Đề cương Ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 1: Hàm số và đồ thị

37 trang nhatle22 1540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 1: Hàm số và đồ thị", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_cuong_on_thi_mon_toan_lop_12_chuyen_de_1_ham_so_va_do_thi.pdf

Nội dung text: Đề cương Ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 1: Hàm số và đồ thị

Chuyên đề 01 : A. Hàm số đồng biến trên ( ∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; + ∞) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ∞; + ∞) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ∞; + ∞) . HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ∞; 0) và đồng biến trên (0; + ∞) Giải: A. CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y' 3 x2 3 0,  x (bậc 2_ vô nghiệm nên luôn cùng dấu a với mọi x)  Bảng đạo hàm. Vậy yx' 0,  Chọn C 1. Phép toán: ' u ' u ' u tanu ' ' 2 2 UVUV W ' ' W' 2 u cuos Ví dụ 3 Hàm số y nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? ' 2 x2 1 ' 1'u 1 tanuu ' U . V UV ' U ' V 2 uu A. (0; ) B. ( 1;1) C. (;) D. ( ;0) ' u ' k . U k . U ' ' u' cotu ' log u 2 Trong bài này có 3 giá trị của x ta cần quan tâm là 0, 1 và 1. Các giá trị này ' a sin u u u'. v u . v ' ua.ln rất gần nhau và tương đối nhỏ nên ta có thể bấm máy CASIO ' 2 uu 2 1 cotuu ' vv a u '. a .ln a x f(x) Tập xác định D =R 1 1.4 0.6756 Bằng tổ hợp phím MODE 7 nhập 2. Công thức: sinu ' u '. c os u (Nếu u = x thì u'= 1) 2 1.2 0.8196 ax ba ' c os u ' u '.sin u 3. Đạo hàm hàm hợp: 2 3 1 1 f x 2 , chọn stat 1,4 → and 1,4→ ' ''' nn 1 x 1 u n . u . u ' yx y u. u x 4 1.2195 0.8 step 0,2 (lưu ý, máy chỉ cho ta bảng dưới 20 5 1.4705 0.6 giá trị nên các em chọn cho khéo)  Dạng 1: Xét chiều biến thiên 6 1.7241 0.4 Máy hiển thị 7 1.923 Các bƣớc lập bảng biến thiên của hàm số. 0.2 QUA BẢNG GIÁ TRỊ TA HIỂU 8 0 2 B1: Tìm tập xác định. 9 0.2 1.923 B2: Tính f’(x). Tìm các điểm mà f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. 10 0.4 1.7241 B3: Tính các giới hạn tại các điểm biên mở của tập xác định (VD: 11 0.6 1.4705 D (a;b)  [c ; ) , thì ta phải tính các giới hạn limy ;lim y ;lim y ) (Lƣu ý: cách giải này mang tính tương đối , x a x b x 12 0.8 1.2195 B4: Lập bảng biến thiên. 13 1 1 cơ sở toán học ít nên một số bài người ra đề Định lý: Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm trên K. 14 1.2 0.8196 có thể chống bấm máy) . Từ kết quả trên ta loại đươc B,C,D. Chọn A a) Nếu f'(x) > 0 với  xKthì hàm số y = f(x) đồng biến trên K 15 1.4 0.6756 (Nếu f'(x) ≥ 0 với và f'(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên K Ví dụ 3: Xét chiều biến thiên hàm số y = 4 x2 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K) * Tập xác định: D = [-2;2] b) Nếu f'(x) < 0 với thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K x (Nếu f'(x) ≤ 0 với và f'(x) = 0 chỉ tại hƣu hạn điểm trên K * Ta có : y' , yx' 0 0 . 4 x2 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K) * Bảng biến thiên: Ví dụ 1: Hàm số y x42 23 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (0; 1) . B. ( ∞; 0) . C. (1; + ∞) . D. ( 1; 0) Ta có y’=4x3-4x =0 có 3 nghiệm là x = 0, x = 1 * Vậy -) Hàm số đồng biến trên (–2; 0) -) Hàm số nghịch biến trên (0; 2) Đáp án A 2 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y 2 x x nghịch biến trên khoảng Ví dụ 2 Cho hàm số y x 32 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 1
1 1 a 0 A. (2;+ ) B. 1;2 C. 1; D. ;2 a 0 2 2 ' 0 x12 x b / a hoặc (Lƣu ý: ) HD SỬ DỤNG MÁY TÍNH: 0 (x a) (x a) 0 x .x c / a 12 12 d 2 (x a).(x a) 0 Nhập 2 xx . Căn cứ vào đáp án vẽ trục và điền các 12 dx x ?????? • ax2 bx c 0,  x ( a ; b ) ???? thông số (lần lƣợt cho x bằng -1,1/2, 2 và một số giá trị nằm gữa các khoảng) từ đó ta có (cần thế tại các giá trị và lân của chúng, VD:Tại 2 ta  Hàm trùng phương bậc 4: 42 thế 2 máy báo không xác định , 2+0,001 máy báo không xác định và 2- • Hàm số y ax bx c( a 0) đồng biến trên (0; ) và 1499 0,001máy cho kết quả là âm tƣơng tự tại -1 và 1/2 ) aa 00 2999 nghịch biến trên ( ;0) a. b 0 b 0 • Hàm số nghịch biến trên và Chọn B aa 00 đồng biến trên ( ;0)  Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên a. b 0 b 0 khoảng xác định ax + b  Hàm có dạng y = (c 0) . Nếu c chứa tham số ta phải xét hai (Để nhớ lâu các em nên suy luận từ dạng đồng thị trong phần sau) cx + d  Hàm đa thức bậc 3 cần thì y’ (a 0) là đa thức bậc 2, khi đó: trường hợp c = 0 và c0 . 2 a 0 2 a 0 ad bc 0 • ax bx c 0,  x • ax bx c 0,  x 0 0 • Đồng biến trên (;)  d (;)  a 0 c 2 a 0 • ax bx c 0,  x (0; ) hoặc ' 0 0 ad bc 0 PS 0 và 0 • Nghịch biến trên d (;)  • ax2 bx c 0,  x (0; ) ???????? c a 0  Các dạng đồ thị khác các nên sử dụng định lý trong dạng 1. 2 a 0 32 • ax bx c 0,  x ( ;0) hoặc ' 0 Ví dụ 1: Cho hàm số y x mx (4 m 9) x 5 với m là tham số. Có 0 P•S 0 và 0 bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (;) 2 ? ( Quốc gia – 2017) • ax bx c 0,  x ( ;0) ??????? A. 7 B. 4 C. 6 D. 5 2 a 0 Ta có y' 3 x 2 mx (4 m 9) . Vì a = 3 <0 nên hàm số nghịch biến 2 a 0 • ax bx c 0,  x ( a ; ) hoặc ' 0 trên khoảng khi và chỉ khi 0 x x a a 0 2 12 y' 0,  x m 3(4 m 9) 0 '0 m2 12 m 27 0 9 m 3 Vì m n ê n m 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 . Chọn A Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 2
Ví dụ 1: Cho hàm số y 2 x32 3(2 m 1) x 6 m ( m 1) x 1. Tìm m để hàm số x 2 Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng (2; ) xm 5 Giải: đồng biến trên khoảng ; 10 ? ( Quốc gia – 2018) A. 2 . B. Vô số. C. 1. D. 3 . Có y'0 6 x2 (2 m 1) x m ( m 1)0 (∆ = 1 > 0) 52m Ta có: Tập xác định Dm \5  và y ' xm hoặc xm 1 (xm 5 )2 y' 0  x 5 m Hàm số đồng biến trên ; 10 thì Hàm số đồng biến trên (2; ) yx' 0  2 mm 1 2 1 5m ( ; 10) 32 5mm 2 0 2 / 5 Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3x 3mx 1 (1) , với m là tham số thực. 2 / 5 m 2 Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; + ) 5mm 10 2 D và y' 3 x2 6 x 3 m Vì m nguyên nên m =1 hoặc m = 2 . Chọn A 42 Cách 1: (Phƣơng pháp hàm số) Hàm số (1) nghịch biến trên()0;+ Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y mx ( m 2) x 2 nghịch biến trên (0; ) y' 0  x () 0;+ m x2 2 x ,  x (0; ) (*) A. Không tồn tại m B. m 0 C. 02 m D. m 2 2 Phƣơng pháp 1: hệ số a = m chứa tham số nên ta chia hai trường hợp Xét hàm số: g(x) = x – 2x trên (0; + ) Thường hợp 1: m = 0 ta có hàm y = 2x2 +2 x - 0 1 g’(x)= 2x – 2 − − 0 + g(x) Vậy m = 0 không thỏa nãm −1 Thường hợp 2: m ≠ 0, ta có: a 0 Ta thấy (*) xảy ra khi m min g ( x ) 1 y mx42 mx 2 đồng biến trên (0; ) x (0; ) b 0 Vậy m -1 thì yêu cầu bài toán được thoả mãn. Cách 2: (Áp dụng định lý Vi-et) Hàm số (1) nghịch biến trên ()0;+ mm 00 (Vô lý) Chọn A (mm 2) 0 2 ' 0 'm 9 9 0 Phƣơng pháp 2: Thế giá trị ' 0 ' 9 9 m 0 3 y' 0  x () 0;+ m 1 Ta có y’ = 4mx 2(m 2)x. Từ các đáp án ta lần lượt thế m bằng P 00 P m 0,1, 3 và xét dấu y’ từ đó cho kết quả tương tự (tuy nhiên các em cũng cần S 0 20 S voâ lyù nắm phƣơng pháp 1 bởi có bài toán các khoảng trong đáp án có sự trùng Cách 3: TH1: ' 9 9 m 0 m 1 lặp ta phải thế rất nhiều giá trị) tanx 2 y' 0 với  x hàm số nghịch biến trên(0;+ ) Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y TH2: ' 9 9 m 0 m 1 tan xm đồng biến trên khoảng 0; ( Đề minh họa– 2017) 4 Để hàm số (1) nghịch biến trên (0; + ) thì A. m 0 hoặc 1 m 2. B. . C. D. m 2 . y' 0  x () 0;+ 1 1 m 0 (vô ngiệm) Kết luận m 1 thỏa mãn bài toán Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 3
11 C. ( ; 2) và (0;2) D. ( 2;0) và (2; ) (tanx m ) (tan x 2) cos22xx cos 2 m x 5 1 1 y ' 2 2 2 Câu 4: Cho hàm số: (I) y , (II) y , (III) y . (tanx m ) cos x (tan x m ) x 1 cosx xx3 Hàm số nào nghịch biến trên trong khoảng xác định? Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi hàm số xác định trên A. Cả (I), (II), (III) B. Chỉ (II) C. Chỉ (I) D. Chỉ (I) và (III) 4 Câu 5: Cho hàm số f( x ) 2 x32 3 x 12 x 5. Hãy tìm mệnh đề sai tanxx ,  0; m 0 trong các mệnh đề sau? và y’ ≥ 0 ∀ x ∈ 4 A. fx() giảm trên khoảng ( 1;1) . B. fx() giảm trên khoảng ( 1;3) . 12 m 20 m C. fx() tăng trên khoảng ( 3; 1) D. fx() tăng trên khoảng (5;10) . Chọn A . Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số Câu 6: Cho hàm số y 2 x x 2 nghịch biến trên khoảng 1 y x3 mx đồng biến trên khoảng 0; ( Đề minh họa– 2018) 1 1 5x5 A. (2;+ ) B. 1;2 C. 1; D. ;2 2 2 1 Ta có y 3 x2 m . TXĐ D / {0} x3 x6 Câu 7: Hàm số y 2 có tính chất nào dưới đây? Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (x 1) A. 2 khoảng nghịch biến. 2211 m3 x ,  x 0; m min 3 x (*) B. 2 khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. xx66x 0; C. 1 khoảng đồng biến. 1 1 1 D. 1 khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Mà 3x2 x 2 x 2 x 2 4.4 x 2 . x 2 . x 2 . 4 x6 x 6 x 6 x3 Câu 8: Hàm số y nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 (Các em có thể lập bảng biến thiên hàm yx 3 2 ) x 2 x6 A. ( ;2) và (2; ) B.(0;3) C. (3; ) D. (0; ) Do đó từ (*) suy ra mm 44 mx 1 V ậy có 4 giá trị nguyên âm của m là 1, 2, 3, 4 thỏa mãn yêu cầu. Chọn D Câu 9: Hàm số y đồng biến trên các khoảng xác định khi chỉ khi. xm  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. A. m2 10 B. m 1 C. m 0 D. m2 10 3 2 2 Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên . Câu 10: Tìm m để hàm số y mx x x m nghịch biến trên . B. 1 1 1 41x 42 42 B. m C. 0 m D. m A. y 3 C. y x x 1 D. y x4 x A. Không tồn tại m x 2 yx 1 3 3 3 32 x2 2 mx m Câu 2: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y x 34 x ? Câu 11: Hàm số y tăng trên từng khoảng xác định của nó khi: x 1 A. ( 2;0) B. ( ; 2) và (0; ) A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 C. ( ;0) và (2; ) D. (0;2) 1 Câu 3: Khoảng nghịch biến của hàm số y x42 25 x là: 4 A. ( ;0) B. (0; ) Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 4
