›
›
›

Đề cương Ôn tập Toán Lớp 9 - Học kì 2 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Trí Phải

doc 29 trang nhatle22 3920
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Ôn tập Toán Lớp 9 - Học kì 2 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Trí Phải", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_cuong_on_tap_toan_lop_9_hoc_ki_2_nam_hoc_2016_2017_truong.doc

Nội dung text: Đề cương Ôn tập Toán Lớp 9 - Học kì 2 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Trí Phải

  1. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax by c , a 0 (D) Cho hệ phương trình: a' x b' y c', a' 0 (D') a b (D) cắt (D’) Hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất. a' b' a b c (D) // (D’) Hệ phương trình vơ nghiệm. a' b' c' a b c (D)  (D’) Hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm. a' b' c' II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Giải các hệ phương trình: x y m Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1) 2x my 0 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 . 2. Xác định giá trị của m để: a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vơ nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. 4. Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1. x y k 2 Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1) 2x 4y 9 k 1. Giải hệ (1) khi k = 1. 2. Tìm giá trị của k để hệ (1) cĩ nghiệm là x = – 8 và y = 7. 3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k. x y 3 Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1) 2x my 1 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 . 2. Xác định giá trị của m để: a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vơ nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. mx 2y 1 Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1) 2x 3 y 1 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 . 1 2 2. Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm x = và y = . 2 3 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. x y 4 Bài tập 5 : Cho hệ phương trình (1) 2x 3y m 1
  2. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1. x 0 2. Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x; y) thỏa . y 0 2x y 3m 1 Bài tập 6: Cho hệ phương trình 3x 2y 2m 3 1. Giải hệ phương trình khi m = – 1. x 1 2. Với giá trị nào của m thì hệ pt cĩ nghiệm (x; y) thỏa . y 6 2mx y 5 Bài tập 7: Cho hệ phương trình : (1) mx 3y 1 1. Giải hệ (1) khi m = 1. 2. Xác định giá trị của m để hệ (1): a) Cĩ nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đĩ theo m. b) Cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2. mx 2 y m Bài tập 8 : Cho hệ phương trình : ( m là tham số) (I). 2x y m 1 a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng. b) Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đĩ theo m. CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a 0): Hàm số y = ax2(a 0) cĩ những tính chất sau: Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x 0. Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0): Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a 0 pt cĩ 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. + Nếu = 0 pt cĩ nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau. + Nếu < 0 pt vơ nghiệm (D) và (P) khơng giao nhau. 2 3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax (a 0) và (Dm) theo tham số m: 2
  3. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0. Lập (hoặc ' ) của pt hồnh độ giao điểm. Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m. + (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m. + (Dm) và (P) khơng giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG x2 Bài tập 1: Cho hai hàm số y = cĩ đồ thị (P) và y = -x + m cĩ đồ thị (Dm). 2 1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Xác định giá trị của m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1. b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 2 Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x cĩ đồ thị (P) và y = – 3x + m cĩ đồ thị (Dm). 1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Xác định giá trị của m để: 1 a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng . 2 b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 cĩ đồ thị (P). 1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuơng gĩc 2 2. Gọi A( ; 7 ) và B(2; 1). 3 a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P). 3. Tìm điểm trên (P) cĩ tổng hồnh độ và tung độ của nĩ bằng – 6. 3 1 Bài tập 4: Cho hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và y = – 2x + cĩ đồ thị (D). 2 2 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ và tung độ của điểm đĩ bằng – 4. 2 5 Bài tập 5: Cho hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và y = x + cĩ đồ thị (D). 3 3 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D). xA xB 3. Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) sao cho . Xác định tọa độ của A và B. 11yA 8yB Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3). 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B. 2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2. a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho. 3
