Đề cương Ôn tập Phương trình lượng giác môn Toán Lớp 11

Nội dung text: Đề cương Ôn tập Phương trình lượng giác môn Toán Lớp 11

1. Một số phương trình lượng giác thường gặp I/. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình cĩ dạng at b 0 t trong đĩ a,b là các hằng số a 0 và t là một trong các hàm số lượng giác. 1 Ví dụ: 2sin x 1 0; cos2x 0; 3tan x 1 0; 3 cot x 1 0 2 Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: II/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình cĩ dạng at 2 bt c 0 , trong đĩ a, b, c là các hằng số a 0 và t là một trong các hàm số lượng giác. Ví dụ: a) 2sin2 x sin x 3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x . b) cos2 x 3cosx 1 0 là phương trình bậc hai đối với cosx. c) 2 tan2 x tan x 3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x . d) 3cot2 3x 2 3 cot 3x 3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x . Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện 1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos). Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Ví dụ: Giải các phương trình sau: a)3sin 22 x 7cos 2x 3 0 b)7 tan x 4cot x 12 Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau: 31) 2 cos2 x 3cos x 1 0 32) cos2 x sin x 1 0 33) 2 cos2x 4 cos x 1 34) 2sin2 x 5sinx – 3 0 35) 2cos2x 2cosx - 2 0 36) 6cos 2 x 5sin x 2 0 37) 3 tan2 x (1 3) tan x=0 38) 24 sin2 x 14cosx 21 0 2 2 39) sin x 2cos x 1 40) 4cos x 2( 3 1)cosx 3 0 3 3 III/ . Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình cĩ dạng a.sin2 x b.sin x cos x c.cos2 x d a,b,c 0 Phương pháp:  Kiểm tra cos x 0 cĩ là nghiệm khơng, nếu cĩ thì nhận nghiệm này.  cos x 0 chia cả hai vế cho cos2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x : a d tan2 x b tan x c d 0 Trang 1
2. Ví dụ: Giải phương trình sau Bài tập đề nghị: 41) 3sin2 x 4sin x cos x+5cos2 x 2 42) 2cos2 x 3 3 sin 2x 4sin2 x 4 43) 25sin2 x 15sin 2x 9cos2 x 25 44) 4sin2 x 5sin x cos x 6cos2 x 0 45) 4sin2 x 5sin x cos x 0 46) 4sin2 x 6cos2 x 0 IV/ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình cĩ dạng asin x bcos x c trong đĩ a,b,c ¡ và a2 b2 0 Ví dụ: sin x cos x 1; 3cos 2x 4sin 2x 1; Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được: a b c sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 c Nếu 1 : Phương trình vơ nghiệm. a2 b2 c a b Nếu 1 thì đặt cos sin a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b (hoặc sin cos ) a2 b2 a2 b2 c c Đưa phương trình về dạng: sin x (hoặc cos x ) sau đĩ giải phương a2 b2 a2 b2 trình lượng giác cơ bản. Chú ý: Phương trình asin x bcos x c trong đĩ a,b,c ¡ R và a2 b2 0 cĩ nghiệm khi c2 a2 b2 . Giải Ví dụ: giải các phương trình sau: a) sin x cos x 1; b) 3cos 2x 4sin 2x 1; Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau: 47) 2sin x 2 cos x 2 48) 3sin x 4 cos x 5 49) 3sin x 1 4 cos x 1 5 50) 3cos x 4sin x 5 51) 2sin 2x 2cos 2x 2 52) 5sin 2x 6cos2 x 13;(*) 4 4 1 53) sin x cos x (*) 54) sin x 3 cos x 4 4 BÀI TẬP CHUNG Bài 1. Giải các phương trình sau: 1 3 1 55. sin 2x 56. cos2x 57. tan x 300 2 2 3 1 58. cot 5x 59. sin 2x sin x 60. cot 2x cot 5x 8 5 4 3 4 Trang 2