B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:  Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số. B1:Tìm tập xác định. B2:Tính f’(x).Giải f’(x) = 0, tìm x mà f’(x) không xác định. B3. Tìm giới hạn,lập bảng biến thiên.  QUI TẮC I Mệnh đề nào dưới đây là sai ? (QG 2017) B4: Kết luận: Qua x0 mà: A. Hàm số có ba điểm cực trị. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. .y' đổi dấu từ (+) sang(-) thì xCĐ = xo ; yCĐ = y(x0) C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. D. Hàm số có hai điểm cực tiểu ۩ (( y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì x = x ;y = y(x ۩ CĐ 0 CT 0 Chọn C vì hhàm đạt cực tiểu tại 0 còn giá trị cực tiểu là 3 B1: Tìm tập xác định. Ví dụ 3. Cho hàm số y ax32 bx cx d B2: Giải phƣơng trình f’(x) = 0, tìm các nghiệm xi B3: Tính f ”(x) và f ”(x ) a b c d , có đồ thị như hình vẽ bên.  QUI TẮC II i B4: Dựa vào dấu của f ”(xi) suy ra cực trị. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là + f”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi. A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. + f”(xi) 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 yct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 ycđ =71 HƢỚNG DẪN BẤM MÁY CASIO 570 VN PLUS d 22 Chú ý: Có thể dùng máy tính CASIO để tính bằng sử dụng MODE 7 để đưa  Bấm xx 2 ra bảng giá trị và dự đoán trong bài toán trắc nghiệm dx x  Nhập lần lượt x =1, x= 1+0,000001 và x= 1 0,000001 vào ô vuông, máy Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 5
cho kết quả .Vì y’ không đổi dấu (loại A ). Khi đó y'' 9 s in 6 s in 3 3 0 nên xCD /3.Chọn D 33  Tương tự (loại B)  Nếu với mọi m, ta tính y”(xo) và xét 2 trƣờng hợp:  Nhập lần lượt x =0 , x= 0+0,000001 và x= 0 0,000001 vào ô vuông, máy Trƣờng hợp 1: y”(xo) = 0 cho kết quả . Vì y’ đổi dấu từ âm sang dương Trƣờng hợp 2: y”(x ) ≠ 0 thì y”(x ) > 0 (nếu x là điểm cực tiểu) o o o hoặc y”(x ) 0 m < 2 y'(2) 0 3.(2)2 6mm .2 1 0 m 1 Kết luận: Chọn B 2  Nếu và y”(x ) = 0 với mọi m ta phải chuyển sang hàm số Khi đó : y' 3 x 6 x và y” = 6x− 6 o khác có tính tƣơng đồng về hoành độ cực trị y'(2) 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y''(2) 6 0 y f( x ) x8 ( m 2) x 5 ( m 2 4) x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0? (QG 2018) Vậy m = 1 là giá trị cần tìm (có thể xét dấu y’ để kiểm tra với m = 1). A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. Vô số. Cách 2: BẤM MÁY TÍNH Ta có: f'( x ) x2 8 x 5 5( m 2) x 2 4( m 2 4) x d 32  Cho m = 2 bấm x – 3.2x (2 1)x 2 Nhập x=2+0,0000001 và dx x Dễ thấy f’(0)=0 và f”(0) = 0 với mọi m x=2 0,0000001 vào ô vuông ta thấy y’ không đổi dấu. Vậy A loại Tính luân phiên đổi dấu của y’cũng tương ứng với tính luân phiên đổi dấu 5 2 2  Tương tự cho đến đáp án đúng là C của g' x 8x 5( m 2) x 4( m 4) x (Lƣu ý thay vì kiểm tra theo y’ ta có thể sử dụng MODE 7 để kiểm tra, nên (y = f(x) và y = g(x) có sự tƣơng đồng về hoành độ cực trị) chọn star 1,5 và and 2,5 (chứa 2) và step 0,1 cho dễ quan sát) g'' x 40x42 10( m 2) x 4( m 4) Ví dụ 2. Với giá trị nào của m thì hàm số y sin3 x m sin x đạt cực đại tại 2 Dễ thấy g’(0)=0 với mọi x và m và g”(0) = 4(m 4) điểm x /3 Ta xét các trường hợp sau: A. m  B. m ( ; 5) C. m ( 5;5) D. m (5; ) 2 * Nếu m 4 0 m 2 Ta có y' 3 c os3 x mc os x , y'' 9 s in3 x ms in x Khi m 2 y 8x7 x = 0 là điểm cực tiểu m 2 nhận 4 4 Hàm số đạt cực đại tại điểm Khi m 2 y x (8x 20 x = 0 không là điểm cực tiểu. * Nếu 0 m 2. Khi đó x 0 là điểm cực tiểu thì Suy ra: y' 0 3 c os mc os 0 m 6 2 33 g' 0 = 0 và g 0 0. Khi đó 4(mm 4) 0 2 2 Vì m nguyên nên m= 1,0,1 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m. Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 6
 Dạng 3. Tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị. m 20 m 2 . Vậy m 3;1 \ 2 ' 3mm2 6 9 0 31 m Hàm số y f x có cực trị y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm. () 4 2 2 32 Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = mx + ( m - 9)x + 10 có 3 cực trị .  Hàm số y ax bx cx d ( a 0) có cực trị (hai cực trị) Giải: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ∆ > 0 ) Vì m = 0 thì y là hàm bậc 2 nên không thể có 3 cực trị vậy m ≠ 0 .  Hàm số không có cực trị y’ = 0 vô Hàm số có 3 điểm cực trị m(m2 9) 0 ( Vẽ trục – xét dấu) nghiệm hoặc có nghiệm kép( ∆ ≤ 0) m 3 hoặc 0 < m < 3.  Hàm số y ax2 bx c ( a 0) luôn có 1 điểm cực trị Ví dụ 4:Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 4 3 2  Hàm số y ax42 bx c ( a 0) có y 3 x 4 x 12 x m có 7 điểm cực trị? +) Hàm số có 3 cực trị ab.0 A. 3 . B. 5 . C. 6. D. 4. +) Hàm số có 1 cực trị ab.0 Xét hàm y 3 x4 4 x 3 12 x 2 m có y' 12 x32 12 x 24 x ax11 b Cho y’ =0 ta giải ra 3 nghiệm 1,0,2, từ đó có bảng biến thiên  Hàm số y ( a2 0, D a 1 b 2 a 2 b 1 0) không có cực trị. ax22 b 1 Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x32 mx ( m 6) x 1 có 2 điểm cực trị. 3 m 3 m 3 A. . B. . C. 23 m . D. 23 m . m 2 m 2 Hàm số được suy ra từ hàm số + Tập xác định D = R ; y' x2 2 mx m 6 . bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục hoành và Để hàm số có cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt và y' lấy đối xứng phần phía dưới trục tung. 2 m 3 Do đó để có 7 điểm cự trị thì đổi dấu qua hai nghiệm đó ' mm 6 0 . Chọn A m 2 Cách 2: Thế đáp án Từ đáp án ta cần thế m bằng các giá trị 3, 2, 0, 3, 4 vào y’ và xét dấu m 0 2 m = 3 thì y' x 6 x 3 (2 nghiệm- đổi dấu qua nghiệm )- (nhận) Suy ra 5 mm 0 0 5 . Chọn D 2 m = 2 thì y' x 4 x 4 (nghiệm kép) - (loại) 32 m 0 2 m = 0 thì yx'6 (vô nghiêm) - (loại)  Dạng 4. Tìm tham số để hàm có n cực trị thỏa 2 m = 3 thì y' x 6 x 9 (nghiệm kép) - (loại) mãn tính chất nào đó. 2 m = 4 thì y' x 8 x 10 (2 nghiệm- đổi dấu qua nghiệm) - (nhận)  Cách 1: Tìm trực tiếp ra tọa độ các điểm cực trị theo tham số. Từ Ví dụ 2: T×m m ®Ó y (m 2)x32 3x mx 5cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu điều kiện tham sô.  Cách 2: Chuyển hóa dữ kiện bài toán thành phƣơng trình (ẩn là Tập xác định: D = R và y' 3( m 2) x2 6 x m tham số) bằng vi-et Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ph•¬ng tr×nh y'(x) 0 cã 2 nghiÖm  Cách 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại ,cực ph©n biÖt tiểu của hàm bậc 3(chia y cho y' phần dƣ là phƣơng trình cần tìm)  Cách 4: Điểm M có hoành độ x là điểm cực trị thì y'(x )=0 3(m 2)x 2 6x m 0cã 2 nghiÖm ph©n biÖt o o Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 7
2 '2 5 Ví dụ 1: Cho f( x ) x3 ( m 1) x 2 ( m 2 4 m 3) x 4mm 5 0 m (*) 3 4 a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. b) Gọi các điểm cực trị là x1,x2. Tìm max của A= x1 x 2 2( x 1 x 2 ) 2 a) f'()2 x x22 2( m 1) x m 4 m 3 Đ S:–5m 1 2m 1 4m m 5 xx 2 là điểm cự tiểu b) Ta có x1,x2 là nghiệm phương trình: f '(x) = 0 3 2 x12 x ( m 1) 2m 1 4m m 5 7 Theo định lý viét : 2 Theo bài ra: 1 m ( ) x12 x (1/ 2)( m 4 m 3) 3 5 12 1 9 57 Khi đó: A x1 x 2 2( x 1 x 2 ) 9 ( m 4) .9 Kết hợp (*) và ( ) ta được m ;1  ; 2 2 2 45 (hs lập bảng biến thiên g m = 9 - (m + 4)2 trên (-5;-1)) Ví dụ 4: Cho hàm số: y = x3 + ax2 + bx +c có đồ thị (C). Xác định a+b+ c Dấu ' = ' khi m = –4 ( 5; 1) Max A= 9 / 2 khi m = – 4. biết rằng (C) có một điểm cực trị ( 2;0) và đi qua điểm A(1 ; 0). A. 1 B. 1. C. 0 D. Không tồn tại 1 32 Ví dụ 2: Cho hàm số: y mx m 1 x 3 m 2 x .Có bao nhiêu giá trị 2 3 Ta có: D = R ; y f x 3x 2ax b thực của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thoả mãn: x1+ 3x2 = 1? Vì (C) có một điểm cực trị (-2 ; 0) và qua điểm A. 1 B. 2. C. 3 D. Không tồn tại f 2 0 12 4a b 0 + D = R , y 0 mx2 2 m 1 x 3 m 2 0 1 A 1; 0 , nên f 2 0 8 4a 2b c 0 Trước tiên để hàm số có 2 cực trị là pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . f 1 0 1 a b c 0 33 m0 m0 m 1 hoac m 1 3 2 (2) Giải ra ta được a = 3 , b = 0 , c = -4. Vậy: y = f(x) = x + 3x – 4. 2 22 0 4m 8m 1 0 2 m0 Thử lại , ta có: y fx 3x 6x;y f x 6x6 5m 6 Suy ra : f 2 12 6 6 0 x12 3x 1 a x 1 2m Hàm số đạt cực trị tại x = -2. Vậy: a = 3, b = 0,c = −4. Chọn D Ta có: 2 m 1 . Từ (a) và (b) (Nếu đáp án D là số thì không phải thực hiện bƣớc thử lại) S x12 x b m2 m 3 2 2 3 x2 Ví dụ 5: Cho hàm số y x 3 mx 3( m 1) x m m (1).Tìm m để 3 m 2 2m P x .x c hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị 12 m hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của 5m 6 m 2 3 m 2 m2 Thay vào (c): (đều thoả (2)) đồ thị hàm số đến góc tọa độ O. 2 m 6 / 7 , 2 2 4m m Vì y 3 x 6 mx 3( m 1) có 36 0, m nên hàm luôn có cực trị ĐS : m = 2 , m = 6/7. Chọn B y, 3 x 2 6 mx 3( m 2 1) 0 x m 1 Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 Cực đại của đồ thị hàm số là A(m 1; 2 2m) và cực tiểu của đồ thị hàm (Cm) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1. 2 số là B(m+1; 2 2m) ( HS cần xét dấu y’) Ta có: Tập xác định D = R , y 3x 2 1 2m x 2 m 2 Theo giả thiết ta có OA 2 OB m 6 m 1 0 m 3 2 2 Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x < x 1 2 Vậy có 2 giá trị của m là m 3 2 2 . Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 8
Ví dụ 6: Tìm m (thực) sao cho đồ thị hàm y = x4 + 2mx2 + 1 có ba điểm xx2 1 Câu 4: Hàm số fx() có bao nhiêu điểm cực trị? cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. ( Minh họa 2017) x2 1 1 1 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 A. m = . B. m = 1. C. m = . D. m = 1 3 9 3 9 xx2 41 Câu 5: Đồ thị hàm số y có 2 điểm cực trị nằm trên x 1 32 x 0 y' 4 x 4 mx 0 4 x ( x m ) 0 đường thẳng có phương trình y ax b , trong đó tích ab bằng: xm2 A. -2 B. -8 C. -6 D. 4 Để có 3 điểm cự trị thì a.b 0 m 0 . Ta loại đi đáp án C và D Câu 6: Hàm số sau có bao nhiêu điểm cực trị y (2 x2 1) 3 ( x 2 1) 2 ? Thử với đáp án B: với m = 1 ta có y’ = 0 có 3 nghiệm x = 0; x = 1; x = 1  3 điểm cực trị của là: A(0;1); B(-1;0); C(1;0) A. 5 B. 7 C. 3 D. 4 Ta thử lại bằng cách vẽ 3 điểm A, B, C trên cùng hệ trục tọa độ và tam giác Câu 7: Hàm số y x 2/ x này vuông cân. Chọn B A. không có điểm cực trị B.có một điểm cực trị là 0 Ví dụ 7: Cho hàm số y x32 32 x mx (1) với m là tham số thực. Xác C. có ba điểm cực trị là 2 ,0 và 2 D.có hai điểm cực trị là 2 và định m để hàm số (1) có cực trị đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực x2 22 mx Câu 8: Hàm số y đạt cực đại tại x = 2 khi: trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. xm A. m 32 B. m 32 C. m 1 D. m 1 A. không tồn tại m B. m 1 C. m 1 D. m 1 y' 3 x2 6 x m . Để có điểm cự trị thì y’=0 phải có hai nghiệm phân Câu 9: Với giá trị nào của m thì hàm số y x3 3 mx 2 3( m 2 1) đạt cực biệt ' 0 9 3mm 0 3 đại tại điểm x 1? 1 1 2mm 6 6 A. m 1/ 2 B. C. m 2 D. m  Lấy y chia y’ suy ra: y x .' y x 42 3 3 3 3 Câu 10: Biết đồ thị hàm số y x 2 px q có điểm cực trị là M (1;2) . 2mm 6 6 Hãy tính khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số? Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là yx (d) 33 A. 2 B. 26 C. 5 D. 2 Vì d cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân nên d song song Câu 11: Cho hàm số y (1 m ) x42 mx 2 m 1. Tìm m để hàm số có với 1 trong hai đường thẳng y = x hoặc y = x đúng 1 cực trị? m 3 / 2 26m 6 m A. m 1 hoặc m 0 B. m 0 hoặc m 1 C. m 1 D. m 0 1 0 .Chọn B 3 3 m 9 / 2 loai Câu 12: Xác định m để hàm số y x4 mx 3 2 x 2 3 mx 1 có 3 cực trị?  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. A. m 1 B. m 3 / 4 C. m 4 / 3 D.  m Câu 1: Đồ thị của hàm số y = x3 - 3x2 có hai điểm cực trị là: 1 A. (0 ; 0) và (1; 2) B. (0 ; 0) và ( 2; 4) Câu 13: Tìm m để hàm số y x32 mx (2 m ) x 1có cực trị ? C. (0 ; 0) và (2; 4) D. (0 ; 0) và (2 ; 4) 3 A. 12 m B. m 1 C. m 2 D. m 1hoặc m 2 1 42 Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số y x 26 x là: Câu 14: Có 2 giá trị của m để y x32 ( m 2) x (1 m ) x 3 m 1 đạt cực 4 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 trị tại các điểm xx12, mà xx12 2 .Khi đó tổng của 2 giá trị tham số là: 1 A. -3 B. -1 C. -5 D. -7 Câu 3: Điểm cực đại của hàm số y x42 23 x là: 2 Câu 15: Tìm m để hàm số y 2 x32 3( m 1) x 6 m (1 2 m ) x có cực đại và cực A. x 4 B. x 2 C. x 2 D. Kết quả khác. tiểu nằm trên đường thẳng yx 4 . Đáp số: m 1 A. m 1 B. C. m 1 D. không tồn tại m Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 9