  4. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy. 1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và cĩ hệ số gĩc k. a) Viết phương trình đường thẳng (D). b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hồnh độ của B là 1. Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và y = x + 2 cĩ đồ thị (D). 1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Gọi A là điểm thuộc (D) cĩ hồnh độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B. 3. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất. Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 cĩ đồ thị (P) và y = x – 2 cĩ đồ thị (D). a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số. b) Gọi A là một điểm thuộc (D) cĩ tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B. c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hồnh sao cho MA + MB nhỏ nhất. Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2. 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B. 2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm). 3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuơng. CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: x1 1 a + b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm:. c x 2 a x1 1 a – b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm:. c x 2 a b) Giải với ' : b Nếu b = 2b’ b’ = ' = (b’)2 – ac. 2 b' ' b' ' Nếu ' > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x ; x 1 a 2 a b' Nếu ' = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: x x . 1 2 a Nếu ' 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x ; x 1 2a 2 2a 4
  5. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 b Nếu = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: x x . 1 2 2a Nếu 0 (hoặc > 0) pt (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy hoặc . v x2 v x1 5
  6. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 b' b' + Nếu ' = 0 (hoặc = 0) pt (*) cĩ nghiệm kép x1 = x2 = . Vậy u = v = . a a + Nếu ' 0,  m (với c là một số dương) Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m. 6. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc). Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 0,  m. Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn nghiệm với mọi tham số m. 7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc). Biện luận: + Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt khi: ' > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình cĩ nghiệm kép khi ' = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình vơ nghiệm khi ' < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình cĩ nghiệm khi ' 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. * Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. 8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c. Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. 9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m. Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = 3. 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m. Bài tập 3 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 6
  7. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc lập với m. Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 5. 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc lập với m. 4. Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu. Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1). 1. Tìm m để: a) Pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt. b) Pt (1) cĩ một nghiệm là – 2. 2 2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2) + 4(x1 + x2) + 4 = 0. Bài tập 6 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –2. 2. CMR: m , phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khơng phụ thuộc vào m. Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. 2 2 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = x1 x2 theo m. 4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. 3. Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu. 4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc và m. 2 2 5. Tìm m để x1 x2 = 10. Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 2. Tìm m để: a) Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt. b) Phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu. c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11. Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1). a) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm kép và tính nghiệm kép đĩ. b) Trong trường hợp phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà khơng phụ thuộc m. CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: 7