3. 0 0 2 1 61. cos 2x 20 sin 60 x 62. tan x cot 2x 63. tan 5x 6 3 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 64. 2sin 3x 3 0 65. cos 2x cos2x=0 66. tan x 1 cos x 0 6 67. 2sin2 x sin x 3 0 68. 4sin2 x 4cos x 1 0 69. tan x 2cot x 3 0 70. 2cot4 x 6cot2 x 4 0 71. sin4 x cos4 x cos x 2 72. 1 cos4x sin 4x 2 sin2 2x (*) 73. 3sin2 x 2sin x cos x cos2 x 0 1 74. cos2 x sin2 x 3 sin 2x 1 75. sin2 2x sin 4x 2cos2 2x 2 Bài 3. Giải các phương trình sau: 76. 3sin x 4cos x 5 77. 2sin 2x 2cos 2x 2 78. 3 cos x sin x 2 1 79. sin 2x sin2 x 80. cos 2x 9cos x 5 0 2 Bài 4. Giải các phương trình sau: 81) sin 6x 3 cos6x 2 82) cos2 x sin x 1 0 83) 3sin x 3 cos x 1 84) 5cos 2x 12sin 2x 13 1 85) sin2 x sin 2x 86) cos2 x sin x 2 2 87) 4sin2 x 3 3sin 2x 2cos2 x 4 88) 24sin2 x 14cosx 21 0 2 89)tan 2x cot 2x 3 0 90) sin x 2cos x 1 6 6 3 3 91) 3sin2 x 8sinxcosx 8 3 9 cos2 x 0 92) 2sin 3x 2 sin 6x 0 2 2 93)3 cos x 5 sin x 1 94) sin x 3cos x 1 3 3 95) 4cos2 x 2 3 1 cosx 3 0 96) sin2 x –10sinxcosx 21cos2 x 0 97)cos2 x sin2 x 2sin 2x 1 98) cos 4x sin3x.cosx sinx.cos 3x 1 99) sinx cosx sinx V. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không? Lưu ý: cosx = 0 x k sin2 x 1 sin x 1. 2 Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x 0 ta được: a.tan2 x b.tan x c d(1 tan2 x) Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: Trang 3
4. (a d)t2 b.t c d 0 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1 cos2x sin 2x 1 cos2x (1) a. b. c. d 2 2 2 b.sin 2x (c a).cos2x 2d a c (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x) 1/ Giải các phương trình sau: 1) 2sin2 x 1 3 sin x.cos x 1 3 cos2 x 1 2) 3sin2 x 8sin x.cos x 8 3 9 cos2 x 0 3) 4sin2 x 3 3 sin x.cos x 2 cos2 x 4 1 4) sin2 x sin 2x 2 cos2 x 2 2 2 5) 2sin x 3 3 sin x.cos x 3 1 cos x 1 VI/ Phương trình đối xứng: (sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 Dạng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 Đặt: t cos x sin x 2.cos x  ; t 2. 4 1 t2 1 2sin x.cos x sin x.cos x (t2 1). 2 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa t 2. Suy ra x. Lưu ý dấu: cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 Đặt: t cos x sin x 2. cos x  ; Đk : 0 t 2. 4 1 sin x.cos x (t2 1). 2 Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bài 1. Giải các phương trình: 1) 2sin 2x 3 3 sin x cos x 8 0 2) 2 sin x cos x 3sin 2x 2 3) 3 sin x cos x 2sin 2x 3 4) 1 2 1 sin x cos x sin 2x Trang 4
5. 50 BÀI TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1). Giải phương trình cos3x - sin3x = cos2x. A). x k2 , x k , x k . B). x k2 , x k , x k2 . 2 4 2 4 C). x k2 , x k , x k . D). x k , x k , x k . 2 4 2 4 2). Tìm m để phương trình cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 cĩ đúng 2 nghiệm x ϵ ; . 2 2 A). - 1 < m ≤ 0 B). 0 ≤ m < 1. C). 