C. TIỆM CẬN HÀM SỐ Điều kiện: xx2 1 0 ( ; 1)  (1; )  Các định nghĩa: Tập xác định D ( ; 1)  (1; ) * Định nghĩa tiệm cận ngang: Cho hàm số y f (x) xác định trên một 2 khoảng vô hạn. Đường thẳng y = y là đường tiệm cận ngang của đồ thị lim y ( dạng ) x 1 là 1 tiệm cận đứng của (C). 0 0 hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: x ( 1) 2 limf ( x ) y0 hoặc limf ( x ) y0 lim y ( dạng ) x 1 là 1 tiệm cận đứng của (C). x x x (1) 0 * Định nghĩa tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x được gọi là tiệm cận 0 22xx đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau limy lim lim 2 y = 2 là 1 tiệm cận ngang của (C). được thoả mãn: limfx ( ) hoặc limfx ( ) hoặc x x ||xx x xx xx 22xx 0 0 limy lim lim 2 y 2 là 1 tiệm cận ngang của (C). limfx ( ) hoặc limfx ( ) . x x ||xx x xx xx 0 0 x 93 Ví dụ 3(QG 2018). Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là ax + b d a 2 * Chú ý: y= ,(c 0;ad bc 0) Có TCĐ: x và TCN: y xx cx + d c c A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.  Dạng 1: Tìm tiệm cận khi cho công thức hàm. Giải: x 90 x 9 Bƣớc 1: Tìm tập xác định D Điều kiện 2 Bƣớc 2: Tìm giới hạn tại các biên mở của D xx 0 xv 0 à x 1 Bƣớc 3: Kết luận (Căn cứ định nghĩa) Tập xác định D  9; \ 1;0  9; 1  1;0  0; 1 Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị (C) hàm số y . Như vậy ta phải tính gới hạn tại 1 và 0 để tìm tiệm cận đứng x 2 x 93 A.x=2 và y=0. B. x= 1 và y=2. C. x= 2 và y=0. D. x = 1 và y = 2. lim x 1 là tiệm cận đứng. 2 Giải: x ( 1) xx (Nếu kết quả chƣa phải là vô cùng ta tiếp tục tính giới hạn trái) Tập xác định D \ 2 ( ; 2)  ( 2; ) x 9 3 1 1 lim . Chọn D Ta có: limy lim x 0 2 x 2 xx 6 xx ( 2) ( 2) HƢỚNG DẪN BẤM MÁY ĐỂ DỰ ĐOÁN GIỚI HẠN Nên đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của (C). x 93 1  Nhập 2 (lƣu ý X là chữ màu đỏ các em cần bấm 2 phím 10 xx Vì limy lim limx 0 . x 2 2 1 ALPHA và X để nhập X ) x x x 1 x Bấm Phím CALC chọn X = 1+ 0.0000000001 (để dự đoán kết quả gới Nên y = 0 là tiệm cận ngang của (C). hạn phải của 1) . Máy hiển thị 171572875 (số rất lớn) ta dự đoán kết quả (Nếu áp dụng chú ý ở trên thì a =0, b = 1, c =1 , d = 2) gới hạn này là 2x  Bấm Phím CALC chọn X = 0+ 0.0000000001 bấm = Máy hiển thị 1/6 Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y (Kết quả gới hạn phải tại 0) x2 1  Bấm Phím CALC chọn X = 0 0.0000000001 bấm = Máy hiển thị 1/6 Giải: Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 10
 Dạng 2: Tìm tiệm cận khi cho bảng biến thiên hoặc đồ thị x 1 Ví dụ 1. Tìm m để y có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang . Từ bảng biến thiên hay từ đồ thị ta dễ dàng suy ra tập xác định và mx 2 các giới hạn tại các biên mở của tập xác định Giải: Yêu cầu bài toán tương đương Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có tập xác c 0 mm 0 0 định D \ 1,1 và có đồ thị là nét liền adbc0 2+m0 m 2 như hình vẽ (không tính hai trục tọa độ) . Biết hàm số có hai tiệm cận đứng là x = a, x 1 Ví dụ 2. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số y có hai tiệm cận x = b và một tiệm cận ngang y = c . mx2 1 Tính a+b+c. ngang. (Minh họa lần 1 – năm 2017) A. 1 B. 0 C. 2 D. 1 A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. m 0. C. m 0. D. m 0. Giải: Giải: 2 Từ đồ thị ta thấy hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 1 , x = 1 và một tiệm  Điều kiện mx 1 > 0 cận ngang là y = 0  Để hàm số có tiệm cận ngang thì tập xác định của hàm số phải chứa Vậy a+b+c = 1 + ( 1) + 0 = 0 khoảng (a;+ ) hoặc ( ;b) và giới hạn vô cùng là một số Chọn B  Do đó m 0 và lim y bằng một số x Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau 1 x 1 x x  Ta có: limy lim lim bằng một số m 0 x x 1 x mx|| ||xm x2  Vậy m 0. Chọn D Hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận ngang và đứng? Cách giải thế đáp án A. 1 B. 2 C. 3 D. 4  Cho m = 0 thì yx 1, không có tiệm cận (loại C) Giải: x 1 Từ bảng biến thiên ta thấy  Cho m = 1 thì y , tập xác định D = R và limy 1 nên hàm có 2 x Tập xác định : D ( ; 2)  ( 2;2)  (2;5)  (5; ) x 1 một tiệm cận ngang. Chọn D Và : lim y = 5 . Nên y = 5 là tiệm cận ngang x+ 31x mx2 Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng. lim y = . Nên x = 2 là tiệm cận đứng x 1 2 x ( 2) A. m 1. B. m 1. C. 15 m . D. m 1và m 10 . lim y = . Nên x = 5 là tiệm cận đứng Giải: x5 Các kết quả giới hạn khác không cho ta tiệm cận mx2 10 Vậy có ba tiệm cận ngang và đứng. Chọn C  Điều kiện . Suy ta tập xác định có biên mở tại x=1 x 1  Dạng 3: Biện luận tham số để hàm số có cực trị  Do đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi có một trong các giới hạn lim y hoặc lim y x 1 x 1 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 11
2 2  Ta có lim 3x mx 1 3 m 1 với m 1. Do đó với m 1 thì 5x x x 2 x 1 Câu 5: Cho 3 hàm số (I) y , (II) y , (III) y . 2 x x 1 xx2 32 hàm số không có giới hạn khi x 1 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận Hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x 2 làm tiệm cận đứng? đứng. A. (I) và (III) B. (I) C. (I) và (II) D. (III)  Nếu 0 3 mm 1 10 , khi đó: mx 1 22 Câu 6: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y có tiệm cận 3x 10 x 1 x 1 2xm lim2 lim xx 11 x 1 3x 10 x2 1 x 1 2 đứng đi qua điểm A( 1; 2) ? x 1 x 1 A. m 2 / 2 B. m 0,5 C. m 0 D. m 2 lim lim x 1 3x 10 x2 1 x 1 x 1 3x 10 x2 1 x 1 Nên đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2  Với và m 10 thì lim 3x mx 1 3 m 1 0 và x 1 2 lim x 1 0 suy ra lim y Nên đường thẳng là tiệm cận đứng x 1 x 1 của đồ thị hàm số.  Vậy Chọn B Nếu dùng phƣơng pháp thế giá trị ta phải xét m bằng 0,1,5,10. Tức là phải tìm tiện cận đứng của 4 hàm số.  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. x 2 Câu 1: Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y ? x 1 A. yx 1; 1 B. yx 1, 2 C. y x 2, x 1 D. yx 2, 1 3x2 Câu 2: Đồ thi hàm số y 2 có các đường tiệm cận đứng và ngang là: xx A. xx 0 ; 1 ,3y B. xy 0 ; 1 C. xy 1 ; 3 D. xy 0 ; 3 x Câu 3: Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và x2 1 tiệm cận ngang? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 4: Phương trình đường tiệm cận ngang hàm số y x2 25 x ? A. y 1 B. y 1 C. yx 21 D. Không tồn tại tiệm cận Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 12
D. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Hàm đa thức bậc 3 Dấu của a  7 BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ a>0 a 0 a 0) b Cho f x ax2 bx c (a 0) , b 2 4 ac , ' b ' 2 ac , b ' 2 1 cực trị +) Nếu Δ 0 nhánh cuối cùng bên phải đi lên, +) Nếu Δ > 0 (Δ’>0), tam thức có 2 nghiệm (x1 0 ad bc <0 và y' luôn đổi dấu qua các nghiệm của nó.  Chiều biến thiên (Quan sát BBT)  Tìm cực trị(Quan sát BBT).  Vẽ đồ thị (nhìn vào BBT hình dung đồ thị): • Xem xét tính chất đối xứng,tuần hoàn (nếu có): + Bậc3:Tâm đối xứng là điểm uốn (hoành độ điểm uốn là nghiệmy''= 0) +) HS bậc4 (trùng phƣơng): trục đối xứng là trục Oy +) Phân thức (bậc 1/ bậc 1) tâm đối xứng là giao hai tiệm cận • Vẽ các tiệm cận(nếu có) • Điểm đặc biệt: Các điểm cực trị,giao với các trục, điểm nguyên. Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 13
 Dạng 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 3. Khảo sát,vẽ đồ thị hàm số y x32 31 x Nắm 7 bƣớc khảo sát hàm số.  Tập xác định: D . 2 Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y x42 23 x .  Đạo hàm: y’ = – 3x + 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2. 42  Giới hạn: limyy , lim  Tập xác định: D = ( y f( x ) x 2 x 3) xx  Đạo hàm: y'3 44 x x 0 x 1 hoặc x = 0  Bảng biến thiên:  Giới hạn: lim y , lim y x x  Bảng biến thiên:  Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên (– ;0) ,(2;+ ) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)  Cực trị: Điểm cực đại Đ(2;5)  Chiều biến thiên: Điểm cực tiểu T(0, 1) Hàm số đồng biến trên ( 1;0) và (1; ) .  Vẽ đồ thị: + yx'' –6x 6 0 1 Hàm số nghịch biến trên ( ; 1) và (0;1) Điểm uốn U(1; 3) là tâm đối xứng.  Cực trị: Điểm cực đại Đ(0;−3) + Điểm khác: (1;5), (3;1) Điểm cực tiểu T1(1, −4) và T2(1,−4) 21x  Vẽ đồ thị: Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của y = . x 1 x 3 –1 0 1 3  Tập xác định: D \{1} y 0 –4 –3 –4 0 1 y'0  x D - Hàm số chẵn, đối xứng qua trục tung.  Chiều biến thiên: (x 1)2 Ví dụ 2. Cho hàm số 42 có đồ thị (C). Tìm khẳng định sai y x 2 x  Cực trị: Hàm số không có cực trị. trong các khẳng định sau:  Giới hạn và tiệm cận: A. Khi x ( 1;2) thì đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m không quá 3 điểm. • limy 2 ; limy 2 y = 2 là tiệm cận ngang B. Khi xy ( 1;2) ( 8;1). x x 2xx 1 2 1 limyy lim ; lim lim x = 1 là tiệm cận đứng C. Đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;0) và B(0; 1) cắt (C) tại 2 điểm. xx 11 xx 11xx 11 D. Đường thẳng đi qua 2 điểm C( 1;0) và D(0; 1) cắt (C) tại 3 điểm.  Bảng biến thiên. Trong ví dụ này ta phải vẽ được đồ thị hàm số một cách nhanh nhất 3 y' 4 x 4 x 0 có 3 nghiệm x =0 và x 1  Chiều biến thiên: Vì a âm nên ta dễ dàng suy ra đồ thị (C) Hàm số nghịch biến trên ( ;1) ; (1; ) Qua đồ thị (C) ta thấy D sai. Chọn D  Cực trị: Hàm số không có cực trị.  Đồ thị - Giao của đồ thị hàm số và Ox: y = 0 x=1/2 - Giao của đồ thị hàm số và Oy: x = 0 y=1 - Điểm I(1;2) là tâm đối xứng. Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 14