  8. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 1. Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình): Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ; Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng 2. Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được. 3. Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập1: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. HD: Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x 9). Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x 9) Số cần tìm cĩ dạng xy = 10x + y Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta cĩ pt: x – y = 2 (1) Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: xy =100xx +10y + x = 101x +10y Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta cĩ phương trình: (101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2). x y 2 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: 91x 9y 682 x 7 Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK) số cần tìm là 75. y 5 Bài tập 2: Cĩ hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đĩ. HD: Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N) x y 59 x y 59 Theo đề bài ta cĩ hệ pt: 2x 7 3y 2x 3y 7 x 34 Giải hệ ta được: (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25. y 25 Bài tập 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên cĩ hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nĩ bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho. HD: Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x 9) Chữ số hàng đơn vị: 10 – x Số đã cho cĩ dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x) Theo đề bài ta cĩ phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – 2 = 0 Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận) Vậy số cần tìm là 28. 8
  9. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 Bài tập 4: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật cĩ chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nĩ tăng thêm 144m 2. Tính các kích thước của hình chữ nhật. HD: 280 Nửa chu vi hình chữ nhật: = 140 (m). 2 Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140). Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m). Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2). Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật mới cĩ diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2) Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta cĩ phương trình: (x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 5x = 430 x = 86 (thỏa ĐK) Vậy hình chữ nhật cĩ chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m). Bài tập 5: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nĩ tăng thêm 50m 2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu. HD: Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m. Diện tích khu vườn: 6 000 m2. Bài tập 6: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật cĩ chu vi 160cm và cĩ diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nĩ. HD: 160 Nửa chu vi hình chữ nhật: = 80 (m). 2 Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80). Kích thước cịn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m). Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2). Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta cĩ phương trình: x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 = 0 Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận). Vậy hình chữ nhật cĩ các kích thước là 30m và 50m. Bài tập 7: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật cĩ chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường. HD: Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170) Vì sân trường cĩ chu vi 340m nên ta cĩ phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1). Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta cĩ pt: 3x – 4y = 20 (2). x y 170 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: 3x 4y 20 x 100 Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK). y 70 Bài tập 8: Cho một tam giác vuơng. Nếu tăng các cạnh gĩc vuơng lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm 2. Tình hai cạnh gĩc vuơng của tam giác. 9
  10. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh gĩc vuơng (x > 5, y > 5). 5x 4y 200 Theo đề bài ta cĩ hệ pt: x y 45 x 20 Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK). y 25 Vậy độ dài hai cạnh gĩc vuơng là 20cm và 25cm. Bài tập 9: Cho tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm 2. Tìm độ dài các cạnh gĩc vuơng. HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh gĩc vuơng (0 0) x.y 12 x.y 12 x 3 x 4 Giải hệ pt ta được hoặc (thỏa ĐK). y 4 y 3 Vậy độ dài hai cạnh gĩc vuơng là 3cm và 4cm. Bài tập 10: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng cĩ nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vịi thứ nhất trong 3 giờ và vịi thứ hai trong 4 giờ 3 thì được bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể? 4 HD: Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vịi 1, vịi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4). 1 Trong 1h, vịi 1 chảy được: (bể). x 1 Trong 1h, vịi 2 chảy được: (bể). y 24 Vì hai vịi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vịi cùng chảy 5 được 5 1 1 5 bể, do đĩ ta cĩ pt: + = (1). 24 x y 24 3 3 4 Vì vịi thứ nhất trong 3 giờ và vịi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước nên ta cĩ pt: + = 4 x y 3 (2). 4 10
