. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại 1 1 VA .BCO d A , BCO .SBCO VABCD.A B C D 1. 3 12 2 Câu 11: [2D2-1] Với a và b là các số thực dương. Biểu thức loga a b bằng A. 2 loga b . B. 2 loga b . C. .1 2loga D.b . 2loga b Lời giải Chọn B. 2 2 Ta có: loga a b loga a loga b 2 loga b . 2 2 Câu 12: [2D4-2] Tích phân dx bằng. 0 2x 1 1 A. .2 ln 5 B. ln 5 . C. ln 5. D. .4ln 5 2 Lời giải Chọn C. 2 2 2 Ta có dx ln 2x 1 ln 5 . 0 0 2x 1 Câu 13: [2D1-2] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x 0 2 y 0 0 3 y 1 Hàm số đã cho đạt cực đại tại: A. .2 B. 1. C. 0 . D. 3 Lời giải Chọn C. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x 0 . Câu 14: [2D1-2] Hàm số y x3 3x 1 nghịch biến trên khoảng A. . 0;2 B. . 1; C. ; 1 . D. 1;1 . Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 10/30
11. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Chọn D. Tập xác định D ¡ . 2 x 1 y 3x 3 0 . x 1 x 1 1 y 0 0 Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên 1;1 . Câu 15: [2H3-1] Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng P : 2x y z 2 0 . A. Q 1; 2;2 . B. N 1; 1; 1 . C. .P 2; 1;D. 1 . M 1;1; 1 Lời giải Chọn B. Thay tọa độ các điểm Q , N , P , M lần lượt vào phương trình P : 2x y z 2 0 ta được: 2.1 2 2 2 0 4 0 (sai) nên Q P . 2.1 1 1 2 0 0 0 (đúng) nên N P . 2.2 1 1 2 0 2 0 (sai) nên P P . 2.1 1 1 2 0 2 0 (sai) nên M P . 3 x a Câu 16: [2D3-2] Cho dx bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 0 4 2 x 1 3 a b c bằng A. 1. B. .2 C. . 7 D. . 9 Lời giải Chọn A. Đặt t x 1 t 2 x 1 x t 2 1 dx 2tdt . Đổi cận: x 0 t 2 ; x 3 t 4 . Khi đó: 2 2 2 2 3 2 3 t 1 t t 2 6 t 2 7 .2tdt dt t 2t 3 dt t 3t 6ln t 2 12ln 2 6ln 3 4 2t t 2 t 2 3 3 1 1 1 1 a 7 Suy ra b 12 a b c 1 . c 6 Câu 17: [2D1-2] Giá trị lớn nhất của hàm số y x3 2x2 4x 5 trên đoạn 1;3 bằng A. . 3 B. 0 . C. 2 . D. .3 Lời giải Chọn C. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 11/30
12. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại x 2 y 3x2 4x 4 0 2 . x 3 f 2 3; f 1 0 ; f 3 2 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 . Câu 18: [2D4-3] Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z ;iz và z i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số phức z bằng A. .2 3 B. 3 2 . C. 6 . D. .9 Lời giải Chọn C. Gọi z a bi , a,b ¡ nên iz ai b , z i z a bi b ai a b a b i   Ta gọi A a,b , B b,a , C a b,a b nên AB b a,a b , AC b,a 1   1 1 S AB, AC a2 b2 a2 b2 18 a2 b2 6 . 2 2 2 Câu 19: [2D2-2] Hàm số y log2 2x 1 có đạo hàm y bằng 2ln 2 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 2x 1 2x 1 ln 2 2x 1 log 2 2x 1 ln 2 Lời giải Chọn B. 2x 1 2 y log 2x 1 y . 2 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 Câu 20: [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2y 2z 6 0 và Q : x 2y 2z 3 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng A. 1. B. 3 . C. .9 D. . 6 Lời giải Chọn B. Dễ thấy P // Q . Chọn M 0;0; 3 P . 2. 3 3 Khi đó : d P ; Q d M ; Q 3 . 3 Câu 21: [1H3-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA a và vuông góc với mặt đáy ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng a 3 a 6 a a 6 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 6 Lời giải Chọn D. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 12/30
13. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại S I H A D B O C Do BD  AC và BD  SA nên BD  SAC . Trong mặt phẳng SAC dựng OH  SC tại H . OH là đường vuông góc chung của BD và SC . Gọi I là trung điểm .S TamC giác O vuôngIC tại cóO đường cao O . H 1 1 1 OI.OC a 6 Ta có 2 2 2 OH . OH OI OC OI 2 OC 2 6 Câu 22: [2D3-2] Họ nguyên hàm của hàm số f x x cos 2x là xsin 2x cos 2x cos 2x A. . C B. . xsin 2x C 2 4 2 cos 2x xsin 2x cos 2x C. xsin 2x C . D. C . 2 2 4 Lời giải Chọn D. I x cos 2xdx . du dx u x Đặt 1 . dv cos 2xdx v sin 2x 2 1 1 1 1 Khi đó I xsin 2x sin 2xdx xsin 2x cos 2x C . 2 2 2 4 Câu 23: [2D4-2]. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 i 4 là đường tròn có tâmI và bán kính R lần lượt là: A. I 2; 1 ; R 4 . B. ;.I 2; 1 C.R ;.2 ID. 2; ;. 1 R 4 I 2; 1 I 2; 1 Lời giải Chọn A. Gọi số phức z x iy x, y ¡ Ta có: z 2 i 4 x 2 y 1 i 4 x 2 2 y 1 2 16 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức zthỏa mãn: z 2 i 4 là đường tròn có tâmI 2; 1 và có bán kính R 4 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 13/30
14. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Câu 24: [2D1-3]. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số đểm hàm số y x3 mx2 m 6 x đồng 1 biến trên khoảng 0;4 là: A. . ;6 B. ;3 . C. ;3. D. .3;6 Lời giải Chọn C. y 3x2 2mx m 6 . Để hàm số đồng biến trên khoảng 0;4 thì:y 0 ,x 0;4 . 3x2 6 tức là 3x2 2mx m 6 0 x 0;4 mx 0;4 2x 1 3x2 6 Xét hàm số g x trên 0;4 . 2x 1 6x2 6x 12 x 1 0;4 g x 2 , g x 0 2x 1 x 2 0;4 Ta có bảng biến thiên: 3x2 6 Vậy để g x m x 0;4 thì m 3 . 2x 1 Câu 25: [1D2-3] Cho tập hợp A 1,2,3, ,10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A . Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. .P B. . P C. P . D. P . 90 24 10 15 Lời giải Chọn D. 3 Số phần tử không gian mẫu là n  C10 120 . Gọi B là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”. B là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”. + Bộ ba số dạng 1,2,a1 , với a1 A \ 1,2 : có 8 bộ ba số. + Bộ ba số có dạng 2,3,a2 , với a2 A \ 1,2,3 : có 7 bộ ba số. + Tương tự mỗi bộ ba số dạng 3,4,a3 , 4,5,a4 , 5,6,a5 , 6,7,a6 , 7,8,a7 , 8,9,a8 , 9,10,a9 đều có 7 bộ. n B 8 8.7 64 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 14/30
15. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại 64 7 P B 1 P B 1 . 120 15 Câu 26: [2D2-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x m.2x 1 2m2 5 0 có hai nghiệm phân biệt ? A. 1. B. .5 C. . 2 D. . 4 Lời giải Chọn A. Ta có: 4x m.2x 1 2m2 5 0 4x 2m.2x 2m2 5 0 . Đặt t 2x , t 0 , ta được phương trình: t 2 2mt 2m2 5 0 1 . Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình 1 có hai nghiệm dương phân biệt 5 m 5 2 10 0 m 5 0 m 2 10 S 0 2m 0 m 5 . 2 2 10 P 0 2m 5 0 m 2 m 0 Vậy m 2 là giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. e ln x Câu 27: [2D3-2] Với cách đổi biến u 1 3ln x thì tích phân dx trở thành 1 x 1 3ln x 2 2 2 2 2 2 2 u2 1 A. u2 1 du . B. u2 1 du . C. .2 u2 D.1 .du du 3 1 9 1 1 9 1 u Lời giải Chọn B. u2 1 dx 2u u 1 3ln x u2 1 3ln x ln x du . 3 x 3 u2 1 e ln x 2 2u 2 2 Khi đó dx 3 du u2 1 du . 1 x 1 3ln x 1 u 3 9 1 Câu 28: [2H2-2] Cho mặt cầu S tâm O và các điểm A , B , C nằm trên mặt cầu S sao cho AB 3 , AC 4 , BC 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 1 . Thể tích của khối cầu S bằng 7 21 20 5 29 29 A. . B. . ABD C. . D. . 2 3 6 Lời giải Chọn D. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 15/30
16. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Ta có AB2 AC 2 32 42 25 BC 2 ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ABC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC . Vì khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 1 nên OH 1 . 2 2 2 2 5 29 OHB vuông tại H có: OB OH BH 1 . 2 2 29 Vậy mặt cầu S có bán kính R OB . 2 3 4 3 4 29 29 29 Do đó thể tích khối cầu S là: V R . 3 3 2 6 x x 1 Câu 29: [2D1-2] Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là: x2 1 A. 2 . B. 1. C. .3 D. . 0 Lời giải Chọn B. Tập xác định: D 1; . 1 1 x 1 x x 1 x x2 Ta thấy lim y lim lim 1 . x x 2 x 1 x 1 x 1 x2 Suy ra: y 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Câu 30: [2D1-3] Cho hàm số H có bảng biến thiên như sau: x 0 2 y 0 2 y 1 Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x m 0 có ba nghiệm phân biệt là: A. 2;1 . B. . 1;2 C. . 1;2 D. . 2;1 Lời giải Chọn A. Ta có f x m 0 f x m 1 . Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số H và đường thẳng y m . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 16/30
17. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x m có ba nghiệm phân biệt khi: 1 m 2 2 m 1 . Câu 31: [1D2-1] Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. P A 0,4 , P B 0,3 . Khi đó P AB bằng A. .0 ,58 B. . 0,7 C. 0,1. D. 0,12 . Lời giải Chọn D. Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên P AB P A .P B 0,4.0,3 0,12 . Câu 32: [1H3-3] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A C . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B N bằng A. 2a . B. .a 3 C. . a D. . a 2 Lời giải Chọn A. A B M C A' B' N C' Do mặt phẳng ABC // A B C mà AM  ABC , B N  A B C Nên d AM , B N d ABC , A B C 2a . Câu 33: [2D1-3] Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m . Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ? Tòa nhà 2 m 2 m TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 17/30
18. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại 5 13 A. m . B. 4 2m . C. .6 m D. . 3 5m 3 Lời giải Tòa nhà D A 2 m x 2 m C B E Chọn B. Đặt BC x x 0 . Ta cần tìm x để độ dài CD đạt GTNN. BC x AC x 2 x 2 Ta có CD AC x2 4. . CE x 2 CD x x x2 4 x 2 Đặt f x . x x 8 Cách 1: Ta có f x . f x 0 x 2 . x2 4 x2 x2 4 BBT Vậy chọn B x2 4 x 2 4x.2 2x Cách 2: f x 4 2 . x x Câu 34: [2H3-1] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB a 2 . Biết SA  ABC và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng A. 30 . B. 45. C. .6 0 D. . 90 Lời giải Chọn B. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 18/30
19. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại S C A M B SBC  ABC BC SAM  BC · Kẻ AM  BC tại M . Ta có SBC , ABC S·M , AM . SAM  SBC SM SAM  ABC AM Suy ra góc giữa SBC và ABC bằng góc S· MA . SA a Ta có tan S· MA 1 S· MA 45 . AM a Câu 35: [2D1-4] Cho hàm số f x x3 3x2 m . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m m 10 để với mọi bộ ba số phân biệt a , b , c 1;3 thì f a ,f b ,f c là ba cạnh của một tam giác ? A. .1 B. 3 . C. 1. D. .2 Lời giải Chọn C. Ta có f a ,f b ,f c là ba cạnh của một tam giác nên f a f b f c a3 3a2 m b3 3b2 m c3 3c2 m với mọi a , b , c 1;3 a3 3a2 b3 3b2 c3 3c2 m với mọi a , b , c 1;3 3 2 3 2 3 2 Do đó Min a 3a b 3b c 3c m với mọi a , b , c 1;3 3 2 3 2 3 2 Ta cần tìm Min a 3a b 3b và Max c 3c với mọi a , b ,c 1;3 Xét hàm f x x3 3x2 với x 1;3 2 2 x 0 f x 3x 6x , f x 0 3x 6x 0 . Do x 1;3 nên x 2 . x 2 Ta có f 1 2 ,f 2 4 ,f 3 0 . Max f x f 3 0 , Min f x f 2 4 . 1;3 1;3 3 2 3 2 3 2 Suy ra Min a 3a b 3b c 3c 4.2 8 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 19/30
20. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Đẳng thức xảy ra khi a b 2 , c 3 hoặc a c 2 , b 3 hoặc b c 2 , a 3 . Do đó 8 m m 8 . Mà m 10 và m nguyên nên m 9 . Có 1 giá trị m thỏa mãn. Câu 36: [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 1 biết tiếp điểm có hoành độ bằng 1 . A. y 8x 6 . B. y 8x 6 . C. .y 8xD. 1.0 y 8x 10 Lời giải Chọn B. Ta có y 4x3 4x , y 1 8 Phương trình tiếp tuyến: y y 1 . x 1 y 1 y 8x 6 . n 0 n 1 1 n 2 2 n n Câu 37: [1D2-3] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2048 . Hệ số của x10 trong khai triển x 2 n là: A. 11264. B. 22 . C. .2 20 D. . 24 Lời giải Chọn B. n n 0 n 1 1 n 2 2 n n Ta có 3 1 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2n 2048 2n 211 n 11. 11 11 k 11 k k Xét khai triển x 2 C11x .2 k 0 Tìm hệ số của x10 tìm k ¥ k 11 thỏa mãn 11 k 10 k 1 . 10 11 1 Vậy hệ số của x trong khai triển x 2 là C11.2 22 . Câu 38: [2D2-3] Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x m.2x 1 3m 3 0 có hai nghiệm trái dấu. A. . ;2 B. 1; . C. 1;2 . D. . 0;2 Lời giải Chọn C. Phương trình 4x m.2x 1 3m 3 0 1 4x 2m.2x 3m 3 0 . Đặt t 2x , t 0 ta có phương trình t 2 2mt 3m 3 0 2 . Phương trình 1 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm t1,t2 m2 3m 3 0 3m 3 0 m 1 thỏa mãn 0 t1 1 t2 m 0 t1.t2 t1 t2 1 0 t1 1 t2 1 0 m 1 m 1 m 1;2 . 3m 3 2m 1 0 m 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 20/30
21. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại x 1 y 1 z 1 Câu 39: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 3 x 2 y z 9 d : . Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của d và 2 1 2 3 1 d2 có phương trình là: 2 2 2 2 16 2 2 8 1 2 A. . x B. .y z 14 3 x y z 7 12 3 3 3 3 2 2 2 2 8 1 2 16 2 2 C. x y z 7 3. D. . x y z 14 12 3 3 3 3 Lời giải Chọn C. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u1 2;1;3 , u2 1;2;3 . Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 với A d1 , B d2 . Suy ra: A 1 2a; 1 a; 1 3a ; B 2 b;2b;9 3b .  Khi đó: AB 2a b 3; a 2b 1; 3a 3b 10 . Vì AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 nên: 7 11 4  A ; ;6 a AB  u1 14a 13b 37 3 3 3  AB 2 3 . 13a 14b 35 1 5 2 AB  u2 b B ; ;8 3 3 3 8 1 1 Gọi I là tâm mặt cầu S có đường kính là AB . Suy ra I ; ;7 và R AB 3 . 3 3 2 2 2 8 1 2 Vậy phương trình mặt cầu S : x y z 7 3 . 