 Dạng 2: Nhận dạng đồ thị  Dạng 3: Suy luận đồ thị Để làm đƣợc dạng này cần lƣu ý: Để làm đƣợc dạng này các em cần phải ƣu tiên: . y > 0 khi đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành . Nắm được đặc điểm của các hàm . y 0 khi đồ thị hàm số nằm phía phải trục tung . Các đường tiệm cận (nếu có) . x < 0 khi đồ thị hàm số nằm phía trái trục tung . Các điểm cực trị , số cực trị . Đồ thị đi xuống trên (a;b) thì hàm số nghịch biến trên (a;b) . Tính chất đồng biến, nghịch biến . Đồ thị đi lên trên (a;b) thì hàm số đồng biến trên (a;b) Ví dụ 1. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của Ví dụ 1. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? (QG 2018) ax b 42 32 hàm số y với a, b, c, d là các số thực. A. y x 3x 1. B. y x 3x 1. cx d C. y x32 3x 1. D. y x42 3x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ? ( QG 2017) A. yx 0,  B. yx 0,  Đường cong trong hình vẽ có dạng trùng phương bậc 4 (loại B, C). C. yx 0,  1 D. yx 0,  1 Nhánh phía ngoài cùng bên phải đi xuống nên a âm Đáp án D Đây là hàm số dạng phân thức dạng nghịch biến trên 2 khoảng xác định, có tiệm cận đứng x =1. Chọn D Ví dụ 2: Biết hình dưới đây là đồ thị của một 32 trong bốn hàm số sau, hỏi đó là đồ thị của hàm Ví dụ 2. Cho hàm số y 2x bx cx d số nào? có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau A. y x42 2x . B. y x42 2x 1. đây đúng ? A. c2 b 2 d 2 B. b d c C. y x42 2x . D. y x42 2x . C. b c d 1 D. bcd 144 Phƣơng pháp: Dựa vào các điểm mà đồ thị hàm Trên đồ thị ta thấy số đi qua. Dạng trùng phương bậc 4 có 3 cực trị nên a,b trái dấu (loại D) Có a dương (nhánh phải đi lên) (loại C) Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;4 d 4 Đi qua điểm gốc tọa độ O(0;0) (loại B, chọn A) Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;1 2bc4 1bc 3 Ví dụ 3: Đồ thị hình bên là của hàm số: Đồ thị hàm số đi qua điểm 2;0 2.8 4b 2c 4 0 2b c 6 32 x 12 x A. y B. y Từ đó ta suy ra b9 và c 12 b c d 1 x 1 x 1 12 x 12 x Ví dụ 3. Cho hàm số fx xác định trên R và hàm số y f ' x có đồ thị C. y D. y 1 x x 1 như hình bên dưới: Xét các khẳng định sau: (I) Hàm số y = f(x) có ba cực trị. Trên đồ thị ta thấy (II) Phương trình f(x) = m có nhiều nhất ba nghiệm. Tiệm cận đứng x = 1 (loại B và C) (III) Hàm số y f x 1 nghịch biến trên 0;1 . Hàm số đi qua điểm (0;1) (loại A, chọn D) Số khẳng định đúng là: A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 15
Phƣơng pháp: Từ đồ thị hàm số y f ' x lập BBT của đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’( x) ta thấy trên các khoảng (-6;-1) và (2; + ) thì f’(x) > 0 và các khoảng còn lại thì f’(x) < 0 y f x và kết luận. Ta có ( f (3 x2 ))' (3 x 2 )' . f '(3 x 2 ) 2 xf '(3 x 2 ) . x1 Hàm số y= f (3 x2 ) đồng biến thì 2xf '(3 x2 ) 0 xf'(3 x2 ) 0 22 Cách giải: Ta có f ' x 0 x 2 TH1: x 0 , ta có xf'(3 x ) 0 f '(3 x ) 0 x3 3 x22 6 x 9 x 3 22 Bảng biến thiên 1 3 xx 2 4 1 21 x x 1 2 3 TH2: x < 0, ta có xf'(3 x22 ) 0 f '(3 x ) 0 + 0 0 + 0 f ' x 22 6 3 x 1 4 x 9 3 x 2 fx 22 2 3 xx 1 10 x Từ Bảng biến thiên ta thấy (I) đúng, (II) sai. Vậy hầm số đồng biến trên các khoảng ( 3; 2),( 1;0),(1;2),(3; ) Chỉ có đáp án D là khoảng thỏa mãn. Ta có f(x 1) ' (x 1)'.f'(x 1) f'(x 1) Ví dụ 6 (TS2018). Cho hàm số y f x , y g x . Hai hàm số y f x và Với x 0;1 x1 1;2 f'x1 0 y g x có đồ thị như hình bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của Hàm số y f x 1 nghịch biến trên khoảng 0;1 (III) đúng. 3 hàm số y g x . Hàm số h( x ) f ( x 4) g 2 x đồng biến trên Vậy có hai khẳng định đúng. Chọn B 2 Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f’( x) có khoảng nào sau đây? đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f (2 - x) đồng biến 31 9 31 25 trên khoảng A. 5; . B. ;3 . C. ; . D. 6; . 5 4 5 4 A. (1;3) . B. (2; + ) . C. ( 2;1) . D. ( ; 2) . x 1 Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’( x) ta có fx’( ) 0 14 x Ta có ( f (2 x ))' (2 x )' . f '(2 x ) f '(2 x ) . Để hàm số y = f (2 - x) đồng biến thì : 21 x x 3 ( f (2 x ))' 0 f '(2 x ) 0 Chọn C 1 2 x 4 21 x Ví dụ 5. Cho hàm số y= f (x ). Biết hàm số f '( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y= f (3 x2 ) đồng biến trên khoảng A. (2;3) . B. ( 2; 1) . Lời giải C. (0;1) . D. ( 1;0) . Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số y f x tại A a;10 , a 8;10 . Khi đó ta có Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 16
f'( x 4) 10, khi 3 x 4 a f'( x 4) 10, khi 1 x 4 3 3 g' 2 x 5,  2 x 3 g' 2 x 5,  x 2 2 3 Do đó h'() x f '( x 4)2'2 g x 0 khi 1 x 4 . Chọn B 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình g x 0 có 2 nghiệm. Ví dụ 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đồ thị hàm Chọn A số y f ' x như hình vẽ. Biết f 2 6,f 4 10 . Hàm số Ví dụ 8. Hàm số y f x có đồ thị y f ' x như hình vẽ. x2 1 3 3 g x f x ,g x có ba điểm cực Xét hàm số g x f x x32 x x 2017 2 3 4 2 trị và g( 2) 0 y f ' x Bảng biến thiên: 2 33 Trên 3; 1 thì f ' x x x nên g' x 0  x 3; 1 22 33 Trên 1;1 thì f ' x x2 x nên g' x 0  x 1;1 22 Khi đó BBT của hàm số gx trên đoạn  3;1 : Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 17
x 3 1 1 Câu 7: Cho đồ thị hàm số y f() x (hình g’(x) - 0 + vẽ). Khi x [ 1;1] thì giá trị của hàm số y gx thuộc tập nào? A. [ 1;1] B. [ 4; ) g1 C. [ 4;1] D. [ 4;0] Vậy min g x g 1 ,g 0 g 1 , hàm số gx nghịch biến trên x  3;1 3; 1 và maxgx maxg 3,g 1  Đáp án D x  3;1 Câu 8: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. thị của hàm số y = f '(x ) . Hàm y = f (x ) liên x 2 tục trên R. Số điểm cực trị của hàm y = f (x ) Câu 1: Tập xác định của hàm số y là : 1 x là A. ( ; 1)  (2; ) B. (1 ; 2] C. \ {1 } D. (1 ; 2) A. 4. B. 3. C. 5. D. 2. Câu 2: Đồ thị hình bên là của hàm số: 32 3 Câu 9. Cho hàm số y ax bx cx d có x 2 32 A. yx 1 B. y x 31 x đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây 3 đúng ? (MH lần 2 - 2017) C. y x32 31 x D. y x32 31 x A. a 0 ,b 0 ,c 0 ,d 0 B. a 0 ,b 0 ,c 0 ,d 0 y Câu 3: Đồ thị hình bên là của hàm số: 1 C. a 0 ,b 0 ,c 0 ,d 0 D. a 0 ,b 0 ,c 0 ,d 0 4 4 x x 2 x 2 -3 -2 -1 1 2 3 A. yx 1 B. yx 1 -1 (HD: a âm ? ac trái dấu ? ab trái dấu ?) 4 4 -2 4 42 -3 x 2 xx -4 C. yx 21 D. y 1 4 42 -5 Câu 4: Đồ thị hình bên là của hàm số: 32 x 12 x A. y B. y x 1 x 1 12 x 12 x C. y D. y 1 x x 1 Câu 5: Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành hàm số y x32 34 x có x thuộc . A. ( ; 2)  (1; ) B. (1; ) C. ( 4;0) D. ( ; 2) Câu 6: Phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung của hàm số 1332 y x x 5 có giá trị của hàm số thuộc tập hợp nào ? 42 A. ( ;0)  (4; ) B. (0; ) C. (0;4) D. (4; ) Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 18
E. BÀI TOÁN TƢƠNG GIAO. 1332 Ví dụ 4. Cho hàm số y x x 5 (C) 42  Dạng 1: Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiên) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C). biện luận số nghiệm của phƣơng trình . b) Tìm m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. 3 2 1332 m * Cho hai hàm số y =f(x) có đồ thị (C1) và y =g(x) có đồ thị (C2) b) x – 6x + m = 0 xx 55 +) Phƣơng trình hoành độ giao điểm : f(x) = g(x) (1). 4 2 4 Khi đó các giao điểm (xo; f(xo) ) với xo là các nghiệm của (1) Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường +) Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phƣơng trình (1) thẳng y = m 45cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, khi * Biện luận số nghiệm phƣơng trình: g(m,x) = 0 (*) đó: B1: Biến đổi đƣa (*) về dạng f(x) = k(m) 3 m 4 5 5 0 m 32 B2: Số nghiệm của phƣơng trình bằng số giao điểm của y = f(x) và Vậy với ( 0; 32 ) thì phương trình có 3 nghiệm đƣờng thẳng y = k(m) (song song trục hoành) m B3: Vẽ đồ thị y = f(x) . Dựa vào đồ thị đƣa ra kết luận thực phân biệt. 32 Ví dụ 1. Tìm giao điểm của các hàm số y=2x3 + 3x2 và y = 6x2 – 2x + 1 Ví dụ 5. Tìm m để phương trình sin x – 3cos x m 1 vô nghiệm. Phương trình hoành độ giao điểm : 2x3 + 3x2 = 6x2 – 2x + 1 Đặt sinx = t 11 t 2 (x – 1)(2x – x + 1) x = 1 Phương trình sin3x – 3cos2x = m + 1 trở thành : 2 3 2 3 2 +) Với xo = 1 yo = 6xo – 2xo + 1= 5 Giao điểm (1 ;5) t – 3(1 – t ) = m + 1 t +3t – 4 = m (1) Ví dụ 2. Dựa vào bảng biến thiên sau .Tìm m để phương trình Xét hàm số :y =f(t) = t3 +3t2–4 trên  1;1 f x 2m 1 có 3 nghiệm phân biệt. * Dựa vào đồ thị hàm số y x32 34 x x 0 2 Ta có đồ thị hàm số y =f(t) (nét liên trên hình) f’(x) 0 + 0 * Để phương trinh đã cho vô nghiệm thì y =f(t) 3 không cắt y = m, f x m 1 phương trình vô nghiệm 1 A. 0 m 1. B. 0 m 2. C. 1 m 0. D. 1 m 1. Để có 3 nghiệm phân biệt thì 1< 2m+1 < 3 2 < 2m < 2 1 < m < 1 . Chọn A Ví dụ 3. Cho hàm số y ax32 bx cx d a, b, c, d . Đồ thị hàm số y = f x như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x + 4 = 0 là (TS 2018) A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 4 Ta có 3 f x + 4 = 0 fx() 3 Trên hình vẽ ta kẻ đường thẳng y 4 / 3 (song song với trục hoành) cắt y f(x) tại 3 điểm Đáp án A Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 19
1  Dạng 2: Dựa vào tính chất phƣơng trình biện *Vậy m ;3 2 3  3 2 3; \  thỏa mãn bài toán. luận số giao điểm. 2 2 1342  ax + bx + c = 0 (a 0) (1) Ví dụ 2. Tìm m để y mx x 5 (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm. 42 b  Nếu > 0: phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: x = 1342 42 2a * Phương trình hoành độ giao điểm: mx x 50 mx 6 x 20 0 (1) 42 b  Nếu = 0: phƣơng trình có nghiệm kép : x = * Đặt x2 = t (t 0) , Phương trình (1) trở thành : mt2 6 t 20 0 (2) 2a  Nếu < 0: phƣơng trình vô nghiệm * Để hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì (1) có 4 nghiệm phân biệt ,suy ra (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ,khi đó : 2 b c  ax + bx + c = 0 (S= x1 + x2 = , P = x1 .x2 = ) a 0 m 0 a a m0 a 0 a 0 0 ' 0 9 20m 0 9 • Có 1 nghiệm hoặc • Có 2 nghiệm cùng dấu 0m 9 9 *Vậy m 0; b 0 0 ac.0 S 0 6 / m 0 m 20 20 20 a 0 • Có 2 nghiệm trái dấu ac.0 P 0 20 / m 0 • Có 2 nghiệm • Có 2 nghiệm âm phân biệt 0 0  Dạng 3: Tìm điều kiện để giao điểm của 0 hai đồ thị thỏa mãn tính chất nào đó. S 0 • Có 2 nghiệm dƣơng phân biệt S 0 Cách 1: Tìm điều kiện để có giao điểm, số giao điểm thỏa mãn bằng đồ P 0 P 0 thị,tính chất phƣơng trình . Cách 2: Tìm trực tiếp ra các giao điểm Ví dụ 1. Đồ thị hàm số cắt y x42 54 x trục hoành tại bao nhiêu điểm? Cách 3: Đặt tọa độ các giao điểm, từ dữ kiện suy ra các giao điểm A. 0. B. 4. C. 2. D. 3. Cách 4:Chuyển hóa điều kiện giao điểm thành phƣơng trình bằng Vi-ét. 2  Bổ sung: 42 xx 11 Phương trình hoành độ giao điểm xx 5 4 0 2 x 4 | axoo +by +c| x 4 Khoảng cách từ A(xoo ; y ) đến đt : ax+by+c = 0 là d(a,Δ)= 22 Vậy có 4 giao điểm với trục hoành. Chọn B a +b x1,x2,x3 lập thành cấp số cộng khi. x1 + x 3 = 2x 2 hoặc x3 x 2 x 2 x 1 21mx x1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 lập thành cấp số cộng khi x43 x = x3 x 2 x 2 x 1 x1,x2,x3 lập Ví dụ 1. Tìm m để y (Cm) cắt đường thẳng y = x + m tại 2 điểm. ~ x 1 2 x3 x2 thành cấp số nhân khi x1 .x 3 = x 2 hoặc (mâu 0 ) 21mx x x * Phương trình hoành độ giao điểm : = x + m 21 x 1  Định lý Vi-ét: x2+ (1 – m)x + m +1 = 0 (1) với x – 1 x1 x 2 x 3 b/ a * Để hàm số(Cm) cắt đường thẳng tại 2điểm thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 32 ax b x cx d 0( a 0) có ba nghiệm thì x1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 c/ a khác -1, x1 x 2 x 3 d/ a a 0 10 1 m x x b a Khi đó f ( 1) 0 1 1 mm 1 0 2 2 12 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì 2 2 x12 x c a 0 mm 1 4( 1) 0 mm 6 3 0 1 m ;3 2 3  3 2 3; \ 2 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 20