  11. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 1 1 5 x y 24 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: (I) 3 4 3 x y 4 5 u v 1 1 24 Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II). x y 3 3u 4v 4 1 1 1 u 12 x 12 x 12 Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK). 1 1 1 y 8 v 8 y 8 Vậy: Vịi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vịi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h. Bài tập11: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng cĩ nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vịi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vịi 2 thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình 15 trong bao lâu sẽ đầy bể? HD: Vịi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vịi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút = 4h. Bài tập 12: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể cạn 4 (khơng cĩ nước) thì sau 4 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vịi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi 5 6 thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vịi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy 5 bể? HD: 6 Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vịi 1, vịi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > ). 5 1 Trong 1h, vịi 1 chảy được: (bể). x 1 Trong 1h, vịi 2 chảy được: (bể). y 4 24 Vì hai vịi nước cùng chảy trong giờ4 = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vịi cùng chảy được 5 5 5 bể, 24 1 1 5 do đĩ ta cĩ pt: + = (1). x y 24 6 Vì lúc đầu chỉ mở vịi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể 5 9 6 1 1 nước nên ta cĩ pt: + = 1 (2). x 5 x y 11
  12. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 1 1 5 x y 24 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: (I) 9 6 1 1 1 x 5 x y 5 5 u v u v 1 1 24 24 Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II). x y 6 51 6 9u u v 1 u v 1 5 5 5 1 1 1 u 12 x 12 x 12 Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK). 1 1 1 y 8 v 8 y 8 Vậy: Vịi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h. Bài tập13: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa cĩ nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vịi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vịi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi mất bao lâu mới chảy đầy bể? HD: Gọi x (h) là thời gian vịi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27). Thời gian vịi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h). 1 Mỗi giờ vịi thứ nhất chảy được (bể). x 1 Mỗi giờ vịi thứ hai chảy được (bể). x 27 1 Vì hai vịi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vịi cùng chảy được bể, do đĩ nên ta 18 cĩ pt: 1 1 1 x2 – 63x + 486 = 0. x x 27 18 Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại). Vậy: Vịi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vịi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h. Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre): Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe. HD: Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0). Sau một giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đĩ ta cĩ pt: x + y = 90 (1). 90 Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: (h). x 90 Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: (h). y 12
  13. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 9 90 90 9 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút = h nên ta cĩ pt: – = (2) 20 x y 20 x + y = 90 y = 90 x (a) Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: 90 90 9 10 10 1 . (b) x y 20 x 90 x 20 Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại). Thế x = 40 vào (a) y = 50 (nhận). Vậy: Xe I cĩ vận tốc: 40 km/h. Xe II cĩ vận tốc: 50 km/h. Bài tập 15: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe. HD: Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0). Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đĩ ta cĩ pt: 2x +2y =110 (1). 110 Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: (h). x 110 Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: (h). y 11 110 110 11 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút = h nên ta cĩ pt: – = (2) 15 x y 15 2x + 2y = 110 y = 55 x (a) Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: 110 110 11 110 110 11 . (b) x y 15 x 55 x 15 Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại). Thế x = 25 vào (a) y = (nhận). Vậy: Xe I cĩ vận tốc: 40 km/h. Xe II cĩ vận tốc: 50 km/h. 13
  14. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký hiệu tốn học Hình vẽ Hệ quả 1. Gĩc ở tâm: Trong một (O,R) cĩ:·AOB ở tâm chắn ¼AmB đường trịn, số đo của gĩc ở ·AOB = sđ ¼AmB tâm bằng số đo cung bị chắn. · » 2. Gĩc nội tiếp: (O,R) cĩ: BAC nội tiếp chắn BC 1 * Định lý: Trong một đường B· AC = sđ.B»C trịn, số đo của gĩc nội tiếp 2 bằng nửa số đo của cung bị chắn. * Hệ quả: Trong một đường trịn: a) (O,R) cĩ: a) Các gĩc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng B»C E»F nhau. B· AC n.tiếp chắn B»C E· DF n.tiếp chắn E»F  b)B· A(O,R)C Ecĩ:· DF  b) Các gĩc nội tiếp cùng · »  BAC n.tiep chăn BC · · chắn một cung hoặc chắn (O,R) cĩ:  BAC BDC B· DC n.tiep chăn B»C các cung bằng nhau thì  bằng nhau. B· A C n . t i e p c h ă n B» C  E· DF n.tiep chăn E»F  B· AC E· DF B»C E»F c) (O,R) cĩ:  B· AC n.tiep chăn B»C  1  B· AC B· OC c) Gĩc nội tiếp (nhỏ hơn · » 2 hoặc bằng 900) cĩ số đo Bd)O C(O,R) o tâm cĩ: chan BC bằng nửa số đo của gĩc ở B· AC nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm cùng chắn một cung. đường kính BC B· AC = 900. d) Gĩc nội tiếp chắn nửa 14