0 ≤ m ≤ 1 D). - 1 < m < 1 3). Giải phương trình 1 + sinx + cosx + tanx = 0. A). x k2 , x k B). x k2 , x k2 4 4 C). x k2 , x k2 D). x k2 , x k 4 4 4). Giải phương trình sin2x + sin2x.tan2x = 3. A). x k B). x k2 C). x k D). x k2 6 6 3 3 5). Phương trình 1 + cosx + cos2x + cos3x - sin2x = 0 tương đương với phương trình. A). cosx.(cosx + cos3x) = 0. B). cosx.(cosx - cos2x) = 0. C). sinx.(cosx + cos2x) = 0. D). cosx.(cosx + cos2x) = 0. 6). Giải phương trình 1 + sinx + sinx.cosx + 2cosx - cosx.sin2x = 0. A). x k2 B). x k2 C). x k2 D). x k2 2 2 7). Giải phương trình 4(sin6x + cos6x) + 2(sin4x + cos4x) = 8 - 4cos22x. k k k k A). x . B). x . C). x . D). x . 3 2 24 2 12 2 6 2 8). Phương trình sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x tương đương với phương trình 1 A). sinx = 0 v sinx = . B). sinx = 0 v sinx = 1. 2 1 C). sinx = 0 v sinx = - 1. D). sinx = 0 v sinx = - . 2 9). Giải phương trình 1 - 5sinx + 2cos2x = 0. 2 A). x k2 B). x k2 , x k2 6 3 3 5 C). x k2 , x k2 D). x k2 6 6 3 sin x cos x 10). Phương trình 3 tương đương với phương trình . sin x - cos x Trang 5
6. A). cot(x ) 3 B). tan(x ) 3 C). tan(x ) 3 D). cot(x ) 3 4 4 4 4 11). Giải phương trình sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x). k A). x k . B). x . C). x k2 . D). x k2 . 4 4 2 4 4 x y 12). Giải hệ phương trình 3 . cos x - cos y 1 2 2 x k2 x k2 x k2 x k2 6 3 3 2 A). B). C). D). y k2 y k2 y k2 y k2 6 3 3 6 tan x sin x 2 13). Giải phương trình . sin x cot x 2 3 3 A). x k B). x k2 C). x k2 D). x k 4 4 4 4 cos x(cos x 2sin x) 3sin x(sin x 2) 14). Giải phương trình 1 . sin 2x 1 A). x k2 B). x k 4 4 3 C). x k2 , x k2 D). x k2 4 4 4 15). Giải phương trình sin2x + sin23x - 2cos22x = 0. k k A). x k , x B). x k , x 2 8 4 8 4 k k C). x k , x D). x k , x 2 8 2 8 2 tan x sin x 1 16). Giải phương trình . sin3 x cos x k A). x k B). x k2 C). Vơ nghiệm. D). x 2 2 17). Giải phương trình sin2x.(cotx + tan2x) = 4cos2x. A). x k , x k B). x k , x k2 2 6 2 6 C). x k , x k2 D). x k , x k 2 3 2 3 18). Tìm m để phương trình 2sinx + mcosx = 1- m cĩ nghiệm x ; . 2 2 A). - 3 ≤ m ≤ 1 B). - 2 ≤ m ≤ 6 C). 1 ≤ m ≤ 3 D). - 1≤ m ≤3 Trang 6
7. 19). Tìm m để phương trình m.sinx + 5.cosx = m + 1 cĩ nghiệm. A). m ≤ 12. B). m ≤ 6 C). m 24 D). m 3 20). Giải phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x. k k A). x k2 B). x , x 4 4 2 8 4 k k k k C). x , x D). x , x 4 2 8 4 4 2 4 2 21). Tìm m để phương trình cos2x + 2(m + 1)sinx - 2m - 1 = 0 cĩ đúng 3 nghiệm x (0; ). A). -1 < m < 1 B). 0 < m ≤ 1 C). 0 ≤ m < 1 D). 0 < m < 1 1 sin x 1 sin x 4 22). Giải phương trình với x (0; ) . 1- sin x 1 sin x 3 2 A). x B). x C). x D). x 12 4 3 6 23). Giải phương trình 3 - 4cos2x = sinx(1 + 2sinx). 5 5 A). x k2 , x k2 , x k2 B). x k2 , x k2 , x k2 2 6 6 2 6 6 5 2 C). x k2 , x k2 , x k2 D). x k2 , x k2 , x k2 2 6 6 2 3 3 x y 24). Giải hệ phương trình 3 . sin x sin y 1 x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 6 A). B). C). D). y k2 y k2 y m2 y k2 6 6 6 3 1 sin x.cos y - 4 25). Giải hệ phương trình . 3 cos x.sin y - 4 5 x k2 x (k l) x (k l) x (k l) 6 6 6 6 A). v B). v 2 2 y k2 y (k l) y (k l) y (k l) 3 3 3 3 5 x (k l) x (k l) x (k l) x (k l) 6 6 6 6 C). v D). v 2 2 y (k l) y (k l) y (k l) y (k l) 3 3 3 3 Trang 7