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng (d): Đường thẳng d có phương trình: y = m(x – 3) + 4. y mx m 1 cắt đồ thị (C) của hàm số y x32 32 x x tại ba Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): x 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho AB BC (QG 2017) x32 3 x 4 m ( x 3) 4 (x 3)( x2 m ) 0 2 5 xm (*) A. m ( ;0)  [4; ) B. m C. m ; D. m ( 2; ) Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì phải có hai nghiệm phân 4 (*) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) biệt khác 3 m0 và m9 . Khi đó (*) có hai nghiệm xm tương 3 2 3 2 xxx 3 2 mxm 1 xx 3 (1 mx ) 1 m 0 ứng với hoành độ của M và N. Vì hai tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau nên: x 1 (x 1)( x2 2 x m 1) 0 2 y'( m).y'( m) 1 (3m 6 m )(3 m 6 m ) 1 x 2 x m 1 0 (1) 18 3 35 Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) của tại ba điểm A, B, C (trong đó 1 điểm có 9m2 36 m 1 0 m (thỏa mãn) tọa độ (1;1)) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 9 22x 1 m 1 1 Ví dụ 4. Cho hàm số y (C).Tìm m để đường thẳng d: y =2x + m m 2 (*) (loại đáp án A và B) 2 x 1 1 2.1 m 1 0 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 . Ta xét hàm số có y'' 6 x 6 0 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1) Vậy điểm uốn của (C) là (1;1) là tâm đối xứng , Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt Như vậy B(1;1) thuộc d và hiển nhiên BA= BC. khác -1 m2 - 8m - 16 > 0 (2) . Vậy . Đáp án : D Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1). 2x 1 m Ví dụ 2. Cho hàm số y = (C).Viết phương trình đường thẳng d đi xx x1 12 2 Theo ĐL Viét ta có . qua gốc tọa độ và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho O là trung m 2 xx điểm của AB. 12 2 A. yx 2 B. yx 2 C. yx D. yx 2 22 2 AB = 5 (x1 x 2 ) 4( x 1 x 2 ) 5 (x1 x 2 ) 4x 1 x 2 1 Gọi A (x0, y0) .Vì B đối xứng với A qua gốc tọa độ O nên B(− x0; − y0). Vai m2 - 8m - 20 = 0 m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2)) trò của A, B như nhau nên giả sử x0 > 0. Vì A, B đều thuộc (C) nên có hệ: KL: m = 10, m = 2. xx00 1; 0 21x0 1 y 21x 21x 0 0 x0 1 Ví dụ 5. Cho hàm số y có đồ thị là (C). x0 1 y0 2 x 1 A ( ; 2 ). x 2 21x 0 2 y 0 2xx 1 2 1 y2 Chứng minh đường thẳng d: y = x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm 0 00 0 x0 1 0 phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. xx 11 00 A. m  B. m 0 C. m 1 D. m 1 d chứa A và O d : y 2x Hoành độ giao điểm của (C ) và d là nghiệm của phương trình Bài này chúng ta có thể sử dụng phƣơng pháp kiểm tra từng đáp án 2x 1 x2 3 2 xm Ví dụ 3. Cho hàm số y x 3x 4 .Đường thẳng đi d qua điểm A(3; 2 x2 x (4 m)x 1 2m 0(1) 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N 2 2 sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. Do (1) có m 12 0 và (2) (4 m ).(2)12 m 3 0  m Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 21
nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. A. (1;0) và ( 1;0) B. (0;1) và (0; 1) C. (1;0) D. . x x m 4 432 AB Câu 5: Đồ thị hàm số y 2 x x x cắt trục hoành tại mấy điểm? Vì xAB , x là hai nghiệm của (1) nên xAB .x 1 2m A. 4 B. 3 C. 1 D. Không cắt nhau. Ta có yA = m – xA; yB = m – xB 21x 2 2 2 2 Câu 6: Hàm số y có đồ thị ()H và đường thẳng d: y x m . AB = (xA – xB) + (yA – yB) = 2(xA – xB) 2 2 x 2 = 2(xA + xB) − 8xA xB = = 2(m + 12) Để dH() tại 2 điểm phân biệt thì m phải bằng? 2 AB ngắn nhất AB nhỏ nhất m = 0. Khi đó AB 24 A. m 4 B. m 1 C. m 2 D. Ví dụ 6. Cho hàm số y x42 54 x (1). Tìm m để đường thẳng y = m  m cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D sao cho AB = BC= CD xx2 1 Câu 7: Cho hàm số y có đồ thị ()H và đường thẳng 7 7 A. m  B. m 0 C. m D. m x 2 4 4 d:1 y mx . Tìm m để d cắt đồ thị ()H tại hai điểm phân biệt thuộc HD: hai nhánh khác nhau của đồ thị ()H ? Đường thẳng y =m cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D A. m 1 B. m 1 C. 12 m D. 13 m 2 pt: t 5 t 4 m 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt tt 0 3 21 Câu 8: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y x 31 x và đường khi đó A( tmB2 ;),( tmCtmDtm 1 ;),( 1 ;),( 2 ;) thẳng ym cắt nhau tại 3 điểm phân biệt? Ta có: AB BC CD t2 3 t 1 t 2 9 t 1 A. m 3 B. m 2 C. m 1 D. m 2 Câu 9: Cho 2 parabol (P ) : y x2 1, (P ') : 2 y x2 2 mx 2 và điểm t12 t m 4 A(1;11) . Với giá trị nào của m thì ()P cắt (P ') tại 2 điểm phân biệt BC, Yêu cầu bài toán pt (*) có 2 nghiệm thỏa mãn tt12 5 sao cho ABC,, thẳng hàng? tt21 9 A. m 1 B. m 3 C. m 4 D. m 5 7 7 m . Thay m vào (*) ta thấy thoả mãn . Chọn C Câu 10: Với giá trị nào của thì đồ thị hàm số y x4 24 mx 2 m 2 4 4 m cắt trục hoàng tại bốn điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. lớn hơn 1? 3 C. m 2 Câu 1: Đồ thị hàm số yx và yx 32 cắt nhau tại mấy điểm? A. 13 m B. 31 m D. 31 m A. 1 B. 2 C. 3 D. Không cắt nhau. Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình x32 30 x a có 3 Câu 2: Đồ thị (C ) : y x32 2 x 2 x cắt đường thẳng d: y 3 x 2 tại nghiệm phân biệt, trong đó có đúng 2 nghiệm lớn hơn 1? A. 42 a B. 20 a C. 42 a D. 40 a các điểm có tính chất? 32 A. 1 điểm thuộc góc phần tư thứ (I) và hai điểm thuộc góc phần tư thứ (II). Câu 12: Nếu phương trình cos t 3cos t 2 a có 3 nghiệm thuộc đoạn B. 1 điểm thuộc góc phần tư thứ (I) và 2 điểm thuộc góc phần tư thứ (III). 3 0; thì giá trị của tham số a phải thoả mãn điều kiện? C. 1 điểm thuộc góc phần tư thứ (IV) và 2 điểm thuộc góc phần tư thứ (II). 2 D. 1 điểm thuộc góc phần tư thứ (IV) và 2 điểm thuộc góc phần tư thứ (III) A. 22 a B. 40 a C. 02 a D. 02 a 1 Câu 3: Hàm số y x 4 2x 2 1 cắt trục tung tại điểm. Câu 13: Nếu phương trình x32 30 x a có 4 nghiệm phân biệt thì giá 4 A. (1;0) B. (0;1) C. (2;0) D. Không cắt . trị của tham số a phải thoả mãn điều kiện? 42 A. 20 a B. 40 a C. 42 a D. 22 a Câu 4: Hàm số y x 21 x cắt trục hoành tại điểm. Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 22
F. VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM Cho x là một số nhỏ gần bằng 0 và lưu ô X Nhập 0,000001 →SHIFT→ STO→ X  Dạng 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến d 2 Tính đạo hàm tại 2: Nhập xx →=→ Kết quả: 4,3535 dx x 2  Tiếp tuyến tại (tiếp điểm) Mo(xo;yo) có hệ số góc k = f’(x ) và có phƣơng trình: o d 2 Sửa lại và nhập: XX →=→ Kết quả: 4,3535 y – yo = f’(xo)(x – xo) dx xX 2 Để viết phƣơng trình tiếp tuyến cần xác định: Ans – ALPHA →Ans Ans – PreAns + Hoành độ tiếp điểm: xo Bấm: Máy hiển thị: + Tung độ tiếp điểm: y = y(x )= f(x ) ALPHA →X X o o o →=→ Kết quả: y”(2)≈1,9116 + Hệ số góc: k = y'(xo)= f’(xo) k tan Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Đƣờng thẳng d1: y= k1x+ b1 và d2: y= k2x + b2 32 tại giao điểm của nó với trục hoành. kk y x6 x 9 x 4 12 +) Song song +) Vuông góc kk.1 A. y = 1 và y =2 x + 1 B. y = 0 và y = 9x + 36 12 bb12 C. y = 1 và y =2 x + 1 D. và y = 9x + 36 yy12 Đƣờng thẳng đi qua M x11; y , N x22; y có hệ số góc k Giải (cách 1): xx 12  Ta có y0 x32 6 x 9 x 4 0 x 1 hoặc x 4 Tiếp tuyến tại các điểm cự trị hàm đa thức có dạng y = b  Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm trực tiếp. Giao điểm của ()C với trục hoành: AB(1;0), (4;0);  Cách 2: Giả định tiếp điểm (a; f(a)). Từ điều kiện bài toán đƣa ra y3 x2 12 x 9 phƣơng trình với ẩn a.  TạiA(1;0) , ta có x1 ; y 0; k f (1) 0 ,  Cách 3: Áp dụng điều kiện tiếp xúc với hai đƣờng cong 00 f()() x g x phương trình tiếp tuyến của tạiA: y 0 0( x 1) y 0 Hàm số y f( x ) và y g ( x ) tiếp xúc nhau tại các điểm thỏa: f'( x ) g '( x )  TạiB(4;0) , ta có x004 ; y 0; k f (4) 9 , phương trình tiếp f( x ) k x b tuyến của tạiB: y 0 9( x 4) y 9 x 36 y = kx + b là tiếp tuyến của y f x f'( x ) k  Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: y 0 và yx9 36  Cách 4: y = kx + b là tiếp tuyến của y f() x phương trình hoành độ Sử dụng máy tính giải theo cách 4: giao điểm: f( x ) kx b có nghiệm kép. Thự hiện bấm máy (MODE→5→4) giải các phương trình: 32 DÙNG CASIO fx 570 VN PLUS TÍNH ĐẠO HÀM CẤP 1 VÀ CẤP 2 CỦA  x + 6x 9x + 4 = 1 KẾT QUẢ: 3 nghiệm phân biệt nên không có HÀM SỐ y = f(x) TẠI xo nghiệm kép . Loại đáp án A và C. Tính đạo hàm cáp 1:  x32 +6x 9x+4=9x+36 KẾT QUẢ: 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức d d Bấm:→ SHIFT→ → máy hiển thị: → Nhập hàm số f(x) nên không có nghiệm kép (lưu ý nếu chỉ có 1 nghiệm thực là kép 3 lần). dx dx x Loại đáp án B. vào ô hình chử nhật trong ngoặc, và Đến đây ta chọn đáp án D, nhƣng ta bấm hết để xem sự hiển thị của máy nhập x vào ô vuông nhỏ bên dƣới o  x32 + 6x 9x + 4 = 0 KẾT QUẢ: 2 nghiệm thực, nên có 1 nghiệm kép fx'( ) 32 Tính đạo hàm cáp 2: fx''(o ) lim  x +6x 9x+4= 9x+36 KẾT QUẢ: 2 nghiệm thực, nên có 1 nghiệm x 0 x 2 kép Ví dụ: Tính y’’(2) biết y f() x x x Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 23