  15. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 đường trịn là gĩc vuơng. (O,R) cĩ: B· Ax tạo bởi tia tiếp tuyến và dây 1 cung chắn »AB B· Ax = sđ »AB . 2 3. Gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: * Định lý: Trong một đường (O,R) cĩ: trịn, số đo của gĩc tạo bởi · »  tia tiếp tuyến và dây cung BAxtaoboitt &dc chănAB · · bằng nửa số đo của cung bị  BAx ACB ·ACB noitiep chăn A»B chắn.  (O,R) cĩ: * Hệ quả: Trong một đường · trịn, gĩc tạo bởi tia tiếp BEC cĩ đỉnh bên trong đường trịn 1 tuyến và dây cung và gĩc B· EC = (sđ B»C sđ »AD) nội tiếp cùng chắn một cung 2 thì bằng nhau. 4. Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong (O,R) cĩ: đường trịn: B· EC cĩ đỉnh bên ngồi đường trịn * Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở 1 B· EC = (sđ B»C sđ »AD) bên trong đường trịn bằng 2 nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 5. Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn: * Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 6. Cung chứa gĩc: * Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới · · · một gĩc khơng đổi là hai a) ADB AEB AFB cùng nhìn cung trịn chứa gĩc . đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc một đường trịn. * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, b) A· CB A· DB ·AEB ·AFB 900 15
  16. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 cùng nhìn đoạn AB dưới một cùng nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, gĩc khơng đổi Các đểm F thuộc một đường trịn đường kính A, B, D, E, F cùng thuộc một AB. đường trịn. b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới một gĩc vuơng Các đểm * Tứ giác ABCD cĩ A, B, C, D (O) A, B, C, D, E, F thuộc ABCD là tứ giác nội tiếp (O). đường trịn đường kính AB. * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) µA Cµ 1 8 0 0 7. Tứ giác nội tiếp: µ µ 0 * Định nghĩa: Một tứ giác B D 1 8 0 cĩ bốn đỉnh nằm trên một * Tứ giác ABCD cĩ: dường trịn được gọi là tứ µA Cµ 1800 ABCD là tứ giác giác nội tiếp đường trịn. n.tiếp * Định lý: Trong một tứ giác Hoặc: nội tiếp, tổng số đo hai gĩc Bµ Dµ 1800 ABCD là tứ giác đối diện bằng 1800. n.tiếp * Định lý đảo: Nếu một tứ giác cĩ tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đĩ nội tiếp được đường trịn. 8. Độ dài đường trịn, cung trịn: * Chu vi đường trịn: C = 2 R = d Rn * Độ dài cung trịn:  1800 9. Diện tích hình trịn, hình d 2 quạt trịn: S R2 * Diện tích hình trịn: 4 * Diện tích hình quạt trịn: * Diện tích hình viên phân: 16
  17. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 * Diện tích hình vành khăn: R2n .R SviênS phân = Squạt - SABC 360 2 HÌNH KHƠNG GIAN 1.Hình trụ: * Diện tích xung quanh: * Diện tích tồn phần: 2 2 S (R1 R2 ) * Thể tích: Sxq 2 Rh 2.Hình nĩn: Stp = Sxq + 2.Sđáy * Diện tích xung quanh: 2 Stp 2 Rh 2 R * Diện tích tồn phần: V S.h R2h S: diện tích đáy; h: chiều cao S R.l * Thể tích: xq Stp = Sxq + Sđáy 2. Hình nĩn cụt: S R R2 * Diện tích xung quanh: tp 1 V = V * Diện tích tồn phần: nĩn trụ 1 3 V R 2h 3 Sxq (R1 R2 )l S: diện tích đáy; h: chiều cao, l: đường sinh 2 2 * Thể tích: l h R Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ 4 V R3 17 3
  18. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 3. Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: 2 2 Stp (R1 R2 )l (R1 R2 ) * Thể tích: 1 V h(R2 R2 R R ) 3 1 2 1 2 S 4 R2 d 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Các phân giác của các gĩc ·ABC , ·ACB lần lượt cắt đường trịn tại E, F. 1. CMR: OF  AB và OE  AC. 2. Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác này. 3. Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR: ID  MN. 4. CMR: Nếu D nằm trên (O) thì B· AC = 600. HD: 1. CMR: OF  AB và OE  AC: + (O,R) cĩ: A ·ACF n.tiep chăn »AF  B· CF n.tiep chăn B»F  »AF B»F OF  AB F M N E ·ACF B· CF (CF laphân giac)  + (O,R) cĩ: O I ·ABE n.tiep chăn »AE  B C· AE n.tiep chănC»E  »AE C»E OE  AC C ·ABE C· AE (BE la phân giac)  D 2. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp: · 0  OF  AB tai M OMA 90 0  O· MA O· NA 180 Tứ AMON nội tiếp. · 0 OE  AC tai N ONA 90  * Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AMON: 18
  19. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 2 OA OA 2 R2 Tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính OA S . . . 2 4 4 3. CMR: ID  MN: + I và D đối xứng nhau qua BC ID  BC (1) + (O,R) cĩ: 1  OF  AB tại M MA MB AB 2  MN là đường trung bình của ABC MN // BC (2). 1 OE  AC tại N NA NC AC 2  Từ (1) và (2) ID  MN . 4. CMR: Nếu D nằm trên (O) thì B· AC = 600: + I và D đối xứng qua BC BC là đường trung trực của ID, suy ra: IBD cân tại B C· BD C· BE ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao). ICD cân tại C B· CD B· CF ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao). + Khi D nằm trên (O,R) thì: C· BD n.tiep chănC»D C· BE n.tiep chănC»E C»D C»E  A   »AE E»C C»D » » F C· B D C· B E ( c m t ) Mà: CE AE (cmt)  M N E 1 Mặc khác: »AE E»C C»D A¼CD C»D A¼CD (1). 3 O I B· CD n.tiếp chắn B»D B C B· CF n.tiếp chắn B»F B»D B»F    »AF F»B B»D » » D B· C D B· C F ( c m t ) Mà: BF AF (cmt)  1 Mặc khác: »AF F»B B»D A¼BD B»D A¼BD (2). 3 1 1 B· AC n.tiep chăn B»C ·BAC sđ B»C (sđ B»D sđ C»D) (3). 2 2 · 1 1 ¼ 1 ¼ 1 ¼ ¼ 1 0 0 + Từ (1), (2) và (3) BAC sđ ABD sđ ABD sđ ABD sđ ABD .360 60 . 2 3 3 6 6 Bài 2: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H. 1. CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp. a 2. Khi BM = . Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a. 4 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a. A B HD: 1. CMR: Tứ giác AHND và MHNC nội tiếp: x + ABM = BCN (c.g.c) B· AM C· BN H M + C· BN A· BH A· BC 900 A· HB 900 (ĐL tổng 3 gĩc của AHB) 19 D N C