3 3 x 1 y 2 z Câu 40: [2H3-2] Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : và cắt hai 1 1 1 x 1 y 1 z 2 x 1 y 2 z 3 đường thẳng d : ; d : là: 1 2 1 1 2 1 1 3 x 1 y 1 z 2 x 1 y z 1 A. . B. . 1 1 1 1 1 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y z 1 C. . D. . 1 1 1 1 1 1 Lời giải Chọn B. Vectơ chỉ phương của d là u 1;1; 1 . A 1 2a; 1 a;2 a Gọi là đường thẳng cần tìm và A  d1 , B  d2 . Suy ra: . B 1 b;2 b;3 3b  Khi đó: AB b 2a 2;b a 3;3b a 1 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 21/30
22. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại  Vì đường thẳng song song với đường thẳng d nên AB cùng phương với u . b 2a 2 b a 3 3b a 1 a 1 A 1;0;1 Suy ra: . 1 1 1 b 1 B 2;1;0 Thay A 1;0;1 vào đường thẳng d ta thấy A d . x 1 y z 1 Vậy phương trình đường thẳng : . 1 1 1 x2 mx Câu 41: [2D1-3] Với tham số m , đồ thị của hàm số y có hai điểm cực trị A , B và AB 5 . x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. m 2 . B. 0 m 1. C. .1 m 2 D. . m 0 Lời giải Chọn B. x2 2x m Ta có D ¡ \ 1 và có đạo hàm là y . x 1 2 1 m 0 Để hàm số có hai điểm cực trị ta phải có m 1 . 1 2 m 0 x1 x2 2 Gọi hai hoành độ cực trị là x1 và x2 ta có . x1x2 m Khi đó điểm A x1,2x1 m và B x2 ,2x2 m . 1 AB 4 4m. 5 5 4 4m 5 m . 4 Câu 42: [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5;0;0 và B 3;4;0 . Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng 5 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 2 Lời giải Chọn A. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 22/30
23. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại z C H y O K B E Ax Ta có C 0;0;c . Dễ thấy tam giác ABC cân tại C . Gọi E 4;2;0 là trung điểm của AB . AB  OC Ta có mặt phẳng OCE vuông góc với AB (do ) và là mặt phẳng cố định. AB  CE Gọi K là trực tâm tam giác OAB , do A , B và K cùng nằm trong mặt phẳng Oxy nên   x 3 OK.AB 0 x. 2 y.4 0 3   3 . Tìm được K 3; ;0 . BK.OA 0 x 3 0 y 2 2 AB  OEC HK  AB Ta chứng minh được KH  CAB do . CA  BHK HK  CA 1 5 Suy ra K· HE 90 . Suy ra H thuộc mặt cầu đường kính KE 1 và 4 2 3 d B, SCD d H, SCD thuộc mặt phẳng OCE cố định. Vậy H luôn thuộc một 2 5 đường tròn cố định có bán kính R . 4 Câu 43: [1H3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 . Tam giác ASO cân tại S , mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng a 3 3a a 3a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 4 Lời giải Chọn D. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 23/30
24. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại S C 60 E D K H O I A B Ta có SAD  ABCD , SAD  ABCD AD ; trong mp SAD , kẻ SH  AD thì SH  ABCD Mặt khác Gọi I là trung điểm OA , vì tam giác ASO cân tại S nên AO  SI , AO  SH HI  OA DC 1 Tam giác ADC vuông tại D có AC AD2 DC 2 2a và tan D· AC AD 3 D· AC 30 AI a 3 2a 3 Tam giác AHI vuông tại I có AH HD . cos30 3 3 2a a 3 Tam giác ABH vuông tại A có HB AH 2 AB2 , AB2 IB.HB IB 3 2 Trong mặt phẳng ABCD , dựng hình bình hành ABEC thì BE // AC , BE  SBE AC // SBE d SB, AC d AC, SBE d I, SBE IB 3 3 Mà nên d I, SBE d H, SBE HB 4 4 Lại có tam giác OAB là tam giác đều cạnh a nên BI  AC BI  BE , BE  SH BE  SBH SBE  SBH và SBE  SBH SB Trong mặt phẳng SBH , kẻ HK  SB thì HK  SBE HK d H, SBE 1 1 1 Tam giác SBH vuông tại H có HK a . HK 2 SH 2 HB2 3 3a Vậy d H, SBE HK a và d I, SBE d H, SBE . 4 4 Câu 44: [1H3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 60 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Góc giữa mặt phẳng SAB và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 24/30
25. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại 21a 21a 3 7a 3 7a A. . B. . C. . D. . 14 7 14 7 Lời giải Chọn C. S B I K C M H 60 N A D Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , M là trung điểm AB a 3 Ta có tam giác ABD là tam giác đều DM và BD a 2 HK BH BH 1 a 3 Kẻ HK  AB HK // DM HK DM. DM DM BD BD 3 6 SAB  ABCD AB , AB  HK , AB  SK (định lí ba đường vuông góc) ·SAB , ABCD S· KH a Tam giác SHK vuông tại H có SH HK.tan 60 . 2 Gọi N là giao điểm của HK và CD HN  CD Ta có CD  SHN ; CD  SCD SCD  SHN và SH  CD SHN  SCD SN Trong mặt phẳng SHN kẻ HI  SN thì HI  SCD HI d H, SCD 1 1 1 2 a Tam giác SHN vuông tại H có , với HN DM HI 2 SH 2 HN 2 3 3 a 7 HI 7 BD 3 3 Lại có d B, SCD d H, SCD HD 2 2 a 7 Vậy d B, SCD . 14 Câu 45: [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại C , ·ABC 60 , x 3 y 4 z 8 AB 3 2, đường thẳng AB có phương trình , đường thẳng AC nằm trên 1 1 4 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 25/30
26. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại mặt phẳng : x z 1 0 . Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi a;b;c là tọa độ điểm C , giá trị của a b c bằng A. 3 . B. 2 . C. .4 D. . 7 Lời giải Chọn B. Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng . Tọa độ điểm A là nghiệm của x 3 y 4 z 8 x 1 hệ 1 1 4 y 2 . Vậy điểm A 1;2;0 . x z 1 0 z 0 Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ B 3 t;4 t; 8 4t . Theo giả thiết thì t 3 0 t 3 . Do AB 3 2 , ta có t 2 2 t 2 2 16 t 2 2 18 t 1 nên B 2;3; 4 . 3 6 3 2 Theo giả thiết thì AC ABsin 60 ; BC AB.cos60 . 2 2 a c 1 a c 1 2 2 2 27 Vậy ta có hệ a 1 b 2 c 2a 2b 8c 9 2 2 2 2 27 2 2 2 9 a 1 b 2 c a 2 b 3 c 4 2 2 7 a 2 7 5 b 3 . Vậy C ;3; nên a b c 2 . 2 2 5 c 2 Câu 46: [2H1-3] Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD 3a , hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng A B C D trùng với trung điểm của A C . Gọi là 21 góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và CDD C , cos . Thể tích khối hộp 7 ABCD.A B C D bằng 3a3 9a3 3 9a3 3a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 26/30
27. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Do DCC D // ABB A và ABCD // A B C D nên góc giữa hai mặt phẳng ABCD và CDD C cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng nên góc giữa hai mặt phẳng A B C D và ABB A và bằng góc O· HB với H là hình chiếu của O lên A B . 9a2 3a2 a 3 Trong A B D có OA 2 A D 2 OD 2 3a2 OA A C a 3 . 4 4 2 a 3 3a . 3a Ta có OH.A B OA .OB OH 2 2 . a 3 4 OH 21 7 3a a 21 cos BH . . BH 7 21 4 4 21a2 9a2 a 3 BO BH 2 OH 2 . 16 16 2 1 1 3a2 3 S AC.BD a 3.3a . ABCD 2 2 2 3a2 3 a 3 9a3 Vậy V . . 2 2 4 Câu 47: [2D1-2] Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số 2x 1 y tại hai điểm phân biệt A , B và AB 4 ? x 1 A. .7 B. 6 . C. 1. D. .2 Lời giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2x 1 x m 2x 1 x m x 1 x2 m 1 x m 1 0 (1) x 1 ( vì x 1 không là nghiệm của phương trình) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 27/30
28. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A , B phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và 2 m 3 2 3 khác 1 m 1 4 m 1 0 m2 6m 3 0 (*) m 3 2 3 x1 x2 1 m Gọi A x1; x1 m , B x2 ; x2 m . Theo định lý Vi-et: . x1.x2 m 1 2 2 2 AB 4 2 x1 x2 4 2 x1 x2 16 x1 x2 4x1x2 8 1 m 2 4 m 1 8 m2 6m 11 0 3 2 5 m 3 2 5 , kết hợp điều kiện (*) và m nguyên dương nên có 1 giá trị m thỏa mãn. Câu 48: [2D2-4] Cho các số a , b 1 thỏa mãn log2 a log3 b 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P log3 a log2 b bằng: A. log2 3 log3 2 . B. . log3 2 log2 3 1 2 C. . log2 3 log3 2 D. . 2 log2 3 log3 2 Lời giải Chọn A. x y x, y 0 Đặt x log2 a ; y log3 b . Ta có: a 2 ; b 3 và . x y 1 x y Khi đó: P log3 2 log2 3 x log3 2 y log2 3 x log3 2 y log2 3 . 2 2 Ta lại có: P x log3 2 y log2 3 x y log3 2 log2 3 log3 2 log2 3 . Vậy Pmax log3 2 log2 3 . x 2 Câu 49: [2D1-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến đó cắt trục tung 2x 3 và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB cân là A. y x 2 . B. .y x 2 C. . yD. x. 2 y x 2 Lời giải Chọn A. x 2 Gọi làC đồ thị hàm số . y 2x 3 m 2 3 Gọi M m; C , m . 2m 3 2 1 Ta có y phương trình tiếp tuyến d của C tại M là: 2x 3 2 1 m 2 1 2m2 8m 6 y x m y x . 2m 3 2 2m 3 2m 3 2 2m 3 2 2m2 8m 6 d Oy A 0; 2 2m 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 28/30
29. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại d Ox B 2m2 8m 6;0 . A O 2 m 1 Ba điểm O , A , B tạo thành tam giác 2m 8m 6 0 . B O m 3 Ta thấy OAB vuông tại O nên theo giả thiết OAB cân tại O OA OB 2m2 8m 6 2m2 8m 6 . 2m 3 2 Vì 2m2 8m 6 0 nên phương trình tương đương với 2 m 1 L 2m 3 1 . m 2 TM Khi đó, d : y x 2 . Câu 50: [2D1-4] Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị C , biết rằng C đi qua điểm A 1;0 , tiếp tuyến d tại A của C cắt C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình 28 phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C và hai đường thẳng x 0 ; x 2 có diện tích bằng (phần 5 tô màu trong hình vẽ). y 1 O 2 x Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và hai đường thẳng x 1 ; x 0 có diện tích bằng 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 4 9 5 Lời giải Chọn D. Ta có y 4ax3 2bx d : y 4a 2b x 1 . Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là: 4a 2b x 1 ax4 bx2 c 1 . Phương trình 1 phải cho 2 nghiệm là x 0 , x 2 . 4a 2b c 12a 6b 16a 4b c 4a 2b c 0 2 . 28a 10b c 0 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 29/30
30. Đề thi cập nhật đề thi mới nhất tại 2 28 4 2 Mặt khác, diện tích phần tô màu là 4a 2b x 1 ax bx c dx 5 0 28 32 8 112 32 28 4 4a 2b a b 2c a b 2c 4 . 5 5 3 5 3 5 Giải hệ 3 phương trình 2 , 3 và 4 ta được a 1 , b 3 , c 2 . Khi đó, C : y x4 3x2 2 , d : y 2 x 1 . 0 0 4 2 4 2 1 Diện tích cần tìm là S x 3x 2 2 x 1 dx x 3x 2x dx . 1 1 5 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 30/30