2x 1 Phương trình tiếp tuyến: y = – 8(x – 1) – 5 y = – 8x + 3 Ví dụ 2: Cho hàm số y (C).Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị x2 +) Với xo = -1 yo= y(–1) = – 5 y'(– 1)= 8 (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 5x . Phương trình tiếp tuyến: y = 8(x + 1) – 5 = 0 y = 8x + 3 2x 1 Giải (cách2): * Tiếp tuyến tại điểm (xo; yo) có hệ số góc bằng –5 Ví dụ 5. Cho hàm số y= (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), x1 f’(x ) = –5 5 x = 3 hay x = 1 . o 2 5 0 0 (x0 2) biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . * Với x0 = 3 y0 =f (3) = 7 và y’(3) = –5 Giải (cách 2): Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 7= –5(x –3) y = –5x + 22 * Tiếp tuyến của (C) tại điểm M xoo ;f(x ) (C) có phương trình * Với x0 = 1 y0(1) = –3 và y’(1) = –5 22 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 3 = – 5(x – 1) y = – 5x + 2 y = f ' (x)(x - xoo ) + f(x ) hay x (xo 1)y 2x o 2x o 10 (∆) * Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn d1: y = –5x + 22 và d2: y = – 5x + 2 2 2x * Ta có: d(I, ) 2 o =2 Giải (cách3): Tiếp tuyến có dạng y = 5x + b (b 5) . Suy ra 4 1+ (xo 1) 2x + 1 2x + 1 2 = 5x + b = 5x + b 2 x 1 1+ (x 1)4 x2 x2 b = 22 oo 5 x = 3 b = 2 * Giải pt được nghiệm xo = 0 và xo = 2 = 5 2 (x 2) x = 1 *Các tiếp tuyến cần tìm: x + y 1 = 0 và x + y 5 = 0 17 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn d1: y = –5x + 22 và d2: y = – 5x + 2 Ví dụ 6. Cho hàm số y x42 x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A 84 1 3 Ví dụ 3. Cho hàm số y = xx 23 (C) .Viết phương trình tiếp tuyến thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt 3 của (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho OB = 2OA. M x11; y , N x22; y ( MN, khác A ) thỏa mãn y1 y 2 3 x 1 x 2 ? A. y = –2x + 3 B. y = 2x + 3 C. y = –2x + 1 D. y = 2x + 1 A. 0. B. 2. C.3. D. 1. (QG 2018) Giải (cách 2): yy * Phương trình tiếp tuyến tại A x; y có hệ số góc: k 123 . OB 00 xx Hệ số góc của tiếp tuyến: k= tan = – = – 2(hs???) 12 OA 17 * yx 3 xx3 30 có 3 nghiệm x 2 , x 1, x 3(*) Giả sử (xo;yo) là các tiếp điểm 0 00 0 0 0 2 22 f’(xo)= – 2 xo – 2 = – 2 ( Đến đây ta có thể lập đƣợc 3 tiếp tuyến sau đó cho giao điểm với (C) để xo = 0 yo = f(0) = 3 xem tiếp tuyến nào cắt (C) tại 3 điểm phân biệt theo yêu cầu tuy nhiên xin Vậy tiếp tuyến : y – 3 = – 2(x – 0) hay y = –2x + 3 giới thiệu hƣớng giải khác) Bài này ta có thể sử dụng máy tính giải theo cách 4 để loại trừ các đƣờng * Phương trình tiếp tuyến có dạng ( ) y = 3x+b. Ta tìm điều kiện của b để thẳng không phải là tiếp tuyến, sau đó vẽ các tiếp tuyến còn lại trên hệ trục (C) cắt ( ) tại 3 điểm phân biệt. tọa độ để kiểm tra OB = 2OA. 1 7 1 7 42 Xét x4 x 2 3x b x 4 x 2 3x b (*) Ví dụ 4. Cho hàm số y x 6x . Viết phương trình tiếp tuyến tại các 8 4 8 4 điểm uốn. 17 17 Xét hàm y x42 x 3x có y' x3 x 3=0 (xem (*)) Giải (cách 1): 84 22 +) Ta có y' = 4x3 – 12x , y"= 12x2 –12 Bảng biến thiên y” = 0 12x2 – 12 = 0 x2 = 1 x 1 +) Với xo = 1 yo = y(1) = – 5 y'(1)= –8 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 24
x 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x3 + 3x2 + mx = 0 2 x 30 x m Vậy y = x + 1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt g( x ) x2 3 x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 9 4mm 0 9 / 4 (*) 117 g(0) 0 m 0 m 0 Vậy để tiếp tuyến cắt tại 3 điểm thì b = hoặc b = 1, khi đó 8 xxBC 3 1742 Khi đó hoành độ của B và C thỏa (1) y x x 3x cắt yb tại 1 điểm là điểm cực trị nên (*) có nghiệm xBC. x m 84 Ta có f’(x) = 3x2 + 6x + m + 1 kép. Suy ra b = hoặc b = 1 thì ( ) là tiếp tuyến Hệ số góc các tiếp tuyến tại B và C là 2 2 * Vậy có 2 điểm A thỏa yêu cầu. f’(xB) = 3xBB 6 x m 1, f’(xC) = 3xCC 6 x m 1 2 Ví dụ 7: Cho parabol y = x – 4x + 3.Viết các phương trình tiếp tuyến với Các tiếp tuyến tại B và C vuông góc khi và chỉ khi f’(xB). f’(xC) = –1 parabol qua điểm A (3/2;−3) (3x22 6 x m 1)(3 x 6 x m 1) 1 Gợi ý (cách 3): BBCC Đường (d) thẳng qua A có hệ số góc k có pt là: 2 2 ( 36xxBB )(36xxCC ) + y k x x y y k x 3 / 2 3 2 2 2 AA m 1(3 x 6 x 3 x 6)(m1) x 1 ĐK để (d) và parabol tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau đây có nghiệm: BBCC 22 2 Kết hợp với (1) ta được 9m – 54m 36m 3(m 1)(9 – 2m 3) m 2m 2 0 x 4 x 3 k x 3 / 2 3 1 4m2 – 13m + 11 = 0 phương trình vô nghiệm. 2xk 4 2 Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu. 2 Từ (1), (2) suy ra: x 4 x 3 2 x 4 x 3 / 2 3 x 1 2 Ví dụ 2. Cho đồ thị ():Cy và đường thẳng d: y x m . Khi d x 3 x 0 x 0, x 3 . x 2 + Với x = 0 suy ra k = −4 , tiếp tuyến là : y = −4x+3. cắt ()C tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến với ()C tại hai điểm này song + Với x = 3 suy ra k = 2, tiếp tuyến là : y = 2x – 6. song với nhau thì m phải bằng?  Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để tiếp tuyến của A. m 1 B. m 2 C. m 1 D. m 2 đồ thị thỏa mãn một tính chất nào đó. Phương trình hoành độ giao điểm: Ở dạng này thông thƣờng hay đƣa về phƣơng x 1 x m x2 m 3 x 2 m 1 0 (*) trình bậc hai và sử dụng các định lý vi-ét. x 2 32 Để có 2 giao điểm thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Ví dụ 1. Cho hàm số y x 3 x ( m 1) x 1 có đồ thị là (Cm).Có 2 (mm 3) 4( 2 1) 0 bao nhiêu giá trị thực của m để đường thẳng yx 1 cắt đồ thị (Cm) tại mm2 2 13 0 2 (luôn đúng) 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C 2 mm 3 2 2 1 0 vuông góc với nhau. x12 x m 3 A. 0. B. 2. C.3. D. 1. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của (*) x12 x 2m 1 Khi đó tiếp tuyến tại x1, x2 song song nên: Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 25
33 22 A. yx 33 B. yx 3 C. yx 5 10 D. yx 33 y’ x1 y’ x 2 22 (x 1 2) (x 2 2) (x12 2) (x 2) Câu 4: Phương trình tiếp tuyến của (C ) : y 3 x 4 x3 tại điểm uốn là: x 2 x 2 x x (loai ) 1 2 1 2 A. yx 12 B. yx 3 C. yx 32 D. y 0 x1 2 (x 2 2) x 1 x 2 4 Suy ra mm 3 4 1. Chọn C Câu 5: Để đường thẳng d:2 y x m tiếp xúc với đồ thị hàm số Bài này ta có thể sử dụng phƣơng pháp kiểm tra đáp án: yx 2 1 thì m phải bằng: (gợi ý: Xem cách 4) dx 1 Bấm máy sẵn để tính y’ tại các giá trị của x A. m 0 B. m 4 C. m 2 D. m 1/ 2 dx x 2 x x 1 (hai tiếp tuyến song song nên có cùng hệ số góc) Câu 6: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y song song với x 1 x 1 Với m = 1 Phương trình: xx 11 hoặc x = 3 x 2 đường thẳng : 2xy 1 0 là: 1 A. 2xy 7 0 B. 2xy 7 0 C. 20xy D. 2xy 1 0 Ta có y’ -1 và y’ 3 3 (loại) 3 32 Câu 7: Tìm m để đường cong (Cm ) : y x mx 1 tiếp xúc với đường x 1 1 21 Với m = 2 Phương trình: x 2 x2 x 5 0 x thẳng Dy:5 ? (gợi ý: Xem cách 3) x 22 A. m 3 B. m 3 C. m 1 D. m 2 1 21 1 21 Ta có y’ 4,7 và y’ 0,2 (loại) x 2 2 2 Câu 8: Cho đường cong ():Hy và điểm AH () có tung độ x 1 x 1 Với m = 1 Phương trình: x 1 x2 4 x 1 0 x 2 3 y 4 . Hãy lập phương trình tiếp tuyến của ()H tại điểm A ? x 2 A. yx 2 B. yx 3 10 C. yx 3 11 D. Kết quả khác Ta có y’(2 3) y’(2 3) = 1và (nhận) xx2 1  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. Câu 9: Cho đường cong ():Cy và điểm AC () có hoành độ x 1 x 1 Câu 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ():Hy tại giao x 3. Lập phương trình tiếp tuyến của ()C tại điểm A ? x 2 15 35 35 điểm của ()H và trục hoành: A. yx B. yx C. yx D. yx 35 44 44 44 1 A. yx 3 B. yx 3( 1) C. yx 3 D. yx ( 1) 32 3 Câu 10: Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C ) : y x 3 x 8 x 1 vuông góc với đường thẳng :yx 2007 ? 21x Câu 2: Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y với trục Oy. x 2 A. 2 B. 1 C.0 D. 3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị trên tại điểm M là : 1 Câu 11: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của (C ) : y x32 2 x 3 x 5 31 31 31 31 3 A. yx B. yx C. yx D. yx 42 42 42 42 A. Song songvới đường thẳng x = 1 B. Song songvới trục hoành Câu 3: Cho hàm số y x32 32 x có đồ thị ()C . Đường thẳng nào sau C. Có hệ số góc dương D. Có hệ số góc bằng 1 đây là tiếp tuyến của ()C và có hệ số góc nhỏ nhất? (gợi ý: Xem cách 4) Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 26
G. TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT. 3 +) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: kM y'( x0 ) 2  Dạng 1: Tìm các điểm trên đồ thị. x0 1  Điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) luôn có dạng: M(a;f(a)) với a D) +) Yêu cầu bài toán kkM.9 IM  Điểm uốn: Hoành độ điểm uốn của hàm số y = f(x) là nghiệm của +) Giải được x0 = 0; x0 = − 2. phƣơng trình f "(x) = 0 Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M 0; 1 hoặc M 2;5 fx'(o ) 0  Điểm cực trị: Điểm M(xo; f(xo)) nếu .( Hoành độ là nghiệm 1 fx''(o ) 0 Ví dụ 3. Cho hàm số y (C). Điểm M thuộc (C),biết OM = 2 . Khi đó x của phƣơng trình: f'(x) = 0 ) tọa độ điểm M thỏa mãn: a x b  Điểm tọa độ nguyên của hàm phân thức dạng y 11(Chuyển về A. Hoành độ là số nguyên dương. B. Tung độ là số nguyên âm. a22 x b C. Hoành độ là số nguyên tố. D. Tung độ là số nguyên tố. b ya : a, b nguyên) . Khi đó a x b là các ƣớc của b. Giải : a x b 22 22 Giả sử M aa ;1 thuộc (C) với a 0 , theo bài ra 3x 1 2 Ví dụ 1. Cho hàm số y có đồ thị (H). Có bao nhiêu điểm trên 2 1 4 2 2 OM 2 a 2 a 2 a 1 0 aa 11 x1 a (H) có toạ độ là các số nguyên. MM(1;1) hoặc MM( 1; 1) Chọn B A. 3. B. 5. C.6. D. 8. 1 2 x 1 Giải : Ví dụ 4. Cho hàm số y có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai 3x 1 4 x 2 Ta có y3 . x 1 x 1 tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn Điểm M(x; y) (H) với x, y thuộc Z thẳng AB có độ dài bằng (QG 2918) x 1 1 x 0 A. 6 . B. 23. C. 2 . D. 22. 3 x 1 1 x 2 Ta có I( 2;1) và C : 1 . 4 x 1 2 x 1 x 2 Z x + 1 là ước số của 4 . a 1 b 1 x1 x 1 2 x 3 A a; C , B b; C . a 2 b 2 x 1 4 x 3 3 3 x 1 4 x 5 IA a 2; , IB b 2; . a 2 b 2 Vậy trên (H) có 6 điểm có tọa độ là các số nguyên: Chọn C Đặt aa 2 , bb 2 ( a 0 , b 0 ; ab ) . 21x 1 1 1 1 11 Ví dụ 2. Cho hàm số y (1). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao Tam giác ABI đều khi và chỉ khi x 1 99 cho tiếp tuyến của (C) tại M và đường thẳng đi qua M và giao điểm hai 22 99 ab11 22 1 ab22 (*) ab đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9. IA22 IB 1122 11 ab11 Giải: 9 ab11 33yy cos IA , IB  cos60 IA.1 IB ab 1 +) Ta có I( 1; 2). Vì MI 11 2 M ( C ) M ( x0 ;2 ) kIM 2 2 9 2 x00 1 xMI x ( x 1) IA.2 IB a1 2 a1 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 27