  20. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 AM  BN tại H ·AHN M· HN 900 . + Tứ giác AHND cĩ: ·AHN ·ADN 1800 AHND là tứ giác nội tiếp. + Tứ giác MHNC cĩ: M· HN M· CN 1800 MHNC là tứ giác nội tiếp. a 2. Khi BM = . Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: 4 a a 3 a + Khi BM = CN = DN = . 4 4 4 2 2 2 2 3a 5a + AND vuơng tại D AN AD DN a = . 4 4 2 AN 2 5a 25 a2 + Diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND:S :4 . 4 4 64 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN theo a: + Đặt x = BM = CN CM = a – x . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a + MCN vuơng tại C MN = CM + CN = (a – x) + x = 2x – 2ax + a = x 2 2 2 a2 a MN2 đạt giá trị nhỏ nhất là khi x 2 0 2 2 a2 a 2 a MN đạt giá trị nhỏ nhất là khi x 2 2 2 a 2 a Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là khi BM = . 2 2 Bài 3: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Đường cao BH và CK lần lượt cắt (O) tại E và F. a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp. b) CMR: OA  EF và EF // HK. c) Khi ABC là tam giác đều cĩ cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O). HD: a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp: + BH  AC B· HC = 900 nhìn đoạn BC H đường trịn đường kính BC (1). + CK  AB B· KC = 900 nhìn đoạn BC K đường trịn đường kính BC (2). + Từ (1) và (2) B, H, C, K đường trịn đường kính BC Tứ giác BKHC nội tiếp đường trịn đường kính BC. b) CMR: OA  EF và EF // HK: + Đường trịn đường kính BC cĩ: K· BH n.tiep chăn H¼K   K· BH K· CH ·ABE ·ACF · ¼ KCH n.tiep chăn HK  + Đường trịn (O) cĩ: 20
  21. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 ·ABE n.tiep chăn »AE C· AE n.tiep chăn »AF  »AE C»F AE AF (1) ·ABE C· AF (cmt)  + Mặc khác: OE = OF = R (2) Từ (1) và ( 2) OA là đường trung trực của EF OA  EF . + Đường trịn đường kính BC cĩ: B· CK n.tiep chăn B»K   B· CK B· HK B· CF B· HK (3) · » BHK n.tiep chăn BK  + Đường trịn (O) cĩ: B· CF n.tiep chăn B»F   B· CF B· EF (4) · » BEF n.tiep chăn BF  B· HK B· EF  Từ (3) và (4)  EF / / HK . · · BHK va BEF đồng vị  c) Khi ABC là tam giác đều cĩ cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O: + Gọi R là bán kính của (O) và h là chiều cao của ABC đều, ta cĩ: a 3 h = 2 2 2 a 3 a 3 O là trọng tâm của ABC R = OA = h = . 3 3 2 3 2 a 3 a2 2 S (O) = R = (đvdt) 3 3 1 1 a 3 a2 3 S ABC = a.h = a (đvdt) 2 2 2 4 1 1 a2 a2 3 a2 (4 3 3) S vp = ( S(O) – SABC ) = ( - )= (đvdt). 3 3 3 4 36 Bài 4: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuơng gĩc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F. a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường trịn. b) CMR: DE.HE = BE.CE. c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC. d) CMR: HC là tia phân giác của D· HF . HD: a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng thuộc một đường trịn: + B· AD = 900 nhìn đoạn BD A đường trịn đường kính BD (1) + B· HD = 900 nhìn đoạn BD H đường trịn đường kính BD (2) + B· CD = 900 nhìn đoạn BD C đường trịn đường kính BD (3) A B Từ (1), (2) và (3) A, B, H, C, D đường trịn đường kính BD. H E 21 D C F
  22. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 b) CMR: DE.HE = BE.CE: + DEC và BEH cĩ: D· EC B· EH ( đơi đinh)   DEC BEH (g.g) · · 0 DCE BHE 90  DE EC DE.HE = BE.CE. BE EH c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC: BC a Khi E là trung điểm của BC EB EC . 2 2 DEC vuơng tại C DE EC2 CD2 A B 2 a 2 a 5 DE = a . H 2 2 E BE.CE Từ: DE.HE = BE.CE (cmt) EH ? DE D C F a a a 5 a 5 EH . : . 2 2 2 10 a 5 a 5 3a 5 DH = DE + EH = + = . 2 10 5 d) CMR: HC là tia phân giác của ·DEF : + Đường trịn đường kính BD cĩ: · »   CHD n.tiep chănCD · ·  C H D CBD · 0 · » 1 0  CHD 45 (1) C B D n . t i e p c h ă n C D  Mà: C· BD A· BC 45 2  + Mặc khác: C· HD C· HF D· HF 900 (2) 1 + Từ (1) và (2) C· HD C· HF D· HF HC là tia phân giác của D· HF . 2 Bài 5: Một hình vuơng ABCD nội tiếp trong đường trịn Tâm O bán kính R . Một điểm M di động trên cung ABC , M khơng trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H. 1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường trịn và DH.DM = 2R2 . 2) CMR: MD.MH = MA.MC. 3) MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi đĩ M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuơng gĩc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C . HD: 1. CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường trịn: + ABCD là hình vuơng BD  AC B· OH 900 (1) + (O) cĩ:B· MD nội tiếp chắn đường trịn B· MD 900 (2) A B + Từ (1) và (2) B· OH B· MD 900 900 1800 MBOH là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BH. M O 22 H D C