8. x y 3 26). Giải hệ phương trình . 2 3 tan x tan y 3 2 x k x k x k2 6 x k 3 6 A). B). 3 C). D). y k y k y k y k2 6 3 6 cos2 x sin2 x 27). Giải phương trình 4cot 2x . cos6 x sin6 x k A). x k2 . B). x k . C). x k2 . D). x . 4 4 4 4 2 28). Giải phương trình tanx + tan2x = - sin3x.cos2x. k k k A). x , x k2 B). x , x k2 C). x D). x k2 3 3 2 3 29). Phương trình 2sinx + cotx = 1 + 2sin2x tương đương với phương trình. A). 2sinx = - 1 v sinx - cosx - 2sinx.cosx = 0. B). 2sinx =1 v sinx + cosx - 2sinx.cosx = 0. C). 2sinx = - 1 v sinx + cosx - 2sinx.cosx = 0. D). 2sinx =1 v sinx - cosx - 2sinx.cosx = 0. 3 cos x.cos y 4 30). Giải hệ phương trình . 1 sin x.sin y 4 x (k l) x (k l) x (k l) x (k l) 6 6 6 6 A). v B). v y (k l) y (k l) y (k l) y (k l) 6 6 6 6 x (k l) x (k l) x (k l) x (k l) 3 6 3 3 C). v D). v y (k l) y (k l) y (k l) y (k l) 6 3 3 3 32). Giải phương trình tan( x).tan( 2x) 1 . 3 3 A). x k . B). x k . C). x k . D). Vơ nghiệm. 6 3 6 1 sin2 x sin2 y 2 33). Giải hệ phương trình . x y 3 Trang 8
9. 2 x k x k x k 2 6 3 x k A). B). C). D). 3 y k y k y k y k 6 6 3 (cos2 x sin2 x).sin 2x 34). Giải phương trình 8cot 2x . cos6 x sin6 x k k A). x k B). x C). x k D). x 4 4 2 4 4 2 2 35). Phương tình tan x tan(x ) tan(x ) 3 3 tương đương với phương trình. 3 3 A). cotgx = 3 . B). cotg3x = 3 . C). tgx = 3 D). tg3x = 3 . 1 sin2 x 36). Giải phương trình tg2 x 4 . 1 sin2 x A). x k2 B). x k2 C). x k D). x k 3 6 3 6 37). Giải phương trình 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x. A). x k , x k2 B). x k , x k2 2 2 3 C). x k , x k2 D). x k2 , x k2 2 2 sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x 38). Giải phương trình . 4 4 cos2 2x sin2 2x k A). x k2 , x k2 B). x . 2 2 C). x k D). x k , x k2 . 2 2 39). Giải phương trình cos( x) cos( x) 1 . 3 3 k2 k k2 A). x . B). x k2 . C). x . D). x 3 3 3 3 2 x y 40). Giải hệ phương trình 3 . tan x.tan y 3 5 x k 2 x k x k x k 3 6 A). B). 3 C). D). y k 3 y k y k y k 3 6 cos x(1- 2sin x) 42). Giải phương trình 3 . 2 cos2 x sin x -1 Trang 9
10. A). x k2 B). x k2 C). x k2 D). x k2 , x k2 6 6 6 6 2 sin x 1 cos x 4 45). Phương trình tương đương với các phương trình. 1 cos x sin x 3 A). sin x 3 cos x 3 v 3 sin x cos x 1 B). sin x 3 cos x 1 v 3 sin x cos x 3 C). sin x - 3 cos x 3 v 3 sin x - cos x 1 D). sin x - 3 cos x 1 v 3 sin x - cos x 3 sin3x cos3x 46). Giải phương trình 5 sin x cos2x 3 . 1 2sin 2x A). x k2 B). x k2 C). x k D). x k 3 6 3 6 47). Giải phương trình sin x.cos x(1 tgx)(1 cot gx) 1 . k A). Vơ nghiệm. B). x k2 C). x D). x k 2 sin2 x cos2 x cos4 x 48). Giải phương trình 9 . cos2 x sin2 x sin4 x A). x k . B). x k2 . C). x k . D). x k2 . 3 3 6 6 3 49). Tìm m để phương trình cos2x - (2m +1)cosx + m +1 = 0 cĩ nghiệm x ϵ ( ; ) . 2 2 A). - 1 ≤ m < 0. B). 0 < m ≤1. C). 0 ≤ m < 1. D). - 1 < m < 0. 2 50). Tìm m để phương trình (cosx + 1)(cos2x - mcosx) = msin2x cĩ đúng 2 nghiệm x 0; . 3 1 1 1 A). -1 < m ≤ 1 B). 0 < m ≤ . C). -1 < m ≤ . D). < m ≤ 1 2 2 2 Trang 10