6 2a 4 22 11 22 9 Tiếp tuyến tại M có phương trình: Suy ra: (1) ab 90 ab 10 : y 2 x a 11 22 11 22 a1 a1 ba11 ab11 a22 b a b ab 3 2a 10 1 1 1 1 11 Giao với tiệmcận đứng x 1 tại A 1; hoặc a1 22 ab ab 3 ab11 9 11 11 Giao với tiệm cận ngang y 2 tại Ba 2 1;2 Trường hợp ab11 loại vì AB/ ; ab11 , ab11 3 (loại vì không thỏa (2)). 12 9 Giao hai tiệm cận I( 1; 2) IA ; IB 2 a 1 3 a 1 3 1 2 9 Do đó ab11 3 , thay vào 2 ta được a1 2 12 . 22 2 9 2 a a 1 *Chú ý: Khoảng cách giữa hai điểm AB (xBABA x ) ( y y ) 1 a2 1 11 SIAB IA.IB .24 12 dvdt . Suy ra đpcm. 2 9 22 Vậy AB IA a1 2 23. Đáp án B a1 21x Ví dụ 7: Cho hàm số y .Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng Ví dụ 5. Hãy tìm trên đường thẳng : y = 2 những điểm mà từ đó kẻ đến x 1 đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 + 2 hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Gọi A(m ; −2) thuộc đường thẳng y = −2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm 21x0 Giả sử M(x0;y0) (C), (x0 1) thì y M0(x0;y0) thuộc (C): 0 x0 1 y y f x x x y 3 x2 6 x x 2 x 3 3 x 2 2 0 0 0 0 0 0 0 Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, 2 3 2 Tiếp tuyến qua A : 2 3x 6 x m 2 x 3 x 2 21x0 1 0 0 0 0 thì: MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | - 2| = | | x0 1 x0 1 x0 2 x 2 2 x2 1 3 m x 2 0 0 0 0 2 1 2x00 1 3 m x 2 0 * Theo Cauchy thì MA + MB 2 x 1 . =2 0 x 1 Hai tiếp tuyến của (C) không song song với Oy, nên hai tiếp tuyến vuông 0 góc ứng tiếp điểm là nghiệm của phương trình: Min(MA + MB) = 2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2. 22 Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0;1) và ( 2;3) k.k1 2 1 y 1 . y 2 13636 x 1 x 1 x 2 x 2 0  Dạng 2: Tìm các điểm cố định. x x2 18 x x x x 36 x x 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 Xét hàm số chứa tham số: y = f(x,m) ,giải sử (xo; yo) là điểm cố định Với x1 x 2 (3 m 1) / 2, x 1 x 2 1 của hàm số, khi đó phương trình yo = f(xo,m) f(xo,m) – yo = 0 (*) 55 55 Đƣa phƣơng trình (*) về phƣơng tham số m ( coi m là biến ) ( ) 27m 55 0 m A ; 2 Nếu (*) là phương trình đa thức thì các hệ số đồng thời bẳng 0. 27 27 Nếu phương trình lượng giác thì sin2 + cos2 = 1 ( chứa tham số) 24x Ví dụ 6. Cho hàm số yC ().Gọi M là một điểm bất kì trên (C), Ví dụ 1: Tìm các điểm cố định của hàm số: x 1 y x3 m 1 x 2 2m 2 3m 2 x 2m 2m 1 Cm tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. Chứng minh diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí M. Giả sử (xo; yo) là các điểm cố định của hàm số. khi đó : 2a 4 y x3 m 1 x 2 2m 2 3m 2 x 2m 2m 1 luôn đúng m Gọi M a; C a 1 o o o o a1 2 2 3 2 2m(x o 2)(x o 3 x o 2) m x o x o 2x o y o 0 luôn đúng Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 28
x 2 0 xx m 4 o x MN mx 44 (2) 2 x2o I I xxoo 3 2 0 24 y0o 32 yyMN mm 44 xo x o 2x o y o 0 y () x x m m my 24 (3) IMN2 2 2 I Vây hàm số đi qua điểm cố định (2; 0) * Từ (2) và (3) 2yx 4 4 4 yx 24 Ví dụ 2: Có bao nhiêu điểm mà hàm số y mm x3 1 x 1 Cm không II II m 4 4xxII 4 4 2 bao giờ đi qua với mọi m ? * Vì: A. 0. B. 2. C.1. D. 3. m 4 4xxII 4 4 0 Giả sử (xo; yo) là các điểm mà hàm số không đi qua với mọi m, khi đó : * Vậy quỷ tích các điểm I là 2 phần đường thẳng :yx 2 4 với 3 3 x 2 hoặc x 0 yo mx o 1 m x o 1 với m m(xo x o ) x o y o 1 0 với m 3  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. xoo x 0 x0o x1o x1o hoặc hoặc 32 xoo y 1 0 y1o y2o y0o Câu 1. Đồ thị hàm số y mx ( m 1) x (2 m ) x m 1 đi qua bao Vâỵ các điểm thỏa mãn bài toán là các điểm nằm trên các đường thẳng nhiêu điểm cố định? Với xo = 0 yo = 1 (loại) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 Với xo = 1 yo = 2 (loại) xx 2 Câu 2. Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị hàm số y và đố Với xo = –1 yo = 0 (loại) Đáp án A x 1 5  Dạng 3: Tìm quỷ tích xứng nhau qua điểm I(0; ) ? 2 Giả sử M(xo; yo) là các điểm thỏa mãn bài toán . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B1:Tìm tọa độ M(xo; yo) theo tham số 32 Câu 3. Họ đường cong ():Cm y x ( m 3) x (2 m 1) x 3( m 1) đi qua B2: Khử tham số: Từ giả thiết suy ra mối quan hệ giữa xo và yo điểm cố định nào dưới đây? (phƣơng trình ,hệ ): yo = G(xo) B3: Tìm miền xác định Do của xo A. A( 1; 8) B. B( 3;0) B4: Kết luận quỷ tích các điểm thỏa mãn bài toán là đƣờng y = G(x) C. AB( 1; 8), (3;0) D. AB( 1; 8), ( 3;0) với xo Do mx2 3 mx 4 m 1 Câu 4. Tìm tập hợp các điểm mà đồ thị hàm số y 24x x 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y (C) và đường thẳng (dm):y = –2x +m. Tìm m x 1 không đi qua với  m 0 ? để (dm) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.Tìm quỷ tích các trung điểm I của MN. A. Đường thẳng x 2. * Phương trình hoành độ giao điểm : B. Đường thẳng x 1 nhưng trừ điểm A(1;1/ 3) . 24x 2x2 (4 m ) x 4 m 0 (1) C. Đường thẳng x 4 nhưng trừ điểm B( 4; 1/ 2) . –2x m x 1 x 1 D. Các đáp án A, B, C đều đúng. 22 Để (d ) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 mx ( m 1) x m m Câu 5. Tìm điểm cố định của họ đường cong ():Hym ? 2 x 1 Đặt f(x) = 2x (4 m ) x 4 m 0 , khi đó: A. A(0;1) B. B(0; 1) 2 '0 (4 mm ) 8(4 ) 0 C. C( 1;0) D. ()H không có điểm cố định. m 4 hoặc m 4 m f ( 1) 0 20 * Vậy xxMN, là hai nghiệm của (1). Vì I là trung điểm MN Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 29
H. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. x f(x) Tập xác định D =R 1 2 9 Bằng tổ hợp phím SHIFT MODE 7 nhập  Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số 42 2 1.5 5.0625 f x xx 4 9 (bỏ qua g(x)), chọn stat 2 3 1 6 Cách 1: (Sử dụng tính đơn điệu) → and 3→ step 0,4 (lưu ý, máy chỉ cho ta bảng 4 0.5 8.0625 dưới 20 giá trị nên các em chọn step cho khéo). -Lập bảng biến thiên của fx() trên D.Từ đó suy ra GTLN, GTNN. 5 0 9 -Nếu hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên miền xác định 6 0.5 8.0625 Nếu không đủ ta có chia hai đoạn và đưa ra bảng đang xét thì không nhất thiết lập bảng biến thiên. 7 1 6 nhiều giá trị hơn. Cách 2: (Nếu fx()liên tục trên [a;b]) 8 1.5 5.0625 Máy hiển thị (bảng bên) Dễ nhận ra được đáp án D - Kiểm tra tính liên tục trên [a;b] 9 2 9 10 2.5 23.062 (Lƣu ý nếu hai giá trị f(x) kế tiếp bằng nhau ta , - Tìm các điểm x12,,, x xn trên khoảng (a;b) mà tại đó fx()= 0 11 3 54 phải chọn lại step nhỏ hơn ban đầu) , 1 hoặc fx()không tồn tại. Ví dụ 1: Tìm Max và min của hàm số yx trên (0; ) x - Tính f(), a f ( x ), f ( x ), , f ( x ), f () b . 12 n Giải (Cách1): - Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên: 1 minf ( x ) m ,max f ( x ) M * Xét hàm số y f() x x trên (0; ) [;][;]a b a b x 11x2 Cách 3: (Dùng tính chất bất đẳng thức) m f() x M và * Ta có: y' 1 y ' 0 x2 1 0 x 1 xx22 Tồn tại: f(x1) = m với x1 D và f(x2) = M với x2 D, limfx ( ) , limfx ( ) minf ( x ) m khi x = x1 và maxf ( x ) M khi x = x2 x 0 x xD xD * Bảng biến thiên Cách 4: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 7 nhập hàm fx ( Bỏ qua g(x) , chọn stat: → and → step (lưu ý, máy chỉ cho ta bảng dưới 20 giá trị nên các em chọn cho khéo). Phù hợp cho các bài toán các đáp án không có giá trị quá gần nhau: * Vậy minf x 2 khi x = 1 x (0; ) Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y x42 49 x trên đoạn 2;3 bằng A. 201. B. 2 . C. 9 . D. 54 . (QG 2018) Ví dụ 2 (TN- 2012). Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của x m2 m Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  2;3 . hàm số f (x) trên [0;1] bằng −2. x1 3 Ta có: y 48 x x . Giải (cách1): x 0  2;3 Tập xác định D \{ 1}. 3 y 0 4xx 8 0 . 132 x 2 2;3   2 m m m 1 24 Ta có: f '(x) 0 với  x [0;1] Ta có: f 29 , f 3 54 , f 09 , f 25 , f 25 . x 1 22 x 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;3 bằng f 3 54 . Vậy hàm số đồng biến trên [0;1] minf ( x ) f (0) m2 m x 0;1 HƢỚNG DẪN BẤM MÁY DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ Theo bài m2 m 21 m hoặc m 2 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 30
xx2 25 2 Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên 2;3 Ví dụ 1. Tìm min, max của hàm số: y 2sinxx 2sin 1 .   x 1 Giải : 41 81 37 A. 4. B. . C. . D. . Đặt t = sinx ,ta có :x R t  1;1 10 20 6 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ của hàm số : Giải (Cách2): g(t) 2t2 2t 1 với t * Điều kiện x 1 2;3 nên hàm số liên tục trên 2;3 * Xét trên khoảng (2;3) , ta có (loại) Hàm số y= liên tục trên 1;1 xx2 23 2 g’(t)=4t+2 g’(t)=0 t 1 2  1;1 y 2 0 x 2 x 3 0 x 1(loại) hoặc x 3 (loại) x 1 13 Ta có : g 1 3 ; g 1 1 ; g * Mà y 2 5 ; y(3) = 4 . Suy ra minyy 4 (3) 22 x 2;3 - * Trong bài này các đáp án đều gần bằng 4 nên khi bấm máy bảng giá trị x= k2 31 6 không thể hiện rỏ nên rất khó dự đoán đƣợc kết quả. Do đó : Minf(x) min g(t) khi t tøc lµ x R t  1;1 22 7 Ví dụ 4. Gọi m giá trị nhỏ nhất của f( x ) cos4 x sin4 x .Khi đó m thỏa: x k2 6 A. m (0;1) . B. m ( 1;0) . C. m ( ; 1) . D. m (1; ) . Giải (Cách3): Maxf(x) max g(t) 3khi t 1tøc lµ x= k2 . x R t -1;1 2 1 * f( x ) cos4 x sin4 x = (cos2x + sin2x )2 – 2sin2x cos2 = 1– sin22x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : 2 a) f(x)= 1 sinxx 1 cos 2 2 2 * Ta có: 0 sin 2x 1 0 – sin 2x – 1 1 – sin 2x b) f(x)= 1 x x 4 x2 3 x 4 1 1 a) Do sinx  1;1 , x R ,cos x  1;1  x R * Vậy minf ( x ) khi sin2 2x 1 x k . Chọn B 224 nªn hµm sè ®· cho x¸c ®Þnh trªn R 2 Mặt khác ta dễ thấy f(x) 0 xR Ví dụ 5. Giá trị lớn nhất của hàm số y 32 x x bằng bao nhiêu? g( x ) f2 ( x ) 2 sin x cos x 2 1 sin x cos x sin x cos x A. Maxy = 5. B. Maxy = 4. C. Maxy = 3. D. Maxy = 2. Xét hàm số : Bài này không cho điều kiện x nên ta có thể bấm máy nhƣ sau: Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của g(x) trên R. 2 Điều kiện 3 2x x 0 3 x 1 Đặt t = sinx+cosx= 2 sin(x+ ) 2; 2 2 4 Kiểm tra đáp án A: Nhập 3 2xx 5 Bấm SHIFT → SLOVE Bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của g(x) trên R trở về bài toán tìm giá → Nhập x thỏa ĐK→ Máy cho kết quả: VÔ NGHIỆM → Loại A h t 2 t 2 t 1 trªn - 2; 2 Tương tự loại B và C. Chọn D trị nhỏ nhất , lớn nhất của  Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất nhờ vào đặt ẩn phụ . 2 t 2( t 1) v íi - 2 t 1 Giả sử ta cần tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số y f() x trên tập D. Ta có : ht 2 t 2( t 1) v íi -1 t 2 Bƣớc 1: Đặt t = (x), x D t  Bƣớc 2: Đƣa hàm số y=f(x) về hàm số y=g(t); 1 2vt íi - 2 1 Từ đó suy ra: h’ t Bƣớc 3: Đƣa bài toán : tìm min ,max của f(x) trên D về việc tìm 1 2vt íi -1 2 min,max của y= g(t) trên  Đạo hàm của h(t) tại t1 không tồn tại . Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 31