  23. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 * CMR: DH.DM = 2R2: DOH và DMB cĩ: D· OH D· MB 900   DOH DMB (g.g) · BDM : chung  DO DH DO.DB DH.DM R.2R DH.DM DH.DM 2R2 (đpcm). DM DB 2. CMR: MD.MH = MA.MC: + (O,R) cĩ: M· DC n.tiep chăn M¼ C   M· DC M· AC M· DC M· AH · ¼ MAC n.tiep chăn MC  CD = AD (ABCD là hình vuơng) C»D A»D . C· MD n.tiep chănC»D  ·AMD n.tiep chăn »AD C· MD ·AMD C· MD ·AMH C»D »AD  + MDC và MAH cĩ: M· DC M· AH (cmt)  MD MC  MDC MAH (g.g) MD.MH MA. MC . C· MD ·AMH (cmt) MA MH  B 3. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C: A + Khi MDC = MAH MD = MA + (O,R) cĩ: ¼ ¼ ¼ » » » O M' MD = MA MCD MBA MC CD MB BA (1) H' Do:CD = BA C»D B»A (2) I Từ (1) và (2) M¼ C M¼ B M là điểm chính giữa B»C D C Hay M’là điểm chính giữa B»C . + Do MDC = MAH M’DC = M’AH’ M’C = M’H’ M’H’C cân tại M (3) + Do M’I  AC M’I  H’C (4) Từ (3) và (4) M’I là đường là đường trung tuyến của M’H’C IH’ = IC Hay I là trung điểm của H’C (đpcm). Bài 6: Cho hai đường trịn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường trịn (O) và đường kính AD của đường trịn (O’). a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Tính độ dài đoạn OO’. c) Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường trịn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm). CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF. E HD: K a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng: F A 23 O O' H C B D
  24. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 + (O) cĩ ·ABC nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AC ·ABC = 900 (1) + (O’) cĩ ·ABD nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AD ·ABD = 900 (2) + Từ (1) và (2) C· BD = ·ABC +·ABD = 1800 Ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Tính độ dài đoạn OO’: + (O) và (O’) cắt nhau tại A và B OO’ là đường trung trực của AB. 1 + Gọi H là giao điểm của OO’ và AB OO’  AB tại H; HA = HB = AB = 12 (cm). 2 + AHO vuơng tại H OH OA2 HA2 = 202 122 16 (cm). + AHO’ vuơng tại H O ' H O ' A2 HA2 = 152 122 9 (cm). Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + 9 = 25 (cm). c) CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF: + Gọi K là giao điểm của AB và EF. + OEK vuơng tại E KE 2 OK 2 OE 2 (1) + OHK vuơng tại H OK 2 OH 2 HK 2 (2) + Từ (1) và (2) KE2 = (OH2 + HK2) – OE2 = 162 + HK2 – 202 = HK2 – 144 (*). + O’FK vuơng tại F KF 2 O ' K 2 O ' F 2 (3) + O’HK vuơng tại H O ' K 2 O ' H 2 HK 2 (2) + Từ (3) và (4) KF2 = (O’H2 + HK2) – O’F2 = 92 + HK2 – 152 = HK2 – 144 ( ). +Từ (*) và ( ) KE 2 = KF 2 KE = KF   K la trung điem cua EF Mà: KE KF EF  AB đi qua trung điểm của EF (đpcm). Bài 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường trịn. Qua điểm M thuộc nửa đường trịn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D. 1. CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp. b) CD = CA + DB và C· OD = 900. c) AC. BD = R2. 2. Khi B· AM = 600. Chứng tỏ BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt trịn chắn cung MB của nửa đường trịn đã cho theo R. HD: 1a) CMR: Tứ giác AOMC nội tiếp: + Ax là tiếp tuyến tại A O· AC = 900 (1) + CD là tiếp tuyến tại M O· MC = 900 (2) Từ (1) và (2) O· AC + O· MC = 1800 AOMC là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính OC. · 0 y 1b) CMR: CD = CA + DB và COD = 90 : x + Hai tiếp tuyến CA và CM cắt nhau tại C CA = CM và OC là tia phân giác của ·AOM (1) D 24 M C A O B
  25. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 + Hai tiếp tuyến DB và DM cắt nhau tại D DB = DM và OD là tia phân giác của M· OB (2) Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB + (O,R)cĩ: · · 0  AOM MOB 1 8 0 ( k ê  b u  ) O C l a p h â n g i a c c u a · A O M  C· OD = 900. OD la phân giac cua M· OB  1c) CMR: AC. BD = R2: COD vuong tai O 2  OM MC.MD  2 OM  CD  AC.BD R  voi OM = R,MC AC, MD BD 2. Khi B· AM = 600. Chứng tỏ BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt trịn chắn cung MB của nửa đường trịn đã cho theo R: + Nửa (O, R) cĩ: · ¼  BAM noi tiep chăn BM 0  D· BM B· AM 60 (1) · ¼ y DBM tao boi t.tuyenva dây cung chăn BM  x BDM cĩ DB = DM BDM cân tại D (2) D Từ (1) và (2) BDM đều. + Nửa (O, R) cĩ: · ¼  M BAM noi tiep chăn BM 0 0  B· OM 2.B· AM 2.60 120 · ¼ BOM o tâm chăn BM  C R2n R2 60 R2 S quạt = (đvdt). 0 360 360 3 60 A O B Bài 8: Từ điểm M ở ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường trịn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. a) CMR: MA2 = MC. MD. b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường trịn. c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường trịn. Suy ra AB là phân giác của C· HD . d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường trịn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng. HD: a) CMR:MA2 = MC. MD: + vàM AC cĩ:MDA A ·  MDA:chung I D  MAC (g.g)MDA · · » C MAC MDA (cung chăn AC)  MA MC 2 O MA MC.MD (đpcm)). M MD MA b) CMR:5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường trịn: 25 B