vậy nếu coi y là tham số, tìm điều kiện cần và đủ của y để phƣơng trình Hàm số y = h(t) liên tục trên - 2; 2 y =f(x) có nghiệmrên D,từ đó ta tìm đƣợc tập G. Ta có : h(2) 4 22 ;h 1 1;h( 2) 4 22 x2 x 1 1ht 422 1 gx ()4 22 Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = x2 x 1 1 f ( x ) 4 2 2 ( v × f(x) 0  x R) Giải: * Điều kiện: x2 x + 1 0 (luôn đúng) 2 xx 1 22 Từ đó ta có : Min f( x ) 1 đạt được chẳn hạn với x= ; * Ta có: y 2 x x 1 y ( x x 1) xR 2 xx 1 x2 ( y 1) (1 y ) x y 1 0 (1) Max f( x ) 4 2 2 đạt được chẳn hạn với x= . xR 4 * Với y = 1 , (1) trở thành: –2x = 0 x = 0 b) Hàm số đã cho xác định trên 1;4 , đặt: t 1 x x 4 * Với y 1, khi đó mỗi giá trị của y luôn tồn tại x thỏa mãn (1),vậy (1) luôn có   2 2 2 nghiệm Δ 0 (1 + y) – 4(y – 1) 0 2 2 2 t 5 Ta có t 5 2 x 3 x 4 x 3 x 4 2 1 2 3y 10y + 3 0 y 3 3 2 25 Mặt khác trên  1;4 th× 0 x 3x 4 , 1 22 4 2 4 Với y = thì (1) trở thành: x x 01 x 3 3 3 3 2 do®ã 5 t 10 5 t 10 (vì t > 0) Với y = 3 thì (1) trở thành: 2x2 4 x 2 0 x 1 Bài toán trở về tìm GTLN, GTNN của hàm số : t52 Vậy Miny = khi x = –1 , Maxy = 3 khi x = 1 2 5; 10 g(t)=2. +1 g(t) = t + t + 6 trên 2 2sinxx 3cos 1 1 Ví dụ 2. Tìm min, max của hàm số: y = trên tập xác định g’ t 2t 1 g'(t) 0 t 5; 10 Ta có: 2sinxx cos 3 2 Điều kiện 2sinxx cos 3 0 Mặt khác g( 5) 1 5 ; g 10 4 10 , nên : 2sinxx 3cos 1 Ta có y 2sin x 3cos x 1 y (2sin x cos x 3) Max f(x) min g(t) 1 5 đạt được chẳn hạn x = 4 2sinxx cos 3 x  1;4 t 5; 10 2(y 1)sin x ( y 3)cos x 1 3 y và (*) Để phương trình có nghiệm thì: Min f(x) min g(t) 10 4 đạt được chẳn hạn x 32. 2 2 2 2 2 2 x  1;4 t 5; 10 a b c 4(y 1) (y 3) (1 3y) 7 9 1 81 4y2 8y 12 0 3 y 1 Mặt khác: g 1 ;gg ( 1) ; ( ) . 2 2 4 16 Với y = 1 thì (*) trở thành 4cosxx 4 cos 1, 81 1 1 khi đó sinx = 0 (thỏa mãn điều kiện) Do®ã:Maxf(x) max g(t) khix arcsin(- ) x R t -1;1 16 2 4 Với y = 3 thì (*) trở thành 8sinx 8 sinx 1, khi đó cosx = 0 (thỏa mãn điều kiện)  Dạng 3: Tìm Min, max bằng phương pháp sử dụng miền giá trị.  Dạng 4: Tìm Min, max bằng trong các bài toán thực tế. Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên D. Gọi G là tập giá trị của hàm số trên D . Khi đó: G={ y / phƣơng trình y = f(x) có nghiệm xD } nhƣ Bƣớc 1: Đặt ẩn x phù hợp Bƣớc 2: Từ giả thiết đưa ra điều kiện cho x Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 32
Bƣớc 3: Chuyển bài toán về tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm 4(km/h) rồi đi bộ đến C với vận tốc 6(km/h). Vị trí của điểm M cách B một Ví dụ 1. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn khoảng bao nhiêu để người đó đi đến góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có kho nhanh nhất? cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được 14 5 5 một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 2 5 km B. km A. x 6. 12 C. 0km D. 7 km B. x 3. Gọi độ dài đoạn MB là x,0 x 7km MC 7 x C. x 2. Tam giác ABM vuông tại B AM MN2 AB 2 x 2 5 2 x 2 25 D. x 4. x2 25 7 x (MH 2017) Thời gian người đó đi từ A tới C: 46 Trong bài này đề bài đã thực hiện sẳn cho ta bƣớc 1 x2 25 7 x x1 Theo bài suy ra 0 < x < 6 Xét hàm số f x ,x  0;7 có y' 2 46 2 6 Thể tích của hộp là (12 2xx ) . 4 x 25 x1 Xét hàm số y (12 2 x )2 . x 4 x 3 48 x 2 144 x có: y' 0 3x 2 x2 25 2 4 x 25 6 y' 12 x2 96 x 144 0 x 6 hoặc x 2 9x2 4x 2 100 x 2 20 x 25 (vì x không âm) Bảng biến thiên Bảng biến thiên: x 0 25 7 y’ 0 + y 14 5 5 Đáp án: C 12 Có thể sửng dụng bất đẳng thức để giải nài toán này: 3 Vậy, để người đó đến C nhanh nhất thì khoảng cách từ B đến M là 25 221 1 (4xxx 12 2 12 2 ) (12 2x ) . x .4 x (12 2 x ) . 128 Ví dụ 5. Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá bằng 4 4 27 kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng Dấu bằng xảy ra khi 4x 12 2 x x 2 (các mối ghép có kích thước không đáng kể) . Bể cá có dung tích lớn Vậy x = 2 thì thể tích hộp lớn nhất nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ? (QG 2018) Có thể sửng dụng phƣơng pháp kiểm tra đáp án (Bấm máy: Nhập hàm A. 2,26m3 . B. 1,61m3 . C. 1,33m3 . D. 1,50m3 . →SHIFT → CALC→ Cho x ở các đáp án – lƣu ý đến điều Giả sử bể cá có kích thước như hình vẽ. kiện). 2 2 6,5 2x Ví dụ 2. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển Ta có: 2x 2 xh 4 xh 6,5 h . AB 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 6x 2 13 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M biển với vận tốc Do h 0 , x 0 nên 6,5 2x 0 0 x . 2 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 33
3 2 2 6,5xx 2 Lại có V 2 x h fx , với Ta có: P 3 (x y z) 2(xy yz zx) 2xyz 3 3 9 2(xy yz zx) 2xyz 13 x 0; 27 6x(y z) 2yz(x 3) 2 (y z)2 13 39 P 27 6x(3 x) (x 3) f x 20 x2 x . 2 6 6 1 Bảng biến thiên: P (x 32 15x 27x 27) 2 Xét hàm số f(x) x32 15x 27x 27 ,với 0 0 và nên a,b,c (0;1) 2 fxyz ( , , , ) hxyz ( , , , ) kxyz ( , , , ) a 2 (1) (2) (3) a53 2a a a a 1 * Ta có aa3 fxyz ( , , , ) hxyz ( , , , ) kxyz ( , , , ) a 2 2 2 (1) (2) (3) b c 1 a 23 Ví dụ 1. Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ * Bất đẳng thức trở thành: a3 a b 3 b c 3 c nhất của biểu thức P 3(x2 y 2 z) 2 2xyz . 3 * Xét hàm số 3 . Giải: f x x x x 0;1 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 34
23 23 * Ta có: Max f x f a f b f c C. Maxy = + , Miny = 1. D. Maxy = + , Miny = . 0;1 9 3 2 1 Câu 9. Từ một tờ giấy hình tròn bán kính R , ta có thể cắt ra một hình chữ * Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 3 R2  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. A. B. 2R2 C. R2 D. 4R2 2 Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 2 x2 8 x 1? Câu 10. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích bằng S , hình chữ nhật đó có chu vi nhỏ nhất bằng: A. Maxy = 0. B. Maxy = 1. C. Maxy = 2. D. Maxy = 18. 2xx2 4 5 A. 2S B. 2 S C. 4S D. 4 S Câu 2. Cho hàm số y . Trong các khẳng định sau, khẳng định x2 1 Câu 11. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y sin42 x cos x bằng: nào đúng? 9 5 1 A. Maxy = 2, Miny = 1. B. Maxy = 6, Miny = 1. A. B. C. D. 0 4 4 4 1 C. Maxy = , Miny = 2. D. Maxy = 6, Miny = 2. Câu 12. Hàm số y 4 x22 2 x 3 2 x x đạt giá trị lớn nhất tại 2 giá 2 trị của x , mà tích của chúng bằng: Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x32 3 x 9 x 35 A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 trên đoạn  4;4? 1 1 1 Câu 13. Hàm số y x32 ( x ) 2( x ) với x 0 đạt giá trị nhỏ A. Maxy = 40, Miny = 8. B. Maxy = 40, Miny = 15. x32 x x C. Maxy = 15, Miny = 41. D. Maxy = 40, Miny = 41. nhất bằng: Câu 4. Hàm số f( x ) x2 8 x 13 đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng: A. Miny = 5. B. Miny = 1. C. Miny = 4. D. Miny = 2. 2 2 2 A. x 1 B. x 4 C. x 4 D. x 3 Câu 14 . Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz. Câu 5. Hàm số y 2ln( x 1) x2 x đạt giá trị lớn nhất tại điểm x bằng: A. x 0 B. x 1 C. x 2 D. xe ĐS: MaxP 2 2;MinP 2 2 Câu 15 . Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh 3 1 Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y tg x 2, (0 x ) là một vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của cosx 2 ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu l của cây cầu biết: a phân số tối giản . Hãy tính tích ab ? - Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng b vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 nhau tại điểm O; 2 - Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 2 với x 0 bằng: x điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA; A. Miny = 4. B. Miny = 1. C. Miny = 3. D. Miny = 2. - Độ dài OA và OB lần lượt là 40m và 20m; - Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và 2 Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y x cos x trên 0; ? BC lần lượt là 40m và 30m. 4 A. l ≈27 7, m. B. l ≈17 7, m. 1 A. Maxy = , Miny = 1. B. Maxy = , Miny = . C. l ≈15 7, m. D. l ≈25 7, m. 2 4 6 HD: Gắn hệ trục Oxy sao cho O Là gốc , A, B lần lượt thuộc Ox và Oy Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 35
Nếu x = 0 suy ra y = 0 không thoả mãn pt (2) của hệ. Nếu y = 0 cũng tương tự. Vậy xy > 0. I. SỬ DỤNG HÀM SỐ VÀO PHƢƠNG TRÌNH, 2xy 36xy 5 BẤT PHƢƠNG TRÌNH. Pt(1) 8x2 18 y2 36 xy 5(2 x 3)6 y xy . 6xy 2xy 3 2 (Nói rõ hơn trong chuyên đề phƣơng trình, bất phƣơng trình) Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu. 23xy 1 Đặt tt, 2. Xét f(t) = t + ,2t . Sử dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục. 6xy t Sử dụng các mệnh đề sau : f(x) là hàm số liên tục trên  .Khi đó : 2 a). f(x) với mọi x  maxf(x) (trên ). ’ t 1 5 Ta thấy f (t) = 2 02 t suy ra f(t) . b). f(x) với mọi x  minf(x) (trên ). t 2 c). f(x) có nghiệm minf(x) (trên ). Dấu = xẩy ra khi t = 2 hay khi 2x = 3y. Thay vào pt (2) của hệ , suy ra hệ d). f(x) có nghiệm maxf(x) (trên ). có nghiệm: x = 3 ; y = 2. Để giải phƣơng trình f(x) = g(x) , bất phƣơng trình: f(x) > g(x) (f(x) <  BÀI TẬP g(x) ,f(x) g(x), f(x) g(x) ), ta khảo sát ,hay căn cứ vào tính chất hàm số Bài 1. Tìm m để phương trình: mx x 3 m 1 * có nghiệm. y =f(x) và y =g(x) , đƣa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên để đƣa ra Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: kết luận . 2 Nếu hàm số y = f(x) liên tục và chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên D, 5 x x 1 5 6x x m u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của D khi đó ta có : f(u(x)) = f(v(x)) Bài 3. Xác định m để hàm số y= m–3 x– 2m+1cosx luôn nghịch biến trên R u(x) = v(x) ; f(u(x)) < f(v(x)) u(x) < v(x) . Bài 4. Tìm m để pt sau có nghiệm trên 0; 2 . ( Tƣơng tự cho các dấu , và ) 2 sin44x cos x cos4 x 2sin 2 x m 0 Ví dụ 6. Cho phương trình cos33x sin x m (1). HD: Đặt t sin 2x ĐS: 2 m 10 / 3 Bài 5. Định m để phương trình sau có nghiệm Tìm m để (1) có đúng hai nghiệm x ; 44 2 4sin3xsinx + 4cos 3x - cos x + cos 2x + m 0 (1) cosx sin x 1 cos x sin x m 4 4 4 ĐS: 2 2 m 2 2 . (Đặt : t cos2x + sin2x ) Đặt t = cosxx sin 2 Khi xt ; 0; 2 . 44 MỤC LỤC 3 Ta có phương trình theo t: 32t t m . A. CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 1 * Xét hàm số f(t) 3t t3 , lập bảng biến thiên B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 5 C. TIỆM CẬN HÀM SỐ 10 phương trình có đúng hai nghiệm x; D. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 44 E. BÀI TOÁN TƢƠNG GIAO. 18 khi và chỉ khi m 2 2;1 . F. VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM 22 G. TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT. 26 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: H. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 29 22 8x 18y 36xy 5(2x 3y) 6xy 0 I. SỬ DỤNG HÀM SỐ VÀO PHƢƠNG TRÌNH, BẤT 35 22 PHƢƠNG TRÌNH. 2x 3y 30 Điều kiện xy 0 . Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 36
ĐÔI LỜI CHIA SẺ Trong quá trình biên tập tài liệu có siêu tầm và chỉnh sửa một số bài tập trắc nghiệm của các thầy cô được đăng trên các websile, hiện tại đã biên tập được 5phần (Hàm số, mũ-logarit, tích phân, số phức và hình học không gian), các thầy cô và các em muốn có file word xin liên hệ qua số điện thoại bên dưới hoặc qua mail nguyenducthang969@gmail.com . Trong quá trình biên soạn còn có rất nhiều thiếu sót rất mong và trân trọng các góp ý của thầy cô và các em học sinh. Quá trình biên soạn mất rất nhiều thời gian, mong thầy cô và các em không đăng tải trên các websile khác. Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận (ĐT: 032 756 822- 0162 756 822) 37