  26. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 + (O) cĩ: I là trung điểm của dây CD OI  CD O· IM 900 nhìn đoạn OM (1) MA OA (T/c tiếp tuyến) O· AM 900 nhìn đoạn OM (2) MB  OB (T/c tiếp tuyến) O· BM 900 nhìn đoạn OM (3) Từ (1), (2) và (3) 5 điểm M, A, I, O, B đường trịn đường kính OM. c) CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường trịn. Suy ra AB là phân giác của C· HD : + OAM vuơng tại A MA2 = MO. MH  A 2  Mà: MA MC.MD (cmt) D MH MC I MO. MH = MC. MD C MD MO + và MDO cĩ: M O H D· OM : chung MH MC  MHC MDO (c.g.c) MD MO  B M· HC M· DO M· HC C· DO   C· DO C· HO 1800 · · 0 Mà:MHC CHO 180 (kê bu) Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường trịn (đpcm) * CMR: AB là phân giác của C· HD : + COD cĩ OC = OD = R COD cân tại O C· DO D· CO M· DO D· CO   · · » Mà:OHD DCO(cung chăn OD cua đuong tron noi tiep tugiac CHOD)  M· DO O· HD   O· HD M· HC (1) · · Mà:MDO MHC (cmt) A· HC 900 M· HC  + Mặc khác:  (2) · 0 · AHD 90 OHD  Từ (1) và (2) A· HC A· HD   · · · Mà: AHC AHD CHD  Suy ra: HA là tia phân giác của C· HD AB là tia phân giác của C· HD (đpcm). d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường trịn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng: + Gọi K là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại C và D của (O) K + CK  OC (T/c tiếp tuyến) O· CK 900 nhìn đoạn OK (1) + DK  OD (T/c tiếp tuyến) O· DK 900 nhìn đoạn OK (2) A Từ (1), (2) Tứ giác OCK nội tiếp đường trịn đường kính OK D · · » I OKC ODC (cùng chắn OC) C M H O 26 B
  27. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 O· KC M· DO   O· KC M· HC  Mà:M· HC M· DO(cmt)   · · 0 Ma: MHC OHC 180 (kê bu)  O· KC O· HC 1800 Tứ giác OKCH nội tiếp đường trịn đường kính OK O· HK ·OCK = 900(gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) HK  MO   HK  AB 3 điểm A, B, K thẳng hàng (đpcm). Mà: AB  MO(cmt) Bài 9: Cho hình vuơng cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. 1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh: KM  DB. 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB. 4. Kí hiệu S ABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM. CMR: (S ABM + SDCM ) 2 2 khơng đổi. Xác định vị trí của M trên BC để S ABM + S DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ theo a. HD: A B 1. CMR: BHCD là tứ giác nội tiếp: + B· HD = 900 nhìn đoạn BD H đường trịn đường kính BD (1) H + B· CD = 900 nhìn đoạn BD C đường trịn đường kính BD (2) Từ (1) và (2) B, H, C, D đường trịn đường kính BD. M 2. Chứng minh: KM  DB: D C K + BDK cĩ : DH  BK  BC  DK  M là trực tâm của BDK KM là đường cao thứ ba KM  DB DH cắt DK tại M 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB: K· CB K· HD 900  + KCB và KHD cĩ:  KCB KHD (g.g) · BKD : chung  KC KH KC . KD = KH . KB (đpcm). KB KD 4. CMR: (SABM + SDCM ) khơng đổi: 1 1 + ABM vuơng tại B SABM = AB.BM = a.BM (1) 2 2 1 1 + DCM vuơng tại C SDCM = CD.CM = a.CM (2) 2 2 1 1 Từ (1) và (2) S ABM + SDCM = a.BM + a.CM 2 2 1 1 1 1 = a.(BM CM) a.BC a.a a2 2 2 2 2 27
  28. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 1 2 + Vì a là khơng đổi a khơng đổi (SABM + SDCM ) khơng đổi. 2 2 2 * Xác định vị trí của M trên BC để S ABM + S DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ theo a: + Đặt x = BM CM = a – x 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 + Ta cĩ: SABM SDCM a.BM a.CM = a.x a.(a x) 2 2 2 2 1 = a2 x2 (a x)2 4 1 = a2 2x2 2ax a2 4 1 2 2 1 2 = a 2(x ax a ) 4 2 1 2 1 2 1 2 = a (x a) a ) 2 2 4 1 1 1 a4 = a2 .(x a)2 a4 2 2 8 8 a4 1 1 + Giá trị nhỏ nhất của S2 S2 là khi : x a = 0 x a ABM DCM 8 2 2 a4 Vậy khi M là trung điểm của BC thì S2 S2 đạt giá trị nhỏ nhất là . ABM DCM 8 Bài 10: Cho điểm A ở ngồi đường trịn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường trịn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường trịn tại E và F (E nằm giữa A và F). a) CMR: AEC và ACF đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF. b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường trịn. c) Từ E vẽ đường thẳng vuơng gĩc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng trịn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang. d) Giả sử cho OA = R2 . Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngồi hình trịn (O) HD: a) CMR: AEC và ACF đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF: + AEC và ACF cĩ: A· CE C· FE (cùng chắn C»E   KCB KHD (g.g) · CAF : chung  AC AE AC2 = AE. AF (đpcm). AF AC b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường trịn: + (O) cĩ: B I là trung điểm của dây EF OI  EF F O· IA 900 nhìn đoạn OA (1) E I AB  OB (T/c tiếp tuyến) A O 28 C
  29. Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn 9 HKII năm học 2016-2017 O· BA 900 nhìn đoạn OA (2) AC  OC (T/c tiếp tuyến ) O· CA 900 nhìn đoạn OA (3) Từ (1), (2) và (3) 5 điểm , A,B, O, I, C đường trịn đường kính OA. c) Từ E vẽ đường thẳng vuơng gĩc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng trịn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang: + B M F E I A O C Bài 11.Một hình trụ cĩ bán kính đáy là 7 cm, chiều cao của hình trụ là10cm . Tính diện tích xung quanh của hình trụ đĩ. 29